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第六章 平面向量及其应用
6.3.1平面向量基本定理
一、教学目标
1．理解平面向量基本定理及其意义；
2．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达；
3．通过学习平面向量基本定理，让学生体验数学的转化思想，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养。
二、教学重难点
1．平面向量基本定理及其意义；
2．平面向量基本定理的理解。
三、教学过程：
1、情景引入
在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？
可以
如图，以a为平行四边形一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？
不一定能确定
小组合作探究：
问题1：如图所示，设是同一平面内两个不共线的向量，是这一平面内与都不共线的向量，在平面内任取一点O，作将按的方向分解，你有什么发现？
【答案】如图，
问题2：当是零向量时，还能用表示吗？
【答案】可以，取，，则
问题3：若向量与共线，那么还能用这种形式表示吗？
【答案】若向量与共线，取，则。
若向量与共线时，取，则。
问题4.设是同一平面内两个不共线的向量，则？
【答案】假设，
，
，唯一。
2、探索新知
平面向量基本定理：
如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内的任意一个向量，有且只有一对实数，使。我们把不共线向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
说明：(1)基底不唯一，关键是不共线；
(2)由定理可将任一向量在给出基底的条件下进行分解；
(3)基底给定时，分解形式唯一；
例1.如图，不共线，且，用表示。
解：因为，所以
重要结论:如果三点共线，点O是平面内任意一点，若，则。
变式训练:设分别是的边上的点，,,若(为实数)，则的值为 .
【答案】.
【解析】易知= == =，∴=，=，∴
例2.如图所示，在中，是以为中点的点的对称点，，和交于点，设，.
（1）用和表示向量、；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1），；（2）.
【解析】（1）由题意知，是线段中点，且.
，
；
（2），
由题可得，且，
设，即，则有，解得.
因此，.
证明:三角形的三条中线交于一点.
四、小结
1. 平面向量基本定理；
2.基底；
3.掌握平面向量基本定理的简单应用
五、作业
习题6.3.1

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