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第五章 三角函数
5.1.1 任意角
教学设计
一、教学目标
1.理解角的概念推广的必要性.
2.理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示.
3.理解推广之后的角的概念.
二、教学重难点
1. 教学重点
将范围的角推广到任意角.
2. 教学难点
角的概念的推广，终边相同的角的表示.
三、教学过程
（一）新课导入
在初中我们学习的角的范围是，但在生活中有很多角超出了，例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出范围的角，而且旋转的方向也不相同.以前的角的范围明显不满足现实要求，所以为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围.
（二）探索新知
探究一：任意角
角的分类
要准确的描述角，要知道旋转的角度和旋转的方向.
正角：我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角.
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.
零角：如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.这样，零角的始边与终边重合.如果是零角，那么.
经过上面的学习我们可以知道，图（1）中的角是一个正角，它等于
图（2）中，正角，负角.
说明：（1）钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角（因为时针或分针都是按顺时针方向旋转的）
（2）为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记成“”.
这样我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角，负角和零角.
相等角、角的加减
相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成.如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称.
相反角：如下图，我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两角角叫做互为相反角.角的相反角记为.
角的加法：设是任意两个角.我们规定，把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是.
角的减法：像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有.
探究二：象限角与终边相同的角
象限角：为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限.在坐标轴上的角叫做轴线角.
教师提问，学生回答
①锐角是第几象限角？（第一象限角）
②钝角是第几象限角？（第二象限角）
③直角是第几象限角？（非象限角）
④以上问题反之如何？（反之不成立）
同学们讨论在直角坐标系内讨论角的好处，老师补充
（在同一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，由此还能有效地表现出角的终边位置“周而复始”的现象）
终边相同的角
将角按照上述方法放在直角坐标系汇总，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线（如图），以它为终边的角是否唯一？（不唯一）
如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？（相差的整数倍）
从图中，我们可以发现，如果角的终边是，那么角的终边都是，并且与角终边相同的这些角都可以表示成的角与个周角的和，如
（这里）
（这里）
一般地，我们有：
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合
即任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
教师提问，学生思考：第一象限角一定是锐角吗？
第一象限角不一定是锐角，比如角是第一象限角，却不是锐角；但锐角一定是第一象限角，因为锐角是大于且小于的角，其终边落在第一象限.
各象限角的集合表示
象限角 象限角的集合表示
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
轴线角的集合表示
角终边的位置 角的集合表示
在轴的非负半轴上
在轴的非正半轴上
在轴的非负半轴上
在轴的非正半轴上
在轴上
在轴上
在坐标轴上
象限角与轴线角的集合表示形式不唯一，如落在轴的非正半轴上的角的集合可表示为，也可以表示为.
例1 在范围内，找出与角终边相同的角，并判断它是第几象限角.
解：，所以在范围内，与角终边相同的角是，它是第二象限角.
类题通法：求解终边在某条直线上的角的集合的思路
（1）若所求角的终边在某条射线上，则集合的形式为.
（2）若所求角的终边在某条直线上，则集合的形式为.
例2 写出终边在轴上的角的集合.
解：在范围内，终边在轴上的角有两个，即角，因此，所有与角终边相同的角构成集合，而所有与角终边相同的角构成的集合，于是，终边在轴上的角的集合
例3 写出终边在直线上的角的集合.中满足不等式的元素有哪些？
解：如图，在直角坐标系中画出直线，可以发现它与轴的夹角是，在范围内，终边在直线上的角有两个：.因此，终边在直线上的角的集合
.
中适合不等式的元素有，，，，，.
方法总结：求符合此条件的元素，关键是确定集合中的值，一般有两种方法
方法1（估值法）：先观察和与的关系，从而确定的最小值和最大值，如，可知的最大值为3.
方法2（不等式法）：先通过解不等式求出的取值范围，然后根据确定的值.（方法2的运算量一般较大，因此求解此类问题时优先选择方法1）.
（三）课堂练习
1.把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )
A.120° B. C.240° D.
答案：D
解析：按顺时针方向旋转而成的角是负角，排除A,C；又由题意知旋转的角度是240°，排除B.故选D.
2.下列各个角中与2020°角终边相同的角是( )
A.-150° B.680° C.220° D.320°
答案：C
解析：,
与2020°角终边相同的是220°角.
3.下列角的终边位于第二象限的是( )
A.450° B.860° C.1060° D.1260°
答案：B
解析：,终边位于第一象限；
，终边位于第二象限；
，终边位于第四象限；
，终边位于x轴非正半轴.故选B.
4.已知集合，则角的终边落在阴影处（包括边界）的区域是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解析：集合表示的角在第一象限内，排除C,D，根据范围可知B正确.故选B.
5.下列说法正确的是( )
A.小于的角是锐角
B.钝角是第二象限的角
C.第二象限的角大于第一象限的角
D.若角与角的终边相同,那么
答案：B
解析：小于的角可以是负角,负角不是锐角,A不正确;钝角是第二象限的角,B正确; 第二象限的角不一定大于第一象限的角，例如：150°角是第二象限角， 是第一象限角,显然C是不正确的.若角与角的终边相同，那么; ，，所以D不正确.故选B.
6.-885°化成的形式是_______________.
答案：
解析：.
7.在与530°角的终边相同的角中，求满足下列条件的角.
(1)最大的负角；
(2)最小的正角；
(3)在内的角.
答案：（1）与530°角的终边相同的角为.
由，
得，
解得，故所求的最大负角为.
（2）由，
得，
解得，故所求的最小正角为.
（3）由，
得，
解得，故所求的角为.
（四）小结作业
小结：
1.本节课我们主要学习了哪些内容？
2.角是如何推广的，象限角是如何定义的
3.与角终边相同的角的集合的表示方法
4.判断角的象限.
作业：
四、板书设计
5.1.1 任意角
一、复习引入
二、角的概念的推广
三、象限角
四、终边相同的角
五、例题
六、巩固练习

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