资源简介

第1课时 数系的扩充
【教学目标】
1.经历数的概念的发展和数系的扩充的过程，体会数学发现和创造的过程；
2.理解复数的概念以及复数相等的充要条件.
【问题情境】
在自然数集中，方程无解，为此引入负数，自然数集扩充到整数集；
在整数集中，方程无解，为此进入分数，整数集扩充到有理数集；
在有理数集中，方程无解，为此引入无理数，有理数集扩充到实数集；
现在，在实数集中，我们又面临方程无解、负数不能开平方的问题.这表明，数的概念需要进一步发展，实数集需要进一步扩充.那么，实数集应该怎样扩充呢？
【合作探究】
1.我们引入一个新数，叫做虚数单位，并规定：
（1）=_______.
（2）_______可以与进行四则运算，进行四则运算时，原有的______,_______运算律仍然成立.21世纪教育网版权所有
2.形如_______________的数叫做复数.其中实部是_________虚部是_________.
3.
4.设都是实数，则的充要条件是_________________.
5.复数可以比较大小吗？
【展示点拨】
写出复数的实部与虚部，并指出哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数.
实数取什么值时，复数是：
实数；（2）虚数；（3）纯虚数
已知，求实数的值.
【学以致用】
1.若是纯虚数，则实数=_________.
2.是虚数单位，的实部是_________,虚部是__________.
3.已知复数满足，则的值为__________.
4.若是实数，是纯虚数，且满足，则_________,_________.
5.已知复数，试求实数分别取什么值时，分别为
（1）实数； （2）虚数 ；（3）纯虚数
第1课时 数系的扩充
【基础训练】
1、复数的实部是__________，虚部是_________
2、已知，其中，则=__________，=___________.
3、有下列复数，其中是纯虚数的是___________________________,是实数的是________________________.
4、若复数是虚数，则实数满足__________________;若复数是纯虚数，则实数=_________________21教育网
5、若复数，则实数=_______________
6、有下列命题：①若，则；②若，则是纯虚数；③任何数的偶次幂都不小于0；④虚部为0的数一定是实数；⑤若复数，则或.其中真命题的序号为________________________21cnjy.com
【思考应用】
7、已知，复数，当为何值时，
（1）？（2）是虚数？（3）是纯虚数？（4）？
8、已知集合，且，求实数的值.
9、设为虚数单位，复数为纯虚数，求的值.
10、设为虚数单位，，若，求实数的值.
【拓展提升】
11、已知关于方程有实数根，求实数的值，并求出此方程的实数根.
12、在复数集中解方程
第2课时 复数的四则运算（1）
【教学目标】
理解复数代数形式的四则运算，能运用运算律进行复数的四则运算
【问题情境】
我们知道，i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算，那么，任意两个复数按照怎样的法则进行四则运算呢？21世纪教育网版权所有
【合作探究】
一、复数加法，减法运算法则：
已知两复数 ,
(1)加法法则：
(2)减法法则：
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,虚部与虚部分别相加(减).
注:①复数的减法是加法的逆运算；
②易知复数的加法满足_____________律______________律 ；
③复数的加减法可类比多项式的加减法进行；
④复数的加减运算仍是一个复数.
二、复数乘法运算法则：
已知两复数 , 则=__________________
注:①复数的乘积仍然是一个复数；
②复数的乘法与多项式的乘法类似，只是在运算过程中把换成－1，然后实、虚部分别合并
③易知复数的乘法满足_______________律、_____________律以及______________律
三、共轭复数
共轭复数的定义:_ _____________________________________________________________
当复数中____________________时，有
【展示点拨】
例1.计算 (1－3i )+(2+5i) +(-4+9i)
例2.计算 (－2－i )(3－2i)(－1+3i)
例3.计算
例4：已知复数，实数满足，求的值.
【学以致用】
1.若且,则
2.已知且,则
3.在复数集C内分解因式，=____________；
4.已知,求复数
5.已知复数是的共轭复数，求x的值
第2课时 复数的四则运算（1）
【基础训练】
计算：__________，=____________
计算：________________
若，则______________
若，则______________
计算：_________________
若是方程的1个根，则_________，_________，此方程的另一个根是____________21教育网
【思考应用】
已知，求复数.
计算
已知复数与都是纯虚数，求复数.
已知成等比数列，求复数.
【拓展提升】
已知，并满足，求复数和.
已知且，求和.
第3课时 复数的四则运算（2）
【教学目标】
理解复数的代数形式的乘方运算法则和除法运算法则
【问题情境】
复数的乘方是相同复数的积.根据复数乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立.即对任何及，有； ； 21世纪教育网版权所有
【自主学习】
1.计算虚数单位i的正整数指数幂：

……
思考：i的乘方运算的周期性规律是？
2.复数的除法的定义与运算法则：
【合作探究】
例1.计算：
(1) (2)
(3)
例2.设，求证： （1） （2） （3）
例3.计算
【学以致用】
1.
2.计算：
（1） （2） （3）
(4) （5）
3.已知，则=________.
4. 已知，则复数=______.
5.在复数范围内分解因式：
（1） （2） (3)
第3课时 复数的四则运算（2）
【基础训练】
计算：____________，_______________
若复数，则复数的虚部等于________________
已知，则=__________________
计算：________________，_______________
若，则__________；_____________
计算：_______________
【思考应用】
计算：（1）；（2）
求的平方根.
已知是纯虚数，是实数，则__________________
设复数，且.
（1）求实数的值； （2）分解因式.
【拓展提升】
11.求同时满足下列条件的复数：①是实数，且；②的实部和虚部都是整数.
12.已知无穷数列的各项都是复数，它的前项和和通项有如下关系：，求数列的通项.
第4课时 复数的几何意义
【教学目标】
1.了解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数.
2.了解复数代数形式的加、减法运算的几何意义，进一步体会数形结合的思想.
【问题情境】
我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，实数可以用数轴上的点来表示.那么，复数是否也用点来表示呢？
【合作探究】
1．我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做　　　　　，轴叫做　　　　，轴叫做　　　　．
实轴上的点都表示　　　　　；除　　　　外，虚轴上的点都表示　　　　　　．
2．复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应关系（这是复数的一个几何意义），
即：复数 复平面内的点 平面向量.
3．向量的模叫做　　　　　　　　　　　　，记作或，＝　　　　　　　　　．
4．向量，分别与复数，对应，则　　　　　　　　　对应着向量，
即向量　　　　　　　　．若，，则　　　　　　　　　　　．
【展示点拨】
例1．在复平面内，分别用点和向量表示下列复数
，，，，
例2．已知复数，，，试比较它们的模的大小．
思考：
①两复数的模能比较大小，两复数能比较大小吗？
②与两复数有什么关系？它们的模有怎样的关系？能推广到一般情形，并找到一些性质吗？
例3．设满足下列条件的点的集合是什么图形？
①；　　　　　 　②．
例4．已知复数满足，则的最大值是_________，最小值是_________.
【学以致用】
1．复数在复平面内对应的点位于第 　　 象限．
2．复数与分别表示向量与，则表示的复数为 　　　　　 ．
3．设复数满足，则= 　　 ．
4．设复数z满足条件，那么的最大值为 ．
5．已知为复数，为实数，且，求．
第4课时 复数的几何意义
【基础训练】
若复数，则复数在复平面内的对应点位于第______________象限.
已知，若复数所对应的点在虚轴上，则_______________
如果复数满足条件，那么实数的取值范围是________________
若，则___________________
设表示复数，指出满足下列条件的点的集合构成的图形.
（1）：____________________________
（2）：____________________________
（3）：____________________________________
（4）：______________________________
（5）：_________________________________
6.若，则的最大值是_____________
【思考应用】
7．在复平面上复数所对应的点分别是A,B,C，求平行四边形ABCD的对角线BD所对应的复数.
8.已知，且为纯虚数，求复数.
9.复数且，对应的点在第一象限内，若复数对应的点是正三角形的三个顶点，求实数的值.
10.已知实数满足条件（为虚数单位），求的最大值.
【拓展提升】
11.求复数的模的取值范围.
12.已知复数.
（1）求；（2）当复数满足时，求的最大值.
第5课时 复数复习与小结
【教学目标】
1.复习复数的概念、表示形式以及复数代数形式的四则运算，理解复数几何意义.
2.体会数系的扩充是实际的需要也是数学内部矛盾在数学发展中作用的结果，认识人类理性思维在数学发展中的作用.21教育网
【合作探究】
本章重要考点：1.复数的相关概念和运算；2.复数相等的充要条件；3.复数及其模的几何意义
【展示点拨】
例1．实数m分别取什么数值时？复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i.
(1)与复数2－12i相等； (2)与复数12＋16i互为共轭；
(3)是纯虚数； (4)对应的点在x轴上方．



例2．计算：(1) (2) (3)
例3．若复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1(3－i)＝z2(1＋3i)，|z1|＝，求z1.21世纪教育网版权所有
例4．如图，平行四边形OABC，顶点O、A、C分别表示0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)表示的复数，表示的复数；(2) 所表示的复数；
(3)设P为复平面上一点且满足| |＝| |，求P点的轨迹方程．

【学以致用】
1.若复数其中i是虚数单位，则复数的实部为 .
2.设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为___ .
3.若复数z＝cosθ＋isinθ且z2＋2＝1，则sin2θ＝ .
4.已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1＋i)＝11＋ni，则()2012等于 .
5.已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为，是实数，求.
第5课时 复数复习与小结
【基础训练】
若是纯虚数，则____________
如果复数满足关系式，那么等于______________
设复数满足（其中为虚数单位），则的模为_____________
若，则集合中的元素个数是_________________
复数的模为，则实数的值是_______________
已知，若，则______________
若复数满足，则在复平面上对应的点的轨迹是_____________
【思考应用】
计算：（1）；（2）
已知复数满足，求复数.
已知虚数满足，且，求实数.
【拓展提升】
已知两个向量对应的复数是和，求向量与的夹角.
设是虚数，，且.
求的值及的实部的取值范围；
设，求证：是纯虚数；
求的最小值.

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