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同角三角函数的基本关系式

教学目标 核心素养
1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用。（重点） 2．会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明。（难点） 1．通过同角三角函数基本关系式推理，培养学生的逻辑推理素养。 2．借助同角三角函数基本关系式的应用，提升学生的逻辑推理及数学运算核心素养。

【教学过程】
一、问题导入
我们已经学习了正弦、余弦、正切的定义和三角函数线，那么同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？
这节课就让我们来学习——同角三角函数的基本关系式。
二、新知探究
1．应用同角三角函数关系求值
【例1】（1）若sin α＝－，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值；
（2）若cos α＝，求tan α的值；
（3）若tan α＝－，求sin α的值。
[思路探究]对（1）中明确α是第三象限角，所以只有一种结果。对（2），（3）中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果。
【解】（1）∵sin α＝－，α是第三象限角，
∴cos α＝－＝－，
tan α＝＝－×＝。
（2）∵cos α＝>0，
∴α是第一、四象限角。
当α是第一象限角时，
sin α＝＝＝，
∴tan α＝＝；
当α是第四象限角时，
sin α＝－＝－＝－，
∴tan α＝－。
（3）∵tan α＝－<0，
∴α是第二、四象限角。
由
可得sin2α＝。
当α是第二象限角时，sin α＝；
当α是第四象限角时，sin α＝－。
[教师小结]
利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：
（1）已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系；
（2）若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果。
2．应用同角三角函数关系化简
【例2】若sin α·tan α<0，化简＋。
【解】∵sin α·tan α<0，∴cos α<0.
原式＝＋
＝＋＝＋＝＝－。
[教师小结]解答此类题目常用的方法有：
（1）化切为弦，即把非正、余弦的函数都化成正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的。
（2）对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的。
（3）对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的。
3．三角恒等式的证明
[探究问题]
（1）证明三角恒等式常用哪些方法？
【提示】（1）从右证到左。
（2）从左证到右。
（3）证明左右归一。
（4）变更命题法。如：欲证明＝，则可证MQ＝NP，或证＝等。
（2）在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？
【提示】sin2α＋cos2α＝1，tan ＝1．
【例3】求证：（1）＝；
（2）2（sin6 θ＋cos6 θ）－3（sin4 θ＋cos4 θ）＋1＝0.
[思路探究]解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较。关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧。
【证明】（1）左边
＝
＝＝
＝＝＝＝右边，
∴原等式成立。
（2）左边＝2[（sin2θ）3＋（cos2θ）3]－3（sin4θ＋cos4θ）＋1
＝2（sin2θ＋cos2θ）（sin4 θ－sin2θcos2θ＋cos4θ）
－3（sin4θ＋cos4θ）＋1
＝（2sin4θ－2sin2θcos2θ＋2cos4θ）－（3sin4θ＋3cos4θ）＋1
＝－（sin4θ＋2sin2θcos2θ＋cos4θ）＋1
＝－（sin2θ＋cos2θ）2＋1＝－1＋1＝0＝右边，
∴原等式成立。
[教师小结]
（一）证明恒等式常用的思路是：
（1）从一边证到另一边，一般由繁到简；（2）左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；（3）比较法（作差，作比法）。
（二）常用的技巧有：（1）巧用“1”的代换；（2）化切为弦；（3）多项式运算技巧的应用（分解因式）。
（三）解决此类问题要有整体代换思想。
三、课堂总结
1．同角三角函数基本关系式的变形形式
（1）平方关系：1－sin2 α＝cos2 α，1－cos2 α＝sin2 α。
（2）商数关系：sin α＝tan α·cos α，cos α＝。
2．已知sin α±cos α，整体代入求值
已知sin α±cos α求值的问题，一般利用三角恒等式，采用整体代入的方法求解。涉及的三角恒等式：
（sin α＋cos α）2＝1＋2sin α cosα；
（sin α－cos α）2＝1－2sin α cosα；
（sin α＋cos α）2＋（sin α－cos α）2＝2；
（sin α－cos α）2＝（sin α＋cos α）2－4sin α cos α。
所以知道sin α＋cos α，sin α－cos α，sin α·cos α这三者中任何一个，另两个式子的值均可求出。
3．应用平方关系式由sin α求cos α或由cos α求sin α时，注意α的范围，如果出现无法确定的情况一定要对α所在的象限进行分类讨论，以便确定其符号。
四、课堂检测
1．如果α是第二象限的角，下列各式中成立的是（ ）。
A．tan α＝－ B、Cos α＝－
C．sin α＝－ D．tan α＝
【答案】B
【解析】由商数关系可知A，D项均不正确，当α为第二象限角时，cos α＜0，sin α＞0，故B项正确。
2．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α等于（ ）。
A． B．－
C． D．－
【答案】B
【解析】由条件知sin α＝－
＝－ ＝－。
3．已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________。
【答案】－
【解析】∵sin α＋cos α＝，
∴（sin α＋cos α）2＝。
∴sin2α＋2sin αcos α＋cos2α＝。
∴1＋2sin αcos α＝。
∴sin αcos α＝－。
4．已知tan α＝，且α是第三象限的角，求sin α，cos α的值。
【解】由tan α＝＝得
sin α＝cos α。 ①
又∵sin2α＋cos2α＝1， ②
由①②得cos2α＋cos2α＝1．
∴cos2α＝。
又∵α是第三象限的角，
∴cos α＝－。
∴sin α＝cos α＝－。
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