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第七章 复数
7.2.2 复数的乘、除运算及其几何意义
一、教学目标
1.掌握复数代数形式的乘法和除法运算；
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律;会求在复数范围内方程的根.
4.通过对复数的乘、除运算及其几何意义的学习，培养学生数学抽象、数学运算、数学建模等数学素养。
二、教学重难点
1.复数代数形式的乘法和除法运算;
2.求复数范围内的方程根．
三、教学过程：
1、创设情境：
上一节课我们学习了复数的加、减运算及其几何意义，本节课我们类比上一节课的学习猜想复数的乘法和除法运算及其几何意义。
首先请同学们阅读课本77-79页，思考复数代数形式的乘法运算法则是什么?
问题1:复数乘法的多项式运算与实数的多项式运算法则是否相同？复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律分别是什么?(小组合作,学生板演填空)
(1)已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝______________________.
(2)对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝_________
结合律 (z1·z2)·z3＝_________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_________
生答:(1)(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(2)z1·z2＝z2·z1 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3) z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
问题2:思考复数代数形式的除法运算法则是什么?困惑在哪里?
老师点拨:是否可以借助共轭复数解决问题？
(3)复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝___________
生答:＋i(c＋di≠0)
2、建构数学
复数代数形式的乘法法则
已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)
＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1·z2＝z2·z1
结合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3
复数代数形式的除法法则
(a＋bi)÷(c＋di)＝＋i(c＋di≠0)
3、 数学应用
例1.计算:（1）(2－3i)(2＋3i)；
(2)；
解:(1)(2－3i)(2＋3i)=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.
（2）
变式训练1.已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.
【答案】2.
【解析】，
令得.
例2.计算：；
解:
=0
变式训练1..
解:
例3.在复数范围内解下列方程：
（1）；
（2），其中，且．
解:（1）因为，所以方程的根为．
（2）将方程配方，得，
．
所以原方程的根为．
变式训练1.在复数范围内解方程（为虚数单位）
解:设，则
，解得：
例4.已知是复数,与均为实数(为虚数单位),且复数在复平面上对应点在第一象限.
(1)求的值;
(2)求实数的取值范围.
解:(1)设,
又,且为实数,∴,解得.
∴,
∵为实数,∴,解得.
∴
(2)∵复数,
∴,解得.
即实数的取值范围是.
四、小结：
1. 复数的乘法运算
2. 复数乘法的运算律
五、作业：习题7.2

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