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直线的方程
一、复习目标：
1．深化理解倾斜角、斜率的概念，熟练掌握斜率公式；
2．掌握直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式和一般式，并能熟练写出直线方程．21世纪教育网
二、知识要点：
1．过两点、的直线斜率公式： ．
2．直线方程的几种形式：点斜式： ；斜截式： ；
两点式： ；截距式： ；一般式： ．21世纪教育网
三、课前预习：
1．设，则直线的倾斜角为 （ ）
2．已知，则过不同三点，，的直线的条数为 （ ）
多于21世纪教育网
3．已知的顶点,，重心，则边所在直线方程为；经过点且与轴、轴围成的三角形面积是的直线方程是
或；过点，且它的倾斜角等于已知直线的倾斜角的一半的直线的方程是.
4．若直线的方向向量是,则直线的倾斜角是；若点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率k的取值范围为
或.
四、例题分析：
例1．已知直线的方程为，过点作直线，交轴于点，交于点，且，求的方程.
解：设点，①当=2时，，代入中，得.∴点．由两点式，得的方程为：.
②当=-2时，得点，由两点式，得的方程为：.
综上所述，
小结：的方程为：或.
例2．（1）已知，试求被直线所分成的比λ；
（2）已知，，若直线与直线相交于点，不与重合，求证：点分的比.
解：（1）由两点式求出直线的方程为：，与联立，求得两条直线的交点为（，）.由定比分点公式，得.
（2）证明：设分的比为λ，则，.
∵（，）在直线上，∴ ，
即.∵（，）不在直线上，∴.∴.
例3．过点引一条直线，使它在两条坐标轴上的截距都是正数，且它们的和最小，求直线的方程.
解：设直线的方程为，则它在轴，轴上的截距分别为，.由＞0且，得.设两截距之和为，则
，当且仅当，即时，取得最小值.此时直线的方程为.
例4．的一个顶点，两条高所在直线方程为和，求三边所在直线方程．
解：∵三角形的顶点不在两条高所在直线上，∴设方程为边的高所在直线的方程，方程为边的高所在直线的方程，
∴边AC所在直线的方程为，即①．
∴边AB所在直线的方程为，即②．
由得；由 得．
∴边BC所在直线方程为，即．
∴边AB、AC、BC所在直线的方程分别为，，．
五、课后作业： 班级 学号 姓名
1．若，则过点与的直线的倾斜角的取值范围是（ ）
2．以原点为中心，对角线在坐标轴上，边长为的正方形的四条边的方程为 （ ）21世纪教育网
3．已知三点，，在同一直线上，则的值为或．
4．过点的直线与轴、轴分别交于、两点，点分有向线段所成的比为，则直线的斜率为，直线的倾斜角为.
5．设，，则直线的倾斜角为 （ ）
．
6．不论为何实数，直线恒过定点．
7．设过点作直线l交x轴的正半轴、y轴的正半轴于A、B两点，
（1）当取得最小值时，求直线l的方程．
（2）当取得最小值时，求直线l的方程．
解：（1）如图1，设直线l的方程为：．
令，得点；令，得点．
∴＝21世纪教育网
＝≥＝，当且仅当，即时取等号．
∴直线l的方程为，即．
（2）设直线的方程为：.
∵点，∴，∴，∴，当且仅当，即，时取等号．由题设知，的最小值为，此时，．
∴直线l的方程为，即．
8．对直线上任意一点，点也在直线上，求直线的方程．
解：由题意知不平行于轴，设：①，则②．
联立①②，消去得对恒成立，则，解得或，∴直线的方程是或．
9．求过点P(0，1)的直线l，使它包含在两已知直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0间的线段被点P所平分．
解法1：(求另一点坐标)如图2所示，设直线l与l1，l2的交点分别为A，B．
∵点A在直线l1上，∴设点A的坐标为(a，－2a＋8)，∵点P(0，1)是AB的中点，
∴点B的坐标xB＝2×0－a＝－a，yB＝2×1－(－2a＋8)＝2a－6．
∵点B在直线l2上，∴(－a)－3(2a－6)＋10＝0，得a＝4．
即点A的坐标是(4，0)．由A、P坐标得l方程，即x＋4y－4＝0．
解法2：(求斜率)如图2所示，设直线l的方程为y－1＝kx．
则由方程组解出l与l1的交点A()；
由解出l和l2的交点B ()．
∵P(0，1)是AB的中点，
∴＝０，得k＝－．
∴直线l的方程为y－1＝－x，即x＋4y－4＝0．
解法3：(构造方程)如图20所示，设l与l1的交点A(x1，y1)．
∵P(0，1)是AB的中点，则l和l2的交点B(－x1， 2－y1)．
∴2x1＋y1－8＝0，－x1－3(2－y1)＋10＝0，即2x1＋y1－1＝7①，x1－3(y1－1)＝7②．
由①－②，得x1＋4(y1－1)＝0，∴直线x＋4(y－1)＝0过点A(x1，y1)与P(0，1)，
∴l的方程为x＋4(y－1)＝0，即x＋4y－4＝0．
10．设同在一个平面上的动点、的坐标分别是、，并且坐标间存在关系，，当动点在不平行于坐标轴的直线上移动时，动点在与直线垂直且通过的直线上移动，求直线的方程．
解：设直线的方程为 ①，则动点的轨迹为 ②．
把，代入②得， ③
①与③是同一条直线，所以可得、、之间的比例关系，
∴或，∴所求直线方程是或．
0
x
y
A
，
B
P(2，1)
l
图1
A
B
0
P
x
y
l1
l2
l
图2
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