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2.2.2　函数的奇偶性
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解函数奇偶性的定义及奇偶函数的图象特征.
2.会判断函数的奇偶性．(重点)
3.掌握函数奇偶性的运用．(难点)
通过学习本节内容培养学生的直观想象和逻辑推理核心素养，提升学生的数学运算核心素养.
1．偶函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数．
2．奇函数
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数．
3．奇偶性
如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数f(x)具有奇偶性．
4．奇、偶函数的图象性质
(1)偶函数的图象关于y轴对称，图象关于y轴对称的函数一定是偶函数．
(2)奇函数的图象关于原点对称，图象关于原点对称的函数一定是奇函数．
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数f(x)＝x的图象关于(0,0)对称． (　　)
(2)偶函数的图象一定与y轴相交． (　　)
(3)若对函数f(x)有f(－1)＝f(1)，则f(x)为偶函数． (　　)
(4)奇函数的图象一定过(0,0)． (　　)
[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2．若f(x)是定义在区间[a－2,5]上的奇函数，则a＝________.
－3　[易知a－2＋5＝0，∴a＝－3.]
3．已知f(x)＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f(－2)＝2，则f(2)的值等于________．
－10　[f(－2)＝2，∴－8a－2b－4＝2，∴8a＋2b＝－6，∴f(2)＝8a＋2b－4＝－10.]
函数奇偶性的判断
【例1】　(1)若函数f(x)的图象如图，则f(x)为________函数．(填“奇”或“偶”或“非奇非偶”)
(2)判断下列函数的奇偶性．
①f(x)＝；
②f(x)＝＋；
③f(x)＝＋.
思路点拨：(1)观察图象的对称性．
(2)利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f(x)与f(－x)的关系．
(1)偶　[因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．]
(2)[解]①因为函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．
又f(－x)＝＝＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数．
②定义域要求
所以－1≤x＜1，
所以f(x)的定义域不关于原点对称，
所以f(x)是非奇非偶函数．
③由
得x∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f(±2)＝0，
所以f(x)既是奇函数又是偶函数．
判断函数奇偶性的方法
(1)定义法
(2)图象法
若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于选择题中．

1．判断下列各函数的奇偶性．
(1)f(x)＝(x－2)；
(2)f(x)＝
[解]　(1)由≥0，得定义域为[－2,2)，关于原点不对称，故f(x)为非奇非偶函数．
(2)当x<－1时，f(x)＝x＋2，－x>1，
∴f(－x)＝－(－x)＋2＝x＋2＝f(x)；
当x>1时，f(x)＝－x＋2，－x<－1，
f(－x)＝－x＋2＝f(x)；
当－1≤x≤1时，f(x)＝0，－1≤－x≤1，f(－x)＝0＝f(x)．
∴对定义域内的每个x都有f(－x)＝f(x)，因此f(x)是偶函数.
已知函数奇偶性求解析式
【例2】　(1)已知f(x)是R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－x(1＋x)，求f(x)；
(2)若函数f(x)＝x2＋(m－1)x＋3(x∈R)是偶函数，求m的值．
思路点拨：(1)已知x<0时的解析式，用奇偶性求x>0的解析式，应通过(－x)进行过渡，但别忽视x＝0的情况；(2)应用偶函数满足f(－x)＝f(x)．
[解]　(1)∵f(x)为R上的奇函数，
∴f(－0)＝－f(0)，
∴f(0)＝0.
当x∈(0，＋∞)时，－x∈(－∞，0)，
∴f(－x)＝x(1－x)．
∵f(x)为R上的奇函数，
∴－f(x)＝x(1－x)，
∴f(x)＝－x(1－x)．
综上可知，f(x)＝
(2)∵f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即x2－(m－1)x＋3＝x2＋(m－1)x＋3，
∴2(m－1)x＝0.
∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1.
1．(变条件)若将(1)中的“奇函数”改为“偶函数且f(0)＝0”，求f(x)．
[解]　设x∈(0，＋∞)，则－x∈(－∞，0)，
∴f(－x)＝－(－x)[1＋(－x)]＝x(1－x)．
又f(x)为偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝x(1－x)，x∈(0，＋∞)．
∴f(x)＝
2．(变条件)若(2)中的“偶函数”改为“奇函数”，求m的值．
[解]　f(0)＝3，f(0)≠0，无解．
1．本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数，则必有f(0)＝0.
2．利用奇偶性求解析式的思路
(1)在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；
(2)利用已知区间的解析式进行代入；
(3)利用f(x)的奇偶性，求待求区间上的解析式．
奇偶函数的单调性
[探究问题]
1．观察图中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？由此，我们可以得出的结论是什么？
[提示]　两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：奇函数在对称区间上的单调性相同．
2．能否证明一下探究1中的结论(不妨以“已知f(x)在[a，b](a>0)上递增”为例)．
[提示]　已知f(x)是奇函数，在区间[a，b](a>0)上是单调递增的．证明f(x)在区间[－b，－a]上也单调递增．
证明：任取x1，x2∈[－b，－a]且x1则f(x1)－f(x2)＝－f(－x1)－[－f(－x2)]＝f(－x2)－f(－x1)，
∵－b≤x1由f(x)在[a，b]上单调递增，∴f(－x2)∴f(－x2)－f(－x1)<0，即f(x1)∴f(x)在区间[－b，－a]上单调递增．
3．从图两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？
[提示]　偶函数的图象在对称区间上单调性相反．
【例3】　已知函数f(x)是奇函数，其定义域为(－1,1)，且在[0,1)上为增函数．若f(a－2)＋f(3－2a)<0，试求a的取值范围．
思路点拨：可将f(a－2)＋f(3－2a)<0移项得f(a－2)<－f(3－2a)，根据奇偶性和单调性转化为研究a－2与2a－3的大小关系，注意定义域．
[解]　∵f(a－2)＋f(3－2a)<0，
∴f(a－2)<－f(3－2a)．
∵f(x)为奇函数，∴－f(3－2a)＝f(2a－3)，
∴f(a－2)∵f(x)在[0,1)上为增函数，
∴f(x)在(－1,1)上单调递增，
∴解得11．函数奇偶性和单调性的关系
(1)若f(x)是奇函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
(2)若f(x)是偶函数，且f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法
(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)＞f(x2)或f(x1)＜f(x2)的形式，再利用单调性脱掉“f ”求解．
(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
2．已知定义在[－2,2]上的函数f(x)是偶函数，在[0,2]上单调递增，则满足不等式f(2a－1)>f(1)的a的取值范围是________．
∪　[由f(x)为偶函数，得f(2a－1)＝f(|2a－1|)，
又f(x)在[0,2]上单调递增，且f(|2a－1|)>f(1)，
∴|2a－1|>1，
故
∴11．定义域在数轴上关于原点对称是函数y＝f(x)为奇函数或偶函数的一个必要条件，f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是定义域上的恒等式．
2．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)?f(－x)?f(x)＝0?＝±1(f(x)≠0)．
3．(1)若f(x)＝0且y＝f(x)的定义域关于原点对称，则y＝f(x)既是奇函数又是偶函数．
(2)奇函数在对称的两个区间上有相同的单调性；偶函数在对称的两个区间上有相反的单调性.
1．下列函数为奇函数的是(　　)
A．y＝x B．y＝2x2－3
C．y＝ D．y＝x3，x∈[0,1]
A　[A中函数是奇函数；B中函数是偶函数；C、D中函数是非奇非偶函数．]
2．已知函数f(x)＝＋3，则f(x)的奇偶性为________．
既是奇函数又是偶函数　[要使函数有意义，需满足x2－2≥0,2－x2≥0，
∴x＝±，此时y＝0，因此函数图象为点，既关于原点对称又关于y轴对称，因此函数既是奇函数又是偶函数．]
3．设f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝x3＋1，则当x<0时，f(x)＝________.
－x3＋1　[当x<0时，－x>0，
∴f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1，
∵f(－x)＝f(x)，
∴f(x)＝－x3＋1.]
4．已知定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在[0,2]上单调递增，f(m)＋f(m－1)>0，求实数m的取值范围．
[解]　∵f(x)是奇函数，在[0,2]上单调递增，
∴f(x)在[－2,2]上都递增．
由f(m)＋f(m－1)>0，
∴f(m)>－f(m－1)＝f(1－m)，
由f(x)的单调性知1－m∴?∴m的取值范围为.

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