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第十八章 平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
知识
1．矩形的定义：
（1）有一个角是直角的平行四边形叫做__________，也称为长方形．
（2）矩形的定义有两个要素：①四边形是__________；②有一个角是__________．二者缺一不可．
【注意】不要错误地把定义理解为有一个角是直角的四边形是矩形，矩形是特殊的平行四边形．
2．矩形的性质：
（1）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．
（2）矩形的性质可综述为：①矩形的对边__________；
②矩形的对角相等且四个角都是__________；
③矩形的对角线__________；
④矩形是__________，对边中点所确定的直线是它的__________，矩形有__________对称轴．
（3）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质，并且分成的四个等腰三角形的面积相等．
3．直角三角形斜边上的中线的性质：
直角三角形斜边上的中线等于__________．
【注意】定理的条件有两个：一是直角三角形；二是斜边上的中线．
4．矩形的判定：
（1）有一个角是直角的__________是矩形；
（2）有三个角是__________的四边形是矩形；
（3）对角线__________的四边形是矩形．
【注意】（1）判定矩形的常见思路

（2）用定义判定一个四边形是矩形必须满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说，有一个角是直角的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
（3）用对角线判定一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线；二是平行四边形．也就是说，对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上“平行四边形”这个条件，它才是矩形．
5．菱形的定义：
（1）有一组邻边相等的平行四边形叫做__________．
菱形必须满足两个条件：一是四边形必须是平行四边形；二是邻边相等．不要错误地认为有一组邻边相等的四边形是菱形．
（2）菱形是除矩形外的又一种特殊的平行四边形，即有一组邻边相等的平行四边形．菱形的定义既是菱形的性质，也是菱形的判定方法．
6．菱形的性质：
（1）菱形具有平行四边形的所有性质．
（2）菱形的四条边都__________．
（3）菱形的两条对角线__________，并且每一条对角线__________一组对角．
（4）菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线即是它的对称轴．
【注意】菱形的两条对角线不是对称轴，对角线所在直线才是菱形的对称轴．因为对称轴是直线，对角线是线段．菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，菱形被两条对角线所分得的四个直角三角形全等．
（5）菱形的面积等于__________乘积的一半．
7．菱形的判定：
（1）一组邻边__________的平行四边形是菱形．
（2）对角线__________的平行四边形是菱形．
（3）四条边__________的四边形是菱形．
（4）对角线__________的四边形是菱形．
【注意】上述菱形的判定方法中，（1）和（2）是以平行四边形为基础的，（3）和（4）是以四边形为基础的．
8．正方形的定义：
（1）有一组邻边__________并且有一个角是__________的平行四边形叫做正方形．
（2）正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
①有一组邻边相等的平行四边形（即菱形）；
②并且有一个角是直角的平行四边形（即矩形）．
（3）正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
9．正方形的性质：
（1）正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，特别地：
①正方形的四个角都是__________，四条边都__________；
②正方形的两条对角线__________并且互相__________，每条对角线__________一组对角．
（2）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．
10．正方形的判定：
（1）根据正方形的定义；
（2）有一组邻边相等的__________是正方形；
（3）有一个角是直角的__________是正方形；
（4）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
知识参考答案：
1．（1）矩形；（2）平行四边形；直角 2．（2）①平行且相等；②直角；③互相平分且相等；④轴对称图形；对称轴；两条 3．斜边的一半 4．（1）平行四边形；（2）直角；（3）相等 5．（1）菱形
6．（2）相等；（3）互相垂直；平分；（5）两条对角线的 7．（1）相等；（2）互相垂直；（3）都相等；（4）互相垂直平分 8．（1）相等；直角 9．（1）①直角；相等；②相等；垂直平分；平分
10．（2）矩形；（3）菱形
重点
重点
矩形的性质与判定；菱形的性质与判定；正方形呃性质与判定
难点
利用矩形的性质进行证明和计算；矩形判定定理的证明及运用；正方形的性质、判定的应用方法
易错
对矩形的判定方法的理解
一、矩形的性质
1．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，即：矩形＝平行四边形＋一个内角是直角．
2．矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质，即对边互相平行，对边相等，对角相等，对角线互相平分．
【例1】如图，在矩形ABCD中，，则BD的长为
A．5 B．10 C．12 D．13
【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∠BOC=120°，∴AO=BO，∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，
∴BO=AB=5，∴BD=2BO=10．故选B．
二、矩形的判定
1．定义法；
2．对角线相等的平行四边形是矩形；
3．对角线平分且相等的四边形是矩形；
4．有三个角是直角的三角形是矩形．
【例2】下列说法正确的是
A．有一组对角是直角的四边形一定是矩形
B．有一组邻角是直角的四边形一定是矩形
C．对角线互相平分的四边形是矩形
D．对角互补的平行四边形是矩形
【答案】D
【解析】∵有一组对角是直角的四边形不一定是矩形，∴选项A不正确；
∵有一组邻角是直角的四边形不一定是矩形，∴选项B不正确；
∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项C不正确；
∵对角互补的平行四边形一定是矩形，∴选项D正确；故选D．
三、直角三角形斜边中线的性质
1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
2．直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成两个等腰三角形，这两个等腰三角形的面积相等；
3．在直角三角形中，如果遇到斜边的中点，可以考虑利用此性质，注意直角边上的中线不具备这一性质．
【例3】已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则此直角三角形斜边上的中线长为
A． B．6
C．13 D．
四、矩形中的折叠问题
矩形折叠问题中，折叠前后的两个图形对应边相等，通常建立模型利用勾股定理进行求解．
【例4】如图，长方形纸片中，，，折叠纸片使边与对角线重合，折痕为，则的长为
A．1 B．
C． D．2
【答案】B
【解析】如图，设点A落在BD上的点A′处，连接GA′，
∵≌，∴，．，
在中，∵，，，∴，
∴，设，
在中，∵，∴，
∴，，，解得：，
∴AG=A′G=．故选B．
五、菱形的性质及应用
1．菱形具有平行四边形的一切性质．
2．菱形的四条边都相等，菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
【例5】在菱形ABCD中，M，N分别是边BC，CD上的点，且AM=AN=MN=AB，则∠C的度数为
A．120° B．100°
C．80° D．60°
【答案】B
六、菱形的面积
菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半．
【例6】已知一个菱形的周长是，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵菱形四边相等，∴边长为．∵两边对角线的比是4∶3，
根据勾股定理，得对角线长为和．∴．故选B．
七、菱形的判定
菱形四种判定方法中，两种是以平行四边形为基础的，另两种是以四边形为基础的．
【例7】如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF ．
（1）求证：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE；
（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形．
【解析】（1）在△ABC和△ADC中，∵AB=AD，CB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠BAC=∠DAC，
在△ABF和△ADF中，∵AB=AD，∠BAC=∠DAC，AF=AF，
∴△ABF≌△ADF，∴∠AFB=∠AFD．
∵∠CFE=∠AFB，∴∠AFD=∠CFE；
（2）∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD，
∵∠BAC=∠DAC，∴∠ACD=∠CAD，∴AD=CD，
∵AB=AD，CB=CD，∴AB=CB=CD=AD，∴四边形ABCD是菱形．
八、正方形的性质
正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
【例8】如图，正方形ABCD满足∠AEB=90°，AE=12，BE=16，则阴影部分的面积是
A．400 B．192
C．208 D．304
【答案】D
【解析】在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=12，BE=16，由勾股定理得：AB==20，则正方形ABCD的边长为20，所以阴影部分的面积为20×20–×12×16=304，故选D．
九、正方形的判定
1．对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；
2．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；
3．对角线互相垂直的矩形是正方形；
4．对角线相等的菱形是正方形．
【例9】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC垂直平分线分别交BC，AB于D、E，过C作CF∥AB，交BC的垂直平分线于F，连接BF．
（1）判定四边形BECF的形状，并证明；
（2）当∠A满足什么条件时，四边形BECF是正方形？证明你的结论．
【解析】（1）四边形BECF是菱形，
∵EF是BC垂直平分线，∴FB=FC，EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，
∵CF∥AB，∴∠FCB=∠EBC，∴∠FCB=∠ECB，
在△FCD和△ECD中，，
∴△FCD≌△ECD，∴CF=CE，∴FB=FC=CE=BE，
∴四边形BECF是菱形．
（2）当∠A=45°时，四边形BECF是正方形，
∵∠ACB=90°，EF是BC垂直平分线，∴EF∥AC，∴∠FEB=∠A=45°，
∵四边形BECF是菱形，∴∠FEB=∠FEC=45°，∴∠BEC=90°，
∴四边形BECF是正方形．
基础训练
1．下列条件中，能判定一个四边形为菱形的条件是
A．对角线互相平分的四边形 B．对角线互相垂直且平分的四边形
C．对角线相等的四边形 D．对角线相等且互相垂直的四边形
2．菱形的对角线长分别为3和4，则该菱形的面积是
A．6 B．8 C．12 D．24
3．在四边形中，能判定这个四边形是正方形的条件是
A．对角线相等，对边平行且相等
B．一组对边平行，一组对角相等
C．对角线互相平分且相等，对角线互相垂直
D．一组邻边相等，对角线互相平分
4．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ADB=30°，AB=4，则OC=
A．5 B．4 C．3.5 D．3
5．如图，已知在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE=3∶1，则∠EAC的度数是
A．18° B．36°
C．45° D．72°
6．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm，8 cm，则下列结论不正确的是
A．斜边长为10 cm B．周长为25 cm
C．面积为24 cm2 D．斜边上的中线长为5 cm
7．在四边形ABCD中，对角线互相平分，若添加一个条件使得四边形ABCD是矩形，则这个条件可以是
A． B． C． D．
8．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=4，若沿折痕EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为
A． B． C． D．15
9．如图，菱形ABCD的对角线交于点O，AC=8 cm，BD=6 cm，则菱形的高为
A．cm B．cm C．cm D．cm
10．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3，那么菱形ABCD的周长是
A．30 B．24 C．18 D．6
11．在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则∠EAF等于
A．60° B．55° C．45° D．30°
12．如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边三角形CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD的度数是
A．75° B．60° C．54° D．67.5°
13．如图，平行四边形ABCD中，AD=5，AB=3，若AE平分∠BAD交边BC于点E，则线段EC的长度为_________．
14．如图是一个平行四边形，当∠α的度数为________度时，两条对角线长度相等．
15．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB=6 cm，BC=8 cm，则△AEF的周长为________cm．
16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，线段AD的垂直平分线交AC于点N，△CND的周长是10，则AC的长为__________．
17．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°，则点D的坐标为__________．
18．如图，等边三角形在正方形内，连接，则__________．
19．已知菱形ABCD中，对角线AC=16 cm，BD=12 cm，BE⊥DC于点E，求菱形ABCD的面积和BE的长．
20．如图，已知四边形ABCD是正方形，延长BC到E，在CD上截取CF=CE，BF交DE于G，求证：BG⊥DE．

21．已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点．
（1）求证：△BED是等腰三角形：
（2）当∠BCD=________°时，△BED是等边三角形．
22．如图，四边形中，，，，是边的中点，连接延长与的延长线相交于点，连接．
（）求证：四边形是平行四边形．
（）已知，求四边形的面积．
23．如图，在矩形ABCD中，AD=12，AB=7，DF平分∠ADC，AF⊥EF．
（1）求证：AF=EF；
（2）求EF长．
24．如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD，BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）当AB∶AD=__________时，四边形MENF是正方形，并说明理由．
能力测试
25．如图，矩形ABCD沿着AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果，则等于
A．15° B．30°
C．45° D．60°
26．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，若AB=8，AC=6，则△DEF的周长为
A．12 B．13
C．14 D．15
27．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，∠DHO=20°，则∠CAD的度数是
A．20° B．25° C．30° D．40°
28．如图，以A点为圆心，以相同的长为半径作弧，分别与射线AM，AN交于B，C两点，连接BC，再分别以B，C为圆心，以相同长（大于BC）为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，BD，CD．则下列结论错误的是
A．AD平分∠MAN B．AD垂直平分BC
C．∠MBD=∠NCD D．四边形ACDB一定是菱形
29．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC=2∶1，则线段CH的长是
A．3 B．4 C．5 D．6
30．如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边正方形EFGH的周长为
A． B．2
C．+1 D．2+1
31．如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的中点，将△BCE沿CE翻折得到△FCE，连接AF．若∠EAF=75°，那么∠BCF的度数为__________．
32．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE=5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为____________．
33．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF.给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE=∠BAP；⑤PD=EC．其中正确结论的序号是____________．
34．如图，正方形ABCD中，AB=，点E、F分别在BC、CD上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°．
（1）求证：DF+BE=EF；
（2）求∠EFC的度数；
（3）求△AEF的面积．

35．如图1，四边形ABCD是平行四边形，BD是它的一条对角线，过顶点A、C分别作AM⊥BD，CN⊥BD，M，N为垂足．
（1）求证：AM=CN；
（2）如图2，在对角线DB的延长线及反向延长线上分别取点E，F，使BE=DF，连接AE、CF，试探究：当EF满足什么条件时，四边形AECF是矩形？并加以证明．
真题练习
36．（2019·浙江台州）下列命题正确的是
A．对角线相等的四边形是平行四边形
B．对角线相等的四边形是矩形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
37．（2019·江苏淮安）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是
A．20 B．24 C．40 D．48
38．（2019·山东烟台）对角线长分别为6和8的菱形ABCD如图所示，点O为对角线的交点，过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕．若B'M=1，则CN的长为
A．7 B．6 C．5 D．4
39．（2018·四川内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为
A．31° B．28° C．62° D．56°
40．（2019·湖北宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于
A．1 B． C． D．
41．（2019·黑龙江牡丹江）如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE=1，BC=3，则CD的长为
A．6 B．5 C．4 D．3
42．（2019·广西贵港）如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=6，E是BC边的中点，P，M分别是AC，AB上的动点，连接PE，PM，则PE+PM的最小值是
A．6 B．3 C．2 D．4.5
43．（2019·湖南湘潭）如图，已知点E、F、G．H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形
44．（2019·浙江嘉兴）用尺规在一个平行四边形内作菱形，下列作法中错误的是
A． B．
C． D．
45．（2019·四川甘孜州）如图，在菱形中，对角线与相交于点
于点，交于点，则的长为__________．
46．（2019·辽宁锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH.若OB=4，S菱形ABCD=24，则OH的长为__________．
47．（2019·四川攀枝花）如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，矩形内部有一动点P满足S△PAB=S矩形ABCD，则点P到A、B两点的距离之和PA+PB的最小值为__________．
48．（2019·辽宁葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为__________．
49．（2019·四川广安）如图，四边形ABCD是正方形，M为BC上一点，连接AM，延长AD至点E，使得AE=AM，过点E作EF⊥AM，垂足为F，求证：AB=EF．
50．（2019·湖南郴州）如图，在ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．
51．（2019·辽宁沈阳）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．
（1）求证：四边形OCED是矩形；
（2）若CE=1，DE=2，ABCD的面积是__________．
参考答案
1．【答案】B
【解析】A选项中，根据“对角线互相平分”只能判定该四边形是平行四边形；
B选项中，根据“对角线互相垂直平分”能判定该四边形是菱形；
C选项中，根据“对角线相等”不能判定该四边形是菱形；
D选项中，根据“对角线相等且互相垂直”不能判定该四边形是菱形．故选B．
4．【答案】B
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC，∠BAD=90°， ∴AC=BD=2AB=8，∴OC=AC=4．故选B．
5．【答案】C
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠DAE∶∠BAE=3∶1，∴∠BAE=×90°=22.5°，
∵AE⊥BD，∴∠AEB=90°，∴∠OAB=∠OBA=90°–22.5°=67.5°，
∴∠EAC=67.5°–22.5°=45°．故选C．
6．【答案】B
【解析】∵在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6 cm，8 cm，∴直角三角形的面积=×6×8=24（cm2），故选项C不符合题意；
∴斜边故选项A不符合题意；
∴斜边上的中线长为5 cm，故选项D不符合题意；
∵三边长分别为6 cm，8 cm，10 cm，∴三角形的周长=24 cm，故选项B符合题意，故选B．
8．【答案】B
【解析】如图，连接AF．根据折叠的性质，得EF垂直平分AC，则设，则，在中，根据勾股定理，得，解得．
在中，根据勾股定理，得AC=5，则AO=2.5．
在中，根据勾股定理，得
根据全等三角形的性质，可以证明则故选B．
9．【答案】B
【解析】∵菱形ABCD的对角线∴AC⊥BD，OA=AC=4 cm，OB=BD=
3 cm，根据勾股定理，（cm）．设菱形的高为h，则菱形的面积，即，解得，即菱形的高为cm．故选B．
10．【答案】B
【解析】∵P、Q分别是AD、AC的中点，∴PQ是△ADC的中位线，∴DC=2PQ=6．
又∵在菱形ABCD中，AB=BC=AD=CD，∴C菱形ABCD=6+6+6+6=24．故选B．
11．【答案】A
【解析】如图，连接AC，∵AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，∴AB=AC，AD=AC．又∵在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD，∴AB=BC=CD=AD=AC．∴△ABC和△ADC都是等边三角形．∴∠BAC=∠DAC=60°，∴∠EAC=∠BAC=30°，∠FAC=∠DAC=30°，∴∠EAF=∠EAC+
∠FAC=60°．故选A．
12．【答案】B
【解析】如图，连接BD，由已知条件可得；∠BCE=∠BCD+∠DCE=90°+60°=150°，BC=EC，∴∠EBC=∠BEC=（180°–∠BCE）=15°，∵∠BCM=∠BCD=45°，∴∠BMC=180°–（∠BCM+∠EBC）=120°，∴∠AMB=180°–∠BMC=60°，∵正方形ABCD是关于AC对称的，M在AC上，∴BM=DM，∴∠AMD=∠AMB=60°，故选B．
13．【答案】2
【解析】∵AE平分∠BAD交BC边于点E，∴∠BAE=∠EAD，
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC=5，∴∠DAE=∠AEB，
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=3，∴EC=BC–BE=5–3=2，故答案为：2．
14．【答案】90
【解析】设∠α的度数为m度时，该平行四边形的两条对角线长度相等.
∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴当∠α的度数为m度时，该平行四边形应为矩形，
∵该平行四边形为矩形，∴∠α的度数应为90°，∴m=90．故答案为：90．
15．【答案】9
【解析】由勾股定理得，AC===10（cm），
∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=AC=×10=5（cm），
∵点E、F分别是AO、AD的中点，
∴EF=OD=cm，AF=×8=4（cm），AE=OA=cm，
∴△AEF的周长=+4+=9（cm）．故答案为：9．
16．【答案】6
【解析】∵菱形ABCD中，AB=4，AD的垂直平分线交AC于点N，∴CD=AB=4，AN=DN，
∵△CDN的周长=CN+CD+DN=10，∴CN+4+AN=10，∴CN+AN=AC=6．故答案为：6．
17．【答案】（2+，）
【解析】过点D作DE⊥x轴，垂足为E．在中，，∴，
∴，∴点D坐标为，故答案为：．
18．【答案】15°
【解析】∵△是正三角形，∴．又∵正方形，
∴，，∴，
∴，∴．故答案为：15°．
19．【解析】如图，∵菱形ABCD的对角线相交于点O，AC=16 cm，BD=12 cm，
∴AC⊥BD于点O，CO=8 cm，DO=6 cm，S菱形=（cm2），
∴CD=（cm），
∵BE⊥CD于点E，
∴BE·CD=96，即10BE=96，
∴BE=（cm）．
20．【解析】BC=CD，∠BCF=∠DCE=90°，CF=CE，
∴△BCF≌△DCE，∴∠FBC=∠EDC.
又∵∠BFC=∠DFG，∴∠DGF=∠BCF=90°，
即BG⊥DE．
22．【解析】（）∵，
∴，∴，
又∵，，
∴≌，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形．
（）如图，过作于，
∴∠DHB=∠A=∠ABH=90°，
∴四边形ADHB是矩形，∴，
∵，∴，
在中，∵，∴，
∴．
23．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=DC=7，BC=AD=12，∴∠BAF+∠AFB=90°，
∵DF平分∠ADC，∴∠ADF=∠CDF=45°，∴△DCF是等腰直角三角形，
∴FC=DC=7，∴AB=FC，
∵AF⊥EF，∴∠AFE=90°，∴∠AFB+∠EFC=90°，∴∠BAF=∠EFC，
在△ABF和△FCE中，，
∴△ABF≌△FCE（ASA），∴EF=AF；
（2）BF=BC–FC=12–7=5，在Rt△ABF中，由勾股定理得：
AF=，
则EF=AF=．
24．【解析】（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°.
∵M为AD的中点，∴AM=MD，∴△ABM≌△DCM.
（2）1∶2，理由：∵AB∶AD=1∶2，∴AB=AD．
∵AM=AD，∴AB=AM，∴∠ABM=∠AMB．
∵∠A=90°，∴∠AMB=45°.
∵△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，∠DMC=∠AMB=45°，∴∠BMC=90°.
∵E，F，N分别是BM，CM，BC的中点，
∴EN∥CM，FN∥BM，EM=MF，
∴四边形MENF是菱形．
∵∠BMC=90°，
∴菱形MENF是正方形．
25．【答案】A
【解析】因为∠EAF是△DAE沿AE折叠而得，所以∠EAF=∠DAE．
又因为在矩形中即
又所以故选A．
26．【答案】A
【解析】在△ABC中，由勾股定理可得：
AD是BC边上的高，E、F分别是AB、AC边的中点，
则：
的周长为：．故选A．
27．【答案】A
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，
∴OH=OB=BD，∵∠DHO=20°，∴∠OHB=90°–∠DHO=70°，∴∠ABD=∠OHB=70°，
∴∠CAD=∠CAB=90°–∠ABD=20°．故选A．
28．【答案】D
【解析】A、由作法可得AD平分∠MAN，所以A选项的结论正确；
B、因为AB=AC，DB=DC，所以AD垂直平分BC，所以B选项的结论正确；
C、因为AB=AC，DB=DC，所以∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，则∠ABD=∠ACD，所以∠MBD=∠NCD，所以C选项的结论正确；
D、BA不一定等于BD，所以四边形ABDC不一定是菱形，所以D选项的结论错误．故选D．
29．【答案】B
【解析】设CH=x，因为BE∶EC=2∶1，BC=9，所以，EC=3，由折叠知，EH=DH=9–x，在Rt△ECH中，由勾股定理，得：，解得：x=4，即CH=4．故选B．
30．【答案】B
【解析】如图，连接BD，
∵正方形的面积为1，∴其边长为1，∴在中，由勾股定理得，∵点分别为和的中点，又∵四边形是正方形，∴正方形的周长为．故选B．
31．【答案】30°
【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，∵E为边AB的中点，∴AE=BE，
由折叠的性质可得：∠EFC=∠B=90°，∠FEC=∠CEB，∠FCE=∠BCE，FE=BE，
∴AE=FE，∴∠EFA=∠EAF=75°，∴∠BEF=∠EAF+∠EFA=150°，∴∠CEB=∠FEC=75°，
∴∠FCE=∠BCE=90°–75°=15°，∴∠BCF=30°，故答案为：30°．
32．【答案】3.5
【解析】∵CE=5，△CEF的周长为18，∴CF+EF=18–5=13．∵F为DE的中点，
∴DF=EF．∵∠BCD=90°，∴CF=DE，∴EF=CF=DE=6.5，∴DE=2EF=13，
∴CD==12．∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=12，O为BD的中点，∴OF是△BDE的中位线，∴OF=（BC–CE）=×（12–5）=3.5．故答案为：3.5．
33．【答案】①②④⑤
【解析】如图，连接PC，（1）∵PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，∠C=90°可得四边形PECF是矩形，∴CP=EF，∵正方形ABCD关于BD对称，点P在BD上，∴AP=CP，∴AP=EF，故①正确；（2）延长AP交EF于点H，过点P作PM⊥AB于点M，则由已知易得PM=PE，∠PMA=∠EPF=90°，结合AP=EF，可得△APM≌△FEP，∴∠EFP=∠PAM，∵∠PAM+∠APM=90°，∠APM=∠FPH，∴∠FPH+∠EFP=90°，∴∠PHF=90°，∴AP⊥EF，即②正确；（3）∵当点P在BD上不同的位置时，△APD的形状不一样，∴△APD不一定是等腰三角形，故③错误；（4）由（2）可知△APM≌△FEP,∴∠BAP=∠PFE，故④正确；（5）如图，由已知易得∠BDF=45°，∠DFP=90°，∴PD=PF，又∵PF=CE，∴PD=CE，故⑤正确.综上所述，上述5个结论中，正确的是①②④⑤．故答案为：①②④⑤．
34．【解析】（1）如图，延长EB至G，使BG=DF，连接AG，
∵正方形ABCD，∴AB=AD，∠ABG=∠ADF=∠BAD=90°，
∵BG=DF，∴△ABG≌△ADF，∴AG=AF，
∵∠BAE=30°，∠DAF=15°，∴∠FAE=∠GAE=45°，
∵AE=AE，∴△FAE≌△GAE，∴EF=EG=GB+BE=DF+BE；
（2）∵在△ADF中，∠D=90°，∠DAF=15°，∴∠AFD=90°–15°=75°，
∵△ABG≌△ADF，△AGE≌△AFE，∴∠AFE=∠AGE=∠AFD=75°，
∴∠EFC=180°–∠DFA–∠AFE=180°–75°–75°=30°；
（3）∵AB=BC=，∠BAE=30°，∴BE=1，CE=–1，
∵∠EFC=30°，∴CF=3–，∴S△CEF=CE?CF=2–3，
由（1）知，△ABG≌△ADF，△FAE≌△GAE，
∴S△AEF=S正方形ABCD–S△ADF–S△AEB–S△CEF=S正方形ABCD–S△AEF–S△CEF，
∴S△AEF=（S正方形ABCD–S△CEF）=．
35．【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∠ADM=∠CBN．
∵AM⊥BD，CN⊥BD，∴∠AMD=∠CNB=90°，
在△AMD和△CNB中，，∴△AMD≌△CNB．∴AM=CN．
（2）猜想：当EF=AC时，四边形AECF是矩形．
证明：由（1）得△AMD≌△CNB，∴DM=BN．
∵BE=DF，∴DM+DF=BN+BE，即MF=NE．
在△AMF和△CNE中，，
∴△AMF≌△CNE．∴AF=CE，∠AFE=∠CEF．∴AF∥CE且AF=CE．
即四边形AECF是平行四边形．又EF=AC，∴四边形AECF是矩形．
36．【答案】C
【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；
对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；
对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选C．
37．【答案】A
【解析】由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，则AB==5，
故这个菱形的周长L=4AB=20．故选A．
38．【答案】D
【解析】连接AC、BD，如图，
∵点O为菱形ABCD的对角线的交点，∴OC=AC=3，OD=BD=4，∠COD=90°，在Rt△COD中，CD==5，∵AB∥CD，∴∠MBO=∠NDO，在△OBM和△ODN中，，
∴△OBM≌△ODN，∴DN=BM，∵过点O折叠菱形，使B，B′两点重合，MN是折痕，∴BM=B'M=1，
∴DN=1，∴CN=CD﹣DN=5﹣1=4．故选D．
41．【答案】B
【解析】由题意得：E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，可得BE=EF=1，CF=BC=3，∠EFC=∠B=，∵ABCD为矩形，可得∠AED=∠CDF，在△AED与△FDC中有AD=CF，∠A=∠DFC=，∠AED=∠CDF，∴△AED≌△FDC，∴ED=CD，设CD的长为x，在Rt△EAD中，有，即，解得x=5，故选B．
42．【答案】C
【解析】如图，作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′M⊥AB于点M，交AC于点P，
则点P、M即为使PE+PM取得最小值的点，则有PE+PM=PE′+PM=E′M，∵四边形ABCD是菱形，
∴点E′在CD上，∵AC=6，BD=6，∴AB=，由S菱形ABCD=AC·BD=AB·E′M得×6×6=3·E′M，解得E′M=2，即PE+PM的最小值是2，故选C．
43．【答案】B
【解析】如图，连接AC、BD．AC交FG于L．
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵DH=HA，DG=GC，∴GH∥AC，，同法可得：，EF∥AC，∴GH=EF，GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形，同法可证：GF∥BD，∴∠OLF=∠AOB=90°，∵AC∥GH，∴∠HGL=∠OLF=90°，∴四边形EFGH是矩形．故选B．
44．【答案】C
【解析】A．∵AC是线段BD的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°．∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形ABCD是菱形．故A正确；
B．由作图可知：AD=AB=BC．∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AD=AB，∴四边形ABCD是菱形．故B正确；
C．由作图可知AB、CD是角平分线，可以得到ABCD是平行四边形，不能得到ABCD是菱形．故C错误；
D．由作图可知，对角线AC平分对角，∴四边形ABCD是菱形．故D正确．故选C．
45．【答案】
【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=AC=×8=4，DO=BD=×6=3，∴AD==5，∵S菱形ABCD=AC·BD=AD·EF，∴×8×6=5EF，∴EF=，故答案为：．
46．【答案】3
【解析】∵四边形ABCD是菱形，OB=4，∴OA=OC，BD=2OB=8．∵S菱形ABCD=24，∴AC=6．∵AH⊥
BC，OA=OC，∴OH=AC=3．故答案为：3．
47．【答案】4
【解析】设△ABP中AB边上的高是h．∵S△PAB=S矩形ABCD，∴AB·h=AB·AD，∴h=AD=2，
∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ABE中，∵AB=4，AE=2+2=4，∴BE=，即PA+PB的最小值为4．故答案为：4．
48．【答案】（2，﹣3）
【解析】∵四边形OABC是菱形，∴A、C关于直线OB（x轴）对称，∵A（2，3），∴C（2，﹣3），
故答案为：（2，﹣3）．
49．【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠EAF=∠BMA，
∵EF⊥AM，
∴∠AFE=90°=∠B，
在△ABM和△EFA中，，
∴△ABM≌△EFA（AAS），
∴AB=EF．
50．【解析】∵在ABCD中，O为对角线BD的中点，
∴BO=DO，∠EDB=∠FBO，
在△EOD和△FOB中，，
∴△DOE≌△BOF（ASA），∴OE=OF，
又∵OB=OD，∴四边形EBFD是平行四边形，
∵EF⊥BD，∴四边形BFDE为菱形．
51．【解析】（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴∠COD=90°．
∵CE∥OD，DE∥OC，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，则CE=OD=1，DE=OC=2．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC=2OC=4，BD=2OD=2，
∴菱形ABCD的面积为：AC·BD=×4×2=4，故答案为：4．

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