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三角形及其性质（提高）知识讲解
【学习目标】
1. 理解三角形及与三角形有关的概念,掌握它们的文字、符号语言及图形表述方法．
2. 理解三角形内角和定理的证明方法；
3. 掌握并会把三角形按边和角分类
4. 掌握并会应用三角形三边之间的关系．
5. 理解三角形的高、中线、角平分线的概念，学会它们的画法．
6. 对三角形的稳定性有所认识，知道这个性质有广泛的应用．
【要点梳理】
要点一、三角形的定义
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形．
要点诠释：
（1）三角形的基本元素：
①三角形的边：即组成三角形的线段；
②三角形的角：即相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角；
③三角形的顶点：即相邻两边的公共端点.
（2）三角形的定义中的三个要求：“不在同一条直线上”、“三条线段”、“首尾顺次相接”.
（3）三角形的表示：三角形用符号“△”表示，顶点为A、B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”，注意单独的△没有意义；△ABC的三边可以用大写字母AB、BC、AC来表示，也可以用小写字母a、b、c来表示，边BC用a表示，边AC、AB分别用b、c表示．21*cnjy*com
要点二、三角形的内角和
三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．
要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：
①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；
②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；
③求一个三角形中各角之间的关系．
要点三、三角形的分类
1.按角分类：
要点诠释：
①锐角三角形：三个内角都是锐角的三角形;
②钝角三角形：有一个内角为钝角的三角形.
2.按边分类：
要点诠释：
①不等边三角形：三边都不相等的三角形；
②等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的两边都叫做腰，另外一边叫做底边，两腰的夹角叫顶角，腰与底边夹角叫做底角;【21教育名师】
③等边三角形：三边都相等的三角形.
要点四、三角形的三边关系
定理：三角形任意两边之和大于第三边.
推论：三角形任意两边之差小于第三边.
要点诠释：
（1）理论依据：两点之间线段最短.
（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．
（3）证明线段之间的不等关系．
要点五、三角形的三条重要线段
三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下：21-cnjy*com
线段名称
三角形的高
三角形的中线
三角形的角平分线
文字语言
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段．
三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段．
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．
图形语言
作图语言
过点A作AD⊥BC于点D．
取BC边的中点D，连接AD．
作∠BAC的平分线AD，交BC于点D．
标示图形
符号语言
1．AD是△ABC的高．
2．AD是△ABC中BC边上的高．
3．AD⊥BC于点D．
4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．
(或∠ADC＝∠ADB＝90°)
1．AD是△ABC的中线．
2．AD是△ABC中BC边上的中线．
3．BD＝DC＝BC
4．点D是BC边的中点．
1．AD是△ABC的角平分线．
2．AD平分∠BAC，交BC于点D．
3．∠1＝∠2＝∠BAC．
推理语言
因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．
(或∠ADB＝∠ADC＝90°)
因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC．
因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．
用途举例
1．线段垂直．
2．角度相等．
1．线段相等．
2．面积相等．
角度相等．
注意事项
1．与边的垂线不同．
2．不一定在三角形内．
—
与角的平分线不同．
重要特征
三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点．
一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点．
一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点．
要点六、三角形的稳定性
??? 三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性。
要点诠释：
（1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．
?（2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．
??（3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形．
【典型例题】
类型一、三角形的内角和
1．在△ABC中，若∠A＝∠B＝∠C，试判断该三角形的形状．
【思路点拨】由∠A＝∠B＝∠C，以及∠A+∠B+∠C＝180°，可求出∠A、∠B和
∠C的度数，从而判断三角形的形状．
【答案与解析】
解：设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x．
由于∠A+∠B+∠C＝180°，即有x+2x+3x＝180°．
解得x＝30°．故∠A＝30°．∠B＝60°，∠C＝90°．
故△ABC是直角三角形．
【总结升华】本题利用设未知数的方法求出三角形三个内角的度数，解法较为巧妙．
举一反三：
【变式1】（2015春?泰兴市期末）如图，BD是∠ABC的平分线，DE∥CB，交AB于点E，∠A=45°，∠BDC=60°，求△BDE各内角的度数．
【答案】
解：∵∠A=45°，∠BDC=60°，
∴∠ABD=∠BDC﹣∠A=15°．
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=∠EBD=15°，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBC=15°；
∴∠BED=180°﹣∠EBD﹣∠EDB=150°．
【高清课堂：与三角形有关的角 练习（3）】
【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有 对互余的角？有 对相等的锐角？ ?
【答案】3,2．
2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?
【思路点拨】按△ABC为锐角三角形和钝角三角形两种情况，分类讨论．
【答案与解析】
解：分两种情况讨论：
（1）当△ABC为锐角三角形时，如图所示，在△ABD中，
∵ BD是AC边上的高(已知)，
∴ ∠ADB＝90°(垂直定义)．
又∵ ∠ABD＝30°(已知)，
∴ ∠A＝180°-∠ADB-∠ABD＝180°-90°-30°＝60°．
又∵ ∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠ABC+∠C＝120°，
又∵ ∠ABC＝∠C，∴ ∠C＝60°．
(2)当△ABC为钝角三角形时，如图所示．在直角△ABD中，
∵ ∠ABD＝30°(已知)，所以∠BAD＝60°．
∴ ∠BAC＝120°．
又∵ ∠BAC+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠ABC+∠C＝60°．
∴ ∠C＝30°．
综上，∠C的度数为60°或30°．
【总结升华】在解决无图的几何题的过程中，只有正确作出图形才能解决问题．这就要求解答者必须具备根据条件作出图形的能力；要注意考虑图形的完整性和其他各种可能性，双解和多解问题也是我们在学习过程中应该注意的一个重要环节．21世纪教育网
类型二、三角形的分类
3.一个三角形一个内角的度数是108°，这个三角形是（ ）三角形；一个三角形三条边的长度分别是7cm，8cm，7cm，这个三角形是（ ）三角形.21cnjy.com
【答案】钝角；等腰
举一反三：
【变式】一个等腰三角形的边长为5cm和4cm，围成这个等腰三角形至少需要（ ）cm长的绳子，最多需要（ ）cm长绳子（接头忽略不计）.www-2-1-cnjy-com
【思路点拨】对于所给边长要分类讨论：当4cm为腰长时，需要绳子的长度最短；当5cm为腰长时，需要绳子的长度最长.
【答案】13；14
类型三、三角形的三边关系
4. （2015春?太康县期末）在△ABC中，AB=9，AC=2，并且BC的长为偶数，求△ABC的周长．
【答案与解析】
解：根据三角形的三边关系得：
9﹣2＜BC＜9+2，
即7＜BC＜11，
∵BC为偶数，
∴AC=8或10，
∴△ABC的周长为：9+2+8=19或9+2+10=21．
【总结升华】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系，还要注意第三边是偶数这一条件．21*教*育*名*师
举一反三：
【变式】三角形的三边长为2，x-3，4，且都为整数，则共能组成　　　　 个不同的三角形.当x为　　　　 时，所组成的三角形周长最大.2-1-c-n-j-y
【答案】三；8 (由三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，有4-25.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．
(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?
(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?
【答案与解析】
解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，
在△ABE中，AB+AE＞BE；
在△EOC中，OE+EC＞OC，
两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．
由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．
所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．
(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．
又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．
【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．
举一反三：
【变式】若五条线段的长分别是1cm、2cm、3cm、4cm、5cm,则以其中三条线段为边可构成______个三角形.
【答案】3.
类型四、三角形中的重要线段
6.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．
【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．
【答案与解析】
解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝．
(1)若AB+AD＝12，即，所以x＝8，
即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．
此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．
(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即，所以x＝10．
即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．
显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．
综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．
【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．www.21-cn-jy.com
【高清课堂：与三角形有关的线段 例5、】
举一反三：
【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.
【答案】
解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．
方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．
方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．
类型五、三角形的稳定性
7. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【答案与解析】
解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。【21教育】
【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.
举一反三：
【变式】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?
【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．
全等三角形的概念和性质（提高）
责编：杜少波
【学习目标】
1．理解全等三角形及其对应边、对应角的概念；能准确辨认全等三角形的对应元素.
2．掌握全等三角形的性质；会用全等三角形的性质进行简单的推理和计算，解决某些实际问题.
【要点梳理】
要点一、全等形
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等形.
要点诠释：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.两个全等形的周长相等，面积相等.
要点二、全等三角形能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.
要点三、对应顶点，对应边，对应角
1. 对应顶点，对应边，对应角定义
两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边，重合的角叫对应角.
要点诠释：
在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上，这样容易找出对应边、对应角.如下图，△ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角.
2. 找对应边、对应角的方法
（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
（3）有公共边的，公共边是对应边；
（4）有公共角的，公共角是对应角；
（5）有对顶角的，对顶角一定是对应角；
（6）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角），等等.
要点四、全等三角形的性质　　全等三角形的对应边相等；
全等三角形的对应角相等；
要点诠释：全等三角形对应边上的高相等，对应边上的中线相等，周长相等，面积相等.全等三角形的性质是今后研究其它全等图形的重要工具.
【典型例题】
类型一、全等形和全等三角形的概念
1、请观察下图中的6组图案，其中是全等形的是__________.
【答案】（1）（4）（5）（6）；
【解析】（1）（5）是由其中一个图形旋转一定角度得到另一个图形的，（4）是将其中一个图形翻折后得到另一个图形的，（6）是将其中一个图形旋转180°再平移得到的，（2）（3）形状相同，但大小不等.
【总结升华】是不是全等形，既要看形状是否相同，还要看大小是否相等.
举一反三：
【变式1】全等三角形又叫做合同三角形，平面内的合同三角形分为真正合同三角形与镜面合同三角形，假设△ABC和△A1B1C1是全等(合同)三角形，点A与点A1对应，点B与点B1对应，点C与点C1对应，当沿周界A→B→C→A，及A1→B1→C1→A1环绕时，若运动方向相同，则称它们是真正合同三角形(如图1)，若运动方向相反，则称它们是镜面合同三角形(如图2)，两个真正合同三角形都可以在平面内通过平移或旋转使它们重合，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，下列各组合同三角形中，是镜面合同三角形的是( )
【答案】B；
提示：抓住关键语句，两个镜面合同三角形要重合，则必须将其中一个翻转180°，B答案中的两个三角形经过翻转180°就可以重合，故选B；其它三个选项都需要通过平移或旋转使它们重合.
类型二、全等三角形的对应边，对应角　
　2、（2016春?新疆期末）如图，△ABC≌△AEF，那么与∠EAC相等的角是（ ）
A．∠ACB B. ∠BAF C. ∠CAF D. ∠AFE
【答案】B
【解析】∵△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC-∠CAF＝∠EAF-∠CAF，
即∠BAF=∠EAC.
【总结升华】全等三角形的对应顶点的字母放在对应位置上容易确定出对应边或对应角.
类型三、全等三角形性质　
3、（2014秋?盐城期中）如图，△ABD≌△EBC，AB=3cm，BC=6cm，
（1）求DE的长．
（2）若A、B、C在一条直线上，则DB与AC垂直吗？为什么？

【思路点拨】（1）根据全等三角形对应边相等可得BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，然后根据DE=BD﹣BE代入数据进行计算即可得解；（2）DB⊥AC．根据全等三角形对应角相等可得∠ABD=∠EBC，又A、B、C在一条直线上，根据平角的定义得出∠ABD+∠EBC=180°，所以∠ABD=∠EBC=90°，由垂直的定义即可得到DB⊥AC．21教育网
【答案与解析】
解：（1）∵△ABD≌△EBC，
∴BD=BC=6cm，BE=AB=3cm，
∴DE=BD﹣BE=3cm；
（2）DB⊥AC．理由如下：
∵△ABD≌△EBC，
∴∠ABD=∠EBC，
又∵∠ABD+∠EBC=180°，
∴∠ABD=∠EBC=90°，
∴DB⊥AC．
【总结升华】本题主要考查了全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．也考查了平角的定义与垂直的定义，熟记性质与定义是解题的关键．21·cn·jy·com
举一反三：
【变式】（2014春?吉州区期末）下列命题中：（1）形状相同的两个三角形是全等形；（2）在两个全等三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，其中真命题的个数有（　 　）【21·世纪·教育·网】
　A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【答案】C；
提示：（1）形状相同、大小相等的两个三角形是全等形，而原说法没有指出大小相等这一点，故（1）错误；（2）在两个全等三角形中，对应角相等，对应边相等，而非相等的角是对应角，相等的边是对应边，故（2）错误；（3）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故（3）正确．综上可得只有（3）正确．故选C．【21cnj*y.co*m】
【高清课堂：全等三角形的概念和性质 例14】
4、 如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，∠α的度数是_________.21·世纪*教育网
【思路点拨】（1）由∠1，∠2，∠3之间的比例关系及利用三角形内角和可求出∠1，∠2，∠3的度数；（2）由全等三角形的性质求∠EBC，∠BCD的度数；（3）运用外角求∠α的度数.
【答案】∠α＝80°
【解析】∵∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，设∠1＝28，∠2＝5，∠3＝3，
∴28＋5＋3＝36＝180°，＝5°
即∠1＝140°，∠2＝25°，∠3＝15°
∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的，
∴△ABE≌△ADC≌△ABC
∴∠2＝∠ABE，∠3＝∠ACD
∴∠α＝∠EBC＋∠BCD＝2∠2＋2∠3＝50°＋30°＝80°
【总结升华】此题涉及到了三角形内角和，外角和定理，并且要运用全等三角形对应角相等的性质来解决问题.见“比例”设未知数是比较常用的解题思路.2·1·c·n·j·y
举一反三：
【变式】如图，在△ABC中，∠A:∠ABC:∠BCA ＝3:5:10，又△MNC≌△ABC，则∠BCM：∠BCN等于（ ）
A．1:2 B．1:3　 　　C．2:3 　D．1:4
【答案】D；
提示：设∠A＝3，∠ABC＝5，∠BCA＝10，则3＋5＋10＝18
＝180°，＝10°. 又因为△MNC≌△ABC，所以∠N＝∠ABC＝50°，CN＝CB，所以∠N＝∠CBN＝50°，∠ACB＝∠MCN＝100°，∠BCN＝180°－50°－50°＝80°，所以∠BCM：∠BCN＝20°：80°＝1：4.

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