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第二十六章　反比例函数
26.1　反比例函数
26.1.1　反比例函数
01　　教学目标
1.理解并掌握反比例函数的概念.
2.能判断一个给定的函数是否为反比例函数，并会用待定系数法求函数解析式.
3.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.
02　　预习反馈
阅读课本P2～3，理解反比例函数的概念，体会求反比例函数解析式及函数值的过程，完成下列预习内容.
1.小学里我们知道：如果两个变量x，y满足xy＝k(k为常数，k≠0)，那么x，y就成为反比例关系.例如，速度v、时间t与路程s之间满足vt＝s，如果路程s一定，那么速度v与时间t就成反比例关系.
2.一般地，在某一变化过程有两个变量x和y，如果对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，我们就称y是x的函数.其中，x是自变量，y是因变量.
3.形如y＝(k是常数，k≠0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是因变量.自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.
03　　名校讲坛
例1　下列函数中，哪些是反比例函数？每一个反比例函数相应的k值是多少？
①y＝2x＋1；②y＝；③y＝；④y＝－；⑤xy＝3；
⑥2y＝x；⑦xy＝－1.
答：③④⑤⑦，k值分别是，－，3，－1.
【点拨】　y＝，y＝kx－1，xy＝k是反比例函数的三种表现形式.其中k是常数，k≠0.
【跟踪训练1】　(《名校课堂》26.1.1反比例函数习题)下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是(C)
A.y＝3x
B.y＝3x＋1
C.y＝
D.y＝3x2
例2　(教材P3例1变式)已知y－2与x＋3成反比例，且当x＝2时，y＝－3.
(1)求y与x的函数解析式；
(2)当y＝7时，x的值是多少？
【解答】　(1)设y－2＝，因为当x＝2时，y＝－3，则有－5＝.
解得k＝－25，∴y＝＋2.
(2)把y＝7代入y＝＋2，得x＝－8.
【跟踪训练2】　已知y是x
的反比例函数，下列给出了x与y的一些值：
x
－1
－
1
y
2
4
－4
－2
　　(1)写出这个反比例函数的解析式；
(2)根据函数解析式完成上表.
解：设反比例函数的解析式为y＝.因为x＝－时，y＝4.所以有4＝，k＝－2.所以反比例函数的解析式为y＝.
04　　巩固训练
1.下列函数：①y＝；②y＝；③y＝－；④y＝2x－1中，是反比例函数的有(C)
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如果直角三角形的面积一定，那么下列关于这个直角三角形边的关系的说法中，正确的是(B)
A.两条直角边成正比例
B.两条直角边成反比例
C.一条直角边与斜边成正比例
D.一条直角边与斜边成反比例
3.当m
＝6时，y＝3xm－7是反比例函数.
4.列出下列问题中的函数关系式，并指出它们是什么函数.
(1)某农场的粮食总产量为1
500
t，则该农场人数y(人)与平均每人占有粮食x(t)的函数关系式；
(2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y(元)与加油量x(L)的函数关系式；
(3)小明完成100
m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的函数关系式.
解：(1)y＝，反比例函数.
(2)y＝4.75x，正比例函数.
(3)t＝，反比例函数.
05　　课堂小结
本节课我们学习了什么内容？
26.1.2　反比例函数的图象和性质
第1课时　反比例函数的图象和性质
01　　教学目标
会画出反比例函数的图象，并能说出它的性质.
02　　预习反馈
阅读课本P4～6，完成下列预习内容.
1.反比例函数的表达式是：y＝(k≠0，k为常数).
2.类比一次函数的作图象法，作反比例函数的图象的一般步骤也是：列表、描点、连线.
3.反比例函数图象是双曲线.
4.在反比例函数y＝(k≠0，k为常数)中，当k>0时，双曲线位于一、三象限；当k<0时，双曲线位于二、四象限.
03　　名校讲坛
例1　画出反比例函数y＝和y＝－的函数图象.
【解答】　函数图象画法→描点法：列表→描点→连线.
x
…
－6
－5
－4
－3
－2
－1
1
2
3
4
5
6
…
y＝
…
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
…
y＝－
…
1
1.2
1.5
2
3
6
－6
－3
－2
－1.5
－1.2
－1
…
　　　　
【跟踪训练1】　下面给出了反比例函数y＝和y＝－的图象，你知道哪个是y＝－的图象吗？为什么？
　　　　
解：右图是y＝－的图象，因为－2＜0，则y＝－的图象经过二、四象限.右图符合.
例2　(1)在同一坐标系中画出反比例函数y＝和y＝－的函数图象.
(2)观察上图，回答问题：
①每个反比例函数的图象都是由两支曲线组成的.
②函数图象分别位于哪几个象限？y随的x变化有怎样的变化？
【解答】　(1)列表→描点→连线.
(2)②y＝的图象位于第一、第三象限.每个象限内，y随x的增大而减小；y＝－的图象位于第二、第四象限.每个象限内，y随x的增大而增大.
【跟踪训练2】　(1)函数y＝的图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；
(2)函数y＝－的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；
(3)函数y＝，当x>0时，图象在第一象限，y随x的增大而减小.
04　　巩固训练
1.反比例函数y＝－的图象大致是(D)
　　　
A　　　　　　B　　　　　　C　　　
D
2.已知反比例函数y＝－，下列结论中不正确的是(B)
A.图象必经过点(1，－5)
B.y随x的增大而增大
C.图象在第二、四象限内
D.若x＞1，则－5＜y＜0
3.已知反比例函数y＝.
(1)若函数的图象位于第一、三象限，则k＜4；
(2)若在每个象限内，y随x的增大而增大，则k＞4.
05　　课堂小结
1.本节课学习了什么内容？
2.一次函数的图象及性质与反比例函数的图象及性质有何区别？
第2课时　反比例函数的性质的综合应用
01　　教学目标
1.利用反比例函数的知识分析、解决实际问题.
2.渗透数形结合思想，提高学生用函数观点解决问题的能力.
02　　预习反馈
填表分析正比例函数和反比例函数的区别.
函数
正比例函数
反比例函数
解析式
y＝kx(k≠0)
y＝(k≠0)
图象形状
直线
双曲线
k>0
位置
第一、三象限
第一、三象限
增减性
每个象限内，y随x的
增大而增大
每个象限内，y随x的增大而减小
k<0
位置
第二、四象限
第二、四象限
增减性
每个象限内，y随x的
增大而减小
每个象限内，y随x的增大而增大
03　　名校讲坛
例1　(教材P7例3)已知反比例函数的图象经过点A(2，6).
(1)这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？
(2)点B(3，4)，C(－2，－4)，D(2，5)是否在这个函数的图象上？
【解答】　(1)因为点A(2，6)在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小.
(2)设这个反比例函数的解析式为y＝，因为点A(2，6)在其图象上，所以点A的坐标满足y＝，即6＝，解得k＝12.
所以，这个反比例函数的解析式为y＝.因为点B，C的坐标都满足y＝，点D的坐标不满足y＝，所以点B，C在函数y＝的图象上，点D不在这个函数的图象上.
【跟踪训练1】　已知一个反比例函数的图象经过点A(3，－4)，那么不在这个函数图象上的点是(A)
A.(－3，－4)
B.(－3，4)
C.(2，－6)
D.(，－12)
例2　(教材补充例题)如图，已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点A(－2，m)，过点A作AB⊥x轴于点B，且△AOB的面积为4.
(1)求k和m的值；
(2)设(x，y)是该反比例函数图象上一点，当1≤x≤4时，求函数值y的取值范围.
【解答】　(1)∵△AOB的面积为4，
∴(－xA)·yA＝4，
即可得，k＝xA·yA＝－8.
令x＝－2，得m＝4.
(2)当1≤x≤4时，y随x的增大而增大，
令x＝1，得y＝－8；
令x＝4，得y＝－2.
所以－8≤y≤－2即为所求.
【跟踪训练2】　
(《名校课堂》26.1.2第1课时习题)如图，在平面直角坐标系中，将坐标原点O沿x轴向左平移2个单位长度得到点A，过点A作y轴的平行线交反比例函数y＝的图象于点B，AB＝.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若P(x1，y1)，Q(x2，y2)是该反比例函数图象上的两点，且x1y2，指出点P，Q各位于哪个象限？并简要说明理由.
解：(1)由题意，得A(－2，0)，AB＝，AB∥y轴，
∴B(－2，).
∵反比例函数y＝的图象经过点B，
∴k＝－3.
∴反比例函数的解析式为y＝－.
(2)点P在第二象限，点Q在第四象限.理由：
∵k＜0，∴在每一象限内，y随x的增大而增大.
又∵x1＜x2，y1＞y2，
∴x1＜0＜x2.
∴点P在第二象限，点Q在第四象限.
04　　巩固训练
1.反比例函数y＝的图象经过点(2，5)，若点(1，n)在反比例函数图象上，则n等于(A)
A.10
B.5
C.2
D.－6
2.下列各点在反比例函数y＝－的图象上的是(B)
A.(－，－)
B.(－，)
C.(，)
D.(，)
3.在反比例函数y＝－的图象上有三点(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，x1>x2>0>x3，则下列各式中正确的是(A)
A.y3>y1>y2
B.y3>y2>y1
C.y1>y2>y3
D.y1>y3>y2
【点拨】　因为k<0，所以图象在二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大.又x1>x2>0>x3，所以y1，y2在第四象限且0>y1>y2；y3在第二象限且y3>0，所以y3>y1>y2.
4.反比例函数y＝的图象经过点(2，－1)，则k的值为－2.
5.如图，点P是反比例函数y＝图象上的一点，PD⊥x轴于点D.则△POD的面积为1.
【点拨】　因为点P在图象上，所以n＝，即mn＝2；故S△POD＝OD·PD＝mn＝1.
6.如图，点P是反比例函数图象上的一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，若阴影部分面积为3，则这个反比例函数的关系式是y＝－.
【点拨】　设函数为y＝，而P在图象上，所以k＝mn，又阴影部分面积是|mn|＝3，函数图象在第二象限，所以k<0，即k＝－3，所以函数关系式为y＝－.
05　　课堂小结
本节课我们学习了哪些内容？
26.2　实际问题与反比例函数
01　　教学目标
1.运用反比例函数解决实际问题.
2.学会把实际问题转化为反比例函数问题.
02　　预习反馈
阅读课本P12～15，完成下列预习内容.
1.矩形面积是40
m2，设它的一边长为x(m)，则矩形的另一边长y(m)与x的函数关系是(C)
A.y＝20－x
B.y＝40x
C.y＝
D.y＝
2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时.汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是(B)
A.v＝320t
B.v＝
C.v＝20t
D.v＝
3.某厂现有300吨煤，这些煤能烧的天数y与平均每天烧的吨数x之间的函数关系是(A)
A.y＝(x＞0)
B.y＝(x≥0)
C.y＝300x(x≥0)
D.y＝300x(x＞0)
03　　名校讲坛
例1　(教材P12例1)市煤气公司要在地下修建一个容积为104
m3的圆柱形煤气储存室.
(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？
(2)公司决定把储存室的底面积S定为500
m2，施工队施工时应该向下掘进多深？
(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15
m时，公司临时改变计划，把储存室的深改为15
m，相应地，储存室的底面积应改为多少(结果保留小数点后两位)?
【解答】　(1)根据圆柱体的体积公式，有S·d＝104，变形，得S＝，即储存室的底面积S是其深度d的反比例函数.
(2)把S＝500代入S＝，得d＝20(m).
答：如果把储存室的底面积定为500
m2，施工时应向地下掘进20
m深.
(3)根据题意，把d＝15代入S＝，得S＝≈666.67(m2).
答：当储存室的深度为15
m时，储存室的底面积应改为666.67
m2才能满足需要.
【跟踪训练1】　(《名校课堂》26.2习题)学校准备在校园内修建一个矩形的绿化带，矩形的面积为定值，它的一边y(m)与另一边x(m)之间的函数关系如图所示.
(1)绿化带面积是多少？你能写出这一函数解析式吗？
(2)完成下表，并回答问题：如果该绿化带的长不得超过40
m，那么它的宽应控制在什么范围内？
x(m)
10
20
30
40
y(m)
40
20
10
解：(1)绿化带面积为10×40＝400(m2).
设该反比例函数的解析式为y＝.
∵图象经过点A(40，10)，把x＝40，y＝10代入，得10＝，解得k＝400.
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)如表.
从图中可以看出，如果长不超过40
m，那么它的宽应大于等于10
m.
例2　(教材补充例题)如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V(m3/h)与排完水池中的水所用的时间t(h)之间的函数关系图象.
(1)请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量；
(2)写出此函数的解析式；
(3)如果要6
h排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
【解答】　(1)因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例，所以根据图象提供的信息可知，此蓄水池的蓄水量为：4
000×12＝48
000(m3).
(2)因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V＝.
(3)如果要6
h排完水池中的水，那么每小时的排水量为：V＝＝8
000(m3).
【跟踪训练2】　
(《名校课堂》26.2习题)将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0).已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米.
(1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式；
(2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？
解：(1)由题意，得a＝0.1时，s＝700，
代入反比例函数关系s＝中，解得k＝sa＝70.
∴函数解析式为s＝.
(2)当a＝0.08时，s＝＝875.
答：该轿车可以行驶875千米.
例3　(教材P15例4)一个用电器的电阻是可调节的，其范围为110～220
Ω.已知电压为220
v，这个用电器的电路图如图所示.
(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？
(2)这个用电器功率范围是多少？
【解答】　(1)根据电学知识，当U＝220时，得P＝.①
(2)根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小，把电阻的最小值R＝110代入①式，得到功率的最大值P＝＝440(W)；
把电阻的最大值R＝220代入①式，得到功率的最小值P＝＝220(W).
答：用电器功率的范围为220～440
W.
【跟踪训练3】　某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p(kPa)是气体体积V(m3)的反比例函数，其图象如图所示.
(1)求这一函数的解析式；
(2)当气体体积为1
m3时，气压是多少？
(3)当气球内的气压大于140
kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少？(精确到0.01
m3)
解：(1)设p＝，
由题意，知120＝，所以k＝96.
故p＝.
(2)当V＝1
m3时，p＝＝96(kPa).
(3)当p＝140
kPa时，V＝≈0.69(m3).
答：为了安全起见，气体的体积应不少于0.69
m3.
04　　巩固训练
1.某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I(A)与电阻R(Ω)成反比例.如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为(C)
A.I＝
B.I＝
C.I＝
D.I＝－
2.某商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此贺卡的日销售单价x(元)与日销售量y(个)之间有如下关系：
日销售单价x(元)
…
3
4
5
6
…
日销售量y(个)
…
20
15
12
10
…
则y与x之间的函数关系式为y＝.
3.近视眼镜的度数y(度)与焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25
m.
(1)试求眼镜度数y与镜片焦距x之间的函数关系式；
(2)求1
000度近视眼镜镜片的焦距.
解：(1)设y＝，
把x＝0.25，y＝400代入，得400＝，
所以k＝400×0.25＝100，即所求的函数关系式为y＝.
(2)当y＝1
000时，1
000＝，解得x＝0.1.
答：1
000度近视眼镜镜片的焦距为0.1
m.
4.制作一种产品，需先将材料加热到达60
℃后，再进行操作.设该材料温度为y(℃)，从加热开始计算的时间为x(分钟).据了解，该材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系；停止加热进行操作时，温度y与时间x成反比例关系(如图所示).已知该材料在操作加工前的温度为15
℃，加热5分钟后温度达到60
℃.
(1)分别求出将材料加热和停止加热进行操作时，y与x的函数关系式；
(2)根据工艺要求，当材料的温度低于15
℃时，须停止操作，那么从开始加热到停止操作，共经历了多少时间？
解：(1)当0≤x≤5时，设y＝k1x＋b，
由得
∴y＝9x＋15.
当x≥5时，设y＝，
由x＝5时，y＝60，知k2＝300.∴y＝.
(2)当y＝15时，由15＝，得x＝20.
答：从开始加热到停止操作，共经历了20分钟.
05　　课堂小结
本节课我们学习了什么内容？

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