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2022届高三开学摸底考试数学试卷（新高考Ⅰ卷）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则(
)
A.
B.
C.
D.
2.若（i为虚数单位），则(
)
A.0
B.
C.
D.4
3.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v(单位：m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q.科学研究发现v与成正比，且当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法：
①v与的正比例系数为；
②当时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700；
③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速.
则说法正确的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
4.若，则等于(
)
A.
B.
C.
D.
5.为了提高出行效率，避免打车困难的情况，越来越多的人选择乘坐网约车.已知甲、乙、丙三人某天早上上班通过某平台打车的概率分别为，且三人互不影响，那么甲、乙、丙3人中至少有2人通过该平台打车的概率为(
)
A.
B.
C.
D.
6.如图，已知圆锥的轴截面是正三角形，是底面圆O的直径，点D在上，且，则异面直线与所成角的余弦值为(
)
A.
B.
C.
D.
7.已知函数的图像在点处的切线与直线垂直，则(
)
A.
B.
C.
D.
8.已知是椭圆的两个顶点，直线与直线AB相交于点D，与椭圆相交于E，F两点，若，则斜率k的值为(
)
A.
B.
C.或
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.2020年，我国全面建成小康社会取得伟大历史性成就，脱贫攻坚战取得了全面胜利.下图是2013—2019年我国农村减贫人数（按现行农村贫困标准统计）统计图，2019年末我国农村贫困人口仅剩的551万人也在2020年现行标准下全部脱贫.以下说法中正确的是(
)
A.2013—2020年我国农村贫困人口逐年减少
B.2013—2019年我国农村贫困人口平均每年减少了1300万人以上
C.2017年末我国农村贫困人口有3046万人
D.2014年末与2016年末我国农村贫困人口基本持平
10.已知向量，，则下列说法正确的是(
)
A.若，则
B.若，则
C.若a与b的夹角为120°，则或
D.若a与b的夹角为锐角，则
11.若定义在R上的奇函数，对任意两个不相等的实数，都有，则称函数为“H函数”，下列函数为“H函数”的是(
)
A.
B.
C.
D.
12.如图，在四棱锥中，底面ABCD，为正三角形，为直角三角形，，，，过AB的截面交PC于点E，交PD于点F.若，则(
)
A.
B.四边形ABEF为梯形
C.
D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.在的展开式中，的系数是__________.
14.在平面直角坐标系xOy中，过点作直线l与抛物线交于M，N两点，则_________.
15.若函数在上无极值，则实数m的取值范围为________.
16.对于数列，定义为数列的“好数”.已知某数列的“好数”，记数列的前n项和为，若对任意的恒成立，则实数k的取值范围为_____________.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）已知在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，.
（1）求B；
（2）若，，求的面积.
18.（12分）已知数列，，满足，，，为数列的前n项和，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）令，求数列的前n项和.
19.（12分）某大型超市为了了解节假日当天的消费情况，随机抽取了2021年元旦当天100名（男、女各50名）消费者的消费额度，并将数据整理如下：
少于300元
不少于300元
男性
13
27
女性
25
25
（1）试判断是否有99%的把握认为2021年元旦当天消费者的消费额度与性别有关？
（2）现从抽取的50名女性中任意抽取3人，记表示3人中消费额度不少于300元的人数，求的分布列和数学期望.
附：，其中.
参考数据：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
20.（12分）已知直四棱柱中，，，.
（1）求证：平面.
（2）求二面角的余弦值.
21.（12分）双曲线经过点，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为.
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P的两条直线，与双曲线C分别交于A，B两点（A，B两点不与P点重合），设直线，的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点.
22.（12分）已知函数.
（1）判断函数的零点个数；
（2）设，若，是函数的两个极值点，求实数a的取值范围及判断，，之间的关系.
答案以及解析
1.答案：B
解析：因为集合，，故.故选B.
2.答案：C
解析：由题意可得，则，故.故选C.
3.答案：A
解析：依题意，设，则有，解得，故①错误；当时，有，解得，故②错误；当时，游速，故③错误.故选A.
4.答案：A
解析：因为，所以，所以，故选A
5.答案：D
解析：记甲、乙、丙通过该平台打车分别为事件，则，所以甲、乙、丙3人中至少有2人通过该平台打车的概率.
6.答案：A
解析：如图，取的中点E，劣弧的中点F，的中点G，连接，易知，，则异面直线与所成的角是或其补角.连接，易得，不妨设，则，，，则，所以在中，，故异面直线与所成角的余弦值为.
7.答案：C
解析：由题知，因为函数的图像在点处的切线与直线垂直，所以，解得，所以.故选C.
8.答案：C
解析：由题可知，椭圆的方程为，直线AB，EF的方程分别为.设，其中，联立，故.由，得.由点D在直线AB上，得，所以或.故选C.
9.答案：ABC
解析：由题可知，2013—2020年我国农村每年减贫人数均大于0，因此贫困人口逐年减少，故选项A正确；
2013—2019年我国农村每年减贫人数的平均值为（万人)，又，故选项B正确；
2017年末我国农村贫困人口为(万人)，故选项C正确；
由于2013—2019年我国农村贫困人口每一年都大量减少，故选项D错误.
故选ABC.
10.答案：AB
解析：由，得，故A正确；
由，得，故B正确；
当a与b的夹角为时，，即，解得或.代入验证为增根，则舍去，故，故C错误；
当a与b的夹角为锐角时，有则解得且，故D错误.故选AB.
11.答案：CD
解析：对任意两个不相等的实数，
都有，
可得，
即.
若，则，可得，即，所以若函数为“H函数”，则函数为R上的奇函数，且为增函数.
对于A选项，函数的定义域为，且为偶函数，不符合题意；
对于B选项，函数为R上的非奇非偶函数，不符合题意；
对于C选项，函数的定义域为R，且该函数为R上的增函数，又，所以函数为奇函数，符合题意；
对于D选项，函数的定义域为R，且，故函数为奇函数，且在区间和上均为增函数.又函数在R上连续，所以函数为R上的增函数，符合题意.故选CD.
12.答案：ABC
解析：，，.又平面PCD，平面PCD，平面PCD.平面平面，，.，即E为PC的中点，为PD的中点，故A正确.易得四边形ABEF为梯形，故B正确.在四棱锥中，底面ABCD，平面ABCD，.
，.又，PA，平面PAD，平面PAD.又平面PAD，，故C正确.已得，若，则，与矛盾，则不成立，故D错误.选ABC.
13.答案：-189
解析：数展开式的通项，令，解得，所以的系数是.
14.答案：-3
解析：本题考查直线与抛物线的位置关系，平面向量数量积的计算.由题意，设直线的方程为，与抛物线联立并整理得，，.设，，则，.故.
15.答案：
解析：本题考查利用导数研究函数的性质.依题意，，因为，所以函数在上无极值等价于在上无变号零点.令，则，故当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，且当时，，当时，，所以，即，故实数m的取值范围为.
16.答案：
解析：由题意，得，即，①
则当时，，②
①-②得，
所以.又，即，满足上式，故数列的通项公式为，所以，显然数列为等差数列，故对任意的恒成立，，即，解得，故实数k的取值范围为.
17.答案：（1）因为，
所以.
又，所以，
即，
即.
又，所以.则由，得.
（2）由正弦定理，得，
则由余弦定理得，
解得（负值舍去），
所以.
18.答案：（1）由题可知，，
，
所以数列是首项为2，公差为2的等差数列，
所以.
由得.
（2）由（1）得，
所以.
所以
.
19.答案：(1)由题意，2×2列联表如下：
少于300元
不少于300元
总计
男性
13
37
50
女性
25
25
50
总计
38
62
100
所以，
故没有的把握认为2021年元旦当天消费者的消费额度与性别有关.
(2)由题知，的所有可能取值为0，1，2，3，
，，
，，
所以的分布列是
X
0
1
2
3
P
.
20.答案：（1）四棱柱是直四棱柱，平面ABCD.
平面ABCD，.
在四边形ABCD中，，，.
又，平面.
（2）如图，连接，记，，连接，
则平面ABCD，且.
以O为坐标原点，分别以OA，OB，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则，，，.
，，.
设平面的法向量为，则即
取，则，，
是平面的一个法向量.
同理，是平面的一个法向量.
.
由图知，二面角为锐角，所求二面角的余弦值为.
21.答案：（1）由题得双曲线C的一条渐近线方程为，虚轴的一个顶点为，
依题意得，即，
即，①
又点在双曲线C上，
所以，即，②
由①②解得，，
所以双曲线C的方程为.
（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，，
设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
所以，
整理得，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点.
22.答案：（1）由题知函数的定义域为，
对任意恒成立，当且仅当时，
，所以在上单调递增.
又，所以函数有且仅有1个零点.
（2）因为，
所以.
由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.
令，
又，且函数图像的对称轴为直线，
所以只需
解得，即实数a的取值范围为.
由，是方程的两根，得，，
故
.
又，所以.

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