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初中数学命题技术与创新
随着义务教育数学课程改革的深人，对学生数学学习的评价，从单一的“考试”转向多元化，将过程评价与结果评价相结合，定性与定量相结合，关注学生的个性差异，发挥评价的激励作用，时刻保护着学生的自尊心和自信心。但“考试”作为一种评价方式其重要性仍然是不可替代的，甚至可以影响新课程改革的实施。而“考试”中的命题能否体现新课程要求，关键之处就在于能否编制出符合新课程理念和学科课程标准要求的试题。
所以，对数学教师来说，深入研究数学命题技巧，是课改的需要，是教师反思自身教学行为，改进教学方法的重要环节之一。研究命题也是正确地发挥新课改理念下的评价功能、导向功能、选拔功能所必需的。
一、命题原则
（一）命题应突出体现基础性
《数学课程标准》（实验稿）（以下简称《标准》）中指出，初中阶段对基础知识和基本技能的评价，应遵循《标准》的基本理念，以本学段的知识与技能目标为基准，考察学生对基础知识和基本技能的理解和掌握程度。应当强调的是，学段目标是本学段结束时学生应达到的基本要求。
新课程理念要求关注学生发展，恰当考查学生的基础知识与基本技能。在新课程教学中，基础知识与基本技能依然是“基础”重要的组成部分，而且是其它基础的载体，扎实的“双基”是提高数学素养，发展创新能力与实践能力的基础，是学生发展的必要条件。命制的题目要把考查学生的数学基础知识与基本技能放在首位，针对学生在该学段的学习内容，命题要点多面广，难度适宜，着眼于基本要求，考查全体学生的基础情况，尽可能把所学过的重要概念、公式以及基础性的知识融汇其中，试题的难易度要以大部分学生都能达到的目标为底线，要按照《标准》的要求，避免偏题、怪题和死记硬背的题目，使大多数学生在练习时都能获得成功的喜悦、对数学产生浓厚的学习兴趣。同时重视课本教学，摒弃“题海战术”， 充分体现数学学科的教育价值。
评析：此题简洁、明快、美观，难易适中，较好地考查了考生对图形的观察与直观把握能力、对三角形和四边形特征的理解及基本的推理证明能力。这种基础性的几何题，体现了《课标》对考生逻辑思维能力的基本要求。
（二）命题要突出体现知识的发展性
命题在注重考查基础知识的同时，更应突出体现它的发展性。培养学生运用知识举一反三、触类旁通的能力，由于学生的认知起点不同，思维发展也不一致，对于一些思维层次比较高的学生来说，应给他们提供一些深层次思考的问题，鼓励他们向知识更深、更广处发展。为学生们提供充分施展才能的空间。
数学知识本身不仅要包括数学的一些现成结果，还包括这些结果的形成过程，学生通过这个过程，初步理解一个数学问题是怎样提出来的，一个数学概念是怎样形成的，一个数学结论是怎样获得和应用的，要在一个充满探索的过程中学习数学，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识和创新意识，从而达到素质教育的目的。因此，我们的命题要充分体现学生知识的获得过程。
（三）命题要紧密联系社会生活实践，重视考查学生的应用能力
数学来源于社会生活实际，又应用于指导实践活动。能用数学的眼光认识世界，并用数学知识和数学方法处理周围的问题，是每个人应具备的基本素养。为加强考查学生运用数学知识分析、解决简单实际问题的能力，实际应用题要取材于学生熟悉的生活实际或其他学科知识，如银行存款利率，节水节电问题，低碳生活等富有一定的实用性和挑战性，时代气息与教育价值较强的内容，这种做法有利于引导学生关注生活中的数学，关注身边的数学，培养他们从实际问题中形成抽象数学模型的能力，促进学生形成学数学、用数学、做数学的意识。
案例： 京津城际铁路将于 2008年 8月 1日开通运营，预计高速列车在北京、天津间单程直达运行时间为半小时．某次试车时，试验列车由北京到天津的行驶时间比预计时间多用了 6分钟，由天津返回北京的行驶时间与预计时间相同。如果这次试车时，由天津返回北京比去天津时平均每小时多行驶 40千米，那么这次试车时由北京到天津的平均速度是每小时多少千米？
评析：城际铁路是件新兴事物，时代气息非常浓厚，把这样一个新的事物作为背景，从中提取有效的数学信息，解决问题，有利于学生形成数学意识。
（四）命题要体现人文精神，形成良好导向
数学命题要体现“依标（标准）用本”，试题尽量源于课本，有利于使学生摆脱题海，减轻过重的学业负担。试卷要体现以学生为本的人文精神，从而使全体考生能充分发挥自己应有的水平，也使试卷能更好了解、鉴别考生的不同能力。如个别题目加注提示语，关键字眼加注着重号，以减少考生出现非知识性的错误。命制的试题要有梯度，使更多的学生通过努力，能达到合格的水平，更好地体现了“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”的理念。
( 五 ) 命题过程中还要注意以下几点：
1 ．命制的试题不超纲，要围绕双基进行命题；
2 ．既要考查学生理解和掌握“双基”的情况，又要考查学生的能力，包括解决简单的实际问题的能力，还要尽可能编写一些能对学生进行思想品德教育的试题；
3 ．提问的方式，设置的解题任务的情境要新颖，形式要多样化，不落俗套，既要有重点，又要注意知识的覆盖面；
4 ．命题的条件与结论要匹配，不能违背数学概念和原理；
5 ．应有多种解法，尽管某试题有较好解法，但不拒绝其他方法的使用；
6 ．题干表述要清楚，简单扼要，含义明确，用词准确，不能随意理解，不能模棱两可，图形要正确。提出的要求合理、准确、明了；
7 ．难易要适当，要有较高的区分度，即能保护学生的积极性，又能拉开学生的档次；
8 ．评分标准公平、合理，要求命题的制定应有利于评分标准的量化；
9 ．命题的编制要有考查的意义。
总之，命题要体现数学学科的特点，要注重考查基本知识和基本技能，要突出数学思想方法的理解与应用，努力创造探索思考的机会与空间。同时注重考查学生提出问题、理解问题，获取数学信息的能力。在命题的创新上要有所作为，既要利用各种传统题型，又要适当采用新颖的题型，使“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”的三维目标更多地融入试卷之中，使中学数学命题能充分发挥考试的导向作用，从而促进学生的全面发展。
二、命题中常用的技术指标
一般来说，测试（也称书面评价）分为两大类，水平测试（也叫过程性评价）与选拔性考试（即中、高考等选拔性评价）。
选拔性考试的实质是“选拔”，是“区分”；而过程性评价的关键却在于“诊断”，在于“过关”。
水平测试主要是指：阶段性（或单元或周或课堂小测）测试，以及学期（或学年）测试。
下面介绍有关命题中常用的几个技术指标：
1 ．效度
效度是指试卷对于一定的考试目的来说准确有效的程度。也就是命题应与教学目的和内容相适应，试卷所得分数应能真实地反映被试者水平。现代的试卷不仅要测出学生掌握知识技能的数量，而且要测出学生掌握知识技能的思路和方法。试卷的效度要落实在命题上，命题时必须注意鉴别力。这种鉴别力通常体现在命题的难度、命题范围的广度和学生解题的速度等三种测试上。
评析：本题改变了传统的逻辑证明形式，以旋转为载体，问题设计由特殊到一般，层次清晰，重点考查三角形、菱形的有关性质的同时，较好地实现了对考生观察、猜想、验证与计算能力的考查，使得本题具有较好的效度和区分度。
2. 信度
信度是指试卷可靠性程度。一般来说，考试应力求反映出考生的稳定水平，即优者获高分，劣者得低分，尽量减少随机影响。为提高信度，首先应做到命题中所涉及到的问题，作答要求，答案位置，作答时限均明确无误；其次，教师对被测试的全体学生的总体水平，应预作较准确的估计，力求命题内容适应学生的总体水平。
案例： 四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间空出的部分是一个小正方形，这样就组成了一个“赵爽弦图”（如图 1）．如果小正方形面积为 1，大正方形面积为 25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 ．
评析：本题背景取材源于经典图形，考查综合利用全等三角形性质和勾股定理的知识解直角三角形，具有较好的信度．
信度的把握可使教师对学生的学业评价更趋客观、准确，也使学生对自己学业的认识更为符合实际情况，这有助于教师改进教学方法，学生改进学习方法。
3. “一分两率”
“一分两率”指的是：平均分、及格率、优秀率。
一般来说，对于不同的测试，“一分两率”的要求是不同的，首先“一分两率”的制定要有科学性，其次一旦制定好了这个标准，命题的制订就要使得测试成绩指标在这个范围内浮动，使学生即能考出真实水平，又能有很好的区分度。
三、命题类型以及怎样命制
由于我们大多数老师更多的是要对学生进行水平测试（过程性评价），所以我们主要针对水平测试，来研究命题的编制，以及在命题过程中的注意事项。
对于水平测试都有一个共同的目的，就是为教学诊断提供依据，以导向、激励为发展性功能，即使学生找到自身不足，给学生一份自信（考出不足，考出自信）；又使教师掌握教学中的存在问题，及时调整和改进教学，及时矫正。“一切为了学生，一切为了学生的发展”。
（一）命题类型：
命题一般分为三大类：选择题、填空题、解答题。
解答题一般包括：计算题、证明题和作图题。
由于现在中考新题型中，还有探究题、动点问题、动手操作题、阅读理解题，等等，也需要我们老师在平常的教学中，注意这方面的训练。
（二）在命制过程中，通常要做好以下几项工作：
1. 学习研究大纲和教材，把握其中的精神和要求，必要时还可以参阅有关的参考资料和试卷，还应该了解学生的实际情况；
2. 编写命题计划，至少要做到心中有数：我的考试目的是什么，要考查哪些
知识点，考查的难度等级是什么，试题的形式是什么，想以什么题型出现；
3. 编写命题的同时，写出命题的答案，写答案的过程也就是试题质量的检查过程，在一些较重要的试题命制中，还要有备选题；
4. 对编出的试题要认真审查和修改，使试题和答案都科学、合理、用语准确。
案例： 在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共 40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是实验中的一组统计数据：
评析：本题围绕用频率估计概率的思想展开。第 1 小题以填空题型直接考查考生对表格信息的观察、理解和分析水平；第 2 小题的填空题型设计能直接区分出理解概率频率式定义的考生；第 3 小题是解答题型，要求考生估算盒子里黑白两种颜色球的数量。实际上题目本身已经给出了估算的方法，考生只需利用摸白球的概率就可以得到解答。这里运用解答题型设计试题能考查考生是否具备利用概率值进行估计推断，相比填空和选择题型更能保证题目的效度和信度。需要指出的是，概率值并不会因为摸球次数而变化，所以本题第 2 小题的措辞还需斟酌。
5. 制定出评分标准。
（三）下面我们将具体到三种命题类型中，来研究、分析、体会如何命题。
（ Ⅰ ）选择题
选择题的构成及适用范围：
1. 选择题的构成：
选择题由题干和多个（备用）选择项组成，一般备有 4 个选项，这些信息或多或少具有“提示”与“干扰”的双重作用。题干往往包含两部分：题设与提问指导语句。提问可以是定性提问、定量提问或二者兼具的提问。而选择项，通常是所提问题的结论或答案。
2. 选择题的优点及不足：
选择题有两个较为突出的优点：一是题目小，题型灵活，解法巧，速度快；二是评分简单，客观准确，节省评分时间，还可以采用计算机进行阅卷。
但是它也有不足：一是命题较为复杂，有较高的命题技巧和较长的命题时间；二是难以考查学生组织材料的能力和文字表达能力，更难以考查发散思维能力。另外，学生还有可能靠猜题得分。
3. 选择题型的适用范围：适合考查概念的理解、性质的运用、公式的变形、数值的计算、思维的切换，等等方面的情况，一般都是单选题。
评析：此题考查的目的是，利用不等式的性质解一元一次不等式组，并将解集表示在数轴上。
如果出题者，想要诊断学生的问题，有针对性的教学，也可以把此题转换成解答题。因为，学生有可能在解每一个不等式时出错，也可能在求解集时出错，也可能求解过程都对，但是在数轴表示时出错，不论哪个环节出错都会导致结果的错误。
命制选择题时应该注意的事项：
1. 题干中，要用精练、明确的语言把题设（已知条件）和问题陈述清楚；
2. 选择项的表述必须明确清楚，它与题干连接在一起，读起来应当顺畅，并且应当成为一个完整的语句，或者是一个完整的命题。
案例： 一对夫妇，让他们刚满周岁的孩子拼排 3块分别写有“ 20”、“ 10”、“上海世博会”的字块．假如小孩将字块横着正排，则该小孩能够排成“ 2010上海世博会”或“上海世博会 2010”的概率是（ ）
评析：选项“Ｄ．以上都不对”，明显的与题干连接在一起时，读起来不顺畅，
不能构成一个完整的命题。
3. 几个选择项之间，通常应当具有同类性（即类型相同）、相近性（即形式相近）和匀称性（即容量彼此相称）。正确的选择项多一点隐蔽的色彩，而错误的选择项尽量多一些迷惑的因素，要针对学生的弱点和可能失误的情形设置起干扰作用的选择项；
评析：学生们对于点的坐标，往往符号会出错，他们必须对点的坐标的概念非常清楚，且知道不同象限内点的坐标的符号特征，才能很快得出正确的答案。所有答案对于概念不清的学生，都具有迷惑性。
评析：本题的问题原型所对应的是由一次函数的图像、直角三角形、旋转等知识融合在一起的图形旋转前后的不变关系问题，学生得出点 的坐标的过程存在多种错误的可能，为本题设计四个选择支提供了客观的前提。由此可见，本题的干扰项具有内在必然性，因而具有较强的迷惑性，有力地保证了本题的效度。
评析：本题的问题原型是一个数形结合问题，其价值在于可用来考查学生能否运用数形结合解决问题。由于图形已经确定的给出“关于 x 的方程 的解”，解答本例出多种错误的可能较小，因而本题所设计的备选项尽管丰富，但难起迷惑作用。从这个意义上讲，本题采用选择题型不太合适，从获得正确结果的过程来看，它更适合用填空题的形式来考查。
4. 题设与结论之间的关联词、提问的指导语，既要合乎逻辑，又要无歧义，而且一般情况下应放在题干中。
案例： 观察下列几何体，主视图、左视图和俯视图都是矩形的是（ ）
评析：本题以三视图知识为载体，灵活考查考生的空间观念。本题采用选择题，对于考生解答本题具有一定的提示性，从而适当降低了题目的难度，较为有效的提高了考试结果的信度。
案例： （注，此题为单选题。）顺次连结菱形的各边中点所得到的四边形是 （　　）
A ．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
评析：这道题是有歧义的。本题的四个选择项之间具有包含关系，其中选项 A 包含 B 、 C 、 D ， A 是一定成立的， C 也正确。且在特殊情况下， B 、 D 也正确，如果这样，那就与单选题的前提相矛盾了。
案例： 下列五个实数： ， ， ， ， ，其中正数的个数为（ ） A ． 4 B． 5 C． 6 D． 7
评析：本题目的是想考查数的开方、零指数幂、乘方、三角函数、绝对值以
及实数的运算等多种概念与基本技能，但采用选择题形式却难于正确评价学生相关内容的学习情况，其中有一个计算错误就会导致最后结果的不正确，区分度不高。若将此题改成一道简单的数与式的计算题来考查可能会更加合适。
案例： 一次函数 与 的图象如图，则下列结论：
① ；② ；③当 时，　 中，正确的个数是（ ）
A ． 0 B． 1 C． 2 D． 3


评析：属于多结论选择题，题干中三个结论的判断结果是相互独立的，　因此学生结果的选择也会出现多种组合，如果是日常教学过程中的测试，可能会影响该题的考查效度。因为这道题很容易出现答案正确而过程错误的现象，但是要是阶段性考试，比如期中、期末考试，或是升学考试，从考查学生综合运用知识能力的角度看，也是一道很好的选择题。这要看我们测试的目的是什么。
（ Ⅱ ）填空题
填空题的形式及适用范围：
1. 填空题的一般形式是给出若干个条件，要求推断出一个结论，或者计算出
一个结果。也有的是给一个命题要求补充条件或结论，使之成为正确的、完整的命题。填空题的特点是只考查结果而不考查获得结果的过程。
填空题型的适用范围：较简单的推理运算问题；容易由概念、性质或图形
做出判断而严格地演绎出结果却是很难或冗繁的问题；貌似计算，实则运用概念或 性质容易揭示出其中某些数量关系的问题。

案例： 如图，△ ABC 中， AD ⊥ BC ， CE ⊥ AB ，垂足分别为 D 、 E ， AD 、 CE 交于点 H ，请你添加一个适当的条件： ____________, 使△ AEH ≌ △ CEB .
评析：这是一个条件开放试题，也是一道很好地考查学生掌握“双基”的情况，和运用“双基”解决问题的能力。在△ AEH 和△ CEB 中，由已知条件可以推出：∠ CEB ＝∠ AEH ＝ 90 °，经简单的推导可得：∠ B ＝∠ AHE 。
首先学生必须要知道“对于判定两个三角形全等，已知两对角相等，还差一个条件，而这个条件只能是一对边相等”这个事实，即利用 AAS ，也可以用 ASA ，所以找一对边相等是解决这个问题的关键。但是，在实际测试中有很多学生都缺乏这样的解题思路。这也对老师提出了要求，我们的教学方式要有所改变，要设计一些问题，教会学生逆向思维，如何去寻找条件来保证结论的成立。
案例： 三角形的每条边的长都是方程 的根，则三角形的周长是 。
（答案： 6或 10或 12。 ）
评析：本题不仅考查了一元二次方程的解法、三角形三边关系、分类讨论的数学思想、还有就是对数学问题的理解。 的根为， ，可能的情况是 2, 2, 2 、 4, 4, 4 、 2, 2, 4 、 2, 4, 4 四种情况， 学生要将几种情况都想到，且考虑了 2, 2, 4 不成立的情况，才能得出正确的结果，但仍然会有学生得到 8 这个结果，学生运用知识解决问题时，思维还不够缜密，三角形三边关系使用不熟练；还有的学生不清楚 2 和 4 是可以重复使用的，对数学问题理解不清，不知道一元二次方程的根怎样才能构成三角形的三边，致使没有答案；极少数学生计算错误导致答案错误。
案例： 在“情系灾区”自愿捐款活动中，初二某班的 30名同学的捐款情况如下表：
（ 1）问这个班级捐款总数是多少元？
（ 2）求这 30名同学捐款的平均数是多少？
注：这是一道简单的计算题，两问都是一般的简单推理运算题，也可以说是大部分学生都应该作对的题目，不能很好地对不同水平的考生进行多层次的区分。更适合作为选择题或填空题出现。
填空题的进一步发展，出现了填写答案不惟一，或更具开放性的填空题。这类问题具有较好的辨析性、探索性或开放性，以及创新意义，是对传统填空题的继承和发展。
考试的开放性体现在两个方面，一是考试方式；二是考试试题内容。考试方式的改革已有很多做法，如，将长周期作业、研究性学习课题纳人到考试范畴和记分，这些无疑是很有价值的，但还难为一般人 ( 社会 ) 的普遍认同，我们这里也不去研究它。但是将试题开放，对考查学生对数学知识的理解深度、考查学生创新意识等方面起到了积极的作用。同时也被越来 越多的老师所喜爱并尝试。
案例： 小英对代数式 3a 给出了这样的解释：西瓜每千克 3 元，那么买 a 千克西瓜，共需要 3a 元，请你对该代数式作出另外的解释是______。
评析：结论开放，意味着我要考查的目的更多了，我可以从学生不同的答案中，看到学生对字母表示数的理解深度，和学生的创新意识，同时也可以看到学生把一个数学模型赋予一个怎样的实际背景。
我们平时训练的大多是从实际背景中建立数学模型，而把一个数学模型赋予实际背景的做法很少让学生尝试。
命制填空题时应该注意的事项：
填空题命题的关键是材料的取舍和空位的设置，以及陈述方式的处理。
1. 取材合理，涉及的内容不宜多；
2. 考查中心突出、鲜明、集中；
3. 发问明确，指导语贴切，不会产生歧义，不会引发误解；
4. 陈述简洁、精炼，规范。
（ Ⅲ ）解答题
解答题的特点及形式：
1. 解答题的特点：
解答题是要求完整地写出解题过程的题目。它的特点是容量较大，能直接考查多个知识点，以及综合考查多种数学思想、方法和数学能力。由于这类题目要求考生完整地写出解题过程，因此较之选择题和填空题更能考查考生的解题思路和解题过程，也能更好地对不同水平的考生进行多层次的区分。
2. 解答题的形式及编制方法：
在一个大前提（已知条件）下，提出若干问题，要求学生解答，这是数学解答题的常见呈现方式。从一个基本数学事实出发，研究其变形、深入、发展，形成一系列的题组，从中选取合适的题目，是编制解答题的主要方法。对于作为学业考题的解答题，一般应该具有较大的可塑性和伸缩性。
从表现形式来看，解答题大体可分成两大类：
第一类：所提的若干问是并列的，彼此独立，互不关联；
评析：三问之间可以单独提问来考查学生，本题以三角形全等为载体考查数学思想方法，巧妙地把全等三角形判定和性质与分类讨论这种数学基本思想方法结合在一起，较好地体现了《课程标准》对这部分内容的要求，其直接考试结果具有较好的可推广性。
第二类：所提的若干问是递进的，彼此间存在层次上的联系，后一问的解答，依赖于前一问的结果。
（ 2）观察表格中方程两个解的和、两个解的积与原方程的系数之间的关系有什么规律？写出你的结论．
评析：本题的显著特点：一是平台的提供；二是问题的层层递进。本题在考查考生自主探索能力的同时，还考查了考生的数学阅读能力，可谓一举两得 .
解答题编制的注意事项：
1. 要从不同角度发问，从不同方向出题，以增大深度和广度；
2. 正确答案可以惟一可以不惟一，但是提出的问题必须明确而具体；
3. 要从小处着手出题，又要尽量从大处着眼，要注意考查在掌握一个完整知
识中容易出错而又十分重要的关键问题，还要注意考查知识体系中的架构或对主要特征的概括；
4. 要把问题与实际情景结合起来，注意知识的实际应用。
影响解答题难度的基本因素有以下几个：
（ 1 ） 提问方式：
提问方式直接影响着命题的难易。例如，把证明题改为探索题一般能提高难度；增加题目中间设问，把单问变成分步设问一般能降低难度；同时提问方式要形式多样、新颖。
修改前的题目是个简单的证明题，已知条件都已具备，只要利用这些已知条件得出 是菱形即可；修改之后，题目难度加大，灵活性增大，对学生的解题的能力和思维深度要求提高了，学生首先要进行探究： 在什么情况下， 是菱形，换句话说，要分析：要使 是菱形， 将有怎样的数量关系。
（ 2 ） 题设条件。例如，适当增减条件，变“隐”条件为“显”条件，改间接条件为直接条件，等等，均可以使题目的难度发生变化；
（ 3 ） 综合程度。题目涉及的具体知识点、数学思想、数学方法的多少也影响题目的难度。
评析：此题具有开放性和综合性，综合考察了等边三角形、相似三角形、特殊角的三角函数、圆周角的性质、数形结合思想、转化的数学思想等等，需要学生有很好的数学意识，有很好的“定力”，能够静下心仔细读题，找出解题的关键，对学生的心理也是一个极大的挑战，现在的学生往往心理浮躁，见到貌似复杂的题就会有退缩心理。如果这类题放在试卷的最后或倒数第几题，那么学生的恐惧心理会更强。
根据解题者获得解题思路和给出题目解答过程的特点（即数学思维参与的强度），可将其分为：
程序性解答题分为：计算题，解方程（组）与不等式（组）题，任务性作图题，程序性解答题的复合题，等。
非程序性解答题分为：应用题，开放题，信息迁移题，证明题，说理题，非程序性解答题题型的复合题，等。
四、试题命制技术使用及创新
数学命题要体现“依标（标准）用本”，试题尽量源于课本，有利于使学生摆脱题海，减轻过重的学业负担。很多老师就会利用课本原型题进行改编。
（一）试题改编中的一些常用方法
1. 对知识赋予新的问题情境
案例： 【原型】用科学记数法表示各类大数或小数。
【改编举例】：
①北京节水在全国处于领先地位。多年来，北京加大产业结构调整力度，全市用水量持续下降，产业结构不断优化。有数据显示 2009年与 2001年相比，全市总用水量由 3890000000立方米减少到 3510000000立方米。将 3510000000立方米用科学记数法表示为（ ）
A. 立方米 　　　　　 B. 立方米
C. 立方米 D. 立方米
②据 2005年 6月 9日中央电视台东方时空栏目报道：由于人类对自然资源的不合理开发与利用，严重破坏了大自然的生态平衡，目前地球上大约每 45分钟就有一个物种灭绝。照此速度，请你预测：再过 10年（每年以 365天计算）将有大约（ ）个物种灭绝。
A. B. C. D.
评析：上述两题考查的都是用科学记数法表示大数的，但是都有一定的实际背景，而且有利于环保和底碳，也是当前最敏感的话题，
案例：【原型】常见的轴对称图形有线段、角、等腰三角形、正 n 边形、菱形和矩形、等腰梯形、圆等；常见的中心对称图形有线段、正 2n 边形、平行四边形、圆等。
案例： 如图，△ ABC 中，已知∠ BAC ＝ 45 °， AD ⊥ BC 于 D ， BD ＝ 2 ， DC ＝ 3 ，求 AD 的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．
请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：
轴对称是初中三种基本变换之一，它具有全等不变性，即，保距、保角性。通过轴对称图形可以找到很多相等的结论，有利于问题的解决，此题涉及到转化的数学思想，不仅利于考查学生的数学能力，同时有利于学生思维的训练。但是很多学生在具体应用这些知识的时候，却不会灵活使用。折射出教师教学时的某些问题，至少是对轴对称的性质教学深度不够，没有很好地与其他知识联系，轴对称的本质和应用范围揭示不够。
假如我们没有设计翻折的情境，而是：
“四边形 AEGF 中， AB 、 AC 分别为∠ EAD 和∠ FAD 的角平分线，
已知∠ BAC ＝ 45°， AD ⊥ BC 于 D ， BD ＝ 2， DC ＝ 3，求 AD 的长．
（ 1）证明四边形 AEGF 是正方形；
（ 2）设 AD = x ，利用勾股定理，建立关于 x 的方程模型，求出 x 的值。”
学生可能会觉得更容易、更直接。
【改编模式】：
需要注意的几点问题：
①“情景”量的多少把握。
一道题中大篇幅的生活情境可能会影响对考生数学基础知识和基本技能的考查。
②“情景”度的把握。
案例： 某堤坝的横截面是梯形 ABCD ，背水坡 AD 的坡度 i （即 ）为 1 ︰ 1 . 2 ，坝高为 5 米 ，现为了提高堤坝的防洪抗洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶 CD 加宽 1 米 ，形成新的背水坡 EF ，其坡度为 1 ︰ 1 . 4 ，已知堤坝总长度为 4000 米 ．
⑴求完成该工程需要多少土方？
⑵该工程由甲、乙两个工程队同时合作完成．按原计划需要 20 天．准备开工前接到上级通知，汛期可能提前，要求两个工程队提高工作效率，甲队工作效率提高 30 % ，乙队工作效率提高 40 % ，结果提前 5 天完成．问这两个工程队原计划每天各完成多少土方？
评析：命题有着生产实际背景，且合情合理，恰到好处，既说明了问题，又提供了有效的数学信息，还没有多余的语言。
从数学角度来看，它们突出了对“用方程的思想 —— 列方程的能力 —— 解方程的技能 —— 再到实际问题的解决”这一完整过程的考查，并在一定程度上考查了考生分析问题和解决问题的能力．这类试题体现了本部分内容的整体要求，具有较好的效度和可推广性．
案例： 如图，有一小船。
（Ⅰ）若把小船平移，使点 A 平移到点 B ，请在图中画出平移后的小船；
（Ⅱ）若该小船先从点 A 航行到达岸边 L 的点 P 处补给后，再航行到点 B ，但要求航程最短，试在图中画出点 P 的位置。
评析：首先，题和图指示均不清，明明是将小船平移，怎么又成了点平移？第二，不是随便就可以找到一处补给的。点 P 的位置就一定能补给吗？与实际不符。
2 ．转换题型
（ 1 ）选择题、填空题、解答题间的题型转换。
案例、【原型】计算： 1 － 3 ＝ _____ 。
【改编举例】： 如果某天中午的气温是 1℃，到傍晚下降了 3℃，那么傍晚的气温是（ ）
A .4 ℃ B .2 ℃ C. -2 ℃ D. -3 ℃
评析：赋予一个实际背景，由一个简单的计算题变成一个选择题，不仅要从实际中提取数学问题，建立数学模型，还有排除选择题特有的干扰因素，难度加大、思维深度加深，利于学生能力的培养。
案例：【原型】阅读题（针对人教版七年级下的一个教学活动改编的题目）
【改编举例】： 学行线后，小敏想出了过己知直线外一点 P 画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图 1(1)～ (4)）：思考为什么？
从图中可知，小敏画平行线的依据有（　　）
①两直线平行，同位角相等；
②两直线平行，内错角相等；
③同位角相等，两直线平行；
④内错角相等，两直线平行。
A ．①② B．②③ C．③④ D．①④
评析：将课本中的活动内容的本质命制成一个数学试题，能够体现试题源于课本。
案例、 【原型】 x＝ 取何值时， 。（即：求一元二次方程的根）
【改编举例】： 求二次函数 与 x 轴的交点，并画出图象。
分析：由填空题改编成一个解答题，难度加大，体现数学指示的相互转化，一个一元二次方程的求解过程，实际上就是求一个二次函数与 x 轴的交点的过程，反之亦然。
案例、【原型】若 ，则 x 的取值范围为 （即：求一元二次不等式的解集）
【改编举例】： 已知二次函数 ，问当 x 怎样取值时， y ＞ 0
这样一来，就将一个求一元二次不等式的题，改编成了一个解答题，能更好地针对不同水平的考生进行多层次的区分，同时，要想解好这道题，画示意图，借助图形不失为一个良策。
【改编模式】
（ 2 ）封闭题改编为各种新式的题型
将封闭题改编为条件开放题、结论开放题或条件结论同时开放的题目。
【改编举例】
条件开放的开放题：
案例： 如图， 四边形 中， 不平行 ，现另给出三个条件：① ， ② ， ③ ．请你从上述三个条件中选择两个条件，使得加上这两个条件后能够推出 是等腰梯形，并加以证明（只需证明一种情况）．
评析：本题的问题原型为如何研究图。从不同的假设出发，可以将这个研究转化为不同的具体问题，而这正是这个题目可以设计为条件开放题的基础。本题提供条件由学生自行组合，但在设计上又设置了组合条件 ①③ 不能推出 是等腰梯形，从而确保了本题开放的非随意性，有效确保了本题能实现既定的考查目标。这样的设计，值得借鉴。
结论开放的开放题
案例： 如图，在正五边形 中，连结对角线 和 交 于点 ．
（ 1）请列出图中两对全等三角形 （不另外添加辅助线）
（ 2）请选择所列举的一对全等三角形加以证明．
评析：本题的问题原型是“如图 12 ，在正五边形 中，连结对角线 和 交 于 ．”所呈现的数学。
将封闭题改编成探索性问题：
【改编举例】： 数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为 的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答问题（ 1 ）．
（ 1）已知：如图 1，在 中， ， ，直线 平分 交 于点 ．
求证： 与 都是等腰三角形．
（ 2）在证明了该命题后，小颖发现：下列两个等腰三角形如图 2、图 3也具有这种特性．请你在图 2、图 3中分别画出一条直线，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数；
（ 3）接着，小颖又发现：直角三角形和一些非等腰三角形也具有这样的特性，如：直角三角形斜边上的中线可把它分成两个小等腰三角形．请你画出两个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出三角形各内角的度数．
说明：要求画出的两个三角形不相似，而且既不是等腰三角形也不是直角三角形
评析：本题的问题原型是一个熟悉的命题：顶角为 的等腰三角形，经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．试题对一个常规性封闭的纯数学问题（即问题（ 1 ）），通过简单的识别或再现的方式提出并形成问题，设计学习、理解和运用方面的任务，要求学生在新的图形中通过画图来展示自己对上述规律的探索、理解和运用。
将封闭题改造成阅读理解题
问题解决 ：
评析：本题展现了一个课题研究的全过程：从问题的提出、探究与发现、实验与验证到猜想与证明、拓展与延伸。使用填空题型避免了重复的推理过程，运用信息迁移题则较好地考查了学生对“探究发现”部分内容的理解和运用。学生正确解答本题既可以完整地经历问题的提出、探究、发展的全过程，又可以充分体验感受从特殊到一般、类比、猜想、拓展等一般性数学方法，较好地考查了学生运用数学思想方法探索规律、获取新知的能力，以及运用知识解决问题的能力。需要指出的是，本题与过去的信息阅读题相比，不再仅仅是阅读有关信息，直接套用信息，而需要学生深入理解其中的思想方法，并迁移这种方法到新的问题解决过程中，因而，本题在发挥信息迁移题的功能方面表现得更为突出。值得注意的是中考是初中阶段的终结性考试，应考查这个学段的终结性教学目标，应尽可能的遴选数学核心内容作为载体考查学生的能力，这方面需要大家今后研究。
将封闭题改造成图表分析题
【改编举例】： 题中给出的条形图是截止到 2002年 44位费尔兹奖得主获奖时的年龄统计图。经计算费尔兹奖得主获奖时的平均年龄是 35岁。
根据条形图回答问题：
（１）费尔兹得主获奖时的年龄超过中位数的有多少人？
（２）费尔兹得主获奖时的年龄的极差是多少？
【改编模式】
需要注意的几点问题：
① 在进行新题型的设计时，应从试卷的整体结构出发，统筹安排；
② 设计新题型时，应从兼顾不同领域知识点的考查、兼顾考生的能力特长等角度多方面考虑。
3 、重组整合
（ 2 ）不同知识点的重新组合
案例：【原型】 平行线的判定方法，角平分线的判定方法，圆周角是直角的判定方法，圆的切线的判定方法。
【改编举例】： 用一把带有刻度的直角尺，①可以画出两条平行的直线 a与 b，如图（１）；②可以画出∠ AOB 的平分线 OP ，如图（２）；③可以检验工件的凹面是否为半圆，如图（３）；④可以量出一个圆的半径，如图（４）。
（ 3 ）各种题型的自然融合
案例：【原型】 二次函数的应用：
评析：本题利用解答题题型与填空题题型复合编制题目，其问题（ 1 ）发挥了解答题的功能，有利于学生全面展示自己解决问题的结果，问题（ 2 ）发挥了选择题题型考查学生辨析能力的功能，既在一定程度上也降低了题目的难度，也有效规范了学生表达结论的形式，有利于提高题目的信度。
需要注意的问题：
重组整合时，应考虑不同知识间的内在联系，切忌简单地将各种素材拼凑在一起。
4 、改变立意
（ 1 ）单纯的运算技能考查转化为应用能力的考查
案例：【原型】 代数式求值：
【改编举例】 ：在解题目：“当 时，求代数式 的值”时，聪聪认为 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果．你认为他说的有理吗？请说明理由．
评析：本题给出一道代数式求值的计算题，需要解释的是“聪聪认为 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果”的结论是否正确。与直接化简代数式相比，这样的命题设计使得考查目标更为丰富，既考查代数运算能力，又考查利用代数计算解释所给数学结论的意识与能力。解答题型为考生充分展示自己的推理与表达能力提供了平台。
案例： 有一道题：“先化简，再求值： ，其中 ”．小亮同学做题时把“ ”错抄成了“ ”，但他的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事．
评析：上述问题原型在一定程度上均是生活中的情景，这些情景蕴含了一些可以数学化的问题。要顺利的解答这个问题均与完成一定的程序性解答任务有关，因此利用计算题将这个问题设计成试题的做法具有一定的合理性。而且，这道题目的设计还表明，计算题的原型问题有时也与人们的日常生活紧密联系，如果能运用计算题将这些问题原型成功的编制成试题，则既能保证题目的效度，也能使试题显现出一些“人情味”，使冰冷的中考泛出些温情 .
案例、【原型】 分解因式：
【改编举例】： 日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用 “ 因式分解 ” 法产生的密码，方便记忆。原理是：如对于多项式 ,
因式分解的结果是 ，若取 x =9 ， y =9 时，则各个因式的值是：
=0 ，　　　 =18，　　　　 =162，于是就可以把 “ 018162 ” 作为一个六位数的密码．对于多项式 ，取 ｘ =10 ， y =10 时，用上述方法产生的密码是：　　 (写出一个即可 )。
【改编模式】
（ 3 ）单纯的推理问题转化为实验操作能力、归纳探求能力的考查
案例：【原型】 证明题：
【改编举例】： 把正方形 绕着点 ，按顺时针方向旋转得到正方形 ，边 与 交于点 （如图 25）．试问线段 与线段 相等吗？
请先观察猜想，然后再证明你的猜想．
评析：以上两题在呈现证明题的形式上做了改进，特别是将要证明的结论隐去，要学生发现并证明结论，实际上从归纳发现和演
绎证明两个维度考查了学生的数学说理。因此，从题型运用的角度看，它们强化了证明题考查推理和证明能力的功能。两道题目给考生呈现一个实验操作的过程，要求学生对基本图形，如平行四边形或正方形，进行变换，折叠或旋转，然后直观判断图形中几何元素的关系，并在此基础上进行论证，在一定程度上也考查了合情推理，使得推理能力的考核更加全面。
需要注意的问题：
① 从立意的角度改编试题时，应关注对思维能力考查变化的度。
② 问题的设计，应体现策略多样化的特点 . 。
二、创新试题的主要方法
1. 从生活中提炼新颖的素材，创新试题。
【创新模式】

已知 米， 米， 米．
（ 1）求 的倾斜角 的度数（精确到 ）；
（ 2）若测得 米，试计算小明头顶由 点运动到 点的路径 的长度（精确到 0.01米）
评析：本题的问题原型为“在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景”。这几年的中考试题中，将这类“学生生活情境示意图”类型的问题原型转化为“数学情景示意图”的半数学化问题编制为应用题的做法有较多的出现。这样的设计不仅较好地体现出数学问题来源于现实世界、来源于人们的现实生活，也使得数学试题创新具有永不枯竭的源泉。本题的设计较好地利用了问题原型中所蕴含的数量关系和图形位置关系，较为充分地发挥了应用题的功能，在一定程度上能有效地考查学生根据情境描述知道或寻找存在的几何元素的关系，借助几何图形及相关知识解决简单实际问题。
2. 化静为动，利用变换创新试题
【创新模式】
案例： 如图，直角梯形 OBCD， O是平面直角坐标系的原点 ,B、 C、 D三点的坐标依次是 (10, 0),(8,3)和 (0,3).点 P从原点出发 ,沿 x轴向点 B运动 ,点 Q从点 C出发 ,沿 CD向点 D运动 ,速度都是每秒 1个长度单位 ,点 Q到达点 D后两点都停止运动 .问点 P、 Q出发后几秒时 ,四边形 PBCQ是特殊的四边形 是哪种特殊的四边形 请写出所有的可能性 .
参考答案：出发后 3 秒是等腰梯形 , 出发后 4 秒是直角梯形 , 出发后 5 秒是平行四边形 , 其余时候是一般梯形。
评析：本题的设计使得图形在一些特定的位置产生了新的图形。是一道很新颖的试题。
案例： 和点 在平面直角坐标系中的位置如图所示：
（ 1 ）将 向右平移 4 个单位得到 ，则点 的坐标分别是 ；
（ 2 ）将 绕点 按顺时针方向旋转 ，画出旋转后的图形．
评析：本题的问题原型是按照规定要求作图，通过利用限制作图手段（只能用轴对称、平移和旋转）运用任务性作图题将原型问题设计为试题。尽管本题涉及填空题题型，但本题的解答过程具有较为典型的程序特征，较好地发挥了任务性作图题的功能 .
案例： 如图 1，操作：把正方形 CGEF 的对角线 CE 放在正方形 ABCD 的边 BC 的延长线上（ CG ＞ BC ），取线段 AE 的中点 M 。
探究：线段 MD 、 MF 的关系，并加以证明。
说明：（ 1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把你探索过程中的某种思路写出来（要求至少写 3步）；
（ 2）在你经历说明（ 1）的过程后，可以从下列 ①、②、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。
① DM 的延长线交 CE 于点 N ，且 AD ＝ NE ；
②将正方形 CGEF 绕点 C 逆时针旋转 45°（如图 2），其他条件不变；
③在②的条件下，且 CF ＝ 2 AD .
附加问题：将正方形 CGEF 绕点 C 旋转任意角度后（如图 3） ,其他条件不变。探究：线段 MD 、 MF 的关系，并加以证明。
评析：从问题的结构看，由于创新，思维量较大，给不同层次考生以不同的展现机会与不同的评价，体现了使不同考生得到不同发展的理念。
3. 利用折、剪、拼、摆、叠、画等操作性活动构造试题
2 ．问题模型
上述情景中涉及到的要素有矩形纸片 、折纸方法以及证明性说理方式。于是，要证明的结论“折纸后得到的四边形 是平行四边形”所包含的要素是：矩形纸片 ，折纸方法，证明性说理方式。实际上，矩形纸片 表示的是数学对象，折纸方法隐含了若干已知条件，而四边形 是平行四边形代表的是需要论证的数学结论。因此，上述情景可以进一步抽象为证明性说理型问题，其问题模型是：结论＝“对象，条件，证明性说理方式”的总和。
清楚了上面的问题，我们就能命制试题了。
要求：
（ 1 ）在左边的平行四边形纸片中画一条裁剪线，然后在右边相对应的方格纸中，按实际大小画出所拼成的符合要求的几何图形；
（ 2 ）裁成的两部分在拼成几何图形时要互不重叠且不留空隙；
（ 3 ）所画出的几何图形的各顶点必须与小正方形的顶点重合．
评析：本题的问题原型是图形分割与拼图。拼图的过程在某种程度上相当于利用平移、旋转等变换作图。运用任务性作图题将本题的问题原型设计为试题，能较好地突出解决问题过程的程序性，发挥程序性解答题能有效考查操作技能的功能优势。
图形的分割与拼摆既是问题原型，也是本次课程改革的一个亮点。以这类问题原型设计任务性作图题，可以较为有效地考查学生的观察、实验、操作等数学合情推理能力及动手实践能，中考命题对于编制这样的试题应给予充分关注与重视。
创新试题时，需要注意的几点问题：
①创新是手段，考查初中数学重要知识、技能与方法才是核心；
②在求新、求变的同时，确保试题的科学性、合理性；
③创新的试题应表述准确、简洁，符合初中生的阅读习惯 .
总之，编制命题是一项复杂的系统工程，对它的认识和理解，以及对命题技术的使用，不是一朝一夕的事情，要在教学中不断摸索、不断实践才能有好的、促进教与学的命题产生。
借用 张景中先生的一句话来结束今天的讲座：“醉翁之意不在酒 ” 。考试的目的是为了促进教学和学习。在当前的中国，考试的指挥棒作用不容忽视。如何用好这根指挥棒，引导老师和学生学习“好的数学”，用好的方法学习数学和应用数学，是一项很有意义的研究。希望更多的人参与或关心这项有意义的研究（即命题研究）。”

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