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绝对值函数复习与解题策略初探
扬州大学附属中学 黄险峰
扬州市梅岭中学 王力耕
纵观这几年的高考试卷，有关绝对值函数的试题由于呈现出综合性强、立意与角度新、难度大等特点，已成为高考命题的热点。因此，在高三复习中，突出整合，“以一驭万”，对绝对值函数的性质进行疏理和小结，引导学生对典型例题进行探究与解题思想归类，对开拓学生思维，培养学生思维品质和创新能力有着重要的启迪和促进作用。
本文首先对绝对值函数的图象和性质进行归纳小结，然后对典型例题归类分析，供参考。
1．绝对值函数的常见类型及其图象
基本绝对值函数主要包括和两种类型，由于自变量的取值被分成若干不同的区间，因此，绝对值函数在不同的区间有不同的表达式：
，。其图象作法也应依不同区间分别来作：的图象可以看作的图象在轴上方不变，轴下方沿轴向上翻折后所得；的图象可以看作的图象在轴右方不变，并将轴右方的图象沿轴向左翻折后所得。而一般绝对值函数可由以上两种基本绝对值函数组合或变换得到。
2．绝对值函数的考点归类分析
熟练掌握绝对值函数的图象和性质，灵活、快捷的解决问题
绝对值函数的图象和性质是研究绝对值函数问题的基础。由于形数兼备，所以教师在复习时要精选试题，帮助引导学生夯实“双基”，提高思维的灵活性和敏捷性。
（2009年扬州市高三调研卷）已知函数在上单调递增，则 。（填写“”，“=”，“”之一）
分析 由题意知，函数的图象如图（1），当时，函数为增函数，故底数，即。再由为偶函数，有，
可知：应填“”。
（2008年。宁夏、海南卷）已知函数。
（1）作出函数的图象；
（2）解不等式。
分析 （1）由可知图象如图（2）。
（2）由（1）得得。由函数的图象可得不等式的解集为。
（2009年泰州市高三调研卷）定义：区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为 。
分析 作出的图象如图（3），解方程得或，观察图（3）可知区间的长度的最大值为。
综评：以上三题虽然难度不大，但都突出运用“以形助数”，数形结合的思想方法。有些同学在解这类问题时，常因为对一些基本函数的图象和性质掌握不全面，造成解题时的疏漏，或用错函数的解析式和性质，或将函数图象画偏画错。因此，复习时夯实“双基”，培养强烈的数形结合意识尤为重要。
运用函数、方程及不等式的思想，借助三者之间的依赖关系，灵活转化，解决运动和变化中出现的问题
以绝对值函数为载体，注重数学思想方法灵活运用的试题能给学生提供思考的空间，使他们的聪明才智在解题中得到充分的展示，体现了高考数学考素质，考能力的要求。因此，在复习时，教师要强调“形”与“数”的灵活转化，帮助学生迅速找到解题的突破口。
例4 （2009年扬州市高三调研卷） 设，若，且，则的取值范围为 。
分析 函数的图象如图（4），由，且并结合图象可得：，故由有，即因此，
，故
，。
点评：本题关键是由条件和图象确定和的取值范围，去掉绝对值符号得到与的关系式，再消元转化为复合函数求值域。
例5（2009年扬大附中高三调研卷） 若函数图象上存在点，对任意都不在轴上方，则的最小值为 。
分析 由已知，对任意，存在有，即。
可令：，函数与的图象如图（5），
当或时，有。比较函数与的图象位置可以发现，当抛物线与射线相切时，有最小值。故由，消去有，由解得。故的最小值为。
点评：本题须将已知条件转化为，有进而转化为，通过比较与的图象的位置找到解题途径。
对于创造性试题，要运用分类讨论等数学思想，将问题条理化、系统化、清晰化，进而由易到难，分层解决问题
创造性试题，以考查思维能力为核心，强调探究性、综合性、应用性和创新意识。因此，教师要创新情境，引导学生在陌生情境中自我探索，独立地思考分析问题，揭示其中的联系和奥秘，在问题变化不定时，会应用分类讨论等数学思想将数学对象分为不同种类，然后对划分的每一类分别进行研究或求解，从而达到“化难为易，化整为零，各个击破”的目的。
例6（2009年江苏卷）设为实数，函数。
（1）若，求的取值范围；
（2）求的最小值；
（3）设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解集。
解析 （1）
（2）
当时，函数的图象如图（6），，由（1）（2）知：，此时。
②当时，函数的图象如图（7），，若，则由（1）知
若则由（2）知，此时。
综上所述：。
（3）分析：当时，观察图（6）可以看出：时，
，而当
时，是增函数，且
。故只需按或讨论即可。当时，观察图（7）可以看出，时，
，此时，时，是减函数，时，是增函数，且。故需按或或三种情况分类讨论。
解：①观察图（6）可以发现：当，即时，不等式的解集为；观察图（7）可以发现：当，即时，
的解集为。故时，的解集为。
②观察图（6）可以发现：当即时，由
有；观察图（7）可以发现：当，即时，也有。故当时，的解集为。
③观察图（7）可以发现：时，当，即时，由
可解得或。
故当时，的解集为。
答略。
点评：本题（1）（2）（3）小题难度按三级坡度设计，由易到难体现了较好的区分度，其中第（2）小题分类画出函数的图象是解题的基础，而第（3）小题困难在于不知从何处入手，难以确定讨论的对象和分类的标准，这时应分清参数的变化对问题产生的影响，根据参数的正负和分段函数性质的限制条件分类讨论，做到“既不重复，又不遗漏”。
作者简介
第一作者：黄险峰，扬州大学附属中学高级教师，扬州市数学中考命题组成员，多次参加市调研考试命题工作，曾在国家、省级刊物上发表多篇论文。
联系方式：江苏省扬州市扬州大学附属中学
电话号码：15952788243 邮政编码：225002
电子信箱：yzgr1960@
第二作者：王力耕，扬州市梅岭中学校长，江苏省特级教师，扬州市有突出贡献的中青年专 家，扬州市数学中考命题组成员，曾在国家、省级刊物上发表多篇论文。
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