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海南省琼州学院数学系 王奋平
美 国高校入学考试 主要有 SAT(Scholastic
l 美国 SAT一工数学考题形式举例
Assessment Test) 和 ACT (American College
Testing Assessment)两种．SAT考试每年举行 6次， SAT—I中的数学试题主要涵盖运算能力、代数
以高中毕业生的最后一个学期最好的一次成绩作为 与函数、几何、数据分析、概率统计等几个方面，题型
正式成绩；在全世界很多地方都有考点，在新加坡(1 主要是选择题和应用题 ，考查方式很有特点：
个考点)和我国的香港 (5个考点)、澳 f-I(1个考点)、 SAT—I卷首参考信息(考试允许使用计算器)：
台湾(1个考点)有专门的 SAT考试服务单位，为华
人提供 了去美国读本科 的机会．大陆地 区暂时还没有
这样的考试代理机构 ，但是在北京 、上海等地有相关
的考试辅导班．大陆学生可 以通过办各种签证到 以上
几个地方参加考试，成绩有效．ACT考试是由美国高
校测试计划 中心组织的大学入学考试 ，是综合学生学
业成绩和入学智能测试为一体的考试，包含学业知识
水平测试、学生能力测试、兴趣爱好调查等内容．综合
招生高校一般会要求申请者提供 SAT或 ACT成绩
(1)某大学举行抽奖活动，被抽中的学生将会住
作为重要参考，同时申请者根据自己的考试成绩决定
进豪华宿舍，有 100名 4年级学生，150名 3年级学
入学后的选修科 目．此外，有些高校还自己出题考试，
生 ，200名 2年级学生参加抽奖 ，每名 4年级学生有 3
了解学生的知识掌握情况和学习能力．但是除了要求
次抽奖机会，每名 3年级学生有 2次抽奖机会，每名 2
提供考试成绩外，更加主要的是各个大学录取新生还
年级学生只有 1次抽奖机会 ，问一名 4年级学生被抽
综合考虑以下几方面：
中的概率是多少
(1)申请者高中时期的各科学分或成绩；
(2)社会活动能力、工作经验 、是 否做过 义工 、是 A．吉 B．吾 c．号 D．詈 E．丢
否有实际工作竞争力 ；
(2)
(3)入学申请书、家长或任课教师的推荐信．
星期一 星期 二 星期三 星期 四 星期 五 星期六 星期 日
通过这些资料了解学生个性、能力特点，作为录
取与否的重要依据． 66 78 75 69 78 77 70
SAT考试分为 SAT—I和 SAT一Ⅱ两种 ，SAT—1 以上是 夏威夷某城市一周 中午的温度(华氏温度
分两部分，数学和英语，每部分 800分，测试时间 3小 标准)，如果用 m代表这些数据的中位数，厂代表众
时．SAT一Ⅱ主要测试考生在某一 学科的知识积 累情 数，a代表这七个数的平均值，下表哪个顺序正确
况和运用知识能力，分英文写作、文学、数学、化学、生 A．口< <， B．口<厂<
物、听力测验等 22个学科，每科考试时间 1小时．大
C。 <口<， D． <厂<口
多数院校只需要学生的 SAT—I成绩．通过 SAT—I中 E． —a的数学试题可以管窥美国高考数学考试特点． (3)电脑游戏卡 的销售 方案满 足函数 S( )
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选法
一
，其中s( )表示游戏卡销售数量(单位：千)，
(12)函数 L厂( )一 一 7x+ 10，同时 f(t+ 1)
P表示每个游戏卡的价格(美元)，n是常量，在一定时 一 0，请问 t的值等于多少
期内，当每个游戏卡卖 1O美元 时，可 以卖 出 100000 例题答案：(1)D；(2)A；(3)D；(4)A；(5)B；(6)
个，问当每个游戏卡卖 2O美元时，可以卖出多少个游 1 7
D；(7)C；(8)无解 ；(9)- 5-；(10)两个 ；(11)15种；(12)1
戏卡 0
A．20000 B．50000 C．60000 或 4．
D．】50000 E．200000
2 中美高考数学试题比较简析
(4)如图 1，在平 面直角坐标 系
2．1 考试命题 目的不同
内有一条直线 l，z上有两个点(0，0)
从 以上考题可 以看 到，SAT考试 的 目的不是检
和(1，2)，如果直线 经过 (0，0)点
查学生在高 中学了多少知识，而是确定该考生是否具
且垂直于 Z，下列哪一个是直线 ／T／的
图 1 备大学学习所必需 的基 本能力 ，考查学生 的创新能
方程．
力 、应用知识解决实际问题 的能力 ，考查学生把实际
A．y一 一 1 z B．y一 一 1
z+ 1
问题“数学化”的能力 ，考查学生 的综合能力 ，主要 目
C． 一 一z D． 一 一 z+ 2 的是了解学生具备哪些大学学习所必需 的学习、研究
E．y一 一 2x 能力．而我国传统高考主要目的是考查学生是否掌握
(5)如果三角形的两边分别是 5和 6，那么这个三 了大纲所规定的内容 ，注重学生对书本知识的继 承和
角形的周长是下列哪一个 背诵，很大程度上是考查学生的记忆能力，主要目的
I．11 Ⅱ．15 Ⅲ．24 是为了在考试后能够便于高校选拔考生．
A．I B．1I 2．2 命题方式存在较大差异
C．Ⅲ D．Ⅱ 和 Ⅲ 从以上所列试题可以看到，美 国的试题涉及实际
E．I、Ⅱ和 Ⅲ 背景范围广泛，从 日常生活住宿、天气温度变化到商
(6)如果 k能够被 2、3和 15整除 ，那么下列各数 品交易等 ，同时又贴近学生生活，不 出现和学生生活
哪一个能够同时被这三个数整除． 相对遥远和过于抽象的科学问题．我国高考题中有关
A．惫+ 5 B．惫+ 15 C．惫+20 生物学现象 、化学变化 、工业生产流程(如轧钢过程)、
D．k+ 30 E。k+ 45 经济规律等对 中学生 而言相对 比较陌生的应用题经
常可以看到．有些工业机械原理或经济学规律，中学
(7)当z>1时，等一 ，请问 的值等于多少
生尤其是农村 中学 生根本没有听过．SAT知识考查
和能力考查 并重 ，可 以看 到，SAT试题 中也 有像第
A·一专 B-一3 C·一专
(4)题这样的完全考查知识积累的问题，我国的考题
D．一 2 E．一 恰恰是过于突出对书本知识积累考查．
2．3 涉及知识范 围跨度有较大差异
(8)能够满足下面两个等式的 的值是多少
考试题涉及各个知识点，概率统计、数据分析、平
I4 一7I一5，I 3—8 I一1．
面几何、解析几何、函数等都包括在内，从第(9)题可以
(9)n和 b是任意正整数，口 ·b定义为n·b
看到，这是一道设计抽象代数“运算法则”的问题，学生
一 譬等，那么4·2的值是多少 必须从中小学传统的加、减、乘、除等初等运算法则升
(10)三条平行直线被第 四条直线所截 ，形成十二 华出来，知道运算法则还有很多相对抽象的数学规定，
个角，如果其中一个角测出是28。，那么其他十一个角 这也是对学生探究能力的考查．我国的《数学课程标
中有几个角也一定是 28。． 准》数学课本中以及高考试题中极少看到这样的考题．
(11)凯叶在大学音乐系学习．系里给她六门课让 2．4 对问题解答要求灵活程度不同
她选择 ，她必须从这六门课 中任选两 门，她有多少种 从第 (5)题看到 ，SAT试题给学生思维 留出了较
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大的活动空间，不一定给出唯一答案供学生选择，而 线性 回归，当 一4时，下列哪一个值最接近当时汽车
是在正确结论的范围内给出几个答案，考查学生的创 的价值
造性思维和灵活程度，不拘束学生思维．我国考试题
设计的基本都是具有唯一性答案的，而实际生活中实
际问题的解决方法并不是唯一的．
2．5 对知识记忆的要求不同 A．5400美元 B．5500美元
在 SAT为考生提供的卷首信息可以看到，SAT C．5600美元 D．6400美元
对三角形、矩形、圆的面积以及圆柱、长方体的体积、 E．7000美元
勾股定理 、特殊直角三角形这些对 中国学生来说非常 6．在图 3所示三角形中，有 曰
一
基本的概念和性质也不要求学生记忆．而中国高中要 个直角c，如果AC边的长是 ／ l
10， BAC一22。，那么 BC的长 -r———
求学生除三角 函数中的诱导公式之外 的基本概念和
性质必须记忆． 是多少 图3
可以看到美 国 SAT数学试题对 中国学生来讲可 A．3．7 B．4．0 C．5．8 D．6．8 E．9．3
能过于简单，但是在简单的背后蕴藏的是这个科技最 7．下表所示某商店三种不同的数字照相机 X、y、
发达国家的教育科学内涵，值得我国教育界思考． Z三天的销售情况 ，三种照相机 X、y、Z的价格分别
SAT试题练习： 是 99美元 、199美元和 299美元 ，下列矩阵，哪一个表
1．一个乐队想要把他们 的音乐录制成 CD光盘， 示这三天 中每天的销售总收入
购置制作 CD光盘的设备需要花费 250美元，一盒 10
张装的空白光盘需要 5．9美元，问制作 n张光盘，需
要花费多少美元 (这里的 n是 10的倍数)
A．(250+ 0．59)n B．250-1—0．59n
C．(250+ 5．90)n D．250-1—5．90n
E．250n-1—5．90
A．f 16 5 8 l[99 199 299]
2．在图 2中，AB／CD， ABD—Y。， BOC l 19 11 10 I ，
— z 。
， ACD= 。，下列哪个表示 z。的式子是正确的
A．Y+ 曰 B
B．2y+
C．2 —
f20 18 3 1
D．180一 — D
E．180+ — 图 2 ∞ 2∞ lf 19 1 180 jI
3．a和b是实数，i。一一1，(口+6)+5i一9-~-ai，那
么 b的值等于多少 。
A．4 B．5 C．9 憾
D．4+5i E．5+4j
4．满足不等式 4一z。≥z一2的 z的取值范围是 E·99
什么 f 曼]+ 9 f；三]
A．z≥一3 B．一54z≤0
C．一3≤z42 D．z≤一3或 z≥2
E．3≥ ≥一2 +29f 13O]
5．一辆新买的汽车价值 15000美元，它的价值随
时间的变化按照下表所示规律贬值，根据最小二乘法 7．C．维普资讯 http://www.
喝四囵目o 妖 臭 律 劐 抽 蒙
一 对一则教学片断的解构
浙江省绍兴市第一中学 杨佩琼
浙江省绍兴市元培中学 王二杰
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概 必要条件 ，学生对这点的理解比较困难．因此，根据情
念、法则、结论的发展过程和本质．然而数学的概念、 况创设简单明了的数学实验，降低学生学习中抽象
模型、结论以至证明过程都是脱离物质形式的 ．因 性的难度．让学生直观感受到函数零点存在性定理各
此 ，在学懂数学的过程 中，除了经常用到逻辑思维 以 条件的作用，从实验的解决中领悟定理本质．
外 ，重要的还有从 具体现象 到数 学的一般抽象 以及
2 本质解析
将一般结论应用到具体情况的思维过程．本文以一则
一 个好的数学情境 ，应该是有鲜明的 目标指 向，
典型案 例 的教 学 片断—— “零 点存 在性 定 理”具 体
阐述． 能融数学教与学 为一体，具 有数学教学 活动 的内驱
力 ，并使数学课 堂具有 自我生长性 的立体 的环境[3]．
1 案例描述 从这个层面上看，教师设计了一个非糨 的教学情
1．1 实验设计(零点存在性的判断_2 ) 境 ，为学生理解零点存在性定理做好了铺垫．
给学生一条直线和一条细线(图 1)，并记细线的 然而，教师并未真正完成从“具体”到“抽象”的过
两个端点为A和B，让学生动手，观察在什么样的情 程．可以发现，教师的情境创设仍局限在“知识点”的
况下一定能够保证这条细线和给定的直线有交点 思考上，淡化了一个重要的转化，即将“具体实物模
学生可以发现当点 A和 B 八 ，_ B 型”转化为“函数模型”，然后利用“函数模型”解决具
在直线 的两侧 时一定能满足题 —— 7—一 体问题．从而使教学的有效性受到极大影响．
意，而当点 A和 B位于直线的 图1 另外 ，更深入地想一想 ，我们是不是有机会在不
同侧时，有可能有交点 ，也可能没有交点，故不一定有 增加负担的前提下提供更高认知水平的教学_l4 有
交点．引 导 学 生 从 数 的 角 度 来 分 析 得 到 f(n) 这种可能吗 有．从“具体”到“抽象”还至少可以有以
· 厂(6)<0的结论． 下三个方面值得思考．
教师继续问．在刚才的情况下 (A和 B在直线 的 2．1 从“局部”到“整体”
两侧时)细线与给定直线已经有交点了，请问你能设 零点存在性判定定理，其目的就是通过找函数的
计出方案使得他们没有交点吗 零点来研究方程的根 ，进一步突出函数思想的应 用，
学生会有两种方案 ： 也为二分法求方 程的近似解做好知识上和思想上的
①将点 A 和 B移 到直线的同侧 (进一步说明 了 准备 ，它起着承上启下的作用 ，教学中应突出这一点．
厂(n)·厂(6)<0的必要性 )； 第一，承上．应引导学生将具体的“实物形象”转
．
②只要把细线剪断(来说明函数图象必须是连续 化为抽象的“函数图象”．(见 3．1)
的)． 第二，启下．应关注例题的教学，即将“求函数零
通过上述探究，让学生 自己概括出零点存在性 点的问题”与下节课“求方程的近似解的问题”建立起
定理． 关联性整合．(见 3．4)
1．2 设计意图 2．2 从“内隐”到“外显”
因为_厂(n)·_厂(6)<0且图象在区间[口， 上连续 零点存在性判定定理，教材不要求给予其证明，
不断，是函数 _厂(_z)在区间[a，6]上有零点的充分而非 关键在于让学生通过感知体验并加以确认．对于定理
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的条件和结论 ，这是学生学 习的难点．学生考虑往往 中学刘宗 良老师的教学设计)
不够深入，需要教师结合具体的实例，通过具体的问 3．1 实验设计。提 出问题
题，加强对定理进行全面的认识．从这个理解层面上 给学生一条直线和一条细线，并记细线的两个端
看 ，学生的认识不能仅停留在“实验”的操作层面和数 点为 A和 B．
的角度上，教师应提供“从内隐到外显”的机会、设计 问题 1 观察在什么样的情况下能够保证这条
“从 内隐到外显”的通道． 细线和给定的直线：(1)一定有交点 (2)不一定有交
第一 ，在具体的“函数 图象”中得 出零点存在的条 点 (3)没有交点
件．定理的教学 ，应关注抽象 的过程 ，即将 “直线 与细 学生：(见 1．1)
线的交点”与“函数的零点”建立起关联性整合．通过 (教师对学生 的回答不肯定也 不否定，布置问题
引导学生观察函数图象与 z轴的交点的情况 ，来研究 2，让学生独立解答后 ，再继续这个问题的讨论)
函数零点的情况．(见 3．2)
问题 2 观察图 2，这是某地在 12月份几天内的
第二，引导学生从正面、反面、侧面等不同的角度
一 张气温变化模拟函数图(即一个连续函数图象)片
重新进行 审视．① 函数 图象 不连续 ，②-厂(a)·厂(6)
段 ，由于图象 中有一段被墨水污染 了．(1)将 4日到 8
>O，③f(n)·f(b)< 0，函数 在 区间上不单调，
日之间的函数图象 补充完整．(2)现在有人想了解一
④．厂(口)·．厂(6)下 4日到8日之间是否有某天的温度为O~C 你能帮
深学生对零点存在性定理 的理解．(见 3．3)
他吗
2．3 从“表象”到“本质”
意图 在 问题 1中，教师 的
提供丰富的形象素材，构筑起表象与数学本质的
不回答为问题 2创设了“悬疑
桥梁 ；提供一个抓住本质并对本质有准确理解 的思维
性”并内在地蕴涵着进一步活动
过程，促进学生在抽象的过程中充分理解高度抽象的
的要求．问题 2重在提供“从内
“零点存在性定理”的实质．
隐到外显”的机会并设计“从内
还须注意到一个问题，假如教师在教学时提供形
隐到外显”的通道．为下面教学
象素材过度(或不当)，会造成学生过分依赖现成的形 图 2
象素材 ，而失去寻找和运用数学表象 的机会 ，反 而会 得出零点存在性定理作好铺垫．
阻滞学生数学思维的培养 ，既不利于数学形象思维的 3．2 类 比分析 。得 出结论
发展，更不利于数学 抽象思 维 的发 展．因此 ，应从 内 问题 3 两个问题有什么共同的地方
容 、时机、程度等方面研究形象素材提供的“度”，以真 学生 ：两者很相似．
正使教学能有效促进学生数学思维的全面发展 ]． 教师：能具体解释吗
3 教学建构 学生：将直线看做 z轴，将细线看做函数图象．那
么 ，直线和细线的交点的横坐标就是函数的零点．
数学的产生和发展始于对具体问题或具体素材
教师 ：很好 ，直线给了我们 轴的形象 ，细线给了
的观察 、实验 、合情推理 ，但又不停 留于观察、实验、合
我们函数图象的形象 ，直线和细线的交点就给了我们
情推理活动 ，而是在此基础上进一步通过 比较、分析、
函数零点的形象．那么，求“某时刻的温度为 O~C”的
综合 、概括去揭示事物的本质r1]．因此，教学 以“实验
操作”为基础 ，辅之以“问题驱动”．通过类 比分析 ，将 问题就可以看做是求什么
归纳方法与严密思考相结合，直观与抽象相结合，促 学生：求函数零点的问题．
使学生思维是一个清晰的“螺旋上升”过程． 教师：结合实物操作和你所画的图象，再进一步
可构建如下框架 ： 思考函数零点存在需满足什么条件
实验设计，提出问题一类 比分析 ，得 出结论一 引 学生：在区间两个端点的函数值应异号．
导观察，阐述定理一定理应用 ，承上启下． 教师：能结合问题说明吗
(参考“中学数学核心概念、思想方法结构体系及 学生：当点 A和点B在直线的两侧时，将直线看
其教学设计”课题组第五次活动中浙江省衢州市第二 做 z轴，将细线看做函数图象．A、B两点的函数值为
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一 正一负，此时细线和直线一定有交点． 个数．
教师 ：很好 ，你观察得非常仔细，更可贵 的是你对 问题 7 能否确定一个区间，使函数在该区间内
零点定义的理解．其他同学有补充吗 有零点
学生：我认为还应满足一个条件，函数在给定的 学生 ：用“试值法”，发现 厂(2)d0，厂(3)>0，因
区间上应该是连续不断的． 此 ，在区间(2，3)上有零点．
教师 ：能说明理由吗 (教 师 补 充 “图 象 法 ”， l
学生：如图 2，函数在区间[4，8]上的两个端点的 如 图 3) l ：
． ．／一
值已互为异号，若中间部分不定义，就不会有零点． 问题 8 该 函数 有 几个 零 - l 0 1 2／3
一 l
教师：也就是说，我们还应考虑一个问题，即不是 点，为什么
，
连续函数结论还成立吗 学 生 ：一 个．因 为 f(5E") fl
0
一
(在“几何 画板 ”下 结 合 函数 y一 + 2的 图 In 5E"是增 函数 ，厂(z)一2x一6
图 3
工
是增 函数 ，增 函数 加增 函数还是增 函数 ，所 以 f(z)
象说明)
一 In z+2z一6在区间内单调递增．
教师：还有补充吗
问题 9 刚才问题 2中，有同学提出了一个好问
学生：我觉得函数在区间[4，8]中的零点可能有
题，我们一起看一看．函数在区间[4，8]上的零点可能
两个
有两个吗
教师：不错 ，提出了一个很好的问题 ，但这是另外
学生：要具体问题具体分析，假如此时函数是单
一 个问题了，我们可以先放一下，待会儿解决．还有其
调递增函数，则零点为 1个；此时函数不是单调递增
他补充吗
函数，则可能为多个．
学生 ：
“数学是思维的体操”，源于抽象性是数学的特征
教师：也就是说，函数要有零点，有两个条件缺一
之一，数学在表达上需要确切，结论的正确性只能靠
不可：①函数图象是连续的；②厂(日)·厂(6)dO．
逻辑的演绎证明．然而任何抽象的数学概念、命题，甚
(给出零点存在性定理 )
至数学思想和方法都有具体、生动的现实原型 这一
意图：利用“实物原型”(即用于抽象的材料)和抽
点，给笔者在“零点存在性定理”的教学中提供了启
象后的“数学模型”(即函数图象)具有相似性，课中让
发：根据学生的数学思维水平和认知规律以及数学知
学生直观感知实物和模型的关系，经历“数学化”“再
识的发生、发展过程，从具体到抽象．再把清晰性、可
创造”的活动过程，为学生发展数学思维能力提供了
靠性、精确性联系在一起，逐步引导学生感受数学知
有效的途径，最终得到零点存在性定理．
识的形成过程、归纳已知事实形成抽象的数学定理，
3．3 引导观察 。阐述定理
理解定理内涵．
问题 4 若 厂(口)·厂(6)>0，函数 =厂(z)在区
参考文献
间[口， 上一定没有零点吗
1 严士健，张奠宙，王尚志主编．普通高中数学课程标准(实
问题 5 若 厂(口)·厂(6)dO，函数 Y一厂(z)在区
验)解读[M]．南京：江苏教育出版社，2004
间[口， 上只有一个零点吗 可能有几个
2 王小红．高中数学实验教学创设的几种途径[J]．中学数
问题 6 f(a)·厂(6)dO时，增加什 么条件可确
学教学参考(高中)，2O08，1～2
定函数 一厂(z)在区间[口， 上只有一个零点
3 黄翔，李开慧．关于数学课程的情境化设计[J3．课程 教
(在“几何 画板”下 结合 函数 Y—z +2x。一2x
材 ·教法 ，2006，9
一 2x的图象说明问题) 4 罗增儒．课例反思时时有 教师发展步步高口]．中学数学教
意图：通过三个问题使学生准确理解零点存在性 学参考(高中)，2008，1～2
定理． 5 李世杰．抽象化活动过程设计的合理性问题[J]．http：／／
3．4 定理应用 。承上启下 www．pep．conr．cn／gzsx／jszx／jgyj／2OO711／t20071115—
例题 求 函数 f(z)一In 5E"+2x～6的零 点 的 422881 htm维普资讯 http://www.
．
∞ ■
胃 嚣
扬州大学附属中学 何继刚
扬 州 新 华 中 学 方 悟
文Eli介绍了很多日本大学的入学试题，其几何
一 号[(z一丢)。+
问题主要集中在运算 上，几乎没有什么证 明，笔者称
‘
．‘0≤ ≤1，
它是几何 问题 的运算化倾 向．从 教科书 中还可 以看
‘
出，日本对几何教学比较重视应用，这是另外一个倾 一 ． ． 时，PH。最小，此时 PH= ．
z ,／2
向．这与我国正在进行的数学课程改革是否有些接近
St4,~- B ·PH 一 1
·
这种倾向不能简单地用“对”与“不对”来判断，也不能 ／g· 1一 · · · ,
用“好”与“不好”去衡量，应该去思考这种倾 向的优势
与不足．我们先从东京大学入学考试的几道试题说起． 又x=-0，1时，PH最大，此时PH一√专，
例 1 如图 1，设正方体棱长 D
l AB PH — 1
为 1，点 P在棱 CD 上，AABP ·一 · ,／g· 一 ．
的面积S在CP=回 时取最小
从而得到解答 =丢，6一 3， 一丢，d=2．
值√ ，S取最大值 时，
B 从以上推理过程可以看 出，解题过程全靠运算 ，
线段CD上的点P有囫 个． 图 1 可说是纯粹的代数方法．
分析：①为了便于阅卷 ，试题采用了填空题形式． ③如果让中国学生求解这道题，首先肯定想到
②具体解答如下： AB与 CD 异面 ，要使 AABP 的面积最 小 ，由于 AB
设 CP一32，则 PD一1一oT， 是定长，只要 PH 是异 面直 线 AB 与 CD 的公垂线
于是 AP=,／1-I-(1-x)。，BP=vT+32。． 段．如果教师给 了这种 “思考模式”，先取 CD的中点
设 PH上AB，垂足为 H(图 2)，则有 P，然后利用APAB、AHCD是等腰三角形 即可给出
BP。一 BH 。一PH。一 AP。一AH。。 证 明．
移项得 BP。一AP。一BH 一AH。 ④在②中，我们看到了 2x一1一,／g(BH—AH)，
一 (BH+ AH )·(BH —AH)， 很快会说 ：当 BH—AH 时，2x一1最小 ，立刻得到 z
‘
． ． (1+32。)一r1+(1一 )。]一AB(BH—AH)，
： ÷，还要思考什么
即2 一1一√3(BH—AH)．
思考：①从解题思路看，用异面直线的公垂线段
IBH+AH-,[X，
来思考本题，思路当然比较自然，但是，要让学生形成
由1BH—AH c2 ， 这种想法(素养)是要花费很多时间和精力的．对于学
生来说，如果没有“模式”是不容易想到这种思路的，
解得 BH= ( +1)，
图 2 况且，公垂线段的一个端点肯定在线段 CD上吗 为
43
‘
． ．PH0一 BP0一 BH0 什么取中点呢
(1+ 。)一 1( +1)。 2 2 ②由2 一1一,／5(BH—AH)直接取 2x一1—0，
一 = 一 + 1)
也没有具体的根据．况且 z∈Eo，1]时，2z一1是可正
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可负的． BB；七 PB； AB七 BP
BP AP
③原来的解法不用太多的几何思考，通过运算进
行推理 ，学生是比较容易掌握的．更为重要的是 ，如果 即。 BB +PB 一z．_~／ 一_ ．
1+z 一z ~／1+z 一z
把正方体改为长方体，原来解法可以照常进行，如果
步骤虽简单了，但要增加基础知识．同样，为了说
用空间想象去处理就很难了．
明△A B C 是正三角形 ，只要 由AABPcoABB P就
例 2 如 图 3，边长 为 1的
有 BB P一 ABP=60。．
正AABC的 三边 BC、CA、AB
思考 ：(I9从命题思路看 ，本题 给出了解题 台阶 ，考
上 分 别 有 点 P、Q、R，且 BP
生容易人手．如果删去第(1)问而直接求第(2)问(把
— cQ—AR<÷．AP、CR、BQ 图3 C (2)中的 z改为 BP)，思考性就更强 了，也就是说 ，在
的交点A 、B 、C 构成△A B C ．设 BP=x． “几何问题的运算化”倾 向下，解题难度可以进行
(1)用 z表示 BB 、PB ； 调节．
1
(2)AA B C 的面积为AABC面积 的 1时 ，求 z ②“面积 比为÷”也可以推广．本题是几何形式
厶
的值． 的，但考查 目标是余弦定理、二次方程．由此想到我国
说明 ：①问题 的形式也相 当于“填空”，必须先求 高中课程没有平面几何内容，平面几何问题也比较
出 BB 及 PB ．不过 ，它也提供了解题 的“台阶”，即从 少 ，这应引起我们重视．
求 BB 、PB 开始． 例 3 已知正四棱锥 D与其
②问题 的解用到△ABP ABCQ~=ACAR，从而 内切球0(图4)，令R一要(s。表
得 到 BAP一 CBQ一 B BP，AABP∽ABB P，
示正四棱锥 的全面积 ，S。表示 内
于是
AB：AP= BB ：BP，AP：PB=BP：PB ．
由余弦定理知 AP=,／14-z 一z，
‘
． ． 由 1：~／1+z 一z=BB ：z，得
BB 一
、／一1+z 一z ，
由~／14- 一z：z—z：PB ，得 ②具体解法也并不难，由
PB 一_~／=兰一 ． AABDooAAOE，得 一 ，
1+ z 一z
由于△B BP △C CQ △A AR，得 △A B C 设 AB=z，则有
OOZB =ZC =ZA ．△A B C 为正三角形 ，而 L 、倚 一r B C
— — ●
Z r 图 5
A B 一 AP— AA 一 PB
zr+zr—z~／ ，(z。一r )l 一2xr l-X2(r
一 一丽x-}-x2 一丽1-2x
~／1+z 一z ~／1 +z0一z ． +z )一0，[(z 一r )z—z(z +7-2)](z+z)一O，
S△A，B，c， ，A B ＼ (1—2x) 1 由于 Z+z>O，
． ．
‘s△ABc一【AB J一1+z 一z一2’
·
． ．(zz一，．z) z(x2+y．2)， 丛拿± ，
‘ Z 。一 r。
． ． 2(1— 2x) 一 1一z+ z ，7x 一 7z+ 1—0．
‘
一 一
·
·
． o< z< 一 ． 差X翌2-Jr 7-2
③如果 只 为 了求 z，并 不 需 要 一 定 求 出 线 段
一
BB 、PB 的长．事实 匕，利用比例性质知 2x 一 2l[ ；z (I 一z瓤 J_’
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非常少 ，对证明也不作要求．
设； 则
还应该注意到，降低证明的难度与要求只代表了
R一 ~ -r—r2 -一 l"f【F-一(r一丢) +丢]， “倾向”的一个侧面．提高几何形象思维能力、提高空
间想象能力是“倾向”的另一个侧面，具体体现为提高
· 当 f一 1时
． ． ，R ～ — 一 8一． 几何问题使用频率．在练习和测试中，以几何形式出
③我们的学生做 ，可以用基本不等式化简 ，得 现的问题非常多 ，频率很高．例如东京大学 的入学试
题，综合题对几何的要求虽然不高，但是是不可缺
R一号[ ；)]≤号·f掣 少的．
、● ● ●● ● ●● ● ● ● ●● ● J 另外，日本有些试题将数列问题与几何结合起
2
④还可能用三角方法解．
— 来、将微分法求最值与几何问题结合起来等等．学生
设 B一2a，可以得到 丌一8 在解题时，如果几何基础知识薄弱，思维过程还是会
R=y ·tan2a(1一tanZa)~7． 受阻．也就是说，学生必须具备一定的几何素养，限于
篇幅 ，这里不再举例说明．
思考 ：①原来解法 比较容易思考 ，要求学生利用
从上面几道试题分析中可 以看 出，日本在几何问
空间想象能力作出截面三角形．从原来解答 中可以看
题上并不要求证明的严密性 ，我国由于强调证 明的严
出，只要能转化成代数命题就达到要求了．
密性 ，往往减少 了与几何有联 系的问题 的训 练和测
②尽管日本中学数学教学重视基本不等式的应
试 ，可能也给学生带来一定损失 ，日本的“几何问题运
用 ，但本题还是转化成二次函数后再 配方 ，也反映了
算化”的倾向应该值得我们进一步地思考和研究．
日本对基本知识要求并不高．
参考文献
日本东京大学入学考试 的几何题的运算化的倾 1 野浞悍著．数学 I基本练习[M]．东京：骏 台文库株式合
向代表了日本中学对几何的教学要求．日本中学数学 社 ，1985
没有系统的几何教学 内容 ，比较讲究实用性 ，证明题 2 野 悍著．基础解析[M]．东京 ：骏台文库株式合社，1986
(上接第 54页) (2)分别求物体 A与 B的速度 和 ，并写出
3．如图 2，已知直线 口、b的倾斜角分别为 和 2 ，其中 简单过程；
1
直线 口的斜率为曼 一了1，求直线 b的斜率 (3)分别求图中两直线的斜率 是 和 是。，并解释它 ；理
— —
们的含义．
由是 ．
— — 6．在 中学物理课本 中有许多图象 ，图 4是物体甲
4．(高三做)在下列 四个函数中，满足性质 ：“对于 和乙作匀速直线运动时的 f图象，回答：
区 间 (1，2)上 的 任 意 z ，z (z ≠ z )， (1) 左 图 中 直 线 的 斜 率 是 ，理 由
l f(x )-f(x )l< l z 一z l恒成立”的只有( )． 是 ；
— —
A．厂(z)一 1
B．厂(z)一l z (2)右 图 中 直 线 的 斜 率 是 一 ，理 由
是 ．
C． (z)一e D．厂(z)一z
你的理由是 ：
5．图 3给出了两物体 A 与
B作匀速直线运动时的位移_时
间变化图，请回答 ：
(1)当 t一2 S时 ，比较 A 和
B 的速度 和 大小 ；t一4秒
呢 说明理由； 图3 图 4维普资讯 http://www.
考数等峰 瓣
本 刊试题 研 究组
一
、选择题 ：本大题共 12小题 ，每 小题 5分 ，共 6O分．在每 的最小值是( )．
小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要 求的． A．一 2 B．一 4 C．2 D．4
9． (理 ) 设 函 数 f ( )
1．已知 。是 第二象 限的角，且 sin。一 ，则 t n。的 A
0
值是 ( )． —sin(c一一詈)一1( >o)的导函数 图2
A．÷ B．一鲁 c．导 。．一手 的 大值为。’贝 函数 的图象的一条对称轴的方程
2．已知集合A一{ I 。一2 一16≤0)，B一{ Jc ≤5)，则
AnB中元素的个数为( )． A． 一号 B． =詈 C． 一号 D．x-_Zz-
A．2 B．3 C．4 D．5 (文 )设 函数 _厂( )一 +a,z的导 函数 为 f (z)一2x+1，
3．(理)定义运算：《 l： bl《 一ad—bc．则满足等式 则数列{ }( E N )的前 项和为( )·
A． B． c． D．
I 1i i l一。的复数 的共轭复数 所对应的点 十 1 一 l
10．(理 )如 图 3，在 AOB 的两 边
位 于( )．
OA、OB 上 分 别 有 A 、Az、A 、A 和
A．第一象限 B．第二象限
Bt、Bz、Bs、B 、Bs共 9个点 ，连结 线段
c．第三象限 D．第四象限
A B，(1≤ ≤ 4，1≤ ≤5)，如果其 中两
(文)设函数 l厂(z)一Ⅱ +1，若 厂 (一1)一2，则实数 “的
条线段不相交，则称这两条线段为一对
值是( )．
“和 睦线 ”．则“和睦线”共有 ( )． 图 3
A．一 1 B．0 C．1 D．2
A．120对 B．100对 C．8O对 D．6O对
4．若点 P(a，3)到直线 4z一3j，+1—0的距离为 4．且该点
(文)某电视台曾在某时间段连续播放 4个不同的商业广
在不等式 2 +j，<3所在的平面区域内，则 n的值为( )．
告 ，但近来要在该 时间段 新增 播一 个商业 广告 与两个 不 同的
A．7 B．一 7 C．3 D．一 3
奥运宣传广告，且要求两个奥运宣传广告既不能连续播放也
5．如图 1，在正四面体ABCD中，
不能在首尾播放，则在不改变原有 4个不同的商业广告的相
Ao上平面BCD，垂足为0．设 M 为线
对播放顺序的前提下，不同的播放顺序共有( )．
段 AO 上 一点 ，且 ／BMC： 90。，则
A．24种 B．36种 C．48种 D．6O种
A M的值是 ( )
．
砀 11．指数 函数 =Ⅱ 和对数 函数 j，=log~x(Ⅱ>O，Ⅱ≠1)的
图象分别为 c 、c。，点 M 在曲线 C 上，线段 OM(0为坐标原
A．÷ B．{ c． D．詈 图
点)交曲线 C 于另一点 N．若曲线 Cz上存在一点 P，使点 P
6·已知函数，(z)一南 一1的定义域是[Ⅱ，6](Ⅱ、6 的横坐标与点M 的纵坐标相等，点 P的纵坐标是点N横坐标
的 2倍 ，则点 P的坐标 为( )．
∈z)，值域是[O，1]，则满足条件的整数对(n，6)共有( )．
A．(4，4) B．(4，log 4) C．(Ⅱ ，4) D．(1o＆ 4，2)
A．2个 B．5个 C．6个 D．无数个
12．设 _厂( )是定义在 R上的减 函数 ，且对 于任意 的 t∈R，
7．已知双曲线 x2 72 1和椭 圆 X2十 2
一
— — 1(Ⅱ> O,m~ b
都 有 ，(一1+￡)+，(一1一￡)一2．若 Ⅱ+6< 一2，则有 ( )．
>O)的离心率 之积大 于 1，那么 以 n、b、 为边长 的三角 A．，(Ⅱ)+，(6)>2 B．，(“)+，(6)<：2
形是( )． C．，(Ⅱ)+，(6)>1 D．，(Ⅱ+6)< 1
A．锐角三角形 B．等边三角形 二、填空题 ：本大题共 4小题 ，每 小题 4分 ，共 16分．把 答
C．直角三角形 n钝角三角形 案 填在 题中的横线上．
8．如图 2，AB是半圆 0 的直径 ，且 AB=2，C为半 圆上 不 13．若 ( 。+1)(2x+1)。一Ⅱo+Ⅱ1( +2)+Ⅱ2( +2)。+
同于 A、B的任 一点 ，P为半 径 OC上一 动点 ，则 ( + )． +“ll( +2)“，则 “o+Ⅱ1+Ⅱ2+ +“1I的值等于 ．
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l4．在 △A0B 中，0为坐标 原点， (1)求 n、b的值；
(2)求数列 }中的最小项，并说明理由．
A(1，COS目)，B(sin 0，1)，0∈f＼ 0，÷JI ，则
21．(本 小题满 分 l2分)(理)设 A、B分别 是双 曲线
△A0B面积的最大值是 ．
C c ： ／．2 yZ
一 — l(“>o，6>0)的左端点和虚轴的上端点，F 、Fz
15．如 图 4，A、B、C是 球 0 的球 面
上三点 ，且 OA、0B、OC两 两垂直 ，P是 分别为左 、右焦点 ，M、N 是双 曲线 C右支上不 同 的两点，Q为
图 4
球O的大圆上白C的中点 ，则直线 AP与 线段MN的中点．且在双曲线 C上存在一点P，使得 +商
0B所成角的弧度数是 ．
+ 一 ( 一3) ．
16．某资料室在计算机使用中，
1 1 1 1 1 1 (1)求双曲线 C的离心率 e；
如图 5所 示 的 编码 以 一定 规 则 排 1 2 3 4 5 6 (2)当n为定值时，求出所有使点 Q在直线Y一2x上的弦
列 ，且从左 至右 以及从 上到 下都 是 1 3 5 7 9 11
MN所在的直线方程 ；
无限的．此表中，编码 i00共出现了 1 4 7 1O 13 16
(3)是否存在 n、6，使得 IF I，l I，IF I成等差数
次． 1 5 9 13 17 21
1 6 11 16 21 26 列 若存在 ，求出n、b的值；若不存在，说明理由． 三 、解 答题 ：本 大题 共 6小题 ，
共 74分．解答应 写 出文字说 明、推 (文)设函数厂(z)一÷nJT。+bx。+cz(n<6理过程或演算步骤． 图 5
点 A(1，厂(1))、B(m，厂(m))处的切线斜率分别为 0、一矾
i7．(本小题 满 分 l2分 )已知 △ABC的三 个 内角 分别 为
A、B、C，向量 m：(sin B，1～COS B)与向量 n= (2，O)夹 角 0的 (1)求证 ：O≤ < 1；
余弦值为丢． (2)若 函数 _厂(z)的递增区间为[ ，f]，求 l 一tl的取值
范 围；
(1)求角 B的大小；
(3)若 z≥ 时，恒有 ／(z)+n(2)求 sin A+sin C的取值范围．
22．(本 小题 满分 l4分)(理)已知函数
18．(本小 题 满分 l2分 )如 图 6，直 线
AD、Bc、cD两两垂直，且 AD与Bc不在 f÷JT。+mz。(z≤o)，
厂(z)一
同一 平 面 内．已知 AB一 13，BC一 3，CD
ex— l(z> O)．
一 4，M、N 分别为线段 AB、AC的中点．
(i)求函数 _厂(z)的极值；
(1)证明 ：直线 BC∥平面 MND；
(2)当 x>O时，设 _厂(z)的反函数为 f (z)．对于 z >zz
(2)证明 ：平面 MND上平面 ACD；
>O，试 比较 f(x1一z2)、f (z1一z2)及 _厂 (z1)一f (z2)的
(3)求三棱锥 MND 的体 积．
大小，并说明理由．
19．(本 小题 满分 l2分)(理 )一个 盒子 - 图 6
y2
中装有大小相同的 6张卡片，上面分别写着如下 6个定义域 (文 )已知椭 圆 c： X2
十 — 1(n>6>0)的离心率 e一 ，
均为 R的函数：厂l(z)一z，f2(z)一z ， (z)一 ，f4(z)
一sin 4x，厂5(z)一COS 5x，_厂6(z)：6． 左、右焦点分别为 F 、Fz，l Fl Fz{一2√3．设 M(x ，Y )、N(xz，
(1)现从盒子中随机取出 2张卡片，将卡片上的两个函数 Yz)是 椭圆上不 同的两点 ，且 z zz+4y yz一0．
相加得到一个新的函数 ，求所得函数是奇函数的概率 ； (1)求椭圆 C的方程 ；
(2)现从 盒 子 中逐 一抽 取 卡 片 ，且 每次 取 出后 都 不再 放 (2)求证：z{+z；一4；
回，若取到一张记有偶函数 的卡片则停 止抽取，否则继续进 (3)在z轴上是否存在一点P(￡，o)，使得I葡 l—I确 I
行．求抽取次数 的概率分布列和数学期望． 若存在，求出t的取值范围；若不存在 ，说明理由．
(文)甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球 比赛中，规 参考答案
定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束．现已知 甲、乙两 队 一
、选择题
0 o
每比赛一局，甲队获胜的概率是÷ ，乙队获胜的概率是÷，且 1．B；2．C；3．A；4．D；5．C；6．B；7．D；8．A；9．A；10．D；11．
J J
B：12．A．
每局比赛的胜负是相互独立的．
二、填空题
(1)求甲队以3：2获胜的概率；
13．一 1；14． 1
(2)求乙队获胜的概率． ；15．詈；16．6．
20．(本 ，j、题 满分 12分)已知 n、b、c均为正 整数 ，且 n≠1．
三 、解答题
等差数列 {n }的首项为 。，公差为 b；等比数列{b }的首项为
b，公比为 n，且 a141 b2n+1 · m ·n一 4sin c。s B
一 项 n 与b ，使得 n +1一b ，又 Cn—a,-
， og2下 ． ．． ，ImI一2sin导，I n1=2．
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． 13 小 ·，l B (2)记“乙队获胜”为事 件 B，则 B包括三种 情况 ：3：0乙
”∞ 一 _ 一 ∞ ’
胜 ；3：1乙胜 ；3：2乙胜 ，
由 c。 B一 1 0， 了7r，即B一警． ·． ．P(B)一(詈)。+c；×( )2× 3× 2+c；×(詈)
(2)·．·B一孥5 ．A+C一 5 ． ×(詈)2×吾一 + + 一 ．
·
··sin A+s—n C=sin A+sin(号～A) 20．(1)由 b2。
． 1< =sin A+sin号c。s A—c。s詈s1’n A 又n为正整数，．。．n一2．
。 ’
． n + 1一b ，．．2+ ( 一 1)6+ 1=b·2 ‘．
一 专sin A+ c。s A—sin(A+号)． · 一
． ．
又0故 6—3．
·
． ．
~ 3n- 151
一
故sinA+sin c的取值范围是(譬，1]． o o cn 一 ． ， logz — — (n- b5)．。2Z
18．(1)‘．‘M、N分别 为线段 AB、AC的中点 ，．‘．MN~BC． 一 z( 一_耋_) ～萼．
又 MNC平面 MND，BC 平面 MND，
。
．
． 当 =2或 一3时 ，c 取得最小值 ，最小值 为一12．
．-．直线 BC／平面 MND．
21．(理)(1)‘．‘ +商 + 一( 一3)-0-~，
(2)‘．。BC上CD，BC上AD，．。．BC上 平面 ACD．
·
． ．0-~+ +-0~一√ ．
又 MN~BC，． MN上平面 ACD．
‘ 设 P(xo，Yo)，又 A(-a，0)、B(0，6)、F2(c，O)，
·。MNC~N MND，·‘·平面 MND上平面 ACD．
。
(3)‘ MN上平面 ACD， ．MN 是三棱锥 M-AND 的高． ． ． (一 n+c，6)一 ( 0，yo)，
f～ n
在Rt~BCD中，BD=~／百 一5； X o
,／3 代人 一 2
-
在 Rt~ABD中 ，AD= 百 一1 2． — 1，得 =c· 3
b 。
。
． AD上CD，N是线段AC的中点，
,／3
· SAAND一 1 s
△ 。 =~-CD·AD=12． (2)由(1)知 f一3a，则 b 一8a ，从 而 C：8 一Y =8a ． ． ．
若 MN上 轴，则中点 Q在z轴上，不可能在直线 ：2
i~VA- 一v 一 1 S D ·M N一 1 , 12)<3 = 6． 上 ，所 以 MN 与 轴不垂直 ．
19．(理)(1)记“任取 2张卡片，将卡片上的函数相加得到 设 Q(t，2t)，MN： 一 ( 一￡)+2t，代 人 8x 一Y =8a ，得
(8一k ) +2kt(k一2) 一 t。+4kt 一4t 一8a 0． ①
奇函数”为事件 A．
显然 8一 ≠0，则 +xN一一 ．
。 6张卡片中有3个奇函数、3个偶函数， ．P(A)一 一÷．
。
．。Q为线段 MN 的中点 ，
(2)搴可 能取 的值 为 1，2，3，4．
·
． ．一 一 解得
。．P c 一 一÷，Pc搴一z 一昌是= ，
将 k 4代人① ，得 2z 一4￡z+t +2a =0．
Pc s，= 一未 一襞舞 一 ， 由 △=16t 一8(t +2a )>0，得 t >2a ．
。
．
． 搴的概率分布列为 注意到 Q在Y轴的右侧，所以f>√2n．
故直线 MN的方程为Y一4 一2t(t~√2n)．
(3)假设存在 。、6，使得 『 『+『F I一2 『 『．
由焦半径公式 ，得 『 『一3．VM+n，I 1—3 +n．
·
．
．3( +XN)+2n一2f 『，即f 『一3· }塑+n．
故E 1×÷+2× +3×嘉+4× 一÷．
。
． ．点 Q在双曲线的右支上，矛盾．
(文)(1)记“甲队以 3：2获胜”为事件 A，则第五局甲必
故不存在 、6，使}F f，f f，f }成等差数列．
胜，且前四局各胜两 局．
(文)(1)依题意，厂(1)一n+2b+c=0，厂( )一am +2bin
． P(A)一c；×(詈)。×(詈)2× 3一砸648 ． + c一 一 n．‘．。n< 6< c。．。．4a< n+ 2b+ f< 4c。． n< 0。f> 0．
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‘
． ．g (z)>g (O)一0恒成立．
将c一一n一2bR,k n<6．．g(z)在(O，+oo)上是增函数，则 g(z)>g(O)一o．
将 c一一n一26代入n +2bni+c一一n，得 ‘ ‘
． z1一z2> o，．。．g(xl—z2)> 0，
nm0+2bin一2b=0．
即 f(xt—z2)一_厂_1(zl—z2)>0，
由 A=4b。+8n6≥o，得 ≤ 一2或 ≥o． 故 _厂(z1一z2)>， (z1-x2)．
②再比较．f～(xi—zz)与 ，_1(z )一f (zz)的大小．
综上所述 ，O≤旦 <1
． _厂一 (zI—z2)一[， (z1)～， (z2)]
一
(2)对于 f (z)一nz +2bx+c，判别式 △一4(b。一ac)>O， ln(xI～z2+1)一[1n(x1+1)一ln(x2+1)]
． ．方程 nz +2bx+c一0有两个不等实根 zt、zz．
又由厂(1)一n+26+f一0知z 一1为方程的一个根．
再 由 + 一一 知 2— 2b— l< o< ． 『- + ]>。，
。
．
．厂一 (z1一z2)>，一 (z1)一f一 (z2)．
当xxl时，厂(z)综合①、②知 f(z 一z2)>f (z 一z )>f (丑)
当z2o．
一 厂_ (z2)．
． ． 函数 _厂(z)的递增区间为[zz，z ]，即[s， ]一[zz，．27t]．
(文)(1)由题设知 n一2，c=√3，则 6—1．
· Is-tl— I zl—z2 I一2+ 2b
． ．
．
。
． ． 椭 圆 C的方程为 +Y 一1．
由(1)知 O≤ <1，故I s—tI的取值范围为[2，4)．
(2)由z1z2+4yly2一O，得 z}1．7；一16y；3I2．
‘ ‘
(3)由厂(z)+口·．n< o，o~ox2+ be ．．z}z；=16y~y；一16—4(x}+z；)+z}z；．
x一 > o，
故 z}+z；一4．
即g(÷)一(2z一2)·÷+z。为关于÷的一次函数． (3)假设存在点P(t，o)，使得I砌 I—I-P-~l，则
(zl一 )。+ }一(z；一 )。+ ；，
依题意，不等式g(鲁)>o对o≤÷·
． ． 1 g( 1 )一一 +2oX’ - 2>1 o，得一 ≤一 ’ 一l
aP( 一z )(z ~f-x2-2 )一 1二 旦
．
或 ≥ ’ ～1．
· ‘
． ≥~／ 一1，即 k的最小值为 一1． ．z ≠恐o~x1+z一号 ．
22．(理)(1)当 x>O时，_厂(z)一e 一1在(O，+。。)上单调
虹 堕 一
X lX 2一 ，
递增 ，且 ，(z)>O．
当z≤0时，厂(z)一z。+2rex=z(z+2m)． ~oX1、 2是方程 2一了8 + 一。的两个根
o
．
J
①若 m=O，厂(z)=x2>t0，则，(z)一 1 z。在(一o。，o]上
由△一警 > 一 单调递增，且 ，(z)一÷z。≤o．
故存在点 P(t，o)，使得I I—I帝 I，且 的取值范围
又 ，(O)一0，． ．，(z)在 R上是增函数，无极值．
是(一 ， )．
②若mO，则，(z)一÷一+rex。
在(一o。，O]上单调递增．
同理，，(z)在 R上是增函数，无极值．
(编者注 ：本期的两套高考数学模拟试题由本刊试题研究
③若m>O，易知／(z) ÷一+ z。在(一o。，一2m]上单 组组卷，其试题大部分是各地老师和教研员提供的，在此 ，本
刊特向所有供题老师及组卷执笔的武功仁、广隶等老师表示
调递增，在(一2m，O]上单调递减．
感谢．两套试题主要采用了下列老师所供的试题原题或命题
又 ，(z)在(0，+o。)上单 调递增，故If(z)] d、一f(0)
思路 ：
一 0，[，(z)] ★一，(一2m)一÷m。． 安徽 ：吴永刚，孙世宝，洪汪宝，崔北祥，祝峰．福建：冯精
(2)当x>O时，f (z)一1n(z+1)(z>O)． 华，郑元禄．广西：李胜东．河南：王安寓，岳铁旺．湖北：黄汉
①先比较 ，( 一zz)与 ， (z 一zz)的大小． 桥，舒云水．江苏：曹大方，董成勇，柳金爱．江西：阮灵东．山
设 g(z)一，(z)一f (z)一ex—ln(x+ 1)一1(z>O)，则 东：史青霞，金书林，张光田，徐加华．山西：金 良，黄丽霞．陕
西 ：赵宝平，马文杰，刘大鸣．四川：覃艾昌．新疆：刘建．浙江：
gt(z)一e ～ _l在(o，+∞)上是增函数． 李建潮 )维普资讯 http://www.
!
、 }
薰 ⑥⑥ 煎 ⑥⑩
首都师范大学 王尚志 北大附中 张思明 首都师范大学 胡凤娟
并可以按平行四边形法则进行合成”的量在物理上通
1 背景
常叫做矢量，为了叙述方便，我们暂时统称与方向有
史载，古希腊的亚里士多德(公元前 384～公元 关 的量为“矢量”(对这个 问题有不 同说法)．
前 322)已经可以用平行四边形法则求得两个力的合 我们不难发现“矢量”可以分为三类：
成．经过了近两千年 ，直到牛顿创立微积分 ，对 向量知 第一类“矢量”有三要素，即“大小、方 向、作用点
识的认识没有发生实质性的变化 ，例如 ，伽利略(1564 (起点)”，例如力 ，位移等．
～1642)也是在具体情境中，重申了具体矢量的“平行 第二类“矢量”有两要素，即“大小、方向”，例如速
四边形法则”． 度等．
进入 19世纪 ，事情开始发生变化．“复数”充 当了 第三类“矢量”只有一个要素，即“方向”，例如直
催化剂 ，丹麦 的魏 塞尔 (1745～ 1818)，瑞 士 的阿 工 线的方向(一点和一个方 向可以唯一的决定一条过这
(1768～1822)发现 了复数 的几 何表示 ，德 国的高斯 个点且与这个方 向平行的直线)、平面的方向(一点和
(1777～1855)建立了复平面的概念 ，从而使 向量与复 一 个方向可以唯一 的决定一个过这个点且与这个方
数建立起一一对应．向量 被表示 为一对 有序 的实数 向垂直的平面)．这里 的方 向(“矢量”)与大小和起点
(a，6)，这是认识 向量 的一个重大进步 ，并且把 “平行 是无关的．
四边形法则”与运算联系起来． 2．2 “矢量”的基本性质
德国数学家格拉斯曼 1844年引入 了 ，z维向量 的 上面所说 的每一类“矢量”都可 以用“平行四边形
概念．后来，人们又发现了，z维向量与实数的差异，这 法则”进行“加法”运算 ，也可以进行数乘运算 ，反映这
是 19世纪抽象代数思 想发展 的重要 内容 ，产生 了线 些量的“拉伸与压缩”，这里我们仅以第一类“矢量”为
性空间(向量空间)的概念．线性空间(向量空间)的概 例．为了方便，我们只讨论平面上的
念是大学数学的基本研究对象 ，既是学习大学数学的 问题，在平面上给定一个点 0，我们
基本工具 ，也是研究 高维空 间数 学问题必 不可少 的 用 以 0为起点 的所有有 向线段来 表
工具 ． 示第 一类 “矢量 ”，点 0表 示作用 点
作为数学老师，我们需要理解向量的物理背景， (起点)，从起点到终点的方 向表示方
向，线段的长度表示大小．用 V为表示 图1
有 类重要的量，例如位移、力、磁场力、电场力、速
度、加速度、冲量、力矩、磁场强度、电场强度等，它们 所有第一类“矢量”组成的集合 ，一个具体模 型如图 1
都具有以下共同的特点：大小、方向并可以按平行四 所示．例如 ，物理 上作 用 在 同一点 的力 就可 以这样
边形法则进行合成．在物理 中把这样的量统称为矢 表示．
量．矢量是向量概念最重要的背 景之一 ，对几何 问题 我们不难看出，对 V为中的任意元素 口、卢、 ，数域
的研究也是 向量概念 的重要背景． R中的任意数 忌、z，它们具有以下 8条性质：
英文 vector的中文译名是“向量”，顾 名思义，就 (1)结合律 ：口+(卢+ )一(口+卢)+ ；
是指“既有方 向又有大小 的量”，可以说译得 十分贴 (2)有零元 ：一般用 0来 表示零元，它满 足 口+0
切．不过中国在清末引进 vector概念时，物理学家称 — 0+ 口一口：
之为“矢量”，至今两种译名并存． (3)有负元：对向量集 V中的任意向量 口都存在
一 个 向量 卢，使 口+卢一卢+a=O；
2 概念
(4)交换律 ：口+卢一卢+口；
2．1 “矢量”的分类 (5)la= 口：
前面已经指出向量 的物理背景 ，具有“大小 、方 向 (6)忌(／a)一 (忌Z)口；
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(7)(k+ Z)口一 ka+la； (4)考 虑 到 国际 中小学 数 学教 育 的一个 基 本
(8)k(口+ )一ka+ ． 共识．
2．3 三类“矢量”之间的关系 对于目前中学给定的向量定义，数学教育工作者
为了讨论三类“矢量”之间的关系，仅以前两类 和教师必须清醒地认识到这个定义的使用范围，这个
“矢量”为例．我们给出第二类“矢量”的一个具体模 定义只适用于那些两要素的“矢量”，同时，也应该认
型，用 表示所有第二类“矢量”组成的集合．在平面 识到还可以选择第一类“矢量”作为“向量”的定义 ，我
上任取一个点 0， 表示以 0点为起点的所有有向 们将在后面进一步分析这一点．
线段 ，即V。一U{ 10是平面上的
3 应用
任意一点)，也可用图 2表示．显然
第二类“矢量”是所有起点不同的 “向量”的应用是 向量 教学 中的一个重要 问题，
第一类“矢量”的并集．由于第二类 “向量”的应用也 和数学 的其他应 用一样 ，既要 考虑
“矢量”只与大小和方向有关，我们 “向量”在其他学科和 日常生活中的应用，也要考虑
可 以将 具有相 同大小 和方向 的量 图2 “向量”在数学中的应用．
看做是相 同的“矢量”，不考虑起点的位置． 解决某些物理问题是“向量”最重要的应用领域 ，
利用集合论的知识，可以在平面内的所有有向线 向量不仅在学习物理过程 中发挥着重要的作用 ，在近
段的集合 V。中，定义一个二元关系R：如果有向线段 代物理学的研究和发展中也发挥着越来越大的作用．
口 与 口。的方向和长度相同，我们就称 口 与 口。具有 著名数学家陈省身先生多次强调，“每一个几何学科
关系 R．可证明二元关系具有反身性、对称性和传递 都能找到它的物理背景 ，每一个物理方 向都能在几何
性，因此它是一个等价关系．现在把所有与口 等价的 中找到描述它的数学模型．”我们在前几篇文章中曾
有向线段所组成的集合记为[口 ]，称[口 ]为 口。的R 多次强调处理好数学与物理的关系．当我们利用 向量
等价类．则有，设 口 、口。是 V。中任意两个元素，如果 去讨论物理问题和 日常生活中的问题时 ，必须清楚这
口 ≠口。，就有[口 ]n[口。]一 ；如 个问题 中所出现的“矢量”是哪一类“矢量”．
果[口 ]n[口。]≠ ，就有 [口 ] 我们与大学和中学的物理教师进行了多次交流，
一 Ea。]．显然，关系 R将 V。分成 在解决物理问题时，他们所考虑的都是具体情境中具
无数多个等价类(如图 3所示)． 体的“矢量”，对于一个具体的“矢量”，他们非常清楚
图 3和 图 2都是第 二类“矢 这个“矢量”需要 考虑几个要素 ，这种处理问题的方
量”的表示方式 ，这样表示的意思 式 ，是我们需要学习的．运用“向量”解决 问题时，一定
是 ，我们在只需要 掌握 好各个等 图3
要具体问题具体分析．例如，北京的风速和南京的风
价类 中一个特殊元素的性质就可以了，在处理问题时 速是不能合成的，等等．
会更加方便．我们不难验证第二类“矢量”也具有上述 “向量”也是解决平 面几何 问题 的基本工具和方
8条性质． 法，例如，用“向量”来证明正弦定理和余弦定理．
第三类“矢量”更加特殊 ，只与方 向有关，它可 以 在△ABC中，三个 内角 A、 B、 C的对边分
看做对第二类“矢量”再作一次等价分类．有兴趣的读 别用n、b、C表示．AD是边BC上的高，如图4所示．
者，可以当做一个练习，并验证第 三类 “矢量”也满足 A
上述 8条性质．
2．4 中学的“向量”概念 D
大多数 国家的“中学数学标准”都选择了第二类
“矢量”作为 中学“向量”的定义，我们分析有 以下 3．1 证明余弦定理
理由： 考察图4中，向量 =商 一 ，所以
(1)有丰富的实际背景(特别是物理背景)； z一(商 一 )．(商 一 )
(2)“有向线段”是学生可以操作的载体； 一 蔬 z+ z一21商 1．1 1．cos c，
(3)“平行四边形”是学生最熟悉的几何图形，通 ‘． ．C。一n。+b。一2abcos C．同理有 n。一C。+ b。
过“平行四边形”学生能够 比较好的理解第一类“矢 一 2bccos A，b。一n。+C。一2accos B．
量”与第二 类 “矢量”之 间的关 系，学 生学 习的难 度 由此我们得到余弦定理：三角形任何一边的平方
不 大 ； 等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角余弦
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的积的两倍 ，即 a。， ，n )所组成的集合按原来的加法和数乘也构成
a 一 c +b ～ 2bccos A， R上 的向量 空间，通常把这个 向量空间记为(R ，R，
b 一a。+ c 一 2accos B， 十，·)，有时用 R 来表示．
c 一a + b 一 2accos C． 我们 还可 以为 向量空 间找到更多 的其他模 型．
3．2 证明正弦定理 例如 ：
图 4中，向量 、 在 向量 上 的正射影数 (1)全体定义在区间[n，6]上的连续 函数．我们知
量 ，无论 C是锐角 、钝角还是直角，得到 的两个数量 道，对[“，6]上任意的连续函数 厂(z)、g(z)，任意的实
都是相 等 的，即 AD= lA百l·COS DAB— l Ae l 数 a有 ：(f+ g)(z)=f(z)+ g(z)，(af)(z)
·COS DAC．又 ‘．。l A矗l—f，l AC l—b，COS DAB 一af(x)．所以，连续函数 的和仍是连续函数，实数与
—sin B，COS DAC— sin C，．‘．csin B— bsin C，即 连续函数的乘积也是连续函数，所以[n，6]上全体连
续函数的集合构成了R上的向量空间；
一 同理可得 一一a
Sln Sln ． SIn ／2i Sln ．／t ，因此 有
L Sln A (2)我们还可以推广 ，首先考虑[n，6]上全体 连续
鱼 一 函数的导函数(多项式函数)，易知，[n，6]上全体 连续 一
一
sin B— sin C‘
函数的导函数(多项式函数)对加法和数乘封闭，所 以
因此 ，得到正弦定理 ：在一个三角形 中，各边 的长 [n，6]上全体连续函数的导函数(多项式函数)的集合
和它所对的角的正弦的比相等 ，即 构成了 R上的向量空间；
～ 鱼 一 (3)再考虑[n，6]上全体黎曼可积函数，由可积函
sin A～ sin B— sin C‘
数的性质可知 ，可积 函数的加法和数乘封闭 ，所以[n，
在这里我们希望强调 ，“向量”是解决几何 问题时
6]上全体可积函数的集合构成了R上的向量空间．
的一种方法．综合几何的方法、解析几何的方法都是
随着学习的深入，还可以为向量空间找到更多模
解决几何问题的方法，例如，对于正弦定理来说，可以
型．我们可以比较一下中学与大学对“向量”认识的
利用综合几何的方法来处理．关于这三种方法的比较
差异，体会模型的思想．认识和引入数学的概念 ，可 以
请参考我们前面的文章．
采用两种不同的方式，一种先结合具体的对象，例如，
4 模型 用第二类“矢量”引入“向量”的概念 ，在这个概念 的基
础上逐步拓展 ；另一种可以先建立一个“模型”，例如，
在《全 日制义务教育数学课程标准》的修改时，提
引入“线性空间”，再引入“向量”的概念 ，在这个基础
出了“四基”：基础知识 、基本 技能、基本活动经验 、基
上给出一系列的具体 实例．中小学的数学 教材 中，一
本思想．模型思想是研究数学 的基本思想 ，也是在数
般采用第一种方式 ；大学 数学 的教材 中，有些概念采
学学习中要帮助学生逐步形成的基本思想．
用第一种方式 ，有些概念采用第二种方式．在教学中，
在中学数学教学 中，培养学生形成模 型思想是一
教师常常根据 自己的理解采用不同的处理方式．我们
个具体目标，向量是我们将要学习的一批重要数学模
希望中学骨干教师和优秀教师能对数学本身和数学
型的载体 ，向量会强化对模型的认识．
的教学方式有一个完整的认识 ，根据具体情况采用不
数学的学习和研究 ，不仅仅满足于对一些具体模
同的方式，提升自身的数学素养．
型的认识和理解，例如，对于在中学阶段形成的向量
参考文献
模型的认识和理解，而且，需要完成进一步的抽象，建
1 普通高中数学课程标准研制工作组．普通高中数学课程标
立更一般的数学模型，下面仅以线性空间为例对这种
准[M]．北京：人民教育出版社，2004
思想加 以说 明． 2 严 士 健 ，张 奠 宙 ，王 尚 志．普 通 高 中数 学 课 程 标 准解 读
V是一个集合，R是一个数域，如果我们可以定 [M]．南京：江苏教育出版社，2004
义两种运算 ：+：V×V— V，·：R×V— V，前一 3 张奠宙，袁震东．话说向量[J]．数学教学，2007，9
种运算“+”通常称做“V”上的加法，后一种运算“·” 4 罗贤强．从四元数到向量：向量概念演变的历史分析I-J]．
通常称做“R”与“V”的数乘．设 口、卢、 等表示集合 V 西北大学学报 (自然科学版)，2005，4
5 李文林．数学史概论(第 2版)[M]．北京：高等教育 出版
中的任意元素，k、z等表示数域 R中的任意数，如果
社 ，2002
它们满足上述 8条性质，我们就把(V，R，+，·)称做
6 齐民友．中学数学教学中的向量I-J]．数学通报，2007，4
抽象的线性空间，有时也称做抽象的向量空间，把 V
7 王尚志，张饴慈 ，吕世虎，马芳华．普通高中新课程数学教
中的元素叫做 向量． 学指导[M]．北京：高等教育出版社，2006
不难验证 ，第一类 “矢量”、第二类“矢量”、第三 8 赵凯华，罗蔚茵．新概念物理教程：力学[M]．jE京：高等教
类“矢量”都是具体的线性空间，所有 维实向量(口 ， 育 出版社 ，1995 ’维普资讯 http://www.
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石河子大学学报编辑部 文晓宇
著名数学家陈景润在文[1]中，给出了一道等差 当 一2时，对应的是这个等差数列的第三项
数列求和题及解答，即 为 7；
“例如：当n为整数时，求 1+4+7+10+13+
+(3，z+1)的和．虽然我们可以用高等数学的方法、数 当 — 时，对应的是这个等差数列的最后一项
学归纳法等来求上面的和，但是我们认为最简单的还 为 3 +1．
是下面的方法． 这里的“当 为整数”，实际上是“当 为 0和自
显然 1+4+7+10+13+ +(3n+1) 然数集(或它的有限子集是{0，1，2，·一， ))”．
一 (3n+ 1)+ (3n一 2)+ (3n一 5)+ + 1． 我们再来查阅当时全国使用的高中《数学》第四
而 1 4 7 10 (3 +1) 册，在教材中指出：“实际上，对于一个定义域为自然
+(3n+1)(3n一2)(3n一5) (3n一8) 1 数集(或它的有限子集是{1，2， ， ))的函数来说，数
(3 +2)(3n+2)(3 +2)(3n+2) (3n+2) 列就是这个函数当自变量从小到大依次取 自然数时
相应的一系列函数值，而数列的通项公式就是这种函
上面共有 n项，故得到
数关系的一种表达式．”【3]
zE1+4+7+1o+ +(3，z+1)]一，z(3 +2)，
由此可知，在陈先生解该题的前五行中，“当 为
所 以 1+4+7+10+ +-(3 +1)一n—(3n +2) ，，
— 一
．
厶 整数”，实际是“ 一0，1，2， ， ”，其分别对应的这个
由于陈先生是著名的数论专家，在哥德巴赫猜想 等差数列是 +1项；而在陈先生解该题的后三行中
研究方面取得了国际领先 的成果 ，被 国际上誉 为“陈 “上面共有 项”，这里的 项，陈先生是回到了当时
氏定理”，所以编者和读者一般都认为陈先生对这道 中学数学教材中 的定义域，即 =1，2， ， ，这里
数列求和题的上述解答是正确的．然而，“实践是检验 缺少了题目中 一0时的情况．显然，这里是出现了违
真理的唯一标准 ，我们不妨来检验一下上述解答 背同一律(A是 A)和矛盾律(A不是 ) 的错误 ，即
的结论是否正确 ： 在同一论证中，前面讲 =0，1，2， ， ；同时，后面又
当 ，z一4时 ，求 1+4+7+1O+13的和．即可得 讲 一1，2， ， ，这就出现了矛盾．
1+ 4+ 7+ 10+ 13一 下n(3n+ 2) 因此，这道题的正确解法是，我们仍保留陈先生
一
解题中的前五行，只需要对陈先生解题中的最后三行
一 28． 进行修改，即
然而，实际上我们可直接计算出它的和为 “上面共有 +1项 ，故得到
1+4+ 7+ 1O+ 13— 35． ZE1+-4+-7+10+ +(3n+1)]=( +1)(3 +2)，
这里，我们仅举这一反例，就可充分说明，陈先生 所 以 1+ 4+ 7+ 1O+ + (3n+ 1)
对这道数列求和题的解答出现了失误． ( + 1)(3n+2) ，
陈先生对此题解答的失误究竟在哪里呢 下面 2 ‘
我们来进行具体的分析． 参考文献
1 陈景润．和同学们谈学习数学EJ]．中学生数学，1981，1
从陈先生所给出的这道题来看：“当 为整数”，
2 特约评论员．实践是检验真理的唯一标准[N]．光明 日报 ，
显然
1978—05-I1
当 一0时，对 应 的是 这个 等 差数 列 的第 一项 3 中小学通用教材数学编写组．全 日制十年制学校高中课本
为 1； 《数学》第四册[M3．北京：人民教育出版社，1980
当 一1时，对应的是这个等差数列的第二项 4 十三院协编组编．中学数学教材教法总论[M]．jE京 ：高等
为 4； 教育出版社 ，1980维普资讯 http://www.
编者按 新课程中的新增内容无论是选修还是必修 ，都是教师在以往教学中不曾接触过的，那么对于这些内容我们应怎样
把握教材，如何组织教学呢 面对这些问题，已实施新课改地区的教师有经验也有困惑，即将进入新课改的教师有热情也有一丝
．比虑，不论是成功的经验还是探索过程中的困惑，或是教师心中的疑虑，都是宝贵的教育资源，值得借鉴与研究．为此，本刊将继续
选发“如何进行新课程新增内容教学”的专题文章，欢迎积极投稿．
一 新高中漂“翟矩阵避与 变换"内蝴容教学行内动黉研究酾“ 《 孽渡
首都师范大学附属中学 郗玲玲
《普通高 中数学课程标准 (实验 )》(以下简称《课 从研究的角度来看，大学把矩阵看做代数的运算对
标》)规定的课程与以往的课程相 比，内容上发生 了很 象、线性方程组与线性空间的表示方法，而高中则把
大的变化，尤其在选修系列中增加了许多新内容，比 矩阵看做是 表示 几何变换 的工具 ；从 研究 的内容来
如：“数学史选讲”“几何证明选讲”“矩阵与变换”“开 看，大学研究的是代数的运算性质，理论较为抽象，运
关电路与布尔代数”等．这些都是非常精彩的数学内 算量大，容量较多，而高中研究的是矩阵的几何作用，
容 ，对于发展学生的思维能力，扩大学生 的数学视野 通过大量的实例来讨论矩阵的性质、作用和简单运
都很有益处．但大多数 中学教师对这些新增 内容普遍 算 ，只限于讨论二阶方阵，从直观上认识矩阵的意义．
感到很陌生，有些 内容在大学学习过 ，有些 内容在大 鉴于以往实验区的经验，再根据本课程的特点，
学都没有接触过．即使是学习过的，但长时间不接触， 本研究重点实施了以下教学策略．
大部分知识已淡忘．在这种情况下，教师如何进行高 2．1 引用实例 ，帮助学生理解数学与实际的联 系
中新课程选修模块中新增内容的教学是摆在所有一 《课标》中特别强调要从具体事例人手．从各实验
线教师面前的重要课题．笔者选择了其中选修系列 4 区的实施情况来看，课上引用更多有趣的事例学生更
中的“矩阵与变换”进行行动研究．本项研究的 目的是 容易接受．学生也希望“新知识”有趣生动贴近生活，
在课程标准全面实施之前为广大 即将开设这 门课 的 对 自身发展有用．为此 ，本人在进行教学设计时，有意
一 线教师提供一些真实、可靠、有效的教学资源，同时 加大实例的引入，使课程更具趣味性、实用性，帮助学
为其他新增模块的实施起到一个借鉴作用． 生理解数学与实际生产生活的联系．
本研究是围绕以下几个问题展开 的：教师怎样把
案例 1 概念的引入
握教材 教师如何 组织教学 教师在教学 过程 中将
矩阵是数学 中的一个重要的概念，它是线性代数
会遇到哪些困难 反思体会下一轮教学应该怎样做
的主要研究对象之一，并且是解决许多工程问题的有
1 研究计划 力工具．如果直接给出矩阵 的概念 ，会让人感到 比较
抽象．根据《课标》要求，尽量不引入抽象的形式运算
研究对象：首都师范大学附属中学高中“矩阵与
符号，在讲授时从生活、气象、图论、计算机应用、信息
变换”选修课教学．
安全等方面各举一些鲜活的实例，把矩阵的概念以形
开课时间：2005年 9月至 2006年 1月．开课方式
象具体的方式呈现 ，收到了很好的效果．
为高中二年级第二学期选修课．教材为北京师范大学
反思：学生在课后 的反馈信息 中写到 ，通过实例
出版社出版的普通高 中课程标 准实验教科 书数学 选
了解到矩阵在现实生活中应用广泛，更加坚定了他们
修 4—2《矩阵与变换》．根据课程标准要求共设 23课
时，每周两课时 ，共计 12周． 学习好本课程的信念．
2．2 从几何直观的角度帮助学生理解数学
研究方式 ：以教学 日志的形式作好对每节课 的教
《课标》强调要充分利用几何直观性．本专题教学
学反思 ，针对不足进一步提出改进方案．
的一个重要的特征是几何直观性强，这一特征体现在
2 “矩阵与变换”课程内容的教学实施策略 每一节课中．几何直观能启迪思路、帮助理解，借助几
大学与高中课程标准对矩阵的要求是有区别 的． 何直观学 习和理解数学是数学学习中的重要方面，甚
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至可以说 ，只有做到了直观上理解 ，才是真正的理解． 一90。，30。，60。归纳、猜想出一般结论 ：矩 阵 M 的作
因此，在教学中，应鼓励学生借助几何直观进行思考， 用下，把任意向量 按逆时针旋转了 角且模不变，
揭示研究对象的性质和关系，并且学会利用几何直观 最后给予证明． ’
来学习和理解数学． 反思：从教学的效果来看，学生接受知识更加容易，
案例 2 研究旋转变换 、切变变换 理解更加透彻，研究问题的能力也得到了很大的提高．
本节课 是要研究几个表示旋转变换和切变变换 2．4 教师在教学过程中起到引导者、组织者、合作者
的矩阵．开始没有直接告诉学生什么样的矩阵表示旋 的作用
转变换，什么样的矩阵表示切变变换，而是让学生研 教师要真正把学生当成主体，这就首先要转变自
究经过所给的矩阵作用后的具体图形发生了怎样的 己的角色和心理定位．教师不只是知识 的讲 授者 ，还
变化，然后，根据具体的图形的变化规律，让学生归纳 应是课堂教学 的设计 者、引导者、组织者和学生的合
总结出所给的矩阵表示什么变换．最后还让学生进一 作者、评判者．
步探索还有哪些矩阵可以表示旋转变换 和切变变换． 案例 4 逆矩阵的求法
让学生从具体的、形象的、直观的几何图形变化人手 根据现代知识 观，人类 的知识 广义上可分为 两
研究，使他们处在“蹦一蹦才可以得到”的状态，充分
类：一类为陈述性知识，另一类为程序性知识．“如何
激发他们的求知欲望． 求一个可逆矩阵的逆矩阵”这个知识按照前面知识分
反思：利用几何直观不仅 可以帮助学生更好地理
类来看应属于程序性知识．在讲授时采用了与学生同
解数学概念 ，而且还可以引导学生将数学问题进行深
步操作的方式进行．在这个 过程 中，教师不断提 出新
入研究．
问题 ，帮助学生渐渐打开思路 ，使研究逐步深入，教师
2．3 运用合情推理引导学生探索、总结规律，发展学
起到了组织者的作用；同时教师边操作边提问，学生
生能力
边思考边操作，教师与学生共同面对困难共同解决困
合情推理是数学 的创造性工作赖 以进行的那种
难，在问题的解决过程中学生掌握了逆矩阵的求法，
推理．具体什么是合情推理 我们从数学方法论和数
其中教师就起到了一个合作者的作用．
学教育两个角度来理解：
反思 ：教师在教学 中通过扮演多种角色 ，拉近与
从数学方法论角度出发 ，不仅把合情推理看做是
学生之间的距离，在学生中树立较高威信，使教学在
推理 ，而且看做是科学发现 的方法．因而，连同归纳、
更加和谐的环境中进行．
类比在内，把观察、实验、联想、猜想、直观等一系列科
2．5 教师善于运用信息技术辅助教学
学发现的手段、方法都归到了合情推理的范畴．我们
现代信息技术的广泛应用正在对数学课程的内
把它称做广义的合情推理．
容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响．信息
从数学教育的角度看，合情推理就是人们根据已
技术在教学中的优势主要表现在快捷的计算功能、丰
有的知识经验(即原有的认知结构)，在某种情境和过
富的图形呈现与制作功能、大量数据的处理功能以及
程中，运用观察、实验、归纳、类比、联想、直觉等非演
提供交互式的学习和研究 环境 等方 面．因此 ，教师在
绎的(或非完全演绎的)思维形式，推出关于客体的合
教学中，应重视与现代信息技术的有机结合，恰当地
乎情理的认知过程．
使用现代信息技术，发挥现代信息技术的优势，帮助
在《课标》的基本理念 里 ，无论 是数学学 习 的内
容、内容呈现方式，还是学习方式、教学建议、评价和 学生更好地认识和理解数学，增强学生对数学学习的
教材的编写等各个方 面，处处 可见合情推理 的身影 ， 兴趣 ，改善学生的学习习惯．
一
时时体现探索发现的精神． 般的矩阵的运算相对复杂，徒手研究效率不
高，因此在这样的研究中有信息技术的参与就成为理
案例3 研究矩阵M—fCO．。 -si n 1表示什
＼sin COS ／ 想的选择．
么变换 目前用得比较多的辅助教学软件有“几何画板”、
研究旋转变换对于学生有一定的难度 ，因为它综 TI图形计算器、z+z等，教师可根据 自己的情况选
合了三角函数、平面向量等知识，并且计算量较大．如 择其中一种或几种综合来用，每种软件都有各 自的优
果直接给出其一般形式，那么又过于抽象，学生难于 点．教材在每节都设有“信息技术应用”，供教师和学
接受和理解．笔者在讲授时引导学生先根据特殊情况 生参考．
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3．2 对教师培训的反思
3 总结及反思
大多数高中数学教师是数学专业本科毕业，在大
3．1 对教学的反思 学里从代数的角度系统学习过矩阵 ，但工作后长时间
3．1．1 对教学方法的反 思 不接触这部分内容，对此感到很陌生也是正常的．基
这门课程较为抽象，理论性较强，真正开好这门 于这种情况 ，加强教师课前培训和定期教师教研活动
课有一定难度．若要使学生对本专题感兴趣，则教学 是非常必要的．对教师的培训主要 目的是让教师 回顾
方法显得非常重要．教学方法得当不但可以把知识讲 基本知识和理论 ，从几何角度重新认识矩阵与变换．
得生动活泼，易 于学生接受 ，更重要 的是可 以激发学 由于很多教师几乎是从“零”开始学习的，所 以在培训
生强烈的求知欲，充分发挥他们的主观能动性，使他 时应把起点放低些，面向大多数教师，使他们通过培
们能够在求知过程 中克服重重困难．在教学时 ，教师 训能够站在一定高度来认识矩 阵与变换及它们 的应
一 定要在教学方法上下工夫 ，向学生揭示数学本质的 用．定期的教研 活动也很重要 ，前期 的培训 只能帮助
同时充分展现数学魅力 ，更加吸引学生． 教师对所教内容有一个大概的了解，对于知识的某些
3．1．2 对教学 内容的反 思 细节教师未必能够理解到位，这些问题都可以通过教
《课标》在设计这个专题时，教学对象是高一学 研活动来处理．
生，但根据本研究得到结论：面向高二或高三学生更 3．3 对教师专业发展的反思
合适．高一学生刚步入高 中，所学知识难点过于集 中， 这一轮义务教育阶段及高中阶段的数学课程改
普遍感到精力不够用．而对于高二或高三学生，无论 革是我国历次数学课程改革 中力度 比较大的一次 ，无
从思维能力上还是 自学 能力上来讲都要 比高一学生 论在知识结构 、内容安排上 ，还是在基本理念、实施操
强 ，他们精力更加充沛．基于这种情况，建议本专题教 作上都有一些大变化．《课标》贯彻实施的过程中一定
学内容做以下修改： 会遇到一些问题和挑战，我们应该清楚地认识到可能
①高二学生已经学面向量，所 以教材第一 出现的问题，去思考应对和解决．处在课程改革时代
章“§1平面向量及向量的运算”、“§2向量的坐标表 的一线教师，机遇与挑战同在．虽然困难很多，但 同时
示及直线的向量方程”，可修改为复习内容，不必详讲． 也给了教师专业发展的机会．进行行动研究是目前教
②借鉴美国UCSMP教材，建议在第二章矩阵运 师专业发展的一个切实可行、有效的途径．
算中增加矩阵加法运算，相应地在特殊变换类型中，
增加平移变换．这部分无论对代数运算还是几何直观 4 对数学新课程新增内容教学的一些建议
学生都是容易理解的，而且在常见的几种变换类型中 4．1 鼓励教师从事教学研究
学生对平移变换最为熟悉． 新课程的全面实施为从事教学一线的教师提供
③旋转变换的一般形式在教材中没有在正文给 了难得的机会．新增内容虽然新，但它们并不难 ，这一
出，主要考虑到其形式 比较复杂 ，综合了三角 函数 、平 点要让教师充满信心，同时鼓励更多的教师积极投入
面向量等知识，但是旋转变换是一种很重要的初等变 教学研究工作 ，不断开发新 的教学资源 ，在新 的领域
换 ，学生应该了解 ，因此在教材中应增加这部分内容． 开创更广阔的天地，为新课程的实施贡献力量．
为了便于学生理解，教材可以采取不同的呈现方式， 4．2 加强对教师的培训
比如按照案例 3的研究模式给出或者设计成研究性 在新课程全面实施之前对教师的培训是非常必
学习内容等． 要的．尤其对《课标》中新增内容的培训，它们与高等
④教材第五章的 “§1矩阵变换的特征值与特征 数学联系密切．通过培训要让教师重新学习一些高等
向量”代数运算过于集 中，内容抽象，学生不容易接 数学基本知识和理论，及时处理教师所遇到的困难．在
受．建议从特征向量的几何意义即它体现的是一种几 培训时可以把起点放得低些 ，越具体越有针对性越好，
何不变性的角度来引入，这样也从整体上保持了本专 不要太泛太空，这样有益于教师接受，增强教师的信
题几何直观性的特点． ． 心，使他们通过学习能够站在一定高度处理所教内容．
⑤教材第五章“§2特征向量在生态模型中的简 4．3 注重教学方法的研究
单应用”主要是对数列、矩阵乘法以及矩阵特征值与 新增 内容 的数学味道 比较浓，概念较 为抽象 ，在
特征向量的综合应用，难度不大，可作为阅读材料，不 未把这些选修内容正式列入高考内容之前，各学校可
必讲解 ，安排学生 自学． (下转第 5O页)
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≤瞧 激 种 。巷
西北师范大学数学与信息科学学院 2006级研究生 苏克义
+Ⅱ +l，J+l+Ⅱ +1，J+2+Ⅱ +2，J+l+n +2●+2
1 问题
=a +2aI，J+1+ ahJ+2+2a汁l，J+ 4a +1，J+1
已知 数 阵 A。一 {a (0))= {a )，a ∈C．设 + 2Ⅱ +l，J+2+n +2，J+ 2a +2，J+1+n +2，J+2
A 一{a (，z))：
r a + 2a j-1 + n“j+2
a (，z)一 a (n- 1)+ aⅥ+l( 一 1)+ Ⅱ汁1， ( 一 1)
= +2a汁1， + 4a +1，J+1+ 2a计1． +2
+n +1， +1(，z一1)，i， 一1，2，3， ， ①
l+ ai+2，J+2a +2，J+1+a，+2，J+2，
则 A 叫做A。的 ，z次迭代数 阵．问题在于 ：已知 A。，
f1 2 1]
‘
求 A 的通项公式． ． ．x 一I 2 4 2 I． ③
2 归纳研究 【1 2 1』
为求A。一x A。中的 Xo' 一{z (3)}'同样可
在 A。一{a }中，由①知 ，构成 n (1)的四项呈正
算出 ．
方形排列 ： f a + 3ai,j+】 +-3al，j+2 +al，j+3
a ij (Ji，J+1
c3 ：
ⅡI+1，』 ai+1，J+1 {二：=i ： 二=； ： ： 二：=； 二 ： 二：=i ： j
其系数可排成 2阶数阵 ：
I+n +3，J +3a +3，J+1 +3a +3，J+2+-ai+s， +3，
㈥． ② f1 3 3 1 1
。
一
．
X 称 为 由 A。到 A 的 迭 代 数 阵 ，记 作 A {I3 9 9 3 {J． ④
一 X A。．由A。到A：的迭代数阵 X ：{z (2)}(记 l1 3 3 1 J
作 A。一X5∞A。)怎样求呢 观察对比② 、③、④ ，我们可 以发现很多东西．可
由① ，有 以看出，它们是以组合数为(上、左)边界的乘法表：如
a (2)一 ad(1)+n ， +1(1)+Ⅱ +l， (1) 在 x 中，第一行、第一列都是3次组合数(即杨辉三
+ a +】。 +1(1) 角的第 3行：1，3，3，1)，中间每个数都是它所在行、列
a + a ，j+l+ ai+l +ai+j，j+l 第一数之积，如 9—3×3，等等．于是可以猜想有姐下
+ a +】+aiIJ+2+a汁】，j+l+ 汁1，j+2 命题 设 由 A。到 A 的迭 代数 阵 为 X'o (A
+ a件1， +af+1，J十1+a件2，J+Ⅱ汁2，j4-1 一 X'o A。)，则
(上接第 49页) 参考文献
能会存在这些问题：选课人数较少，选修课对学生没 1 数学课程标准研制组．数学课程标准(实验)解 读[M]．南
京：江苏教育出版社 ，2004
有约束条件，完全是凭学生的兴趣爱好来上课的，组
2 严士健，王尚志主编．普通高中课程标准试验教科书 数
织教学 比较 困难 ，对于课上讲的内容 ，学生掌握不扎
学(选修 4—2)[M]．北京：北京师范大学出版社’2004 +
实，课上布置的任务难以完成等等．面对这些困难教 3 [美]G·波利亚 ．数学与猜想 ：数学中的归纳和类比[M]．
师就要注重研究 丰富多彩的、行之有效的教学方法 ， 北京：科学出版社，2001
4 张大均．教育心理学[M-I．北京 ：人民教育出版社，2OO3
努力来展现数学的魅力 ，使学生爱数学，爱上我们
5 程艺华．美 国芝加哥大学中学数学设计(UCSMP)：矩阵
的课．
[J]．数学通报，1996，1维普资讯 http://www.

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一
天 津 师范 大学 教 育学 院课 程 与 教学 研究 中心 王光明
内蒙古赤峰市内蒙古民族大学数学与计算机学院 戴 永
蓼 ～
数学命题的教学主要是指数学中公理、定理、公
2 数学命题教学的情境性策略
式的教学l1]．数学命题的教学一策 略是指教师在一般学
习理论和数学命题教学理论的指导下，为有效实现数 当教师实施准备性策略做好教学准备之后 ，数学
学命题的教学目标命而根据特一 定的教学情境和学生的 命题教学就进入了实施阶段，即数学命题的获得阶 特点，有意识地对数学命题的教学活动进行计划、调 段、数学命题的证明阶段和数学命题的应用阶段．其
控的系统决策方案以及由此表现出来的行为方式．数 中，在数学命题的获得阶段，为了激发学生有意义学
学命题的教学不仅零是数学概念～ 教学的展开与深化，同 习的心向，加深对所学数学命题的感知和理解 ，关键
时也是数学问题解决教学的基础 ，而且是形成数学技 在于实施数学命题教学的情境性策略．所谓数学命题
能、培养数学能力的重要途径一 ．数学命题教学质量如 教学的情境性策略 ，主要是指在数学命题引入 的教学
何，直接关系到数学教学质量的高低，尽管如此，对数 过程中，教师旨在创设 一种有利 于引起学生注意 、有
学命题教学策略的蔹系统研究～还 不多见．我们已经探讨 利于激发学生学习动机、调动积极情感，并有利于学
了数学命题的整体性和反思性教学策略，本文再谈谈 生利用原有知识和经验同化当前新命题的数学情境
数学命题的准备性学策略 、情境性策略、过程性策略和
的一种教学策略．
产生式策略． ～ 数学命题教学的情境化策略的实施途径取决于
数学情境的种类 ，数学情境种类的多种多样决定了数
1 高中数学命题教学的一准 备性策略 学情境创设途径的多种多样．在数学命题教学 中，应
教学是有计划 、有 目的的活动 ，数学命题教学同 用比较广泛而有效的是创设数学问题情境，引发学生
样也是一种有目的略、有计划＼的 活动．在数学命题教学 强烈的学习与思考欲望．在数学命题教学中，创设数
之前，教师需要做好必要的准备．所谓数学命题教学 学问题情境 的途径主要有以下几种．
的准备性策略，就是指在数学命题的教学实施之前， 2．1 创设温故知新情境
教师准备教学所采用的一项教学策略． 创设温故知新情境就是利用新 旧知识 之间的联
实施数学命题教学的准备性策略主要有三个途 系来创设的数学 问题情境．在新数学命题学 习之前 ，
径：一是对数学命题教学目标的把握；二是对学生认 教师总是要进行“温故知新”的工作．所谓“温”就是寻
知起点的测定 ，包括了解学生对新学习的数学命题所 找认知结构中原有的知识与新知识的联系 ，“故”是指
含数学概念、数学命题以及低一级技能的掌握情况； 原有认知结构的旧知识 ，“知”就是将新知识 内化为 自
三是对数学命题学习模式的选择． 己的认知结构，“新”是在联结点处新生出来的支脉，
教学 目标是教学活动预期达到的结果 ，是学生通 它表明了新旧知识之间的区别．新旧知识之间的联系
过学习以后预期产生的行为变化．它表现为对学生学 是学生积极思维的基础 ，而新 旧知识的矛盾是学生积
习结果及其终结行为的具体描述．在数学命题教学活 极思维的动力．创设温故知新的 问题情境 ，既要造成
动开始之前，教师需要对数学命题的教学目标有清晰 新旧知识之 间的矛 盾 ，又要 引起新 旧知识之间 的联
的把握．教学目标的把握是教学策略制定的关键，对 系，对学生才有启发性．这是一种常用的创设问题情
于教学方法的选择、师生相互作 用的活动安排、教学 境的方法．
效果的测量和评价都起着定向和制约作用．把握数学 2．2 创设实践情境
命题的教学目标包括了解数学命题教学目标的分类、 创设实践情境就是利用与生产、生活有关的实际
进行数学命题教学目标的编制两个操作步骤． 问题来创设的数学问题情境．数学教材 中许多抽象的
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数学命题往往来源于现实世界，与 日常生产、生活有 识之中的数学思想方法 的提炼 、揭 示过程．因此实施
密切的联系．如果直接给出这些数学命题，那么学生 数学命题过程性策略的有效途径就包含 了暴露数学
往往不知道 为什么要学 ，而且 比较抽 象也不 容易 理 思维的过程、揭示数学命题的产生推证过程、突出数
解，教师可设计与它们有关的实际问题创设教学情 学思想方法的提炼和应用过程．
境，使抽象的内容具体化，同时也能加强数学与生活 3．1 暴露数学思维活动的过程
实践之间的联系． 前苏联数学教育家斯托利亚 尔指 出：“数学教学
2．3 创设实验情境 是数学活动(思维活动)的教学，而不仅是数学活动的
创设实验情境 就是利用数学实验来创设 的数学 结果——数学知识 的教学．” 数学 教学 中主要存 在
问题情境．当学生原有认知结构中已经具备学习新命 着以下三种思维活动：数学家及数学教育家的思维活
题的预备知识，但新旧知识之间的逻辑联系还不易被 动、数学教师的思维活动和学生 的思维活动．这些思
学生发现时，教师可设计与教学内容有关 的富有启发 维活动在教学时的协调过程可用下图表示 ：
性 、趣味性的实验 ，来设置数学 问题情境 ，让学生通过
警 畜惫鏊善 恒
观察和动手操作在实验情境中探索规律、提出猜想，
再通过逻辑论证得到数学命题 ，来揭示数学命题 的发 I 趋 也 于 J
数学教师暴露思维过程 图
生、发展过程．
在数学命题教学过程 中，要协调好这三种思维
2．4 创设史实情境
活动．在数学教学过程 中暴露数学思维的过程，意味
创设史实情境就是利用数学史知识来创设的数
着暴露数学家及数学教育家的思维活动 、暴露数学教
学问题情境．教师通过讲解数学知识发现的史实、有
师自己的思维活动以及学生的思维活动．在数学命题
关数学家的故事创设数学情境 ，激发 学生学 习兴趣 ，
教学 中，暴露数学思维的活动过程有下面几种方法 ：
使学生在不知不 觉 中学习数学 知识、领会数 学思想
现推现想法．这是一种充分暴露思维过程 ，特别
方法．
是暴露思维是如何“从困境或死胡同 中挣脱出来”的
2．5 创设审美情境
一 种 有效方法．譬如，德国数学家希尔伯特的老
创设审美情境就是利用数学审美来创设的数学
师——著名数学家富克斯(Fuchs)，在讲课时就经常
问题情境．数学 中可谓处处充满美 的花朵．在数学命
把 自己置于困境 中，并再现 自己从 中走 出来 的过程，
题教学 中，教师若能及时捕捉、感受、揭示 数学 之美 ，
让学生看到大师真实的思维过程是怎样 的．对此，所
创设适宜的数学审美情境 ，一定能激发学生的学 习动
有富克斯的学生都感到终生受益．
机和学习兴趣，唤起学生追求数学美的情感．
命题问题化．命题问题化就是将有些数学命题的
3 数学命题教学的过程性策略 证明过程变成问题解决过程 ，通过精心设计一系列有
当教师通过实施情境性策略使学生初步获得数 层次 、由浅入深 、前后衔接 、相互呼应的梯度问题 ，诱
学命题之后，数学命题教学进入教学实施的第二个阶 使学生思维活动层层展开．
段——数学命题的证明阶段．本阶段教学的关键在于 强化分析法．数学命题证明的教学 ，就是分析命
实施数学命题教学的过程性策略，以强化数学证明的 题中的已知和未知的矛盾 ，分析矛盾的产生、矛盾的
发生过程 ，是学生加深对数学知识之 间联系的把握和 关系、矛盾的运动和转化，从分析中找出解决问题的
对数学命题“为什么”成立的理解． 办法．首先 ，要充分揭露矛盾 ，就是“审题”，弄清已知
所谓命题教学 的过程性策 略主要是 指在数学命 和未知、条件 和结论．其次，要深刻分析解决 问题的条
题获得、证明和应用阶段，特别是在数学命题的证明 件和方法．在分析的过程中，应 以分析法为主，分析法
阶段 ，教师通过适 当的教学方式，启发学生直接或 间 和综合法联合使用．
接地感受、体验数学知识产生、发展、演变的动态过 3．2 揭示数学命题的产生、推证过程
程，从而引导学生积极主动地进行思维活动，“使学生 数学是一门具有逻辑严谨性的学科，它用完善的
看到思维过程”的一种教学策略l2]． 形式表现出来并呈现在学生面前，而略去了发现的曲
在命题教学中，师生的思维过程实际上就是数学 折过程，给学生的“再创造”学习带来一定困难．正如
命题知识的发生 、演变过程 ，也是蕴涵 于数学命题 知 美籍匈牙利数学教育家 G·波利亚所青：“用欧几里
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得方法提出的数学，看起来像是一门系统的演绎科 推广．在可接受 的原则下 ，数学命题 的引 申和推广可
学，但在创造过程中的数学却像一门实验性的归纳科 使数学命题在更大包容性、更高概括程度上实现知识
学．这两个侧面都像数学一样古老．但从某一方面来 结构的整体优化，有利于加强数学知识之间的联 系，
说，第二个侧面则是新的，因为以前从来就没有 ‘照本 促进数学知识的综合贯通 ，也有助于学生数学认知结
宣科 ’地把处于发现过程 中的数学照原样提供给学生 构的完善和发展．
或教师 自己或公众．”_4 受欧 氏数学演绎体系编排的
4 数学命题教学的产生式策略
影响，许多数学命题都是用确切的概念、最少的公理
和严密的逻辑论证经过系统化的加工得到的，而隐去 当学生解决了数学命题“是什么”、数学命题 “为
了数学命题的发现过程、证 明思路的猜测过程 和证明 什么”成立的问题之后，那么在数 学命题 的应用 阶段
策略的选择过程．这就要求数学教师不应得陇望蜀于 采取产生式教学策略则主要用来解决数学命题“怎么
题海 ，而要乐此不疲于数学文化 、数学哲学 、数学史与 办”的应用问题，以促进数学命题 由陈述形态向程序
数学方法论乃至 自然辩证法、科学方法论以及科学史 形态转化，发展学生的智慧技能．所谓命题教学的产
等文献的学习，进而充分认识数学命题 的发生 、形成 生式策略 ，主要是指在数学命题应用的教学过程中，
和发展的过程 ，努力在教学 中架起一座从数学家 、数 通过变式练习等多种方式，促进学生对数学命题的表
学教育家的思维活动通 向学生的思维活动的桥梁． 征由陈述形 态转化为程序 形态 (产生式或产生 式系
在数学命题证明的教学 中，揭示数学命题的推证 统)的一种教学策略．
过程的常用做法主要有三种，即返璞归真 回到定义、 由于产生式的表征是一种启发式的 ，它产生的总
数学命题的一题多证、数学命题的引申和推广． 是 由目的引导的行为，这种 目的性表现为产生式的条
返璞归真回到定义．即把命题回归到构成它的基 件部分总包含有关于 目的的陈述_5]．当学习个体掌握
本概念 ，以把握数学命题的“生长点”以及 发生、发展 了一个产生式后 ，一旦认知条件具 备，就会激 活相应
脉络，增强数学认知结构的清晰度和稳定性．譬如，对 信息、产生相应操作．可见 ，产生式的学习过程包括两
于“三角变换的辅助角公式”“直线的参数方程”“圆锥 个环节：一是条件认知，即学会识别某种对象或情境
曲线的参数方程”“直角 坐标 与极坐标 的互 化公式” 是否符合产生式的条件；二是操作执行，即学会按一
“复数的代数形式与三角形式的互化”等公式 ，尽管表 定程序与规则进行一系列操作 以达 到 目标状态 的过
现形式各异，但最终都可归结为三角函数的坐标定 程 ]．因此 ，命题 教学的产 生式 策略的实施途径也相
义，体现出来的仍然是化归转化的数学思想．追踪溯 应地分为促进条件认知的教学途径与算法操作教学
源，讲原始思想；返璞归真，回归基本概念，不断强化 途径两个部分．
数学命题的发生过程． 4．1 变式练习促进条件认知
数学命题的一题多证．对同一个数学命题有时可 数学命题的应用 目的在 于将数学命题的陈述性
采用几种不同的证明方法 ，必然会涉及更宽广的数学 形态转化为以产生式或产生式 系统表征的程序性形
知识和思想方法 ，从不 同角度 、不同层次揭示 了知识 态，即形成一定智慧技能．“智慧技能学习的唯一有效
之间的联系，促进 了学生对数学命题本质的理解以及 方法就是建立在理解基础上的变式练习”．[7 所谓变
数学认知结构的不断分化和综合贯通． 式练习，是指在其他有效学习条件不变的情况下，概
数学命题的引申和推广．一个数学命题是由条件 念和规则例证 的变化 ]．具体 到数学命 题的教学 而
和结论两个部分组成的，它揭示了条件和结论之间的 言，变式练习应当包括两个阶段上的数学命题例证的
蕴涵关系．一个数学命题的条件改变了，其结论也往 变化．一个是在数学命题获得阶段上的数学命题正例
往随之发生相应的变化．引申和推广就是扩大命题的 的变化，它有助于学习者排除无关特征的干扰，另一
条件 中有关对象的范围或扩大结论的范围，即从一个 个是在数学命题应用 阶段上的题型或 问题情境 的变
事物的研究过渡到包含这类事物的研究．在数学命题 化，这种变化将有助于学习者加强数学命题的条件认
的引申和推广过程中，所使用的主要方法是归纳和类 知，获得熟练解决问题的技能．这里简要讨论数学命
比．从引申和推广的方向来看，有同一知识深人发展 题应用阶段上的题型或问题情境的变化．
的纵向引申和推广，也有不 同分支 内容的横向引 申和 一 般说来 ，数学命题 的应用包括两个层次 ，一个
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是数学命题在与原来学习情境相似的问题情境中的 但这并不意味着某一项教学策略与某一特定的阶段
应用 ，另一个是数学命题在与原来学习情境不同的问 是严格对应的．实际上 ，由于教学过程的连续性 、数学
题情境中的应用．而就变式练习的特征而言主要有两 命题的多样性以及教学情境的复杂性，使得这些策略
种变化问题的方式 ，一 种是显性变式 ，另一种是隐性 的运用也呈现 出多种情况．譬如 ，在扩大 了的公理体
变式_8]．如果一个问题从它的原型通过直观和具体的 系中，许多基本定理作为公理而不要求证明，只需直
变化而得到，那么这些问题变式称之为显性变式(譬 观确认和应用即可．此时，过程性策略可能在数学命
如，数量关系的变化、图形位置的变化等)；反之，如果 题的获得阶段运用得更频繁．当然，在某些数学命题
一 个问题的变式 只有通过抽象或逻辑 的分析才能发 的教学中，过程性策略既可运用于命题的获得阶段，
现它与原型 的联 系，那么这种 变式称 之为隐性 变式 又可以运用于命题的证明阶段，还可以运用于命题的
(譬如，变化参数、微妙地缺省某些条件、变化背景等， 应用阶段．这样就会出现某一种策略运用于几个阶段
这样，应用相关知识或策略的条件是隐性的)．在数学 的情形 ；反过来 ，也经常会 出现某 一阶段运用多项教
命题应用 的最初阶段 ，宜设置与原先学习情境相似 的 学策略的情形．譬如，在数学命题的应用阶段，往往以
问题情境，以显性变式为主进行练习，使练习题之间 产生式策略的运用为主，同时配合使用反思性策略和
保持一定的同一性；在数学命题应用的后期 ，随着数 评价性策略．总之，在运用教学策略时既要有所侧重，
学命题的渐趋巩固，问题类型可逐渐演变成与原来学 又要注意综合运用，才能收到较好的教学效果．
习情境完全不同的问题情境，采取隐性变式为主进行 很多教学改革与课程改革之所 以困境重重 ，往往
练习，可 以促进学生数学命题 的纵向迁移． 是 由于误认为一旦 向教师 介绍 了新 的教学理念便可
变式练习舴 为数学命题应用 的一项重要 教学技 以自然而然地导致其教学行为的革新 ，殊不知教师还
术，其基本观点得到了马顿(Marton，1998)变异理论 在用老一套观念进行教学．数学命题教学往往带有一
强有力的支撑．教学实践也表明 ，变式 练习不失 为一 定的程序性，教师可自发生成数学命题教学的程序性
种学习数学概念和数学命题的有效方法．究其原因， 策略，但其知觉水平较低，即使是不合理的，一旦形
显性变式提供的问题情境的相似性有助于数学命题 成，是什么与为什么的教育理念往往对其难以改变．
的自动生成 ，隐性变式提供的问题情境的不同性有助 重视程序性的数学命题教学策略研究，使其成为数学
于数学命题图式的获得．另外，变式练习有助于学生 命题教学的教学调节参照．让数学教师的数学命题教
发现产生式条件建构 的局 限性 ，有助于学生细化、归 学策略不仅是自发建构的，而且是有参照物可以自我
类产生式和加强条件认知 ，真正学会何 时选用何种产 解构与发展的；不仅是无意识地生成，而且是有意识
生式． 地计划与自觉调节的，这些问题迫切需要引起重视!
4．2 算法操作形成操作 自动化 参考文献
认知负荷理论认为，图式获得和规则 自动化是高 1 何思谦．数学辞海 (第六卷)[M]．太原：山西教育出版
级学习的主要机制．根据 R ·M ·加涅对学 习结果 的 社 ，1998
2 刘安君，孙全森，汪 白安．数学教育学EM]．济南：山东教
分类，数学命题基本上属于高级规则，因而，数学命题
育出版社，1997
学习的主要机制也应当是数学命题图式获得和操作
3 [苏]A·A·斯托利亚尔著．丁尔升，王慧芬，钟善基，等
自动化．数学命题的变式练习有助于数学命题条件模
译．数学教育学EM]．jE京 ：人民教育出版社，1984
式的认知，或者说有助于数学命题图式的获得；对于
4 [美]G·波利亚．怎样解题EM]．jE京：科学出版社，1982
数学命题操作自动化，基于对高级学习的理解，我们
5 吴庆麟等．认知教学心理学EM]．上海：上海科学技术出版
要重视数学命题产生式的算法化教学，使学生通过产 社 ，2000
生式的算法操练形成操作程序 自动化，并将 自动化操 6 文萍等．心理学理论与教育EM]．桂林：广西师范大学出版
作程序组织进入学生原有的数学认知结构中．这里的 社 ，1999
算法是指解答同一类问题的运算程序．它表明在运用 7 皮连生．学与教的心理学(第三版)EM]．上海：华东师范
大学 出版社 ，2003
数学命题时先做什么、再做什么、后做什么．
8 范 良火等．华人如何学习数学(中文版)EM]．南京 ：江苏
上述教学策略是我们根据数学命题教学前的准
教育 出版社 ，2005
备阶段、教学中的实施阶段经过阶段分析而得到的．维普资讯 http://www.
·高中数学竞赛中常用的思想方法 ·
{
≥。 解 精法 及其
陕西省西安市西安中学 任 楠 薛党鹏
数形结合作为一种重要的数学思想方法 ，被解析
C
几何予以了完美地体现．这是因为借助于直角坐标
A(一导，。)，B(导，。)．设c cz，
系，我们可以将有序实数对(z， )与平面上的点建立 ／ 一
D B
起对应 ；有序实数对所满足的等量关 系 f(x， )与平
面上 的曲线建立起对应．在此基础上 ，我们就可 以运 图 1
用代数的方法来研究平面图形的形状 、大小及其位置 √霉( 一箬 一
关系，当然 ，另一方面，也可以运用图形 的性质来解释 z+导)。 4
说明相对应 的代数事实．借助于坐标 系所实施 的这
种数式信息与图形信息的相互转换和有机结合，就是 化简得 )。-I 。一( )。( ≠0)．
解析法，它是数学竞赛中的一种常见方法． 这是一个圆的标准方程，显然 IY{ 一—16 40
．
一 般来说 ，运用解析法解题的基本步骤 可以分为
以下几个环节： 所以，(s△加c) 一 ×9× 一820．
(1)引进坐标系，其主要途径有三个：
说明：在上述解法中，借助于解析法，我们将静
①建立．在所讨论的图形上画出坐标系，其中，原
态的问题动态化 ，在对 于一般情况的研究 中得到了所
点和坐标轴的选择要兼顾简单性和对称性．
需要的极端情形．
②转化．将所讨论的数式中的某两个字母转化为
坐标，值得注意的是函数观点常常伴 随着这一转化而 例2求函数 一 吉笔 孝≠ 的值域．
显示功能．
分析：这 道 三 角 题 有 多 种 解 法．注 意 到 动 点
③构造．依据题 目的结构特征，构造能实现其条
(cos z，sin z)在单位圆上，所以可以考虑借助构造
件或结论的坐标系．
解析几何模型来进行求解．
(2)已知条件坐标化．
解：将函数式进行变形整理为 (2y一 2)cos．27
(3)坐标系 内的推理演算．这是技 巧性最强 的一
+ (3y一 1)sin z+ ( 一 3)一 0．
步，在策略上要注意到以下知识或技能 的灵活运用 ：
设 “一COS z， 一sin z，则直线 (2y一2)“+(3y
消元法，代数方程知识(特别是韦达定理与判别式)，
一 1) +( 一3)一0与单位圆 “。+"Lr。一 1有交点 ，从
参数 ，曲线系，平面几何结论等．
而圆心 (0，0)到 直 线 的距 离 应 不 大 于 半 径 1，即
(4)将坐标系的结论转换回所求的结果．
典型例题 —、／ 二 = _一 二 ≤ 1，解之得 Y≥ 1或
(2 一 2)。+ (3y一 1)。 ’ 。
例 1 在△ABC中，AB一9，BC：CA一40：41，
则这个三角形的面积的最大值 ( )． Y≤一专·所以，原函数的值域为(一∞，一专I u[1，
A．等于 820 B．等于 920 + ∞ )．
c．等于500√2 D．不存在 例 3 (第 28届 IMO 试题)整数 n≥ 3，证 明平
分析 ：相对于 AB来说，点 C是动点 ，故可以考虑 面上有一个由 n个点组成的集合，该集合中每两个点
先求出点 C的轨迹，再来探求三角形面积的最大值． 的距离为无理数，每三个点组成一个非退化的三角
解：以AB为z轴，AB的中垂线为Y轴，建立图 形 ，面积为有理数．
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分析：为构造符合题设条件的点集，可以考虑以 所以厂(1)+厂(2)+ +f(2008)一2×『 ]
某一曲线作为载体，结合条件，我们不难联想到抛 L J
一 1338，其中，[z]表示不超过 X的最大整数．
物线．
证明：考虑抛物线 Y—X。上 的整点 (志，k。)， 所以，所求式子的值为 1338．
例 5 (第 36届 IM0试题)设 A、B、C、D是一
k 一 0，1，2， ，n一 1．
条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC、BD
任取三个不同的点 A (志 ，k )，i一 1，2，3，则
为直径的两圆相交于点 X 和 y，直线 XY交BC于Z．
d一!A A。l一~／(志。一k )。+(志；一k )。
若 P为直线 XY上异于 Z的一点 ，直线 CP与以 AC
一 I k。一k I·~／1+(k2+志 )。 为直径 的圆相交于 C和 M ，直线 BP与以BD为直径
为无理数．
的圆相交于点 B和 N．试证 ：AM 、DN 和 XY三条直
下面考虑 △A A。A。的面积能否为有理数．
线共点．
直线 A A。的方程是 (志 +k：)z—Y+k kz一 0，
分析 ：以 AC所在直线为X轴 ，XY所在直线为Y
从而点 A。到直线 A A。的距离是
轴．如果能够证明出当点 P确定时，AM 与Y轴的交
， I(k +kz)k。一ki+k k2 I 点 s也确定，则问题得证．
√1+(k +k2)
证明 ：建立如 图 2所示 的直 V
故s△n n。A 一告 一 1 fkz—k 1．1(志 +志z)志s 角坐 标 系 ，设 X(0，m)，P(0，
y。)， PCA=a，m、Y。是定值．
— k；+k k。J是不为 0的有理数． 一
、 0 Z
所以，存在 n个点的集合，使得题目中所要求的 由cx =cot ，而 一zA·zc 、 ．}
＼ ／ y
Y 0
三个条件都满足．
图 2
一
说明 ：如果某三角形的三个顶点均为有理点 (横 、 ZX2一m2，所 以 zA一 一
yo
纵坐标都为有理数 的点)，则 根据三角形 面积的行 列
式公式可以得知 ，此三角形的面积必为有理数． ．tan a．因此AM的方程为 —cot a X+ tan a)·
例 4 对 于任意的正整数 n，连接原点 0和 点
令 z一0得 Ys一 ，即点 S的位置取决于点 P
A (n，n+3)，用 厂(n)表示线段 OA 上除了端点外的 yo
的位置 ，与圆 0无关．所以，AM、DN和 XY三条直线
整数点个数．试求 ，(1)+厂(2)+ +，(2008)的值．
共点．
分析：毫无疑问，我们对于OA 上的整数点P进
行分析的一个重要 的突破 口即为考虑 OP的斜率 ，而 例 6 (第 37届 IM0 中 国选拔 赛 试 题 )以
△ABC的边 BC为直径作半圆，与 AB、AC分别交于
OA 的斜率为 ，为此 ，需要关注 n与n+3的最
点 D 和 E，过 D、E分别作 BC的垂线，垂足分别为 F
大公约数． 和G，线段 DG、EF交于点M．求证：AM上BC．
解：易知 ，n与 n+3的最大公约数 分析：本题 宜用 BC所在 V
直线为 X轴 ，圆心 0为原点 ，建 ／＼
cn，n+3，一( 主 嚣 ． 立直角 坐标 系 ，如果 能够 求 出
(1)当 (n，n 3)一1时，OA 内无整数点．否则 ， A和 M 的横坐标相等 ，则 问题 一
B F 0 G C
设 (m，z)为 OA 内部整数点 ，1≤ m< n，1≤ z< n 得证．
图 3
证 明：以 BC所在直线为X
+3，则由孚一— ，即m(n+3)一nl推知n lm，这
轴，圆心0为原点建立如图3所示的直角坐标系，设
与 m< 矛盾．
BC=2，则 B(一1，O)，C(1，0)，设 EBC—a， DCB
(2)当 (n，n+3)一 3时 ，设 n一 3k，则
一 卢，则 BD：Y—cot卢·(X+1)，CE：Y一一cot Ot·(z
一 一 一 ， ～ 1)．故 BD和CE的交点的横坐标为
由 (志，k+1)一 1知 OA 内显然有且仅有两个整
数点 (志，k+ 1)，(2k，2k+2)．
因为 EOC=2 EBC一2a， DOB===2p，所 以
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E(COS 2a，sin 2a)，D(一 COS Z ，sin 2 )，G(COS 2a，0)， 7．如 图 5，在四边形 ABCD 中，对角线 AC平分
F(一COS 2p，0)． BAD．在 CD上取一点 E，BE与AC交于点 F，连
即 DG 的方 程 为 一 二 sin干2,8 ·(z 结 DF并延长交BC于G．求证： GAC= EAC
A
——COS 2a)，
EF的方程为 一 sin干2a ’(z+c。s 2p)
．
CoS —十一CoS
两方程联立，解之得
图 5 图 6
兰 ! 兰 二 兰 兰 一 二
8．(1995年CMO试题)如图 6，H为锐角三角
sin 2a+sin 2／3 sin(a+ )’
形△ABC的垂心，由 A向以BC为直径的圆作切线
于是 zA—zM．所 以AM_LBC．
A|P、AQ，切点为 |P、Q．求证 ：|P、H、Q三点共线．
说明：几何离不开三角．同样用解析法研究几何
答案与提示
问题时应注意三角知识的运用．
1．B．设 z— f COS 0f，Y— f COS 20f，则 Y
跟踪 练 习 — f 2z 一1 f(0≤z≤】，0≤ ≤1)．于是问题转化为求
1．函数 厂( )一f COS 0f+f COS 20f的值域(其中 函数 —f 2z。一1 f(0≤z≤1，0≤ ≤1)的图象上任意
∈R)为( )． 一 点，且斜率为一1的直线 z+ —b在Y轴上的截距
的最大值和最小值 ，借助于图形 可 以求得 厂( )的值
A．[ ，23 B．[ ，2] r 1
域为f ，2}．
L _J
c．[ ，2] 。．[ ，2] 2．A．f(S，t)表示点(5+5，S)到点(3 f COS t f，
2．二 元 函数 f(S，t)一 (5+ 5— 3 I COS t 1)。 2 f sin tf)的距离的平方，而点( +5，5)的轨迹为直线
2
一
+(s-2I sin ti) ( ，t∈R)的最小值为( )． —z一5，点(3 f cos t I，2 I sin t I)的轨迹为椭圆
C． D．2 2
． ．
+ 一1(z≥0， ≥0)．由图形不难得知，能达到的最
3．(第 12届 美 国数 学邀 请 赛 试题 )对 某 些 有 厅 ‘士
e
x2 q =_y 50 小值为点 A(3，0)到直线 Y—z一5的距离 的平方 ，即 实数对(口，6)，方程组／ ’至少有一个 解，
，
1l口伽 一Z +十 O vV一 1 ，l 二 !、 一
l J
且每个解是 有序整数 对 (z，Y)，这样 的有序 实数对
3．72．方程 z + 。一50有 12组整数解．在平面
(口，6)的个数为 ．
— —
直角坐标系中，z + 一50表示圆心在原点 ，半径为
4．已知 是正实数，“∈[一 ， ]，则 厂(“， )
5√2的圆，12组整数解表示圆周上 12个整点．显然当
= (u-v)e+( 一导)。的最小值为——． 口z+by一1为 12个整点的切线时，方程组至少有一
个整数对(z， )的解．上述 12个整点 中两点连线和圆
5．；i~EAABC ，D；~K：BC上，且使 BD一 3
，E在 的切线共有 C； +12=78条．但这 78条直线 中有 6条
5 包含原点(两坐标正好相反的点决定的直线)，其直线 AD上，且使历AE一
，
百 如果BE 3~AC于F，则嚣的 方程不是 a．Sg+by=1的形式．这表示有 78—6—72个
值为 ． 有序实数对(n，6)使得给定的方程至少有一个解且是
6．(第 29届 IMO 试题)如 c 整数解．
图 4，在 Rt△ABC中，AD 为斜 L 4．8．将 f(“， )看做点 P(“，~／2一“。)和点
0
边上的高 ，连结△ABD、△ACD Q ＼ ，÷u1， 距离的平方．显然P是圆z +Y。一2上的
的内心的直线分别交边 AB、AC
点，Q是xy一9在第一象限内那一支上的点(因为
于 K、L．若 E与 E。分别表示 B
>0)．可求得 P与 Q之间的最短距离为 2√2．因
△ABC与△AKL的面积 ，求证 图 4
F 此，厂(“， )的最小值为(2√2) 一8．
≥2． n
5．÷．以点D为原点，BC为z轴，建立直角坐标
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系，设 A(a，6)，B(一3c，O)，C(2c，O)，根据定比分点公式 — f)．从向，E点坐标为
得E( ，订6b)，由两点式可以求得直线Ac的方程为 ／6 (c一，)一cf(b+ ) 是6 (厂一c) 、 I 26 —d厂一bc ’2bd— 厂一 J‘
+(2c-a)y-2bc=0，从而可知点 F分 BE所成的定比
、 6(一 3c)+ (2c—a)·0— 2bc 11 故是 一 等 ．’
一一 6_·=_ 6TTa +(2 c—-—a—) ·丁6Tb一2 一一 z ’ 同理 ，将 b，d 互 换 ，是 变 为 一 是，可 得 是AG
一 而6 (二 ． NI2A~GAC一 EAc．
所 以 EBFE BF—+FEF E 一 ～ ( + 1)一 9 c一 厂)一C厂(b+ )‘ 一 一 ‘
．
6．以 A为原点 ，两直角 ‘ D
V ’
边所在直线为轴建立直角坐
八
标系 (图 7)．设 △ABC的边 c
长AB—C，AC—b，BC—Ct，内
、
切圆圆心 为 J，内切 圆切 BC
B 0 C
于 P，切 AC 于 R，则 IP
图 9
+CP—RA+CR—b．于是 ， 图 8
图 7
根据 △ABD 与 △CBA 相似 8．证 明：以 BC为 37轴 ，线段 BC的 中垂 线 为
f相似比为 1， 得 J P Y轴建立直角坐标系 (图 9)．记 A(a，6)，B(一R，O)，
C(R，O)(R> 0)，则 以 BC为 直径 的圆 的方程为 z
+AP 一 竺
，即 J 在直线 z+ 一 竺 上 ，同样 J 也 + 一R ．易知直线 PQ的方程为 az+6 —R ． ①
口 a
又 由锐角三角形可知 ，AB、AC与圆相交 ，记交点
在这条直线上．直线1 Jz的方程是z+ 一等，因此 为 E、F．则 BF上AC，CE上AB，且 BF与 CE 交 于
AK=AL= 丝 面积 E 一 1 ．
△ABC的垂心 H．
a ． ，E一 6c，所
由直线AC的斜率为 知，直线 BF的斜率为
以 E
一 譬一 ≥2． l~- a
_ ，得直线 BF的方程为
7．以 AC所在直线为 z轴 ，点 A为原点建立平
面直角坐标系(图 8)．设 A点为(O，O)，C(c，O)，B(6， (a—R)x+by=R 一aR． ②
-
kb)，D(d，kd)，其 中 是为直线 AD 的斜率．再设 同理 ，CE的方程 为(a+R)z+6 —R +aR， ③
由②+③得①知 ，BF与 CE 的交点在 PQ上 ，即
F(f'O)， ∞： 一 (z ， 一 (z
PQ通过△ABC的垂心．
___■-● 二一 !!■ ，1 ■■■■■■■ -●-。! ■ ’ - ：_．cJ： 1I1 j- E 霉 t； ，． 一； ■■_
由湖北黄冈等高中一线名师编著的 《高中数学巧学 活题巧解大全》 (西安出版社)一书分为四大部分：第一部分为高中数学活题
巧解方法总论。详细介绍了代入法、直接法、定义法、参数法、交轨法、几何法、比较法、综合法、分析法、放缩法、反证法、换元
法、构造法、配方法、判别式法、向量平行法、向量垂直法、同一法、累加法、累乘法、分组法、公式法、裂项法、迭代法、角的变换
法、升幂法、降幂法、估算法、捆绑法、插空法、间接法、特殊值法、数形结合法、信息迁移法、类比联想法、抽象概括法、逻辑推理法
等84种巧解活题的方法并大量举例说明。第二部分为难点巧学。高中数学中只要是难教、难记、难懂、难做的地方都有巧妙方法，一看
就懂，一学就会，一用就灵。详细总结了 “抓两头，看中间，巧解双或不等式 、 “巧用均值不等式的变形式解证不等式”、 “相互转
化——研究空间线线、线面、面面垂直的利器”、 “巧设问，判断函数的连续性 、 “分清实部与虚部，转化为方程或不等式是判定复数
类型的基本方法”等难点巧学70多处，大大降低学习难度，使学生学习数学交得有些简单有趣 !第三部分为同步活题巧解。配有500道
历年高考活题，全部用巧妙方法解出，题题精彩i第四部分为综合测试题15套，每题附有详细解答过程。此书包含了高一至高三数学
教材的所有内容，与学习同步。若掌握了书中大部分巧法，一般高考题目一眼就能看出答案，能轻松快速提高学生的数学成绩。与众不同
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餐 一 黟 舔罐 嗲 謦 霸
中山大学数计学院 陈云烽
在平面解析几何 中 有一类常 见的轨迹 问题 ，问 『AP『 l AQl 、 『ACI
题中动点的运动变化规律与两个定点相关联．关联程 可 一丽 一 一 可‘
度有的较为简单直接 ，有 的 比较 复杂曲折；所涉及 的 所以，当 C不 在直 线 AB 上
知识有多有少，其综合性可大可小；至于解答的难度， 时，PC和 QC分别是 △ABC
则深浅不一 ，而且，有不少 问题蕴涵着丰富 的数学思 的内角 C及其外 角的平分 图 1
想方法 ，揭示 了许 多曲线 的本质特 征．因而，这 类 问 线 ，从 而 PCQ为直角；而当
题，可视为是多种数学知识和方法的一个自然交汇平 C在直线AB上时，点 C与P或与Q重合．因此，点 C
台，对于数学教育和解题训练而言，这是一类值得重 的轨迹是以 PC)为直径的圆．
视和探讨的问题． 以点 A 为原点， 的方 向为正方 向建立数轴
Az，如图 1所示 ，则 A、B、P、Q各点 的坐标依次为 0、
1 一个简单命题的联想
m、 、 ，所以点 c的轨迹圆的半径为
命题 1 设A、B是距离为m的两个定点，动点 C
到 A、B的距离分别为 d 、d。，则下列论断成立 ： r一 专fPQf一 ，
(1)若 d +d。一d是常数，且 >m，则点 C的轨
一， 圆心为 PQ的中点D，其横坐标为
迹是一个以A、B为焦点、长半轴长为 的椭圆； 1 ， m ． m 。m
一 ( 可十 )= ’
(2)若ld 一d。l—d是常数，且 0< 』 故点 D分有向线段AB所成的比为
的轨迹是以A、B为焦点、实半轴长为 的双曲线；
。
一 一 一
．
m ——2cD ’
、
(3)若 一1，则点 c的轨迹是垂直平分线段AB
“ 2 即论断(4)成立．
的直线 ； 关于论断(5)，如图 2，过点 A作 ．
』 直线z上AB，过点 C作 CE上z，E是垂 “
(4)若 一 >0是常数 且 ≠1，则点 C的轨迹
“ 2 足，则有l AE『-h，由 = -h知 以
是半径为 r一 的圆，圆心是分有 向线段 所 d；==d} h。一 lACl。一 lAEl。一lCEl。，
l，、 1 l
即 d。一 l CEl，所以，点 C的轨迹是以 z
成的比为 ～ 。的定 比分点 ； B为焦点 ，z为准线 的抛 物线，故抛物 图2
(5)若~／ 一d；等于点 c到直线AB的距离h，则 线的顶点为 AB的中点 0，论断(5)成立．
点 C的轨迹是以线段AB的中点为顶点，B为焦点的 命题 1虽简单易明，却内涵丰富．细加思考，可引
抛物线． 发许多联想和有益的启示．作为交流，下面谈谈个人
这个命题的正确性几乎 自明．其中的前三个论 的几点心得．
断，可 由椭圆、双 曲线和线段垂直平分线 的通用定义
第一 ，命题 1告诉我们 ，对 于平面解析几何学 中
直接得到．后两个论断，则可由圆和抛物线的通用定
的五种最基本 ，且应用广泛 的常见 曲线 (直线 、圆 椭
义和基本性质简单推得．
圆、双曲线和抛物线)，可用同一个“框架”加 以定义，
关于论断(4)，如图 1(该图以 >1为例作图)，点
即是 说，可 以用 “有 两 顶 点 (A、B)固定 的三 角 形
P、Q分别是线段AB的内、外分点，满足
一 商 和 一一 ． (△ABC)的第三个顶点(C)的轨迹”这样的框架，来
定义五种基本 曲线．这里所说 的△ABC，含退化情形
由～D-一 >0， ≠1，得 (即三个顶点共线的情形)．
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这时，比较不同曲线所对应的动点 C的条件，可 示曲线成为可能．因而使代数与几何紧密结合起来，
以看到：条件中所采用的几何量都是点 c到定点 A、 产生并促进解析法的发展．在这当中，曲线的不同方
B的距离 dt和 d ，而且 只有抛物线才添加 了点 C到 法的定义，对采用解析法研究曲线性质有着 深刻的
直线AB 的距离 h．曲线与条件的对应关系也颇为 影响．
有趣． 对平面各种基本曲线的定义，有着多种方式(框
椭圆对应于 d。与 d 的和为常数 d>m(m 为A、 架)，就是在同一种方式(框架)下，往往也存在着不同
B的距离)；(注：若 d=m，则点 C的轨迹为线段AB． 的方法．
可视为椭圆收缩的退 化情形．此外，根据三角形不等 就 以前述的“用三角形 的顶点轨迹定义 曲线”这
式 ，d双曲线 对应 于 d 与 d 差 的绝对 值 为常数 d 干恒等关系(如内角和等于 ，正弦定理、余弦定理
∈(O， )；(注：若 一0，则 d。 d2，由于 m是两点的 等)，因而，关于三角形的每一组条件，通常有不同的
距离 ，必不为零 ，故必有 d。、d 不为零，于是 d一0，等 条件组与之等价．由此，使得有可能采用不同的条件
，，
价于商～7-一1，点C的轨迹是直线，可视为双曲线两支 组来定义同一种曲线，这便出现了曲线定义的多样
“ 2
化．例如，有如下的真命题：
合一的退化情形．若 d—m，则 C的轨迹就是A、B这
命题 2 设 A、B是距离为m 的两个定点 ，动点 C
两个定点 ，可视为双曲线收缩的退化情形．此外，根据
到 A、B的距离分别为d 、d ， ACB=2a，则有
三角形不等式，d>m的情况不存在)
(1)若 d。dzcos。a等于常数 >0，则动点 c的轨
直线对应于 d。与 d 的商等于 1；
r————— ———一
圆对应于dt与d 的商为不等于 1的正数； 迹是以A、B为焦点，长半轴长为√’f、等一1／ + 的椭圆
作为两个数 d 与d 的四则运算，和、差、商分别
与不 同的曲线相对应．注意到“当圆的半径趋 向于‘无 (2)若d。d sinza等于常数 ∈f＼ 0， 工士，＼ ，则动点c
穷大’时，圆趋向于直线”这样的性质，也就不难理解 r————— ———一
为什么直线和圆都是与d。、d 的商相对应． 的轨迹是以A、B为焦点，实半轴长为√(予) 一 的
讨论至此 ，不免会 问：当 d。与 d 的积为常数时，
双曲线 ；
点 c的轨迹如何 与抛物线有无关联 注意到当
(3)若 dld2sin Asin B—m(dl COS A—d2COS B)，
d。d 是常数时，d。和 d 不可能同时都趋向于无穷
式中的角 A、B分别是△ABC(含退化情形 )顶点为
大，可知点 C的轨迹不可能是抛物线．经过简单演算，
A、B的内角，则动点 C的轨迹是 以 AB 的中点为顶
可知由 d。d 为常数时导出的点 C的轨迹方程是 z、
点 ，B为焦点的抛物线．
的四次方程 ，并且无法分解为两个二次方程，因而，点
证明：(1)当点 C不在直线 AB 上 时，对△ABC
C的轨迹不可能是二次曲线．
应用余弦定理，依设，可得
这便产生了在上述框架下能否定义抛物线的问
m 一 d + 一 2dld2COS 2a
题．前述的论断(5)给这个问题做了肯定的回答．其所
— d}+d；一2dld2(2cos 口一1)
采用的条件是 ~／ 一d；一h，虽然较之其他四种曲线
一 ( l+ d2) 一4 ，
的条件没有那样简单直接 ，但也不算复杂 曲折 ，尚属
所以dl+d2一~／ 。+4n>m； ①
简明之列．而且该条件的产生也受“乘积”这种想法的
启发．事实上，当利用 d。d。的条件失败之后，就想到 其次 ，当点 C在直线 AB 上时，由 d d2 COS 口=
利用d +d。与d 一d 的乘积是否可能的问题．当试 ≠0，知 a≠ ，即 2a≠ ，故点 c不是线段AB的内分
用了该乘积为常数仍达不到目的之后，进而也就考虑
点 ，而只能是 AB的外分点，从而必有 ld 一d。l— ，
把常数 改变 为△ABC的某个 几何量是 否可行 的问
且 2a=0，所以有
题．于是相中了 AB边上的高 h，从而获得了上述的论
COS口一 1，dld2= ，
断(5)，即：
得( l+d2) 一( l—d2) +4dld2一 +4n，
抛物线作为点 C的轨迹，所对应 的条件是 d
+d 与 d 一d 的乘积等于点 C到 AB距离 h的 即当C在直线AB上时，式①也成立．
平方． 因为,／m2+4m是大于m 的常数，所以由命题 1
综合起来看，上述这种和、差、商、积与各种基本 得命题 2的论断(1)成立．
曲线之间的相关性 ，深刻地揭示 了一种 自然 的和谐关 (2)注意到 COS 2a=1—2sin 口．
系，也是一种数学美，耐人寻味 ，值得愉悦观赏． 应用上 面证明(1)的思路和方法 ，同理可以证明
第二，点动成线，用轨迹定义曲线，使之用方程表 (2)成立．为节省篇幅，具体的陈述从略．
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(3)对△ABC应用正弦定理 ，得
f BCf—f f OBf—f OCf f—f÷～1 f r，
1 1
一
d 2 一 d1 ’
所以，同样得到 = ．
即有 dl sin A—d2 sin B一0．
当△ABC退化为A、B、C时，此式也成立． 综合起来 ，引理得证．
注意到点 C到直线 AB 的距离 由这个 引理可知 ，A、B两点的距离
1 ． l
h— d1 sin A—d2sin B，
优 一 f r一÷f一÷l 。～1 l；
J ，～ J ，～
且 A、B两点的距离
A、B两点分居于 圆的内外 ，两点 的联 结直线必经过
m— d1 COS A—+-d2COS B，
所以，论断(3)的已知条件等价于 圆心o，且点 。是AB的外分点；同时，
lOA l— 。 lOBf．
h。一 ( l COS A+ d2 COS B)( l COS A—d2 COS B)
因此，可以证明如下命题是真命题．
一 d (1一sin。A)一d；(1一sin。B)
命题 3 设圆 。的半径为 r，则有
一d}～d；一(d sin0A—dl sin。B)
(1)若点 A在圆。所在平面上，且不在该圆上，
一 }～ ．
也不与圆心 。重合，则必有点 B和常数 >0，使得：
因此，由命题 1之(5)得本命题 的论断(3)成立．
第三，考虑命题 1的反问题 ，即对 于给定 的基本 对圆o~N~NA c，都有 一 ．
曲线，将它视为动点 C的轨迹，求满足命题 1所要求
(2)给定长度 m>0，必有距离为 m的两个定点 A
的定点 A、B和有关 的常数 d(或 )．
和 B以及实数 >0，使得：对圆 。上的任意点 c，都
关于这个 问题 的答案 ，对于椭 圆、双曲线 和抛物
有．幅1 A Cl 一
线来说都很简单，所求的定点 A、B都是唯一的一组． -
就是直线也不复杂 ，只要两个点关于该直线对称且距 1
离不为零，则都是所求的定点组，有无穷多组，几乎填 简证 ：取 一 l OA l，并在射 线 OA 上取满 足
满整个平面．至于圆，情况虽没有这样简单，但也不算
太复杂 ，主要的结论可陈述为如下的引理和命题 ： loBl一向 的点B，可证(1)成立·
引理 设正数 ≠1，圆。的半径为 r，OL是由圆
心 。 出发 的射线．若点 A、B在射线 OL上 ，且 lOA l 取 一√( ) +1+ ，并在由圆心0出发的任
一
— r，l0Bl一}，则对圆0上的任意点c，都有 条射线上取满足 lOA f— r， lOB l一÷的点A和
一
． B，可证(2)成立．
证明：如 图 3(图 中的标 这里，命题 3虽然只给出定点A、B的存在性，但
识，以 >1示例，若O< <1， 是简证采用 了构造法的证明手法．因此，实际上 ，也就
则字符 A、B 的位 置 对换 即 ( ) 提供了确定 A、B两点的具体计算方法．而且，从中还
可)，因为点 C在 圆 。 上 ，所 可进一步推断出(1)中的点 B和常数 是唯一的，而
以 f OC f— r，由 题 设 可 得 图 3 (2)中的 和A、B都不具备唯一性，而是有无穷多个
fOA J }OCf
一 一
l oCl一“一 lOB l‘ 解组．比如， 的值还可取为√( ) +1一 m，而且对
当 A、B、C不共 线 时，由 COB一 AOC和上 同一个 值，定点组 A、B也并非唯一被确定，而是在
式 ，可知△COBco△AOC，
由圆心 。出发的每一条射线上，都有满足要求的两个
所以 一 定点 A 和 B，因此 ，有无穷多组 A、B满足要求．为了
使之能唯一确定，则必须增加其他的约束条件．根据
而当 A、B、C共线时 ，有两种情形．
这一点，可以编拟出一系列有趣且有深度的练习题和
(i)若点 C是线段AB的外分点，则
测试题．
fACf—fOAf+fOCf一( +1)r，
例 1 已知 圆的方程 z + 。=：4，试在坐标平面
f Bcf—f OB f+f ocf一(-+1 1r， 上，求两点 A(s， )、B(优 )，使满足下列两个条件：
得 I A Cl (1)圆上任一点 到 A 的距离与到 B 的距离之 比
— ；
为定值 忌；
(i)若点 C是线段AB的内分点，则 (2)s>m， > ，且 m、 均为正整数．
f ACf—I fOA f— fOCf I—f 一1 l r， 该题是 1993年江苏省高中数学竞赛的一道试
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题．对于那些 了解上述 相关知识 的考生 ，解答该题有 解法 3：设 A(S，f)、B(m， )合乎所求．取圆 z
明显优势．不过该题 的设计 ，充分考虑 了这些 相关 知 +y 一4的直径 C。Cz满足 BO上C。C2，坐标原点 0是
识并非高中数学课程的基本内容，尽管题 目比较新 垂足也是圆心，所以}BC }一}BC }．依题意，有
颖，但背景却十分简明清晰，使得只要高中数学基础 l AC。l lAC2 l ，
扎实的学生 ，解答起来就不会太费劲．而且解法多样 ， }BC】 l lBC2 l ’
有利于考生能力的发挥．作为竞赛题，是一道好试题． 得l AC l—l ACz l，因此，直线 AB是C。C 的中垂线，
该题的解答灵活多样 ，就是应用前述有关的结论 经过圆心 0，其方程为 —k。z，斜率 k。一 >O．
求解也有不同解法．下面我们 只列举 3种较 为典型有
依题意，5>m>O，f> >O，
代表性的解法供参考．解法 1利用 了上述 的一 些结
论 ，而解法 2和解法 3则直接用中学课程 范围内的基 故点 B是线段OA 的内分点，如
本知识求解． 图 4．
解法 1：因为圆 z +Y 一4的半径 r一2，圆心为 解方程组 j
原点0，所以应用引理可得 0、A、B三点在同一直线
9
上 ，I OA I一2k，I OB l：=-E ．所以，有
r5 ==fm ，
S +t 一4k 。
I k (m + )一4．
依题意，又有 5>m>O，f> >0，k>O，故
k 一专(5 +f )>专(m + )一 ，
得 最>1，所 以 m + <4．
由 m、 都是正整数 ，得 m— 一1，
因此，k 一_ 一2，
77z 十 7z
得 是一√2．从而有
f S— > 0，
J
1 S0+t 一8，
求得 S—f一2．
所以，点 A(2，2)和 B(1，1)以及 是一√2为本题
答案．
解法 2：因为点 C。(一2，0)，C2(2，0)，Ca(0，2)都
在圆z + 一4上，依题意得
fG二- f—k JCf—Bf，i一1，2，3．
r(s+2) +t 一是 [(m+2)。+ 。]， ①
即得 (s一2) +t =是 [(m一2) + ]， ②
l s。+(t-2) 一是 [m +( -2) ]． ③
由式①+② ，整理得 S。+t +4一是 (m。+ +4)． ④
由式①一②，整理得s一是 m， ⑤
由式①一③ ，整理得 5+t=k (m+ )． ⑥
由式⑥一⑤ ，得 t=k。 ， ⑦
由式④⑤⑦消去 t，s得k (m + )一4， ③
因为 m、 是正整数 ，且 由f> >O和式⑦可知 k
>1，所以，由式⑧可得 m一1，n一1，k 一2．进而 ，应用
式⑤和⑦ ，得 5=f一2．
最后，经检验知 A(2，2)，B(1，1)，k一√2，符合本
题要求．维普资讯 http://www.
O S
(英 文) (参 考译 文 )
Some physical quantities are completely determined 有些物理量完全由它们的大小(用特定
when their magnitudes，in terms of specific units， are 的单位)所 决定 ，这 类物 理量 的例 子 如 Ⅱ只，
given．Examples of physical quantities of this kind are feet，
时，加仑，美元等．另外一些其方向和大小都
inches，gallons， dollars， etc． 0ther quantities， such as
是重要的量 ，例如力和速度，称为向量．
forces and velocities。 in which the direction as wel1 as
magnitude is important are called vector quantities． 定义 1 一个 向量 是一个有 向线段 ，由
Definition 1 A vector iS a directed 1ine segment，and 它的长度和方向所决定 ，它 的实际位置并不
it iS characterized by its 1ength and direction，its actua1 重要．一个 向量既表明方 向又表明大小．
position being immateria1． A vector shows both direction
通常用一个箭头来表示向量 ，它 的方向
and magnitude．
It is customary to represent a vector by an arrow 表示这个 向量 的方向 ，它 的长度 (用某个选
whose direction represents the direction of the vector and 定的长度单位)表示这个向量的大小．
whose length ( in terms of some chosen unit of length ) 一 个 向量 由两个点 ，即这个向量 的始点
represents the magnit ude．
和终点 所决 定．常 常用黑 体字 母 来表 示 向
A vector is determined by two points，the initial point
量．通常把 向量 a的大小记为 I aI，这个数称
and the terminal point of the vector． Boldface type is
usually used to denote vectors． It iS customary to denote 为 a的绝对值 或模．如果 a是向量A百，那
the magnitude of the vectors a by the symbol la l，which is 么向量荫 就记为-a，并把一a称为a的逆
called absolute value or modulus of a．If a is the vector AB， 向量．
then the vector BA iS denoted by—a，and—a is called the
为了一般性，我们也考虑零向量，它的
inverse vector of a．
始点与终点重合．零向量记为 0．零 向量的长
For the sake of generality，we also consider the case of
a zero vector whose initia1 point coincides with the termina1 度为零并且方 向任意．
point．The zero vector iS denoted by 0．The zero vector has 定义 2 两个 向量称为是相等 的，当且
1ength zero and arbitrary direction． 仅当它们有相 同的大小和相同的方向．
Deifnition 2 TWO vectors are said to be equal if and
注意，我们并不要求相等的向量是重合
only if they have the same magnitude and the same
的 ，但是它们 必须平行 ，有 相 同的长度并且
direction．
Notice that we do not require that equa1 vectors 指向相同的方向．
coincide，but they must be parallel，have the same length， 我们可以这样得到向量的和 a+b，把 b
and point at the same direction． 的始点平移到a的终点上 ，然后连结 a的始
W e obtain the vector sum a+ b by placing the initial
点与 b的终点 ，如图 1所示．
point of b on the terminal point of n and joining the initial
point of a to the terminal point of b，as shown in Fig．1．
1
Fig 1
Thus，if n一 and 6一 ，then n+西一 (I ；that is 于是，若 口一 ，b一葡 ， 则 n+6一 ，
+ 一 ． 即 + 一 ．
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In a similar way，we get the sun!b+ a by placing the 类似地可以得到 6+n，把 a的始点平移
initial point of a on the terminal point of b and joining the b的终点上 ，然后连结 b的始点与 a的终
initial point of b to the terminal point of a ． Fig． 2 shows
． 图 2展示了如何构造 a+b及 b+n，由
how we construct a+b and b+ a，and from this figure it is 个图，明显地可 以看 出向量 的加法有交换
apparent that the commutative law，a+ b— b+ a，holds for a+ b— b+ a．
vector additjon．
C
2
F1g 2
求两个向量的和的另外一个方法就是
An alternate method for finding the sum of two vectors
有名的力的复合的平行四边形法则．设 a和
is known as the parallelogram law for the composition of
b表示两个向量，我们平移这两个向量，直至
forces．Let vectors a and b represent two forces．W e move
两个向量的始点落在某个点上，譬如 A点
these vectors unti1 the initia1 point of each falls on some
(图 2)．令 B是 a的终点 ，D是 b的终点．
point such as A (Fig．2)．W e let B be the terminal point
然后以AB和AD 为邻边完成这个平行四边
of a and D the termina1 point of b． We then complete the
形 ，并 且 画 出这 个 平 行 四边 形 的对 角 线
papallelogram with the sides adjacent tO AB and A D，and
一 n+6．
draw Ae—n+6，t到he 点dia这gon律a l of the parallelogram．
A sum of three vectors a+ b+ c，could mean the sum 三个 向量 的 和 a+b+ c_可 能 意 味着
a+b与 c的和，即(n+6)+c；也可能意味着
of a+ b and c，thus(a+6)+c；or it could mean the sum of
a and b+ c，thus a+ (b+ c)．Unless these sums are equa1 a与 b+c的和 ，即 a+(b+c)．除非这两个
we cannot be sure of a unique sum for the addition of more 和相等，否则我们就不能确定多于两个 向量
than twO vectors． 的和的唯一性．
For every three vectors a，b，c，we have(n+ 6)+ c— a 对于任意三个 向量 a，b，c，我们有 (a
+ (b+ c)， that iS， the associative Iaw holds for vector +6)+c—a+(b+c)，即向量 的加 法有结
addition． 合律．
By the difference of vectors a——b，we mean the vector a 所谓向量的差 a—b，意 味着 a+(一6)，
+ (一 6)，where—b iS the inverse vector of b． 一 b是 b的逆向量．
(英文撰稿：尧 羽) (译文 ：安文娟(陕西师大附中))
每 每 每 每 c c c c c c ： c c c c c c
第五届 中学生数学智能通讯赛参 赛 绚侧
本刊第五届中学生数学智能通讯赛将从本月开 局将参赛费汇至我部，并请在附言里注明“参赛费”字
始正式举行，欢迎各地教师、教研员能组织学生踊跃 样，参赛截止 日期为 2008年 7月 31日．若因其他原
参赛．具体参赛细则如下： 因不能在截止 日期前寄来，可与编辑部电话联系．
1．本次大赛按七年级 、八年级 、高一、高二四个年 6．本次大赛设特等奖、一等奖、．5-等奖、三等奖，对
级 组设 置赛题． 所有获奖的学生均颁发获奖证书，特等奖设有奖品．对成
2．赛题的知识 内容不超过各年级 2008年 6月底 绩优秀的参赛学生的指导教师颁发优秀指导奖．
以前所学的数学内容． 7．同一参赛团体若参赛者答卷完全雷同，视为无效．
3．七年级、八年级组赛题刊登在本刊第 5期下半 联系电话 ：029—85308536(初中)
月(初中)第58页上，高一、高二年级组赛题刊登在本 029—85308154(高中)
刊第 5期上半月(高中)第 44页上． E—mail：jmat@163．com(初中)
4．团体参赛(2O人以上)每位学生参赛费 10元， smat999@163．com(高中)
不接待个人参赛，请参赛者在答卷上注明所在学校、
年级及姓名，字迹务必工整． 中学数学教学参考编辑部
5．参赛者需将答卷直接寄给编辑部，同时通过邮 2008年 5月 10日维普资讯 http://www.
／一 == ≮ 一
，
聿 蔷专 譬棒 瞎 圈
本刊试题研 究组
～
、选择题：本大题共 12小题，每小题 5分，共 6O分．在
与 z轴正半轴的夹角分别 为— 和 ，向
每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的．
量 满足 + + 一0，则 与z轴
1．sin 600。+tan 240。的值是 ( )． ．／ 一
正半轴夹角的取值范围是( )．
A．一 B．
A．(o，詈) B．(詈，警) D
c．一÷ +√3 D．÷ +√3 C
c．(号， ) D．(擎， ) 图 l
2．对于两个非空集 合 M、P．定 义运算 ：Mo P一 {37『
9．某中学拟于下学期在高二年级开设《矩阵与变换》《信
∈M， ∈P，且 z链MnP}．已知集合 A一{z{z 一3z+2—0}，
息安全与密码》《开关电路与布尔代数》等三门数学选修课，在
B一{Y J 一 一2z+3，z∈A}，则 A B一( )．
计划任教高二的 1O名数学教师中，有 3人只能任教《矩阵与
A．{1，2) B．{2，3) C．{1，3) D．{1，2，3)
变换》，有 2人只能任教《信息安全与密码》，另有 3人只能任
3．设 m、 是两条不同的直线，a、卢、7是三个两两不重合的
教《开关电路与布尔代数》，三门课程都 任教 的只有 2人．现要
平面，则 mj- 的一个充分条件是( )．
从这 1O名教师中选 出 9人 ，分 别担 任这 三 门课 的任 课教 师 ，
A．口j- ，口np一7z，mj- B．“上7，I8上7，口n y一
且每 门课 安排 了 3名 教师 任教 ，则 不 同的 安排 方案 共
C 口上 ， 上7，mj-口 D． 上口， 上口， 上I8
有 ( )．
4．(理 )已 知 i为 虚 数 单 位，若 函 数 f ( )
A．16种 B．14种 C．12种 D．8种
d
一 J1 ‘ _二 i‘ 在 R上连续，则实数 的值是( )．
、
n一2COS z(z> 0) 10．在 ／~ABC中，Bc—n，CA—b，AB f，则 sin
A．4 B．2 C．0 D．一 4
+ i z—导+ i z导一。o z导成立的充要条件是( )．
(文)某工 厂生产 A、B、C三种 型号 的产品 ，产 品的数量 之
比依次为 2：3：5．现用分层抽样的方法抽出一个容量为 的 A．a+ 6— 2c B．6+ f一 2a
样本 ，样本中A型产品有 16件，那么样本容量 为( )． C．f+ n一 2b D．C·n— b
A．8O B．6O C．100 D．90 11．如 图 2，正 方 体 ABcD
5．已知直线 一2及 一4与函数 —log。z图象的交点分 A B C1lD。的 棱 长 为 1，点 M 在 棱
1
别为A、B，与函数 Y=logsz图象的交点分别为C、D，则直线 AB上，且AM=÷ ，P是平面ABCD
J
AB与 CD( )．
内一动点 ，且点 P到直线 A D 的距
A．平行
离的平方 与点 P到点 M 的距离 的平
B．相交 ，且交点在第 Ⅱ象限
方的差 为 1．则 在 直 角 坐标 系 xAy
C．相交 ，且交点在第 Ⅲ象 限 图 2
中 ，点 P的轨迹是 ( )．
D．相 交，且交点在坐标原点
A．抛物线 B．双 曲线 C．圆 D．直线
6．已知抛物线 z 一2py( >O)的焦点为F，P是抛物线上
12．设 厂(z)和 g(z)是定义在同一个区间[n，6]上的两个
不同于顶点的任一点，过点 P作抛物线的切线 l交 z轴于点
函数，若对于任意的 z∈Ea，6]，都有 Jf(z)一g(z)J≤1，则称
Q，则确 ·葡 =( )．
A．一2p B．一P C．0 D． 厂(z)与g(z)在[n，6]上是“密切函数”，[n，6]称为“密切区间”．
设 (z)一z。一3x+4与 g(z)=2x-3在区间[n，6]上是“密切
7．在两年前发射的“神舟六号”，据科学计算，运载“神六”
函数 ”，则 它的密切 区间可以是( )．
的“长征”二号系列火箭 ，在点 火第 1秒钟通过 的路程 为 2 km，
A．[1，4] B．[2，3] c．[3，4] D．[2，4]
以后每秒钟通过的路程增加 2 km，在到达离地面240 km的高
二、填空题 ：本大题 共 4小题 ，每 小题 4分 ，共 16分．把 答
度时，火箭与飞船分离．则从点火到火箭与飞船分离这一过程
案填在题 中的横线上．
大约需要( )．
A．2O秒钟 B．15秒钟 c，12秒钟 D．1O秒钟 rz+ ≤3， l
13．设实数 z、Y满足约束条件 ≤2x， 则 目标函数
8．如图 1，在平面直角坐标系 ( 中，两个非零向量 、
}l ≥0
，
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一 2z+ 的最大值是 ． 2O．(本 小题 满分 12分)
— —
￡ 4
已知函数 _厂(z)一z(z—m)
14．已知(1'COS +1) 的展开式中z 的系数与fz+÷1
· ( 一 )(O的展开式中z。的系数相等，则 COS 一— — ． 和 z一6(615．直三棱柱 ABC-A B C 的各个顶点都在同～个球面
(1)求 证 ：6上，若AB=,／g，AC= ，Bc—CC 一1，则A、C两点之间的球 (2)若 厂(n)+厂(6)≥0，
面距离是 ．
16．在图 3所示的三角数阵中，从上到 1 1 求 n +詈D 的取值范围． 图一 5
下共有 行 ( > 7)，设其 第 行 ( ≤ )中 l 2 l 一 2 ．2
21．(本小题满分12分)设双曲线 一寺 l(n>o，6>o)
不为 1的数字之和为 ak，由 n a2 a3， 组 l 4 6 4 l
成 的数列 {a }的前 项 和 为 S ．现有 四个 的左、右焦点分别为 F1、F ，P是双曲线右支上一点，△PF1F2
结论 ：① a8— 254；② a 一 a 一1+ 2k(2≤ 图 3 的内切圆与z轴切于点Q(1，O)，且l F1Ql=4．
≤ )；③S一16；④S 一2 一2 一2．其中正确结论的序号是 (1)求双曲线的方程；
． (写出所有你认为正确结论的序号)
(2)设 A、B分别为双曲线的左、右顶点，R是直线 z一了J-
三、解答题 ：本大题 共 6小题 ，共 74分．解答应 写 出文 字
说 明、推理过程或演算步骤． 上异于点f÷，01的任意一点，若直线AR、BR与双曲线分别
17．(本小题 满分 12分)在平 面 直角 坐标 系 xOy中，已知
交于点M、N，试判断点 A与以MN 为直径的圆的位置关系，
向量 n一 (一 1，2)，又 点 A(8，0)、B( ，￡)、C(ksin 0，￡)，其 中
并证明你的结论．
O≤ -“4-． t
22．(本小题满分 14分)(理)对于数列 {a }，若从第二项
(1)若 上n，且l商 l一 1 1，求向量 ； 起，每一项与它前～项的差依次组成等比数列，则称该等比数
(2)若向量 与 向量 n共 线 ，当 > 4，且 tsin 0取得 最大 列为“差等比数列”．现已知 a，一2，设其差等 比数列的首项为
值为4时，求o-I· 的值． 2，公 比为 q(q>O)．
18．(本小题满分 12分)(理)某项 目的射击比赛，开始时 (1)数列{a }有可能是等差数列或等 比数列吗 若是，求
在距 目标 100 rn处射击，如果命 中记 3分，且停止射击；若第 出q的值 ；若不是，说明理由；
一
次射击未命中，可以进行第二次射击，但 目标在 150 rn处 ， (2)当 1这时命中记 2分，且停止射击；若第二次仍未命 中，还可以进 b，一q．试确定 的取值范围，使得 b 行第三次射击，此时 目标已在 200 rn处，若第三次命 中记 1
(文)已知数列{n }中，al一÷ ， n +1—2a ( ≥2)，
分，并停止射击；若第三次都未命中，则记 0分．已知射手甲在
100 rn处击中目标的概率为÷，他的命中率与目标的距离的 数列( )满足 一 ( EN )．
平方成反比，且各次射击都是独立的． (1)求证：(b )是等差数列
(1)求这名射手在三次射击中命中目标的概率； (2)求数列 {a }中的最大项与最小项．
(2)求这名射手在这次比赛中得分的数学期望． 参考答案
一
(文)某种 电路 开关 闭合后 ，会 出现红灯 或绿 灯闪动 ，已知 、选择题
1．B；2．C；3．D；4．A；5．D；6．C；7．B；8．B；9．A；10．C；11．
第一次闭合后，出现红灯或出现绿灯的概率都是÷．从开关第
A；12．B．
二次闭合起，若前次出现红灯，则下次出现红灯的概率是÷， 二、填 空题
13．6；14．土 ；15．吾；l6．①、④．
出现绿灯的概率是÷；若前次出现绿灯，则下次出现红灯的概
三、解答题
率是÷，出现绿灯的概率是÷． 17．(1)。． 上n ． ·a=0，
(1)求第二次闭合后出现红灯的概率； 即一( 一8)+2t=0， 一2￡+8． ①
(2)求三次发 光中 ，出现一次红灯 、两次绿灯 的概率． 又 1 1一l蕊 1 ．5×64一(n-8)z+￡z． ②
19．(本 小 题 满 分 12分 )如 图 4，直 四 棱 柱 ABCD- 由①、②得 一一8，￡=一8或 n=24，￡一8．
A B c1 D1的高为3，底面是边长为4的菱形，且 BAD=60。． ·
．． 一(一8，-8)或魂 一(24，8)．
设 AC与 BD 的交 点为 o，A C】与 Bl D 的交 点 为 0】，E是 (2) ‘向量 =(屉sin 0-8，￡)与 n一 (一1，2)平行 ，
o A 的中点． ．．一￡一2(ksin 一8)，即 t-~-一2ksin +16． ．
(1)求二 面角 o 一BG D 的大小 ；
(2)求点 E到平面O BC的距离． n 0=-2 n20+16sin口一一2k(sin ～睾) +警．
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’
．
·
．’ >4，．。．o<÷<1． ’底 面 ABCD 是 边 长
庀
为 4 的 菱 形，且 BAD
· 当sin 一百4时 一6O。． 4
． ． ，￡sin 取得最大值为 ．
· LBD，OB=1 BD
． ． AC
_
由 ～ k=8．
C
二一
此时 sin 一百1
，则 =罢， 一(4，8)． 一2， 一专AC一2瓶
u
· OB．OC 图 5
． ． 一
． 8X 4+0X 8 32． 从 而 oF 一
18．(理)(1)证“第 i次射击命中目标”为事件 A。(i=1，2，
一 √3．
3)，“三次都未击中目标”为事件 B，依题意 P(A。)一 1
． 设 在 。．tan o FO 001 3
一 一 ，
．
面 故 o FO=6
z m处击中目标的概率为P(z)，则P(z)一当(z 10，15o， (2)’-．E是AO1的中点，0是 AC的中点，
200)． 。
． ．OE／ICOl，_．OE／I平面 01BC．
由 1一丽k
得 k=5000，所 以 )一 ． ． ， 点 E到平面0 BC的距离与点0到平面 0 BC的距离
相等．
· P(A )一 一百2
．
． ，P(A 一丢． 又 01FO为二面角0 一BC-D的平面角，
． 平面 001F上平 面 01BC．
从而P(B)一1-专)1-可2)1-i1)= ．
过点 0作OH上0 F，垂足为 H，则 OH上平面 01BC，故
’．每次射击都是相互独立的，
线段 OH 的长为点 0到平面 0 BC的距离．
。
． ．该射手在三次射击中击中目标的概率为
P(f B1)一—1一P(fB) 1一旦云南一 旦 · 在Rt△ H一 一 3x丽v$ 一号·
(2)设射击手甲得分为 e，则 20．(1)‘ ，(z)一 一(m+’1) +埘，l ， ．
P( 3)= 1 P( = 2)= 1 x 2 一百1 P( = 1)一 1 ．．- ( )一3x 一2(m+72)z+m ．
， ，
又函数 厂(z)在 z—n和JT—b处取得极值，
× 7 1 144，P( — o)一 4 9 。
x = ． ． ．口、b是方程 f (z)=0的两个根 (6<Ⅱ)．
。-．／(o)=ran>0，／(m) m(m— )<0，／( )一72(72
故E 一3×÷+2×告+1× 7 +ox = 85． 一m)> 0。 。
。
(文)(1)若第一次出现红灯，则接着又出现红灯的概率是 ． ． b∈ (0，m)，Ⅱ∈(m。 )．
1 x百1一 1； 、 又 6< Ⅱ，．．6< m< Ⅱ< ． 、
、
(2)’．’Ⅱ、b是 方程 f (z)一3x ～2(m+ )z+m 一0的两
若第一次出现绿灯，则接着出现红灯的概率为专×_詈- 个根 ，
一 旦 口+6一号(m+72)，n6一了1 m ．
1O‘
-．_厂(Ⅱ)+厂(6)一a +63一(m+72)(Ⅱ +62)+m72(a+6)
故第二次出现红灯的概率为吉+ 一 ． 一 (Ⅱ+6)[(Ⅱ+6) 一3ab]一(m+ )[(Ⅱ+6) 一2ab]
(2)依题意，三次发光中出现一次红灯、两次绿灯的情况 +mn(a+6)
有如下三种 ：
一 号cm+ )『鲁cm+ 一m
①红、绿、绿，其概率为专×导×_詈_一 ；
一 (m+ )『鲁(m+ )。一了2 m 2一m (m+ )
②绿、红、绿，其概率为 1 x 3 x 3一面9；
一 一 (m+72)(m一2 )(2m— )≥o·
③绿、绿、红，其概率为 1 x了2 xi3= 3
．
’．O< m< n，．．m+ n> O，m一2n< 0．
故所求概率为嘉+ +丢一 ． 于是 2m— ≥O，即 1≤一T1q<1．
，z
19．(1)如图 5，连结(90 ，则 (90 上平面 ABCD．过点0作
OF上BC，垂足为 F，连结 D1F，则 D1FJ_BC，故 0。FO为二 ． +手一 一 一。—T(er+一n)z一。
一
十 一— 一— 一 一——丁—一 一
而 角o．一BG D的 平 面 角 ．
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。
4 or + nf ~+ 2
．
． 当 q一3时，{n }是等 比数列．
一 一
．
J ＼ m ， (2)。I．(n +b )一 (n 一1+b 一1)一q，n 一n 一1—2q一 ，
‘
令 n k 2"<-~，￡<1 1，则 ． ． b - b l q一 2q ～ ．
。
． ．b 一 (6 一 b 一1)+ (b ～1一 b 一2)+ +(b2～b )+b-
g(z)：÷+ -=÷(z+1 ， 2． 一 q一 2(矿一。+ q 一。+ + q+ 1)
2(1一 a一 )
· 。
· g )一了4( 一 )<。， 一 q一— = ‘
于是 ，b】一q>O，b2—2(q-1)>O，b3一q-2·
· ·g( )在f-专，1)上是减函数，
b4=-2(q。一q+1)一～2(q一÷) 一 3。
．唱(1)猜想 ：当 ≥ 3时 ， 21．(1)设△PF Fz的内切圆与 PF 、PFz的切点分别为 当 一3时 ，由上面的计算知猜想 正确．
D、E，则 i PDi：f PEi，{F Di— f F。Qi，i FzEi— fF2Qi． 假设 当 ：k( ≥3)时 ，b 。JPF J～ iP F2 J：2a，．‘．iF1Q J—JF。Q J一2a， b抖1一 b + q- 2q 一 < q一2q 一 一 q(1— 2q 一。)．
I．Q(1，O)为双曲线的右顶点 ，即 n一1． ‘
．‘1又 IF1QI—n+f一4，．’．f一3，则 b。一c。-a。一8． ‘
． ．b + 故双 曲线方程 为 z2一_y百2_
-
一 1． 综上 所述 ，当 ≥3时 ，恒 有 b (文)(1)由 6 一 ，得 n 一 +1．
(2)设R(寺， )(tvao)、N(x。， )，由R、B、N三点共线，
。 。
． n ·n ～1+ 1— 2a 一1，
得砖一 贰，即(詈，一z)一 。
．(~-F1)( + )+ 一z( + )，
A(Xo- 1)=号～ 一 2y0
3(z。～ 1)’ 即 一 一去 b一
I．·{ }是首项为6l— 1 一～号，公差为1的等差数列·
(÷， )．
(2)由(1)得 要+( 一1)一
‘
．--A-~一(z。+1， )， 一 (鲁， )，
1
．
一 一 + 1： — + 1．
·
· 一
． ． ÷(z。+1) 一 二 = 一 3(z0～ 1) 3(zo一 1)
又点 N 在双 曲线 上 ，．‘． 8z5—8． 显然 ，当 ≥4时，n >O，且单调递减；当 ≤3时，n ·
． · 一 一 _4(时 1)． 也单调递减． ．
。
． ． 当 ，z一4 时 ，n 取得 最大值为 3；
。 ’
． z。≥1，．。． ·-A~当 一3 时 ，n 取得 最小值为 一1．
又 RAN 与 MAN互补 ，．’． MAN为锐角．
故点 A在 以MN 为直径 的圆的外部 ．
22．(理 )(1)由题 设得 n -a 一 一2q一。，则
n 一(n 一n 一1)+ (a 一1一n 一2)+ + (n 2～ n1)+n1
— 2(q一 +q一。+ +q+ 1)+ 1．
当 q一1时 ，n 一2( 一 1)+1—2n-1，则 a 一n 一l一2，所
以{ )是首项为 1，公差为 2的等差数列．
当q≠1时，n 一 上 +1，由 一 一 一2q”～，n
一 1知{ )不可能为等差数列．
若{n )是等比数列，则存在非零常数 ，使得 n什 一Aa ，
即 1 一a + 一叮I 1一口 + ]J，
整理得 2(A-q)q一 一(A-1)(3-q)一0．
由于上式对一切 ∈N 都成立，所以
{2 (A一- q) 。=一0 ,一。
．解得{Aq=一I ’c舍去 或{：维普资讯 http://www.

． l l 1 | j
江苏省锡山高级中学 杨志文 杜 瑛
“算法初步”是这次新课程改革 中的新增内容 ，设 意识 的培养．
置在必修模块数学 3中．本文谈谈“算法初步”在新课 1．5 有利于激发学生的人文价值观念与爱国情操
程中的地位和作用，结合教学实践，通过具体案例谈 算法内容中为学生提供了丰富的中国古代算法
谈我们的教学体会和建议，供大家参考． 案例的阅读内容，这些案例蕴涵了丰富的算法思想，
通过阅读中国古代算法案例，体会中国数学对世界数
1 “算法初步”在新课程中的地位和作用
学发展的杰出贡献，有利于激发学生的人文价值观念
算法是数学及其应用的重要组成部分，是计算科 与爱国情操．
学的重要基础．“算法初步”在新课程中的地位和作用
2 教学的重点难点及教法、学法
体现在以下几个方面．
1．1 有利于培养学生的思维能力 2．1 教学重点
算法一方面具有具体化、程序化、机械化的特点， (1)算法思想的渗透 ；
同时又具有高度抽象性、概括性和精确性．对于一个 (2)识别流程 图所表达 的含义 ；
具体算法而言，从算法分析到算法语言 的实现 ，任何 (3)基本算法语句——输入语句、输 出语句、赋值
一 个疏漏或错误都将导致算法的失败．算法是思维的 语句、条件语句、循环语句．
条理化 、逻辑化．算法所体现 出来 的逻辑化特点被有 2．2 教学难点
些学者看成是逻辑学继形式逻辑 和数理逻辑之后逻 (1)顺序结构、选择 结构和循 环结 构的相互嵌套
辑学发展的第三个阶段． 使用 ；
1．2 有利于培养学生的理性精神和实践能力 (2)赋值语句 、条件语句 、循环语句 的用法 ；
算法既重视“算则”，更重视“算理”．对于算法而 (3)将实际问题算法化思想的培养．
言 ，一步一步的程序化步骤 ，即“算则”固然重要 ，但这 2．3 教法、学法
些步骤的依据，即“算理”有着更基本的作用，“算理” 算法内容在教学 目标上注重“步骤性 ，有限性 ，确
是“算则”的基础，“算则”是“算理”的表现． 定性”等算法思想的渗透；在教学过程中注重于采用
算法思想可以贯穿于整个中学数学 内容之中，有 螺旋上升、渐次递进的教学方式；在学 习方法 中注重
很丰富的层次递进的素材，而在算法的具体实现上又 于“模仿、操作、探索”的操作过程．本章内容是数学探
可以和信息技术相联系，因而，算法有利于培养学生的 究 、数学建模的极好素材．
理性精神和实践能力，是实施探究性学习的良好素材．
1．3 有利于学生理解构造性数学 3 重点、难点教学建议及教学案例
算法是一般意义上解决问题策略的具体化 ，即有 3．1 关于算法的含义、流程图的教学
限递归构造和有限非递归构造 ，这两点也恰恰构成了 3．1．1 学习要求
算法的核心(如图 1所示)． (1)了解算法的含义，能用自然语言描述算法；
(2)理解设计 流程 图表达解决 问题 的过程 ，了解
算法和程序语言的区别；理解设计流程图的三种基本
逻辑结构 ，会用流程 图表示算法．
构造性地解决数学问题不仅是重要的解决数学 3．1．2 参考案例及教学建议
问题的方法，在数学哲学上也有着重要的意义． 案例 1 写出求 1×2×4×8×16值的一个算法．
1．4 有利于学生数学应用意识的培养 解析 ：算法 1：
算法教学注重“模仿、操作、探索”的操作过程；在 S1：先求 1×2，得到 2；
教学成果与评价中注重于锻炼学生的实际应用能力， S2：将 S1得到的结果再乘以 4，得到 8；
提升学生的理性思维能力与模型化思想 ，让学生能够 S3：将 S2得到的结果再乘以 8，得到 64；
切身感受数学的实用价值，从而有利于学生数学应用 S4：将 S3得到的结果再乘以 16，得到最后的结
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果 1024． 句 ，求出输出的结果．只要能识
算法 2： 别流程图所表达的含义，便可
S1：了、一1{使 了、一1}； 依据流程图所表示的算法求出
S2：j一2{使 j一2}； 输出的结果．根据流程图所 表
s3：了、一了、×j{求 J=r×j，乘积结果仍放在变量 了、 示的算法可知，s的值每循环
中}； 一 次减少 2，所 以 S的值组 成
S4：j：j×2{使 j的值增加为之前的 2倍}； 一 个 首项为 100，公差 为 一2，
S5：如果 j不大 于 16，返 回重 新执行 步骤 S3、 末项为 2的等差数列 ，了、的值
s4、s5，否则算法结束，这样得到 T的值就是所要求 每循环一次减少 2，所 以 了、的
的结果． 值也组成一个首项为 99，公差
教学建议 ：① 用 自然语言来描述算法语 言时，要 为 一 2，末 项 为 1的 等 差 数 图 2
满足算法 的两个特点(有限性和确定性 )，把一个 问题 列 ，故
合理的分解为若干个有 限的步骤，一步一步地执 行， S— l00+ 98+ 96+ + 2一 50，
是书写算法语言的一个重要思想方法 ，也是教学 的重 了、一 99+ 97+ 95+ + 1— 2500．
点．教学时应注重对书写过程的步骤化 、条理化的分 教学建议：识别流程图所表达的含义是流程图内
析 ，使用“按部就班”等形象语言进行解释描述 ，使 教 容教学的重点 ，流程 图实际是将问题的算法用流程图
学更加贴切生动． 符号表示出来 ，教学时要使学生明确需要解决什么问
②对于这三种表 示方法的教学 ，易采用螺旋上 题，采用什么算法解决，确定每一步要实现的操作内
升、渐次递进的方式，注意三种表示方法的整合渗透 容；其次是确定初值，条件，循环情况，流向等．同时，
与前引后连关系． 在识别流程图的过程中注意培养学生有条理的思考
③本案例中算法 1思路简单，但在计算较多数乘 问题的习惯，体会算法的思想，提高学生的逻辑思维
积时，算法的步骤太多；算法 2形式简练，且具一定的 能力．
通用性和灵活性．同一个问题可有不同的算法来描 3．2 关于算法基本语句的教学
述，算法的优劣决定 了计算机的运行速度，书写算法 3．2．1 关于赋值语 句
语言时 ，既要考虑到计算机执行的速度，还要与实际 (1)学习要求．
情况相符合． 理解用伪代码表示的基本算法语句——赋值
从具体问题中提炼算法思想的共性，使其适合于 语句．
求解一系列相关的问题，是教学中的一 个难点 ，教学 (2)参考案例及教学建议．
时可通过具体实例如： 案例 3 右面赋值语句输出 的
写出计算 1×2×4× ×1024的一个算法． 结果是( )．
引导学生进行对比，总结归纳出解决这一 问题的 A．0 B．6
统一算法 ，突破难点． C．4 D．2
算法语句中 S3到 S5组成一个循环结构，在实现 答案 ：A．
算法时要反复多次执行 S3、S4、S5，直到 I不满足 S5 教学建议：正确理解并使用赋值语句是教学的重
中要求为止，循环结构中必须嵌套有一个判断循环是 点，也是教学的难点 ，赋值语句 的用法很容易出错 ，教
否结束的选择语句，否则循环将无休止地进行下去． 学时可通过正误辨析题 目帮助学生理解赋值语句的
这是循环结构的一个重要特点，在循环结构的流程图 用法，突破难点．注意赋值语句左边 只能是变量，而不
中嵌套了一个选择过程 ，教学时可结合流程 图结构进 是表达式，右边表达式可以是一个数据、常量和算式；
行分析讲解，突破教学难点，并归纳出结论：实际问题 应该明确的是，若对一个变量 a进行多次赋值，则以
中，通常需要顺序结构、选择结构和循环结构的相互 最后一次赋值为变量 n的最终值．
嵌套使用． 3．2．2 关于条件语 句
④ 教师可根据学生具体情况将本题进行推广． (1)学习要求．
写出求 1×2×4×8× ×2一 值的一个算法． 理解用伪代码表示的基本算法语句一 条件
案例2 (由2007年山东省高考题第 1O题改编)
语句．
阅读流程图 2，若输入的 ”是 100，则输出的变量 S和
条件语句主要有两种形式：“行 lf语句”和“块 lf
了、的值依次是S一 ，了、一 ．
语句”．
解析：本题要求根据流程图所表示的基本算法语
“行 lf语句”的一般形式是：
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If A Then B 成选择的过程 ，画流程图时就需 要设计一个选 择分
[Else ．c3 支，这两者间是对应起来的．此外，也可对条件语句的
一 个“行 If语句”必须在一行中写完，其中[Else 两种形式进行对比讲解：条件语句也可以没有“Else”
C]可以省略． 分支．计算机在执行时首先对 If后的条件进行判断，
“块 If语句”的一般形式是： 如果条件符合就执行 Then后边的语句，若条件不符
If A Then 合则直接结束该条件语句，转而执行其他语句．
B ② 条件语句 画成流程 图就是选择结构 ，选择结
Else 构翻译成伪代码就是用条件语句来表示 的．教学时把
C 选择结构与条件语句对应起来，以达成知识的螺旋上
End If 升与层层递进．
其中 Then部分和 Else部分是可选择的，但块 If 3．2．3 关于循 环语 句
语句的出 口“End If”不能省略． (1)学习要求．
(2)参考案例及教学建议． 能用自然语言、流程图和伪代码表示算法，理解
案例 4 假设某 用伪代码表 示的基本 算法语 句——循 环语句 ，会用
超市购物标价不超过 “While循环”和“For循环”语句实施循环．
100元时按原价付款， 循环语句 主要有两种形式 ：当循 环次数 已经确
如标 价超 过 100元 ， 定 ，可用“For”语句，“For”语句的一般形式为
则超过部分按七折收 For I from“初值”tO“终值”step“步长”
费，写 出超 市 收 费 Y
与商品标价 间的函 End for
数关系式，编写伪代码 ，并画出流程图(图 3)． 当循环次数不能确定 时，可用“While”语句来实
解析：y与z问的函数关系式为 现循环 ，“While”语句的一般形式为
fz， 0，1 100+(z一100)×0
． 7， z> 100．
End While
其中 A表示判断执行循环的条件．
(2)参考案例及教学建议．
案例 5 编写伪代码计算 1+2+3+ +100的值．
解析 ：这 是一个等差数列求 和，可以利用等差数
列求和公式坠 ，使用前面学过的顺序结构来完
厶
成，也可使用循环语句来完成．
或
教学建议：在完成运算步骤重复较多的算法中，
教学建议：①条件语句的教学重点是判断什么样
循环结构的优势是比较明显的．循环语句的教学重点
的问题需要使用条件语句和条件语句的语法结构．教
是两种循环语句“While”语句和“For”语句的语法结
学难点是条件语句的语法结构．教学时可就为何使用
构以及两种语句的联系与区分；教学难点是两种语句
条件语句和如何使用条件语句进行分析：超市的收费
的正确使用．循环语句 的两种形式在不同的问题中各
和所买商品的总价格有关，如果价格低于 100元，则
按照原价收费，如果价格高于 100元，则做相应的打 有优势，教学时可就两种形式进行对比教学，归纳总
折，收费 Y关于价格 z的函数应该是一个分段函数 结出结论：当循环次数确定时两种语句都可使用，当
循环次数不定时，则使用“While”语句．
式．编写伪代码程序时，需要加入一个条件语句来完维普资讯 http://www.
浙江省海宁市第一中学 张献峰
1 问题提出 学期后进行的，数据分析运用了SPSS 0软件·
3 测试结果
《普通高中数学课程标准(实验)》明确要求理解
直线的倾斜角和斜率的概念，要经历用代数方法刻画 第 1题(编者注：测试题见本文附录)测试学生对
直线斜率的过程，并掌握直线斜率的计算公式．从英 斜率不同表征的认 识，以选择题形式给出．学生对斜
美数学课程标准来看，对基本数学概念的学习都比较 率公式、定义、符号的认识占据主导地位，由于高三学
注重过程的理解 ，在学生 自行探究的过程中去获得对 生已学过导数 ，对它 的几何意义有较好 的认识 ，因此
概念的理解，我国的课程标准对概念的教学要求也逐 对选项 G求切线的斜率需由导数值确定是很自然的
渐在向英美靠拢，强调要在过程中形成概念． 事情，选择率较高．高二学生对后面几项平时不太接
斜率在国内外中学数学课程 中出现 了许多不 同 触的比值、变化率、坡度等形式，选择率不高．特别是
形式的表征．在几何上，它是直线的一个性质：已知两 对于变化率的概念 ，被测试者只有三成选择(表 1)．
点(z ，Y )和(z。，Y。)，连结这两点的直线的斜率为 表 1 不 同年级在第 1题上 的回答情 况f表格 中数 字分别
是选 择人数与百分比)
—
． 在代数上，它是线性方程的一个参数：斜率为
JT,2一 Z 1
一 次函数 一点 +b中的系数 点或一次方程 a +by
+c一0中的系数比值一 ．在三角函数中，它是直线
c，
倾斜角的正切值 ，即 是一tan 从函数方面看 ，它表示
某一变量关于另一变量 的变化率．在现实生 活中，斜
率出现于两种不同的情境中．一是物理情境，如山路、 第 2、3两题测试了斜率的三角形式和公式计算．
滑雪山坡等，斜率表示坡度的大小；二是函数情境，如 学生都能较好的理解与掌握，应用时得心应手，正确
时间与距离、产量与成本，斜率表示变化率的大小． 率达 92 以上，能清晰地认识到倾斜角变化时斜率
斜率不仅是几何上的概念，又有代数、三角方面 是如何发生变化的，但计算时也有被测试者由于二倍
的表征形式 ，它是一个具有发展特性的概念．从三角、 角公式记忆不清导致结果错误．
变量 比到变化率 、导数 ，从常量到变量 ，是一个不断变 第 4题是由一道高考题改编的 ，被测试对象为高
化与深入的过程．国外学者的研究表明[1卜[4]，学习斜 三学生，目的是考查学生能否深刻理解导数的几何意
率过程中学生的理解存在诸多问题，同时教师的斜率 义．这对正在高考复习的高三学生来说并不难，正确
教学知识也存在着一定局限性．本文基于调查探讨了 率达 83 ，但要选择什么样的策略来解决，既简便又
高中生是如何理解斜率概念的及不 同表征之 间有何 确保正确，却不是一件容易的事．直观上是要分析各
差异的问题． 函数在(1，2)上的增长率的差异，能否比较明显地确
定各 函数的陡峭程度 ，有 15 的被测试者是通过 画
2 研究设计与实施
图进行比较的，但深入分析这个问题，由
本研究选择了浙江省某二级重点中学部分高二、 If(x1)-f(x2)I高三学生与某一级重点中学的高二部分学生，其中高
=>lI 型二 型I 1<甘 <1，
二、高三为理科班学生，共抽取 了 335人的一个样本． 1一 恐 l
其中高二 234人，高三 101人．采取了问卷调查与访 可考虑曲线上任意两点连线的斜率值，再联系导数的
谈相结合的形式，数据收集是在高二教学斜率概念一 意义就可解决．实际只有 35 的被测试者采用 了求
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导数值的策略．为什么一看到式子 l厂(z )一厂(zz)l 断扩展 ，主要表现在概念 的表征方 面．在各表征形式
线的斜率呢 这也是高考所考查的一种能力与潜质． 特征量，能利用数形结合思想来刻画直线的倾斜程
第 5题给出了匀速运动物体的 ￡图，两条直线 度，但在现实生活中的认识都不足．
能够反映两个物体的速度大小，84．16 的被测试者
5 斜率不同表征问的相互影响
能判断不同时刻物体 A的速度大于物体B 的速度，
有 83．17 的被测试者能利用 某个时 间段 内物体 位 在三角表征上，直线斜率表示为倾斜角的正切
移的改变量来列式估算，得出两物体的速度分别为 值．以倾斜角为中心，从图形上看比较直观，但也会导
7．5 cm／S和 2．5 cm／S，或者 0．075 m／S和 0．025 m／ 致误解，Zaslavsky(2002)等人曾经调查了包括高中
S，但在回答斜率时，部分被测试者仍认为是 0．075和 生、师范生、数学教师、数学家在内的 124人，他们的
0．025． 回答暴露了认知上的冲突，认为无论何 时都以夹角的
第 6题中的两图象要联 系物理 意义来 回答 直线 正切值来计算斜率．本研究的测试结果与 Zaslavsky
A 一 的结果相似，学生易犯相同的错误．在情境变化时，学
的斜率值．右图中无论是利用 k—tan卢还是k— ／．~-b，
L 生对斜率的三角表征以及其他形式的表征会产生认
A 知上的冲突．
都能得到k一1．利用 k一 得到答案的被测试者占了
L 在函数方面，斜率与函数的导数值是紧密相连
多数，约有三成的被测试者通过 k—tan卢得到答案， 的，学过导数的学生有深刻的认识．在物理中，物体作
但在左图中也采用 了 k—tan a而导致错误 ，以为直线 匀速、匀加速运动时，增量 比形式可用于速度、加速度
与横轴的夹角就是直线的倾斜角 ，没有区别两个问题 的计算 ，同时速度 、加速度 的大小能够反映直线的几
的差别 ，造成 了思维上的定势． 何属性．在实际生活I中，物体的倾斜程度往往是以“坡
4 年级差异 度”的形式出现，如山路、屋顶、铁路．调查显示学生对
坡度概念缺乏全面、正确的了解，相当一部分学生习
随着知识增长 ，概念 的表征方式也逐渐多样化．
惯于用倾斜角来表示倾斜程度，而不涉及垂直增量与
在斜率定义、计算与字母符号形式方面学生相对较熟
水平增量的比值关系．
悉，高三学生学过导数后，对其几何意义、变化率都有
学习数学概念时，一些学生往往只注意它的形式
了一定的认识 ，在表征上 明显要丰富．而对实际生活
定义，而轻视实例、图形等直观的表象表征．研究表
中或与教材内容联系不紧的表征缺乏了解 ，其 中差异
明[5]，数学概念 的表征具有多样性 与发展性的特点 ，
较大的是变化率表征 ，调查显示学生对变化率概念不
表象表征对掌握概念的本质属性能起到有益作用．于
甚清楚，而学过导数的学生在这一点上有明显的优
是斜率的表征的多样化及表征层次性上的混乱也容
势．高二学生刚学过斜率概念，在三角形式、斜率公
易导致认识上的不全与理解上的困惑 ，访谈中也显示
式、直线方程中系数含义三种表征上占主导地位，两
出学生在概念学习过程 中的诸多困惑．如求函数
个年级的选项 B、c、E在 0．05水平下呈现出显著性
。 一：一 一
一
的差异 (表 2)． } 的值域时，学生不能联想到斜率公式，当
厶 U 正
表 2 不 同年级在 第 1题上 的 检 验
出现 lf(x )一f(x。)l< l z 一z l的形式时，不能考虑
与导数的几何意义结合起来．
虽然学生对涉及斜率的基本知识 比较熟悉 ，但在
各表征形式之间的联系以及应用上都还 比较薄弱 ，当
问题 的情境变化时 ，由于认知 的惯性导致 了“合理性
(*表不显著性水平 p≤O．05) 错误”的产生 ，为概念的学习带来 了困惑，只有通过不
虽然斜率的各种表征形式能够帮助学生较全面 断比较辨析 ，进而更深入地把握概念的本质属性．
地理解概念，但必须分清在何种情境下斜率是如何表
6 结论与启示
现的，否则会导致胡乱联系 ，甚至于产生矛盾．在 回答
第 6题时，有三成的被测试者胡乱联系斜率的三角表 本研究揭示了学 生在斜 率概念学 习中的一些问
征，误以为直线平分直角得到倾斜角为 45。．统计显 题，我们得出如下结论：(1)高中生了解斜率概念的
示，不同年级的学生对斜率的理解随知识的增长而不 多种表征方式，但不够全面．学过斜率的高二学生主
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要以倾斜角和斜率计算公式为主要表征形式，高三学 的情况．这样就能将变化率的思想突显出来，以此为
生除此外，还由导数的几何意义来表征斜率．(2)不 中心，将其他表征形式结合起来，形成了斜率概念的
同年级、班级在斜率表征方式、斜率的解题应用方面 图式结构 ，加强多种表征方式之间的联系 ，让学生在
存在着显著性差异．高 三学生要好 于高二学生 ，一级 螺旋上升的过程中不断加深认识．
重点中学的学生显示出一定的优势，思路较开阔，见 参考文献
识要广一些．总体上，学生对斜率概念的理解是随着 I Adamson，S．L．．Student sense-making in an intermedi—
ate algebra classroom：Investigating student understanding
知识的扩展而不断深入．(3)学过斜率概念的学生具
of slope[M]．Arizona State University，2005
备了丰富多样的表征形式，但各种表征形式之间强弱
2 Stump，S．L．．Secondary mathematics teachers’knowl—
不均，仅局限于教材的知识范畴，尤其以倾斜角与公
edge of the concept of slope[M]．Paper presented at the
式应用为主导．各种表征形式之间的联系不够，特别 Annual Meeting of the American Educational Research As—
对与Et常生活相关的表征形式(如坡度、变化率)缺乏 sociation(Chicago，Illinois，March 28)，1997
认识．(4)概念学习中的“合理性错误”常会导致学生 3 Stump，S．L．．Developing preservice teachers’pedagogi—
不自觉地犯某种错误．当情境变化时，由于认知的惯 cal content knowledge of Slope[J]．Journal of Mathemati—
性、个人的倾向性等因素，学生仍会以原有的思维考 cal Behavior，200l，2O
4 Zaslavsky，0．，Sela，H． ＆ Leron，U．．Being sloppy a—
虑问题，导致出错．
bout slope：The effect of changing the scale[J]．Educa—
数学概念教学永远是教学的首要环节，正确理解
tional Studies in Mathematics，2002，49
概念是学好数学的关键．斜率概念教学可用现实生活
5 李善良．关于数学概念表征层次的研究EJ7．数学教育学
中的感性材料为模型(如楼梯、山路、公路、铁路)，甚 报 ，2005，4
至于亲身体验．
首先，以坡度、变化率 引入．坡 度是一 个 日常概 附录 ：斜率测试题
念，与实际生活例子联系紧密，学生易于接受．同样的 1．下面给出了有关斜率概念的几种说法，你可以
水平长度、不同的垂直高度就反映了倾斜程度的差 接受的是 ．(可多选 )
异，其中也体现出变化率的不同．在物理学科的许多
A．斜率 k一丝二 = (△ 和 Az分别表示Y
图象中，直线的变化率都具有物理意义． X 2 1
其次，根据新课标的安排，斜率概念的提出是在 和 z的改变量)
三角函数之后，若以 k—tan 0来定义斜率，会产生这 B．斜率由倾斜角的正切值 k—tan 0来确定
样的疑问，为什么要取倾斜角 的正切 函数 ，而不是正 C．直线方程 一是z+b中，系数k就是斜率
弦或余弦函数呢 为什么斜率有不存在或小于 的 D．斜率可以看做倾斜的坡度，例如陡斜的屋顶、
情况 要对类 似疑问做 出解 释并非易 事 ，若 要讨论 山坡 、拱桥等
点给教学带来不便． F．斜率是垂 直改 变量对水平 改变量 的一个 比
再次，从斜率概念的本质看，它反映了一种平均 值，两改变量之间保持恒定关系
变化率的思想，这正是导数的核心．由于新课标删去 G．曲线上某点处切线的斜率由曲线在该点的导
了极限内容，学 习导 数概念 的知识基 础势必 削弱不 数值来确定
少，如何去弥补 可以利用这种变化率思想直入导数 2．如图 1，直线 z 、z 和z。的斜率分别为 k。、kz和
k。，比 较 k。、k 和 k。的 大 小 关 系 (从 小 到 大 )
的核心 ，以大量实例 围绕平均变化率这个中心，再引
为 ；理由是 ．
出瞬时变化率，从而为学习导数概念做好铺垫．变化
Y l
率的思想可以让学生对斜率概念有本质上的把握，使
他们在解决情境变化问题时少犯错误． 6／
因此，直线斜率概念的基本教学思路 可设想为 ， 、， < D 2
一一
先通过 “坡度 ”概 念 类 比得 出 直线 的斜率 定 义 ，即 ／ 26 i
^ ． ^ ．．
k一 — 一 ，再在几何直观下引入倾斜角并导出
~／52 ~／51 图 1 图 2
两者之间的关系 k—tan ，可进一步揭示两者变化时 (下转第 6O页)
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非常少 ，对证明也不作要求．
设； 则
还应该注意到，降低证明的难度与要求只代表了
R一 ~ -r—r2 -一 l"f【F-一(r一丢) +丢]， “倾向”的一个侧面．提高几何形象思维能力、提高空
间想象能力是“倾向”的另一个侧面，具体体现为提高
· 当 f一 1时
． ． ，R ～ — 一 8一． 几何问题使用频率．在练习和测试中，以几何形式出
③我们的学生做 ，可以用基本不等式化简 ，得 现的问题非常多 ，频率很高．例如东京大学 的入学试
题，综合题对几何的要求虽然不高，但是是不可缺
R一号[ ；)]≤号·f掣 少的．
、● ● ●● ● ●● ● ● ● ●● ● J 另外，日本有些试题将数列问题与几何结合起
2
④还可能用三角方法解．
— 来、将微分法求最值与几何问题结合起来等等．学生
设 B一2a，可以得到 丌一8 在解题时，如果几何基础知识薄弱，思维过程还是会
R=y ·tan2a(1一tanZa)~7． 受阻．也就是说，学生必须具备一定的几何素养，限于
篇幅 ，这里不再举例说明．
思考 ：①原来解法 比较容易思考 ，要求学生利用
从上面几道试题分析中可 以看 出，日本在几何问
空间想象能力作出截面三角形．从原来解答 中可以看
题上并不要求证明的严密性 ，我国由于强调证 明的严
出，只要能转化成代数命题就达到要求了．
密性 ，往往减少 了与几何有联 系的问题 的训 练和测
②尽管日本中学数学教学重视基本不等式的应
试 ，可能也给学生带来一定损失 ，日本的“几何问题运
用 ，但本题还是转化成二次函数后再 配方 ，也反映了
算化”的倾向应该值得我们进一步地思考和研究．
日本对基本知识要求并不高．
参考文献
日本东京大学入学考试 的几何题的运算化的倾 1 野浞悍著．数学 I基本练习[M]．东京：骏 台文库株式合
向代表了日本中学对几何的教学要求．日本中学数学 社 ，1985
没有系统的几何教学 内容 ，比较讲究实用性 ，证明题 2 野 悍著．基础解析[M]．东京 ：骏台文库株式合社，1986
(上接第 54页) (2)分别求物体 A与 B的速度 和 ，并写出
3．如图 2，已知直线 口、b的倾斜角分别为 和 2 ，其中 简单过程；
1
直线 口的斜率为曼 一了1，求直线 b的斜率 (3)分别求图中两直线的斜率 是 和 是。，并解释它 ；理
— —
们的含义．
由是 ．
— — 6．在 中学物理课本 中有许多图象 ，图 4是物体甲
4．(高三做)在下列 四个函数中，满足性质 ：“对于 和乙作匀速直线运动时的 f图象，回答：
区 间 (1，2)上 的 任 意 z ，z (z ≠ z )， (1) 左 图 中 直 线 的 斜 率 是 ，理 由
l f(x )-f(x )l< l z 一z l恒成立”的只有( )． 是 ；
— —
A．厂(z)一 1
B．厂(z)一l z (2)右 图 中 直 线 的 斜 率 是 一 ，理 由
是 ．
C． (z)一e D．厂(z)一z
你的理由是 ：
5．图 3给出了两物体 A 与
B作匀速直线运动时的位移_时
间变化图，请回答 ：
(1)当 t一2 S时 ，比较 A 和
B 的速度 和 大小 ；t一4秒
呢 说明理由； 图3 图 4维普资讯 http://www.
魏
江苏省盐城市伍佑中学 周金国
求 1 +2 + +n 的和是普通高中课程标准实 一口n。+bn +fn+ ，取 n一1，2，3，4就有
验教科书(苏教版)《数学》选修 1—2(P．36～P．38)和 r。+ 6+ + 一 1，
选修 2-2(P．72～P．74)上的一道例题，课本分别用归
纳和演绎的方案给出了公式的推导，在数学归纳法 {128 7a + 69b +3 c+ 一 ’14，由。此 一。
(选修 2—2(P．87))一节给出了证明．可见这样一道看 I64a+16b+4c+d一30，
似普通的求和问题，却蕴涵了丰富的教学功能．笔者 1 b一 1 1
。口 一 ，’一 ， f一 百’， 一0’，
在教学中从这道例题出发，引导学生开展了一次数学
探究活动 ，在课本方法 的基础上又引导学生从 以下几 所以1 +2 + +n2一÷n。+丢n +丢n+o
个方面进行了探索，收到了很好的教学效果．
n(n+ 1)(2n+ 1)
—
— — — 一
一
探究 1 结论探索 ‘
方法 1：(图解法) 探究 2 寻求证明方法
方法 1：(数学归纳法)略．
方法 2：(裂项求 和法)
1。+2。+ + n。一 1×2— 1+ 2×3— 2+ + n(n
+ 1)一n
一 [1×2+2×3+ +n(n+1)]一(1+2+ +n)
l 2 3 4 5
一 一
如图，整个矩形面积是 5(1+2+3+4+5)，其 中 ÷{(OX1×2—1×2×3)+(1×2×3—2×3
阴影部分的面积是 1 +2 +3 +4 +5 ，其余部分的 x 4)+ +[(n一1)n(n+1)一n(n+1)(n+2)])
面积是 1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)，由 n(n+ 1) ．
此可得 1 +2 +3 +4 +5 一5(1+2+3+4+5) 2
一 [1+(1+2)+(1+2+3)+(1+2+3+4)]，故得一 n(n+1)(n+2) n(n+ 1) n(n+ 1)(2n+1)
3 2 6 ‘
般情况下有
方法 3：(运用组合数性质)
1。+2 + +n 一 n(1+ 2+ + n)一 {1+ (1
1。+2 + +n。一[O×1+1×2+ +(n一1)n]
+2>+(1+2+3)+··+[1+2+ +(n一1)])
+ (1+ 2+ + n)
(n+1) T]志(志一1)
— — 一 —
一
= 1 一 2(c；+ci+ +c：)+
一 一 1(1。 +． )+扣州)， 一 2c + +
所以 1 +2 + +n。
n(n+ 1)(2n+ 1) -z． + 一 ．
— — — — 一
一 O O
‘
方法 4：(迭代法)
方法 2：(待定系数法)
对于 自然数恒等式 志。一(志一1)。一3k。一3k+1，
由已有的知识积累可猜想 1。+2 + +n 应为
关于 n的三次 表达 式，所 以可设 1。+2。+ +n。 取 忌一1，2，3， ，n就有 n。一(n一1)。一3n。-3n+1，
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獬窖涌 灏 时关貔要
一 -．． | 辫 一t
江苏省无锡市辅仁高级中学 周伟忠
“解三角形”是高中数学的重要知识点 ，学生学 习 f4 ，6 ]．(答案不正确)
也 比较容易接受 ，三角公式应用也 比较熟练 ，做题也 分析：不认真分析看不 出错误所在 ，解题过程似
容易入手，但我们发现学生解题的错误率较高，原因 乎理所 当然．学生产生错误的根源在哪里 全怪学生
究竟是什么 要正确解题 ，关键要抓住什么
是不现实的，可能与教师平时教学也有一定关系 ，对
l 从学生的作业题谈起 题设中隐含的条件没有引起足够重视，学生做题时只
看表面现象，不认真分析题设条件及内在关系，忽略
作业题 ：如图 1，锐角△ABC
了隐含条件 的挖掘．
中，A一号，BC=2,／g，设B=x，
周长为 ，求 的取值范围． 图1 正解：B+c一 ，c一 一 ，o< 一 <号，求
学生解法：f~AB=c，AC=b， 一 一÷ 出詈< <詈，由 一4√ sin f +詈)+2
4，B + c一 21r (詈< <号)，‘．詈一
，sin c—Sin( 一 1， 一4 sin +
≤1， 的取值范围是f6+2 ，6 ]．
4sin( 一 )+2 ，化简得 一4,／gsin( +詈)+2,／g， 2 “解三角形”时关键要抓住什么
、f o< <詈厶1， (NNAABC是锐角三角形)．又 0 < +罢0 2．1 从题设条件中正确求出角的取值范围
1
<警， ( 一 1)。～ ( ～ 2)。一 3( 一 1)。一 3( 一 1)+ 1， ，3。 +2C：一 ( ≥2)，
一 2。一 3X 3 ～ 3 X 3+ 1，2。～ 1。一 3 X 2。～ 3 X 2+ 1，1。 所以有
一 0。一 3X1 ～ 3X 1+ 1， S 一 a1+ a2+ + a 一 + 3(C 一1+ C 一2+
以上 个等式累加可得 。一0。一3S 一3( + +C；+C )+2(C：一 +C：～。+ +C；)一 +3C：+2C：
+ 3+ 2+ 1)+ 一 3S 一 + ， 一 丝 丝± 丝± 一
6 ’
从而即得5 一丛 数学探究是高 中数学课程的重要内容之一 ，数学
．
0
探究活动的开展有助于学生初步尝试数学研究过程，
方法 5：(公式法)
体验创造激情，有助于培养学生发现、提出、解决数学
a ：1 ，2 ，3 ， ，( 一 1) ， ；
问题的能力 ，有助于发展学生的创新意识．
Aa ：3，5， ，2n一 1；
参考 文献
A a ：2，2， ，2； 1 单垮．普通高中课程标准实验教科书《数学》选修 2-2[M]．
知数列 1 ，2。，3 ， ，( 一1) ， 是二 阶等差数 南京 ：江苏教育 出版社 ，2005
列 ，由二阶等差数列通项求解公式有 2 单垮．普通高中课程标准实验教科书《数学》选修 1—2[M]．
a 一 co—l a1+ c1一l Aal+ C 一l A a 2— 1+ 3C 一1 南京 ：江苏教育 出版社 ，2005维普资讯 http://www.
獬窖涌 灏 时关貔要
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江苏省无锡市辅仁高级中学 周伟忠
“解三角形”是高中数学的重要知识点 ，学生学 习 f4 ，6 ]．(答案不正确)
也 比较容易接受 ，三角公式应用也 比较熟练 ，做题也 分析：不认真分析看不 出错误所在 ，解题过程似
容易入手，但我们发现学生解题的错误率较高，原因 乎理所 当然．学生产生错误的根源在哪里 全怪学生
究竟是什么 要正确解题 ，关键要抓住什么
是不现实的，可能与教师平时教学也有一定关系 ，对
l 从学生的作业题谈起 题设中隐含的条件没有引起足够重视，学生做题时只
看表面现象，不认真分析题设条件及内在关系，忽略
作业题 ：如图 1，锐角△ABC
了隐含条件 的挖掘．
中，A一号，BC=2,／g，设B=x，
周长为 ，求 的取值范围． 图1 正解：B+c一 ，c一 一 ，o< 一 <号，求
学生解法：f~AB=c，AC=b， 一 一÷ 出詈< <詈，由 一4√ sin f +詈)+2
4，B + c一 21r (詈< <号)，‘．詈一
，sin c—Sin( 一 1， 一4 sin +
≤1， 的取值范围是f6+2 ，6 ]．
4sin( 一 )+2 ，化简得 一4,／gsin( +詈)+2,／g， 2 “解三角形”时关键要抓住什么
、f o< <詈厶1， (NNAABC是锐角三角形)．又 0 < +罢0 2．1 从题设条件中正确求出角的取值范围
1
<警， ( 一 1)。～ ( ～ 2)。一 3( 一 1)。一 3( 一 1)+ 1， ，3。 +2C：一 ( ≥2)，
一 2。一 3X 3 ～ 3 X 3+ 1，2。～ 1。一 3 X 2。～ 3 X 2+ 1，1。 所以有
一 0。一 3X1 ～ 3X 1+ 1， S 一 a1+ a2+ + a 一 + 3(C 一1+ C 一2+
以上 个等式累加可得 。一0。一3S 一3( + +C；+C )+2(C：一 +C：～。+ +C；)一 +3C：+2C：
+ 3+ 2+ 1)+ 一 3S 一 + ， 一 丝 丝± 丝± 一
6 ’
从而即得5 一丛 数学探究是高 中数学课程的重要内容之一 ，数学
．
0
探究活动的开展有助于学生初步尝试数学研究过程，
方法 5：(公式法)
体验创造激情，有助于培养学生发现、提出、解决数学
a ：1 ，2 ，3 ， ，( 一 1) ， ；
问题的能力 ，有助于发展学生的创新意识．
Aa ：3，5， ，2n一 1；
参考 文献
A a ：2，2， ，2； 1 单垮．普通高中课程标准实验教科书《数学》选修 2-2[M]．
知数列 1 ，2。，3 ， ，( 一1) ， 是二 阶等差数 南京 ：江苏教育 出版社 ，2005
列 ，由二阶等差数列通项求解公式有 2 单垮．普通高中课程标准实验教科书《数学》选修 1—2[M]．
a 一 co—l a1+ c1一l Aal+ C 一l A a 2— 1+ 3C 一1 南京 ：江苏教育 出版社 ，2005
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+
t∞
B 一2
一
。l3
正解：由上知B为锐角，c。s B一毛，c。s(A—B)
错解 ：由 sin A+ c。s A— 2 ，两 边 平 方 得
一 c。s Ac。s B+ sin Asin B一 56
．
sin 2A= -√ +
~ -，coS 2A一±丢． 把例2改成： AABC中，c。s A一 ，tan导
分析：角 A的取值范围是什么 这是本题的关
+ cot B一了10
，求 c。s(A—B)．c。s(A—B)就有两个
键·题设中隐含了两个条件：(1)A (。，号]，否则由
值．因为
单位 圆的三角 函数线 得 sin A+COS A> 1与 条件
解 ：c。s A= 12
si一 + cos A= 1- ／3~ ，sin A一熹，由tan +c。t
z <1矛盾．(2)A (号， 否
． R R
则由单位圆可知 sin A+COS A>0与条件 sin A
一 萼，得 + 一013 in B： ·詈
cu n
+cOs A一 <。矛 ‘．A∈( ， )．
> 5 ·
正解：由 sin A+c。s A—T1-,／g ， ．．sin B>sin A，由“sin B>sin ACe~B>A",得
， 两边平方得
B>A，‘．。A为锐角 ，．‘．B可以为锐角或钝角．
sin 2A一一 ．A是△ABc的内角，A∈( ， )，莩 (1)B为锐角，c。s B一詈，c。s(A—B)
％ 2A％ 2Tc，c。s 2A> 0 ．c。s 2A：== 1
一 c。s Ac。s B+ sin Asin B一 63
．
．
例 2 ~AABC中，c。s A一 5 B + B
，ta“ c。t
2 (2)B 为 钝 角 ，cos B一 一 ，cos(A — B)
10
一 了 ，求 c。s(A—B)． 一 c。s Ac。s B+ sin Asin B一 ～ 33
．
错解：’．‘c。s A一 i ．sin A一 1 ．·．‘tan罢厶 2．2 从题设 条件 中 正确求 出 边的取值 范 围
例 3 如图 2，等边△ABC，
B
2 10 边长 为 2n，点 D在 AB上，E在
一
，
百 即sin B一詈， AC上 ，设 AD— ，DE=y，S△ADE
2
1
一
专S△Bc，则 ，(z)为一 · B C
cos B一 ± ．
错解_S 一 z，丢AE． 图2
(1)B为锐角，c。s B一詈，c。s(A—B)
z· 2一 得 AE一2了a2
：=：c。s Ac。s B+sin Asin B一 56 ， 由余弦定理得 m )
；
(2)B为钝角，c。s B一一鲁，c。s(A—B) c。<
一c。s Ac。s B+ sin Asin B一 16 分析 ：直观上看 ，AD长度不能太小 ，不然不管 E
．
1
在什么位置，不可能有 s△AD 一寺s△Bc，显然，满足条
分析：c。s A一熹，A只能是锐角，sin A一 12， 件的边 AD在什么范围内取值是正确解这道题的关
sin B—i3
，B可以是锐角或钝角，确定 B的范围是解 键．由于 S△AD 是定值 ，显然 AD长度与AE长度有关
系，可通过 AE长度的变化范围求出AD长度的变化
决本题的关键．由 sin A>sin B，。．。在／XABC中，A
范围．
>B的等价条件是 sin A>sin B，由条件知 A>B，因
A 县 锑 角 ．．‘．B 县 锑 角 正解：。．‘O维普资讯 http://www.
虽 然 写 是 正 确 的 ，1旦严 生 1r增 解 ，我 1门 口J以 继 续 缩
则 f(x)一 (n≤z≤2 (注：求 函数
小角的范围，即o关系式要正确写出其定义域)
解决．
例 4 如 图 3，已知△ABC
的周长为 6，BC，CA，AB成等 比 正解：tan a一号，tan卢一言，tan(a+2卢)
数列，求荫 · 的取值范围．
一 一
错解：荫 ·配 一nc·cos B 1，o+2 ．计卢一号．
例 6 已 知 3sin a+ 2sin 一 2sin a，求 sin a
+sin 的取信 范 围．
错 解 ：sin2卢一 1(2sin
+sin sin a+sin 卢一一寺(sin a一1) +寺，sin a
∈[一1，1] ．一 ≤sin a+sin 卢≤ ，即 O~sin a
+sin 去．
分析：在等式 2sin 一2sin a一3sin 口中隐含了 0
≤sin 1的条件，． o≤_去_(2sin a一3sin a)≤1，即
sin a∈『o，号]，而不是sin a∈[一1，1]．
正解：应该是 o≤sin a+sin ．
总之，要提高“解三角形”的正确率，只靠三角公
式是不够的，要从研究角和边的取值范围开始，尽可
能缩小其范围，也只有这样，才能避免产生增解，提高
解题的正确性．我们在平时的教学活动中要有意识地
设置这些问题，这样我们的教学才会更有效，学生才
会少犯错误，希望引起足够的重视．维普资讯 http://www.
暖
两 个问题
浙江电大富阳学院 楼 文胜
近 日听了一堂 富阳市教研 室举办 的人教 版普通 弦线的数量就是正弦值．让新知识与学生已有 的作函
高中课程标准实验教科书《数学》的研究课，课题是 数图象的方法(列表、描点、连线)建立联系，这是有意
“正弦函数的图象”．执教教师是用教材介绍 的正弦线 义接受学习．
方法来作正弦函数图象的，教师的讲解能从学生的知 到底为什么要用作正弦线的方法来作正弦曲线
识经验出发 ，思路 自然流畅 ，学生也基本掌握正弦函 呢 教参上如是说：教科书先介绍用正弦线作比较精
数的作图．但对教师(包括评课教师)的两点讲法笔者 确的正弦函数 图象 的方法 ，然后 引导学生观察图象，
有不同意见，现写出来求教于专家．为了说明问题，我 确定出五个关键点，从而得出精确度要求不太高时常
们把上课教师的部分教学过程介绍如下： 用的“五点法”．为什么不直接用描点法甚至是“五点
擞学过程：。 法”作图呢 实际上在没有利用正弦线作出正弦曲线
(1)复习引入：教师让学生回顾正弦线的概念；教 之前，我们断定某些点是关键点缺乏根据，也很难确
师说明，为了作三角函数的图象，三角函数的自变量 定应该先描出哪些点作为代表，只有用某种方法作出
要用弧度制来度量，使 自变量与函数值均为实数；利 了图象 ，才能在图象上观察到某些点是“关 键点”．虽
用正弦线求出÷角的正弦值，并描出点f| ÷，sin÷1／ ． 然借助正弦线作图比较麻烦，而且也不太容易理解，
但是开始时用这种方法作图是必须的．
师生分析，认识到在 轴上找一点0 作为单位圆圆
从上面解释可以看 出：正弦线作图只是为了说明
心的方便性：作÷对应的函数值只要从单位圆中把正 五点法作图，本身并不重要．
评课时有教师认为，以前我们没有用计算器求三
弦线平移过来就行了．
角函数值，为了使正弦曲线比较精确，要求计算等分
(2)用单位圆中的正弦线作正弦函数图象．
比较多的三角函数值时比较麻烦 ，自然要寻找 比较简
第一步，列表．首先，在单位圆中画出正弦线：在
便的方法，而用单位圆来作正弦线只要看～下就可以
直角坐标系的 轴上任取一点o ，以该点为圆心作
了，于是正弦线作图法也就顺其 自然的产生 了．
单位圆，从这个圆与 轴的右交点A起把圆 12等分，
上面两个评价只是从求值比较简单、精确这个意
过圆上的各分点作 轴的垂线，可以得到对应于角
义上分析，如只是从这个角度来分析，用计算器求三
o，詈，等， ， ，2兀的正弦线．这等价于描点法中的
U o 厶 角函数值是新教材要求学生掌握的，用计算器求值
列表． 也是不难的，并非一定要用正弦线法．另外，正弦线法
第二步 ，描点及连线．把 轴上从 0到 2n这一段 并非没有误差 ，在等分过程中也会产生误差，等分越
分成 12等份，把角 的正弦线向右平行移动，使它的 多误差越大．直接用描点法思路更加 自然，学生也更
起点与 轴上的点 重合，再把这些正弦线的终点用 容易理解，并且所花时间将会大大减少，这样花在“五
光滑的曲线连结起来，就得到函数 一sin ， ∈Eo， 点法”作图上的时间将可以有所增加 ，从 而可以回避
27c]的图象． 难点，突出重点．
上述画图过程还作为人教版新教材的封面图案． 所以笔者认为上面分析并未到点子上，在单位圆
余下的教学过程与要讨论的问题无关，从略． 中作正弦线并不仅仅起到列表的作用，也不只是起到
问题 1：为什么要用正弦线法作 图 简化计算的作用．我们知道，如果知道函数的图象可
上述教学过程 中，为什么要用正弦线来画图，教 以讨论函数的性质，反过来知道性质对画图也是有帮
师没有给出解释．但教师已经意识到了教学要从学生 助的．当某条曲线比较复杂，讨论一下性质对把握曲
的已有知识经验出发，如正弦线及弧度制的复习，说 线的形状是有很大帮助的．要画出某一区间内的曲线
明画正弦线相当于列表，一个角对应一条正弦线，正 主要是要考虑其单调性 、最值与凹凸性．
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正弦线法利用单位圆可以知道正弦曲线的好多 先给出函数在闭区间上是严格上凸的定义 ：设函
数 厂(z)在[n，6]内连续，若对[n，6]中任意两点 z ，
性质，如正弦曲线是连续的，从 0到 单调递增，函数
厶
zz，恒有厂( )> 兰 型成立，则称厂(z)
值从 0增加到 1；从 到兀单调递减，函数值从 1递减
厶
在区间[n，6]内是严格上凸的．此定义从直观意义上
到 0等等，从而对五个“关键点”确定有帮助．也就是 高中学生是可以理解的．
说单位圆中作正弦线不只是相当于列表，还应该用单 如前所述，连续性可以从单
B
位圆说明要求曲线的性态，所以上面教学过程把第一
位圆上直接看出．如图，设单位
_
步称为列表是有 问题 的．从评课 中反映出来 ，好多教 圆同 z轴正半轴交点到 A 的弧
师都只是把这一步当作列表．
长为z ，到 B的弧长为 z ，C为 FD』
问题 2：为什么要 12等分
AB弧的中点，则到 C的弧长为
教材或是许多教师都直接要求学生把区间[O，
2兀]12等分，没有给出理由．有教师认为 12等分，对
应的角比较特殊，相应的三角函数值 比较容易求，但
用正弦线求值这一优点也就谈不上了．到底为什么要
12等分呢 每次讲正 弦 曲线 时，总有 部 分学生把 0
到 曲线画成直线或下凹曲线等，教师只是示范一
厶
下 ，并指出曲线应该是 上凸的．能否用单位 圆中的正
弦线说明正弦曲线是严 格上凸的 因为 曲线 凹凸概
念没有给出，只 能多作几个 点来说 明．用 几个 点呢
教材在 0到 27c之间 12等分也即在 0到 之间三等
厶
分，用两个分点说明是凸的，这已经是简的不能再简
了，总不能用一个点示 意一下 吧．严格意义上用几个
点来说上凸是不科学 的．另外 ，把 0到 2兀区间 12等
分还有一个原因是不能把单调区间划破．从这个角度
看 4、8、16等偶数等分是可以的，但 3、5、7等奇数等
分就不可以了．
最后，有必要指出的是用初等方法可以证明正弦
一 — —
曲线在1 0，÷ I是严格上凸的．
‘ — L— — —
：}
圜 固
《中学数学解题思想方法技巧》(高中分册、初中分册)是由《中学数学教学参考》编辑部 2006年 11月组编、出版的
两本“思想方法技巧类”工具书．本书结合新课程教材全面、详尽地介绍了中学数学解题中常见的思想方法技巧，分类细
致、讲解明晰、查阅方便，上市后深受广大读者欢迎．维普资讯 http://www.
(参赛细则见本期第64页)
高一年级
一
、选择题 ：每小题 6分 ，共 48分，在每小题给 出
的四个选项 中，只有一项是正确的．
A ． B． lJ
1．在数列 {a )中，a 一2，当 为奇数 时，n + 一
(本刊试题研 究组 供题)
+2；当 为偶数时，a +1—2a ．则a 5一( )．
7．设 a、b、c是 三个两两不 相等 的正整数，若 {a
A．12 B．14 C．20 D．22
+b，6+ c+a}一 { ，( + 1) ，( +2)。)( ∈N )，
(陕西 安振平 供题)
则 n +b。+r 的最小可能值是 ( )．
— 删J
2· 若 实 数 z、 y 满 足 —log— 3+ lo—g3o—oo 5 A．2008 B．1000 C．1949 D．1297 3ooo
(本刊试题研究组 供题)
J_———————— —————一 一 ——————兰l_——————一
。log=；0003+ logl{0025 log㈣08+ log ()5 8．设 、 为正整数，若存 在正整数 k，使得
Y - 1 log 、log。 和 log。k这三个数能成为一个三角形 的
q ,则 + 的值是( )·
l。g。。。。 十 三边长，则称 k为 一个“好 数”．现 已知恰好 存在 100
A．O B．一 1 C．1 D．2 个好数 k，则 删 的最大可能值是 ( )．
(河北 陈小鹏 供题) A．134 B．124 C．114 D．104
3．设定义域均为 R的两个 函数 厂(z)、g(z)都存 (本刊试题研 究组 供题)
在反函数 ，且函数 —f(x+1)与 Y—g (z一2)的图 二、填 空题 ：每小题 9分，共 72分，把 答案填在题
象关 于 直 线 Y— z 对 称．若 g(1234)一 5678，则 中的横线上．
厂(1235)一( )． 9．已知函数 f(x)一rain{3+log+z，logzz)．其中
A．5677 B．5678 C．5679 D．5680 arin{a，b)表示a、b中的较小者．则不等式 厂(z)<2的
(广东 王远征 供题) 解集为 ．
4．设 厂(z)是定义在 R上 的奇 函数 ，且 当 ,7C≥0 (重庆 唐 强 供题 )
时，f(x) ．若对任意的z∈I-t，￡+2]，不等式 厂(z 10．在直角坐标系中，一直角三角形的两条直角
+ )≥ ) 成章!则实数￡的取值范围是( )． 边分别平行于两坐标轴，且两直角边上的中线所在直
A．七 ，中 -) B．[2，+o。) 。 线的方程分别是V=3x+1和 一是z+2，则实数 的
值是 ．
C．(o，2] D．[一 ，一】]UI-o，伺
(陕西 武功仁 供题)
(重庆 唐 强 供题)
11．现有 A、B、c、D四个长方体容器，A、B的底
5．设一l面积均为 z ，高分别为 z、Y；C、D 的底面积均为 Y。，
值随z的增大而增大；命题 q：关于z的不等式z+iz
高分别为z、Y，其中z≠Y．现规定一种两人游戏的规
一
2忌l>1的解集为 R．当且仅当命题 P、q中只有一个
则：每人从四个容器中取两个盛水，盛水多者为胜．先
正确时，实数 k的取值范围是( )．
取者在未能确定 z与 Y的大小 的情 况下 ，为 了获胜，
A．一lc． 1< 忌< 1 D (广东 孔祥明 供题)
． O< k< l
12．女日果 (3+sin )sin > (3+COS )Cos ，且
(重庆 唐 强 供题 ) ∈(0，2u)，那么 的取值范围是 ．
— —
6．若一个 三 角形 的两个 内角 z、Y满 足 sin 2x (陕西 安振平 供题)
4-sin 2y~,0，则点( ， )所在区域的图形是 ( )． 13．实数 z、y满足
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个顶点均在曲线 —z。+ z上．试求这个正方形的
一
专)+208(sc 了一专)一1，
、 面积．
．
l( 一 1)207 +zo8(y 一专1 ) ， (本刊试题研究组 供题)
贝0 z + 一 ． 高二年级
(河北 陈小鹏 供题) 一
、选择题：每小题 6分，共 48分，在每小题给出
14．已知函数 )一 o)，若方 的四个选项中，只有一项是正确的．
1．已知 a>1，0<6<1，若实数 z、3，满足不等式
一 2z一4)。一 一4sc + 12x+16的一 个 根为 a，则 a 一a一≥bY—b_。，则( )．
厂(n)一— — ． A．z+ y> 0 B．z+ < 0
(广东 王远征 供题) C．z+3，≥0 D．z+3，≤ 0
15．平面上 的两 个 向量 、 满 足 l l—n， (重庆 唐 强 供题)
l l—b，且 nz+b2—4， · 一0．若 向量 2．两名旅客乘火车外出 1 2 3 4 5
一 + ( 、 ∈ R)，且 f 一 1 1 n 旅游，希望座位连在一起，且 窗 6 7 过 8 9 10 窗
有一人靠窗．已知火车上座 11 12 13 14 15
口 16 17 道 18 19 20 口
+f 一专1 b 一1，则 的最大值是——． 位 的排法 如 图 1所示 ，则下
列座 位号码符合要求 的应
(本刊试题研究组 供题) 图 1
当是 ( )．
16．在直角坐标系中，定义两点 P(x ， )、Q(z ，
A．48，49 t3．6Z 3
3， )的交通距离为 d(P，Q)一 fz 一z f+f 3， 一3， f．若
C．75，76 D．84，85
点M(x， )到点 A(1，3)、B(6，9)的交通距离相等，其
(陕西 安振平 供题)
中z、3，满足 0≤z≤10，0≤ ≤10，则满足条件的点 M
3．不等式 < Tcos 2sc+T二 1 (z
的轨迹 的长度之和为 ．
(本刊试题研 究组 供题) ∈[0，27c))的解集是( )．
三、解答题 ：每小题 20分，共 80分，解答应 写 出
文字说明、推理过程或演算步骤． A．f{， )且z≠号
17．已知 条相互平行的直线 z ：z— +c 一0，
lz：z一3，+ c2— 0，Z3：z一 3，+ c3— 0， ，Z ：z～ + c B．( ， )u( ， )且z≠号，z≠导丌
一 0，其中c1一√2，cI间的距离为 愚(愚一2，3， )．
(1)求 c 的表达式； D．f詈，{1
fz一3，+Cn-I≤0， (陕西 郑光礼 供题)
(2)求满足约束条件 z～y+c ≥0， 的可行域 4．已知(z +1)(z一2)。一a0+a1(z一1)+a2(z
lz≤0，3，≥0 一 1) + +a (z一1)”对任意实数 z都成立，则(n
的面积，其中n≥2． + 3a3+ 5a5+ + 1la11) 一 (2a2+ 4a4+ + 10al0)
(江苏 王华民 供题) 的值是( )．
18．若实数 a、b、c满足a。+b。+f2+2abc一1，求 A．0 B．1 C．一 1 D．2008
(本刊 试题研 究组 供 题 )
证： +梧 + 3． 5．如图 2，在 四棱锥 PABCD
(陕西 安振平 供题) 中，侧 面△PAD 为 正三 角形 ，底
19．如 图 ，在 △ABC 中，AB 面 ABCD为正方形 ，侧面 PAD上
BC边上的中线AM 成三条相等 (含 边 界 )一 动 点 ，且 满 足 MP 图 2
B M C
的线段 的充要条件是 AB ：BC — MC，则点 M 的轨迹是( )．
：CA一 5：10：13． A．一个点 B．一条线段
(本刊试题研 究组 供题 ) c．椭圆的一部分 D．抛物线的一部分
20．已知实数 满足 ：有且仅有一个正方形，其 四 (吉林 刘金 国 供题)
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14．如 图 4，直 三棱 柱 ABC_
x2+ y2 A B C 的底面LEABC是直角三
一1 ( ≥o)的直径， C是半圆上 ／ ／ ／ 角形， ACB一90。，AC-~／ ，BC
任一点，延长 AC 到 P ，使 CP ～A O[ B x — CC 一 ，P是线段 B c上一
动点，则 AP+ PC 的最 小 值 C
图 4
是 ．
A．丌 B． C． 丌 D． (陕西 张亚群 供题)
15．投掷一颗质量均匀的骰子 6次，令第 i次得到
的点数为n ，若存在正整数 ，使得E n -6的概率
i 1
一 ，
≠O)．若实数 n、b使得方程f( )一0有实根，则 n 其 中 眠 是互质的正整数，则 log6m —log7 m
一
●
— — — — — —
A．1 c．丢 D (本刊试题研 究组 供题)
16．从集合 {1 1，2 1，3 1， ，24 1}中删去一个元素
(河北 陈小鹏 供题)
后，余下的23个元素的乘积恰好是一个完全平方数，
8．已知三棱锥 S-ABC的三条侧棱 两两垂直 ，P
则删去的那一个元素是 ．
— —
为底面△ABC内任一点，记 PSA—a， PSB一卢，
(本刊试题研究组 供题)
PSC—y，则 tan a·tan卢·tan y的取值 范围 三、解答题：每 小题 2O分，共 8O分，解答应 写 出
是 ( )． 文字说明、推理过程或演算步骤．
A．r2√2，+CXD) B．(0，2√2) 17．设 口、6、C均为正数，且 abc 1，求证：
C．[1，2√2] D．(1，+Cx3) 1 ． 1
(本刊试题研究组 供题) (n+1) +~／2(b +1) (6+1) +~／2(C +1)
二、填空题 ：每小题 9分，共 72分，把答案填在题 1 ／ 1 l
。
(f+ 1)z+ 2 ‘
中的横线上．
9．若数列{n }满足 n1—1，a +2≥n +2，n +3≤n (陕西 安振平 供题)
+3( ∈N )，则 n2oo8一 ．
(广东 孔祥明 供题)
1O．与圆 C1：( —n) +(y一6) 一4(n +b )和圆 个顶点都在双曲线 Y一÷上，其中 一= -r 2
C2：( +n) +( +6) 一4(n +b )都相切 ，且半径为
点 A 、B 在第一象限，点 C 、 D 在第 D、I
~／口 +b 的圆有 个．
(陕西 代建民 供题)
2 2
～ ． ．
11·已知 椭 圆 4 一丽上 J— + 一 (
7"1 — — 上4
∈N )，它的长半轴长构成数列{n }．则数列{n }的前
项和 S 一 ．
． I ≤一 +3
(广东 王远征 供题)
12．把一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得
的三位数与原三位数相加，若和中没有一个数字是偶
数，则称这个三位数为“奇和数”．那么，在所有的三位
数中，奇和数的个数是 ．
(本刊试题研 究组 供题 ) 证：①s ≥ ；② + +去+ + ≥ 嘉 ．
13．设 n、b均为 实数 ，且 满足 + 一1，则
干 干丽=雨 + 二 而 的 最 大 值
是 ．
— —
(河北 陈小鹏 供题)维普资讯 http://www.
宁夏西吉中学 朱耀习
学安排顺序提出了三个问题，希望引起讨论．问题
1 问题的由来
如下 ：
关于高中数学新课程必修模块不同顺序的教学 (1)不 同安排 的 出发 点是什 么 有 什么特 点
安排，伴随新课程的实施一开始就摆在了实施者的面
不同安排的比较分析，在教师教学、学生学习、过度衔
前，不管是教材的编写者还是实践者．
接、检测评价上要注意什么
1．1 来自教学一线的安排顺序 (举例)
(2)高一阶段可以安排选修课的教学吗 如果
宁夏课改区
可 以，可以安排什么内容 怎样安排
西吉中学 2004级入学的高一学生，采用 1—2
(3)数学 3(概率、统计、算法)安排在什么位置最
—4—5—3的顺序．当时采用 这个 顺序原 因较 多，干
好 为什么 数学 3的内容是一个相对“新鲜”的内
扰也较多，困难也多，比如数学 3的教学当时有一定
容，不少教师由于“陌生”而把它放在最后．可是算法
的困难．到 2007级入学的高一学生，则采用了选修
4—1—1— 4— 5— 2— 3的顺序 ，感 觉这 个顺 序 比较 却频频出现在各章节中，我们怎么解决这个矛盾
满意． 3 笔者的看法(结合我校实际)
银川二中 采用 1—2—3—4— 5这种 自然的没
3．1 笔者所在学校(西吉中学 )必修模块 的安排顺序
有调整的顺序．
江苏课 改 区 笔者所在学校就必修模块的顺序安排前文已述，
东台市 采用 1—4—5—2—3的顺序，他们的想 1—2—4—5—3的顺序不必多说，主要谈谈选修 4—1
法：(1)便于操作；(2)对于“算法”教师普遍不熟悉； —1—4—5—2—3这种顺序．经过一轮三年的摸索，
(3)易于安排配套练 习． 2007级高一学生我们一开始就上选修 4-1，理由是为
建湖中学 采用 1—2—4—5—3的顺序，并且在 搞好初高中衔接．因为选修 4—1的内容是几何证明，
教学过程中补充了一些内容．Ea3 第一讲和第二讲是平面几何(第三讲 圆锥曲线性质
1．2 来自教材编写者的声音 的探讨，根据宁夏考试说明不作要求)，学生熟悉．再
张劲松在文E2-1中指出：必修模块的教学常见的 考虑到学生刚上高中，新环境、新起点，应有一个适应
有以下三种安排 ：(1)1—2—3—4—5；(2)1—4—5—2 过程．还有一个原因是为避免 以往数学 1刚学完学生
—3；(3)1—4—5—3—2．第一种安排 自不必说 ，后两 就大面积请家教的尴尬局面．但是选修 4—1的要求实
种安排突出的问题在于“算法”．他认为这两种安排与
际上是很高的，教材提出四点要求 ：(1)注重证明；(2)
《课标》、教材的要求都不符，看来他是主张第一种安
强调过程；(3)突出思想；(4)加强探究．在具体教学
排的．
过程中遇到了很大困难 ，比如“突 出思想”，教材要求
同时他又承认：“无论是从教材编写的角度看，还
“在陈述知识的同时，力 求突 出概念所反映 的数学思
是从教学实践看，模块化的结构体系存在很大的争
想方法”，要求学生在“掌握知识的同时要努力领悟数
议，造成教材编写、教学实践一些不必要的麻烦．需要
学思想方法”．[4 对于突出体现的化归思想、分类思
采取一些具体的措施，消除模块化结构带来的负面影
想，学生很不理解，感到很“抽象”．课还没讲两周，学
响．”但“一些具体的措施”目前还不太明显．
生就坐不住了，反映听不懂．经课后反思：可能学生的
2 来自张思明工作室的倡议
王尚志、张思明在文[3]中，就高中数学模块的教 * 我校选用的教材为人民教育出版社 A版教材
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思维还没有达到教材要求的层次，一开始就上选修 化原则就是相应的数学方法论原则．15
4—1可能为时尚早，达不到预期的效果． 3．4 结论
再看1—4—5—2—3这个顺序，这个顺序是出于 至此，笔者认 为还是 以 1—2—3—4—5这种 自然
以下两种情况考虑的：一是追求知识间的逻辑联系． 的没有调整的顺序为好．这样，认识上又上了一个新
数学 1主要内容是“函数”，数学 4第一章是“三角函 台阶．
数”，这样把“函数”放到一起上，目的是加强知识之间 另外笔者认为 ，新教材——模块化结构体 系，老
的联系．但学生掌握 的怎样呢 后来发现，普通班 的 师难教，学生难学，这是不争的事实．这就要求我们
学生就“三角函数”的内容学得不好甚至没有学会，尤 (教材的实施者 、教材的编写者 以及所有关 心新课程
其 是 1．4三 角 函 数 的 图象 与 性 质 、1．5函 数 Y 的人们 )认真钻研模块化结构的新 教材．模 块化结构
= Asin(oax+ )的图象这两节．像 1．4．2正弦函数、余 体系体现的是螺旋式课程 ，螺旋式课程是指在不同学
弦函数的性质这一节的例 5，1．5节的练习 2，学生很 习阶段重复呈现特定的学科内容，同时利用学生日益
难理解．实际上 ，数学 4“三角函数”内容 比起数学 1 增长的心 理 的 成熟 性 ，使 学 科 内容 不 断 拓展 和 加
“函数”来说 ，难了许多．是不 是还是“模块”一下，“螺 深——“螺旋式上升”．螺旋式课程组织的优点是能够
旋式上升”着好，把数学 4往后放一放 二是“算法” 将学科逻辑与学生的心理逻辑较好地结合起来 ，其缺
内容教师不熟，这是一个普遍存在的问题． 点是容易造成学科 内容的臃肿和不必要的重复．
如上安排造成的结果：一是多次出现的不和谐． 与直线式课程相比，螺旋式课程是一种更高级的
因为顺序的调整，势必造成有些内容需要补充，又有 课程组织形式．直线式课程主要是根据学科知识的逻
些内容暂时无法讲授等现象，教师不好把握，学生也 辑体系展开的，它对学生认知发展的特点关注不够．
不易掌握 ，尤其对 年轻教师 的教学 造成 了较 大的麻 螺旋式课程则不仅反映学科的逻辑体系 ，而且还将学
烦．二是“算法”的地位问题。我们看到数学 1在“二分 科逻辑与学习者的心理逻辑有机地结合起来 ，这更适
法”的内容中已渗透了算法的思想，并在拓展性栏 目
合学生学习的特点．组织螺旋式课程比组织直线式课
“信息技术应用 借助信息技术求方程的近似解”中 程难度更大．[6]
给出了程序框图；数学 4的“三角函数”、数学 5的“数
由此我们认识到 ：模块化结构的新教材体系是我
列”“不等式”等内容，无论是正文，还是拓展性栏 目，
们所追求的，问题是怎样组织“模块”会更好一些．现
都适当贯穿算法的思想．算法本身的知识内容滞后，
在我们跳出教材顺序调整的这个圈，提出：经过了 5
势必会影响算法思想的贯彻，所以把“算法”放到最后
年的实践 ，《普通高中数学课程标准(实验 )》是否到修
与《课标》和教材的要求都是不相符的．
改的时候 了
3．2 义务教育课程标准试验教科书的各章节安排
参考文献
有没有必要调整顺序，我们再看看义务教育课程 1 许卫东．王克亮．实施高中数学新课程一些做法的交流与
标准试 验教科书．比如《数学 》七 年级 ：第 一章 有理 探讨～一 盐城市 2006年高考数学新课程教学研讨会纪要
数，第二章 一元一次方程，第三章 图形认识初步，第 [J]．中学数学教学参考(高中)，2007，3
四章 数据的收集与整理，第五章 相交线与平行线， 2 张劲松．深入研读课程教材，切实把握教学要求，努力提高
完全是模块化的 ，但没有人提出调整顺序 ，没有 教学质量——对高中课标数学 A版教材回访中若干问题
必要 ，也无法调整． 的思考[J3．中学数学教学参考(高中)，2007，4
3．3 关于“算法化原则” 3 王尚志，张思 明．关于新课程必修模块不 同顺序教学安排
的思考讨论[J]．中学数学教学参考(高中)，2008，3
郑毓信就“算法化原则”指出：对于算法不仅可以
4 人民教育出版社、课程教材研究所，中学数学课程教材研
被看成计算机技术迅速发展的一个必然结果，而且也
究开发中心．普通高中课程标准试验教科书 数学(选修
应被看成数学思维的一个重要特点．因为一种新的重
4—1)A版[M]．北京 ：人民教育出版社，2007
要算法的形成往往就标志着数学的重要进步 ；而又正
5 郑毓信，肖柏荣，熊萍．数学思维与数学方法论[M]．成都：
是通过将部分问题的求解归结为对于现成算法的“机 四川教育 出版社 ，2001
械应用”，人们才有可能进一步从事新 的创造性工作． 6 张华．课程与教学论[M]．上海：上海世纪出版集团、上海
算法的学习应当看成数学学习的一个重要内容．算法 教育 出版社 ，2000维普资讯 http://www.
笛卡儿与解析几何
华东师范大学数学系 汪晓勤
虽然 费马 的《平 面与立 体轨迹 引论 》在笛卡 儿 (Des—
cartes，1596～1650)的《几何学 》(1637)出版之前不久已经 的正根为QM=~-n+√÷n。+6 ，方程z2=-az+b 的正
为巴黎数学界(包括笛卡儿)所知，但直到 1679年才得以正
式出版，此时距作者去世 已有 14年 、距《几何学 》出版已有 根为PM=一 1 n+√÷n + 如图2，作
42年、距原书成稿已有半个世纪!而笛卡儿的著作(原文为 Rt△NLM同上，以 N 为圆心，NL为半径
法文)则 通过 荷兰 数学 家舒 腾 (F．vaFI Schooten，1615～ 作圆，交 LM 在点 M 处 的垂线于 P、Q，则
L M
1660)的拉丁文版产生了广泛的影响，“笛卡儿几何”成了解 方程 一6／Z-b。的两个正根分别为 QM=
图 2
析几何的同义词，笛卡儿成了解析几何唯一的发明者．18世 a 七 ， PM 1
n
纪，法国数学史家蒙蒂克拉(J．E．Montucla，1725～1799)在
其经典著作《数学史》中只字未提费马的解析几何工作；直 一 √÷n 2—6 ．笛卡儿没有提到负根，因为当时负数(笛卡
到 19世纪初，法 国学者波素 (Charles Bossut，1730～1814)
在其《数学通史》中还只介绍 了笛卡儿一人的工作．经过后 儿称之为“假数”)尚未被人 们所理解和接受．笛卡儿说，同
世数学史家的研究 ，费马的工作才得到人们 的普遍承认．今 样的根还可以用其他许多方法求得．
天，人们都知道，费马和笛卡儿曾经各 自独立地发明了解析 早在 1631年，笛卡儿就开始关注帕普斯的三线和四线
几何． 轨迹问题了．在《几何学》中，严格意义上的解析几何思想出
尽管如此 ，我们无法否认 ，解析几何作为一门新数学分 现在接下来 的对 帕普斯 轨迹
问题的讨论之中．在卷 1和卷
支的诞生和发展，却是主要源于笛卡儿著作的影响．
笛卡儿的《几何学》是作为其哲学名著《方法论》之附录 2，笛卡儿解决 了四线轨迹 问
题 ．如 图 3，设 AB、AD、EF、
出版的．尽管《几何学》为解析几何学之滥觞，但笛卡儿的 目
的却与我们今天的解析几何课本大相径庭．《几何学》各卷 GH 是给定的四条直线 ，其中
AB分别交AD、EF和GH 于
的标题是 ： 图 3
第 1卷 ：只需利用直线和圆即可作出的问题 ； A、E和 G．C为广动点 ，从点
第 2卷 ：曲线的性质 ； C分别向四线引线段 CB、CD、CF、CH，分别与四线构成给
第 3卷 ：立体与超立体问题 (三次及三次以上的问题 ) 定角度(在 9O。的特殊情形 ，即为点到线的距离)，其 中 CB
的作图． 分别交AD、EF和 GH 于 ．R、S和 丁．已知 CB·CF=CD
·
前两卷是为第三卷服务的．因此 ，笛卡儿的 目的是研究 CH，要求点 C的轨迹．
代数方程的根的几何作图，这也正是韦达的 目标．可以说 ， 笛卡儿取 AB为轴(相当于今天的z轴)，A为原点．设
笛卡儿的工作是韦达、甚至更早 的阿拉伯数学家奥马 ·海 AB—z，BC= ．则因△．RAB的三个内角均已知 ，故 由正弦
亚姆(Omar Khayyam，1048～ 1122)的工 作 的延续．早在 定理可得 B— (其 中 k _一 sin ~ RAB
，这里我们为了叙
1619年 ，笛卡儿就开始利用抛物线来构造三次 、四次方程
述方便 ，适当改变了笛卡儿的记号)．于是，CR—y+kl (或
的根．
CR=y-k 或 CR 一y+k ．27，视点 C、．R、B三点的位置关
《几何学 》开篇写道：“一切几何
系而定)．又△DRC的三个 内角已知，故 由正 弦定理可得
问题均可归结为这样 的项 ：只要知道
CD—k ( +k )．因 EA=z已知 ，故 EB—z+ (或 EB—z
某些线段 的长 度，就 足 以将 其 作出
—
，或 EB一 一Z+ ，视 点 E、A、B 的位置关 系而定 )．
来．”笛卡儿首先给出一元二次方程
L △SEB的三个内角均 已知 ，故 由正弦定 理可 得 BS—k。(z
的根 的 作 图 法．如 图 1，作 Rt
图 1
+ )。从而得 CS=y+k (z+ )(或 CS= 一k (z+ )，或 CS
△NI M，LM：b，LN=G“-，以 N 为
一 一 +k (z+ )，视点 c、B、s的位置关系而定)．△SFC的
圆心 ，NL为半径作 圆，交 MN于 P、Q，则方程 。一n +b! 三个内角均 已知，故得 CF=k [ +k。(Z+ )]．类似地 ，AG
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：m已知，故 BG=m—z，于是在△TBG中，TB—k ( — )， 线 GL 的交点．当曲线 KNC沿
从而得 CT=y+ks(m-sc)．最后，△TCH 中，由正弦定理得 AB上下平移(点 L也随之在 AB
CH=k [ +惫5·(m—z)]．因此，由 CB·CF：CD·CH得 上移动)时，点 C的轨迹为一新 曲
Y ：n —bxy+cz—dsc ， ① 线 CE．
其中 。一 ， 为了推 导 曲线 CE的方 程，
一
z s 笛卡儿取点 A 为原点，直线 AB
± 生 = !
6： 为坐标轴(相当于今 天的 轴)． G ．
‰ 过曲线上任一点 C作 CBlAB， 图 5
k1k2k 5k6m
’ 垂足为 B．设 AB= ，BC— ，曲线 KNC表示为2：厂( )，
klk2k5k6 其中 KB=z．则由三角形的相似性，得 一— ，即
‘
曲线 CE的方程为
①为一过原点 的圆锥 曲线的一般方程．对于 z的每一
个值，根据①式得 Y的一元二次方程，利用前 面介绍 的方 cY， ．
法 ，可用尺规作出方程的根 ，从而得到相应的点．解出 Y，得
若 已知曲线 KNC为直线 ，即 f(y)一ky(k为常数)，则
1 b 1
=
a一 百 z十 ． ② 曲线 CE的方程成为
。 b 1 ． 1 一 一
这里，笛卡儿只取了算术根，P—b 一4d，q一4c一2ab．笛卡 Y 一 一了 Y十ay— b·
儿指出，若 q 一4pa。一0，则四线轨迹为直线 ；若 P一0，则 四 笛卡儿指 出(但未证明)上述方程表示双曲线．
线轨迹为抛物线；若 p％O，则四线轨迹为椭圆(b一0，d：1
若给定曲线 KNC为二次曲线，则 C的轨迹为三次或
时为圆)；若 户>0，则四线 轨迹为双曲线．这 与今天 的二次 四次曲线．特别地，当 KNC为 以 L为心 的圆时 ，轨迹 为一
曲线分类方法完全一致．笛卡儿还讨论了二次曲线的中心、 蚌线 (四次曲线)，这条 曲线是公元前 3世纪古希腊数学家
焦点、顶点和通径等性质．
尼科米德 (Nicomedes)在解决三 等分 角问题时发现的．当
笛卡儿接着讨论了五线轨迹 KNC为以KL为对称轴的抛物线时，轨迹即为上面所说的
问题的特殊情形．若五线相互平
D C B 特殊的帕普斯五线轨迹——三叉线(三次曲线)．因此，曲线
行，则轨迹为一直线．如 图 4，设
③是可作图的．又若给定曲线为三次或四次方程，则点 C的
四条直线 GF、ED、AB、JH 相互 轨迹为五次或六次曲线(费马找出了反例，给定曲线为 Y。一
平行，相邻两线之间的距离相等 ， M 6。．72时 ，点 C的轨迹为四次曲线)，等等．
第五条直线 GJ与它们垂直．C为
图 4 在《几何学 》中，笛卡儿没有给 出一般五线 问题 以及五
动点，过 C向各直线 引垂线 ，垂 线 以上问题的解 ，但他对四线 问题的解法并不失一般性．事
足分别为 F、D、B、H、M．已知 CF·CD ·CH —CB·CM · 实上，笛卡儿知道：一般的五线和六线轨迹为三次曲线，七
AJ—a·CB·CM，要求 C的轨迹．笛卡儿取 AB为轴(相当 线和八线轨迹为四次曲线 ，九线和十线轨迹为五次曲线，等
于今天的 X轴)，A为原点 ，CB=y，CM=32，Af=AE：GE 等．笛卡儿的解析几何方法解决 了古希腊数学家无法驾驭
—a，若 c在AB和 ED之间，则有 CF=2a—Y，CD=a— ， 的五线及五线 以上的轨迹难题．在《几何学》的最后一卷 ，笛
CH=y+a．于是 ，所求点 C的轨迹方程为 卡儿利用较低次曲线的交点来求高次方程 的根，严格地说 ，
Y。一2aY 一a Y+2a。一nzY． (3) 这已经不是解析几何的内容了．
后来牛顿(I．Newton，1642～1727)把曲线③称为笛卡儿抛 我们今天的初等平面解析几何教材往往包含四个主题
物线(今又称牛顿三叉线)．笛卡儿并未具体作 出曲线的图 (在直角坐标系中)：一是推导轨迹的方程 ；二是研究一次和
形 ，他对于高次曲线的兴趣主要局限在三 个方面 ：一是推导 二次方程所表示曲线的性质 ；三是求距离、角度、面积等；四
曲线的方程；二是通过运动方式来证明曲线的可作性 ；三是 是作曲线的图形．笛卡儿强调的是第一个主题 ，也简略涉及
利用曲线作出更高次 (适定)方程的根．而韦达感兴趣 的只 了第二个主题 ；费马强调的是第二个 主题，也解决过若干第
是适定方程的根 的作图，于是笛卡儿就将韦达的方法推广 一 个主题中的问题．这两个主题正是解析几何基本原理的
到二元不定方程，从而导致解析几何的诞生． 两个方 面．第 三和第 四个 主题直 到 18世 纪才相 继得 到
笛卡儿在欧几里得公设的基础上增加了一个公设：“移 研究．
动两条或两条以上相交曲线 ，其交点确定了其他曲线．”由 费马和笛卡儿的解析几何与我们今天的解析几何有许
此得出方程③所表示的曲线是可作图的． 多不同之处，他们只用一条坐标轴(用以度量第一个未知量
如图 5，已知直线 AB和AG相互垂直，G为AG上的固 z)，用于度量第二个未知量 y的线段与坐标轴不一定垂直，
定点，AG=a(n为常数)．KNC为已知曲线，与 AB交于点 坐标只局限于正数．在两位大 师之 后，经过两个世纪 的发
K，L为AB上的点 ，KL=b(b为常数)．点 C为 KNC与直 展 ，解析几何才逐渐成为一门成熟、完善的学科．维普资讯 http://www.
编者按 高中数学课改实施近 5年，范围逐渐扩大。对其研究也逐步深入，但总体而言还处于摸索阶段．在已实施新课改的地
区，对于新课程的知识内容教师尝试了许多不同顺序的教学设计，有成功的，也有陷入迷茫困惑的，从而引申出许多值得数学教
育工作者深思的问题，如何安排教学顺序能使 学生易于接受，如何设计能在新课改教育理念这个大背景下，实现各模块教学效率
最大化， 这就需要我们一起探索研究与实践．本刊以“关于新课程必修模块不同教学顺序安排的实践与思考”为主题，编辑与刊登
这类文章，也是对我刊 2008年第 3期《关于新课程必修模块不同顺序教学安排的思考讨论》一文的回应，希望这个问题能够引起
各位一线教师的共同关注，积极参与此专题的讨论 ，使我们的中学数学教育呈现出“百家争鸣 ，百花齐放”的繁荣景象、
江苏省常州市常州高级 中学 陈小红
全国的高中数学新课程的教学实验已开展了 5 教学过程中教师没有发现一个令大家都满意的顺序．
年，江苏省进入新课程也已经 3年，按照高中数学新 为什么要采取这种顺序 采取这种顺序是基于怎样
课程标准的要求，必修课程由 5个模块组成，应在高 的考虑 实施后又有什么利弊
一 年级和高二第一学期开设完毕，数学 1是数学 2、数 I．I 1— 2— 3—4— 5顺序
学 3、数学 4、数学 5的基础 ，数学 2、数学 3、数学 4、数 2005年江苏省进入新课程，《普通高中数学课程
学 5没有严格的先后顺序．在数学 1开设后，原则上 标准(实验)》为学生提供 了多样化 的课程选择空间 ，
各个学校可根据学生实际情况安排余下 4个模块的 同时也给各学校 以及科 任教师留有 了一定 的课程选
开设顺序，也就是说 ，只要首先学 习数学 1，数学 2～ 择与创造空间．教师首次可以自己选择数学 2～数学
数学 5的教学可以采用不同的顺序．这样不同的地区 5的教学顺序 ，这是以前 没有过 的事情 ，能够发挥教
可以采用不同的顺序 ，甚至同一地区的不同学校也可 师的主观能动性 ，教师在高兴之余 自感底气不足，陷
以采用不同的顺序．事实上，采取各种顺序都有各 自 入了困惑与迷茫：
的考虑，都有其合理之处，也有值得思考和可以改进 (1)我对新课程 了解多少 (有没有学 习和研究 普
的地方． 通高 中数学课程标准、深入领会高中数学课程的基本
文[1]中王尚志老师和张思明老师提出了必修模 理念和目标、掌握课程设计思路、熟悉必修课程和选
块的教学顺序问题，笔者认为这是一个很值得研究的 修课程的内容标准等)
问题．这个问题来 自于一线教师的困惑，也来 自于教 (2)我对各必修模块的教材有没有全面的了解
师和学生的教学实践 与反思 ，希望通过思考 与讨论 ， (以苏教版高中数学教材为主，有没有对不同版本的
对今后的教学有指导和借鉴作用．下面谈一谈作为教 高中数学教材进行 比较研究 )
学第一线的一位普通数学教师比较粗浅的想法和做 (3)我能提出合理的建议吗
法 ，供大家参考． 而且，每位教师都有 自己的情况和 自己的理解 ，
于是出现了众口难调的局面．课本是专家编的，他们
1 几种不同的安排
肯定比一般教师高明，他们采用了这样的顺序一定有
就常州市而言，目前在校的三个年级，学习必修 他们的道理，我们就按照课本编排的顺序进行教学
模块的顺序就各不相同，2005级是按照 1—2—3—4 吧——这是当年许多教师的想法．摸着石头过河，一
—5的顺序安排教学的，2006级是按 照 1—2—4—5 轮教下来，许多教师体会到课程专家这样编排的用
—3的顺序安排教学的，而 2007级是按照 1—4—5— 意：循序渐进，螺旋上升．但是与以往相比有些内容的
2—3的顺序安排教学的(也有少数学校将部分章节 逻辑体系不是太如人意，比如数学 2中“斜率与倾斜
重组后进行教学)。三年三个样，一方面可能是新课程 角”，在学生不知道钝角的正切值是负数，又没有学习
本身的特点就是具有选择性使然 ，另一方面也说 明在 数学 4中三角函数知识的情况下，教师应该如何进行
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教 学 2—2中，是不是我们在学习这一章之前就不能推理和
1．2 1—2—4— 5—3顺序 证明了呢 事实上，推理与证明用于数学的许多章
2006年常州市的各中学采取 了 1— 2— 4— 5— 3 节，我们是不是也要把它放在前面呢
的顺序．采用这种顺序是有原因的：一来 2005年数学 2．2 教学与高考
3不太成熟，问题多多，课本进入修改期，二来教师对 2008年 6月，江苏省将迎来新课改后的第一次
数学 3的内容比较陌生．高一进行了数学 1—2—4—5 高考，高考对中学数学具有“优化知识结构，优化学习
的教学，高二进行了修改后的数学 3的教学．采用这 过程，优化思维品质”的强力导向作用．新课程“模块
种顺序 ，对于学生来说 ，刚进入 高一就是 ·个严 峻的 化的教学内容，全新的教学理念及 目标要求”能否应
考验(采用 1—2—3—4—5顺序也同样有这个问题)． 对当前的高考 如何确保教学目标的达成和教学质
且不说数学 1中的函数对学生来说是难点(因为每一 量的提升 这些问题既现实又迫切，对于学校，特别
种安排都要先教数学 1)，数学 2中“立体几何初步”与 是对于广大一线教师来说，必须加以认真地思考和解
“解析几何初步”对学生的要求都 比较高，这一个月学 决．我们需要进一步认真研读课程标准、考试说明，深
立体几何 ，学生 刚刚有点入 门，下一个 月就学解 析几 入研究高考试卷，更加准确地理解普通高中课程方案
何了，学习内容和学习方法不尽相同，虽然说是初步 ， 及课程标准的编制意图，进行科学合理的课程编排，
但也涵盖了立体几何与解析几何的主干知识和主要 激励学生全面协调发展 和有个性 的成长．
思想 ，究竟“初步”到何 种地步 如何把握教 学 中的 2．3 选修模块的安排
“度” 对教师来说这些都非常值得研究． 文[1]中提到了“高一阶段可以安排选修课的教
1．3 1—4—5—2—3顺序 学吗 如果 可以，安排什 么内容 、怎样安排 ”笔者所
现在的高一采取 1—4—5—2—3的顺序，目前已 在学校在这方 面做 了尝试 ，有一定 的经验 和体会 ，愿
经教到数学 5．这种方式将三角函数提前，一方面解 与大家分享．
决了数学 2中“斜率与倾斜角”中三角函数知识欠缺 高中数学新课程与原来的九年义务教育教学大
的问题 ，另一方面也为物理学科“力 的分解”做了数学 纲及其配套教材都存在着一定的脱节问题．主要问题
知识的铺垫．但是采用这种方式也有误区，有的教师 是高中新课程一些必要的知识准备，学生在初中数学
在“斜率与倾斜角”教学时只注重三角变形，忽视了这 课程中没有学习或十分薄弱，不能适应高中新课程学
里的教学本质．这种方式还有一个特点就是：高一下 习的需要．
学期对学生的要求比较高，因为在“2008年普通高等 2．3．1 选修 4—1的部分内容可以在高一安排
学校招生全国统一考试 (江苏卷)说明”中，对知识 的 选修 4—1“几何证明选讲”与初中“空间与图形”
考查要求为 C(掌握)的有 8个 ，数学 5和数学 2中就 等知识密切相关，其中有些内容(如三角形、全等三角
有 6个，它们是数学 5的等差数列、等比数列、基本不 形、圆等)学生在初中已经初步了解其内容，并且在学
等式、一元二次不等式，数学 2的直线方程、圆的方 习中侧重于观察、实验和操作，而选修 4—1不仅是初
程，因此在高一教学时更要扎实和有效． 中所学知识的深化，而且侧重于逻辑推理和抽象思
维．在高一进行选修 4—1的教学，一方面可以解决初
2 几点思考
高中的脱节问题，另一方面也可以使学生提升思维的
2．1 数学 3的教学顺序 层次 ，分散立体几何与解析几何教学的难点．
文[1]说：数学 3的内容是一个相对“新鲜”的内 选修 4—1有三节，第 1节“相似三角形的进一步
容 ，不少教师由于“陌生”而愿意把 它放在最后．可是 认识”是平面几何知识 ，建议放在数学 2第 1章“立体
算法却频频出现在各章节中，我们怎么解决这个矛 几何初步”之前教，以弥补学生平面几何知识的欠缺，
盾 事实上 ，在教学中我们教师的确 由于“陌生”而愿 为后续学习做铺垫，防止学生将立体几何问题转化为
意把它放在最后，但通过教学实践，我们发现，数学 3 平面几何 问题以后 由于平面几何 知识 的欠缺而产 生
的学习对学生来说还是比较简单的，学生已经具备了 困难．第 2节“圆的进一步认识”建议放在数学 2第 2
基本的算法思想．我们也没有必要一定把它放在前 章 解析几何初步”之前教，正好在复习初中阶段有关
面，就如“推理与证明”，现在放在高二的选修 1_2和 圆的几何知识(包括点和圆、直线和圆、圆和圆的位置
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关系及其判定)的基础上，进一步学习圆的有关知识， 种方式 ，固定时间和课时，学生比较感兴趣，有进一步
为“直线与方程”“圆与方程”的学习打下 良好的基础． 学习的欲望；但囿于课时，有时内容未完，不得不在下
至于第 3节“圆锥截线”，可以放在高二的选修课程 周继续 ，间隔时间较长．
(选修 1—1、2—1)的椭圆、双曲线、抛物线之前教，比较 (2)连续开设 ，集 中教学．2006级采取 这种方式 ，
顺畅． 好处是具有整体性、连贯性，但对教学方式、对教师的
2．3．2 选修 3—1可以在高一安排 要求较高，教学方式要多样化，教师最好能有说书人
《普通高中数学课程标准(实验)》的基本理念之 的水平．
一 是“体现数学的文化价值”．数学是人类文化的重要 (3)在相应章节进行分散教学．2007级采取这种
组成部分，数学是人类社会进步的产物，也是推动社 方式，好处是相应章节的教学生动，来龙去脉清晰，而
会发展的动力．通过选修 3—1“数学史选讲”的学习， 且节约课时，但缺乏对数学史的整体认识．
学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相 高中数学课程的必修课程满足所有学生共同的
互作用，体现数学的科学价值、应用价值、人文价值， 数学需求，选修课程为有不同需求的学生提供选择的
开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对数学创 空间，我们在这里讨论必修课程的教学顺序和选修课
新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的 程能否进入高一教学的问题，也应当从学生的实际出
思想体系、数学的美学价值，崇尚数学的理性精神，学 发 ，一切从有利于学生的发展出发． ’
习数学家的亥8苦和创新精神，从而提高自身的文化素 参 考文献
养和创新意识． 1 王尚志，张思明．关于新课程必修模块不同顺序教学安排
笔者所在学校在高一开设了选修 3—1“数学史选 的思考讨论EJ3．中学数学教学参考(高中)，2008，3
讲”，我们采用了这样几种开课方式： 2 江苏省教育考试院．2008年普通高等学校招生全国统一考
(1)以选修课 的形式 ，2课时／周．2005级采取这 试(江苏卷)说明EM3．南京：江苏教育出版社 ，2007
(上接第 15页) 这道例题，得出坐标形式的线段的定比分点公式．这
者统一起来了，它们分别说的是一维直线、二维平面、 也符合教材内容螺旋式发展的思想．
三维空间的 向量表达式．在“平 面向量基本定理”中， 教学中循序渐进原则的“序”有两方面的含义，一
有一道例题： 、 不共线，-A-P—t (t∈R)，用 是科学知识的序，二是学习心理的序[8]．如此编排两
、 表示 ．这道题意义深远．由-A-P—t ，有 者得兼．
o--P一(1一￡) +￡ ． 、商 相当于同一平面内不 感谢华中师范大学数学与统计学院江春莲博士
共线的两基向量，0 是终点P在A、B确定的直线上 对本文的悉心指导 !
的任一向量．反过来看，由平面向量基本定理：0P 参考文献
— 。0 + 。 ，在特定条件下，即当A、B、P三点共 1 梁绍君．“算 术平 均数 ”概 念 的 四个 理解 水 平及 测 试结 果
线时，也即当 。+ 。一1时，有A--P— 。A百，这正是线 EJ3．数学教育学报，2005，3
2 李士铸．PME：数学教育心理[M]．上海：华东师范大学出
段的定比分点公式的向量表达式．换言之，线段的定
版社 ，2001
比分点公式不过是平面向量基本定理的一个特例而
3 李心灿，黄汉 平．数坛 英豪 [M]．北京 ；科学 普及 出版
已，写成定理的形式就是一个推论 ，显示 了两者 的内
社 ，1989
在联系．把这道例题多费点笔墨稍加改造，既渗透 了 4 张景中．什么是“教育数学”EJ3．高等数学研究，2004，7
“基向量”这个现代概念，沟通了一维直线和二维平面 5 人民教育出版社中学数学室．高级中学课本 ·平面解析几
的关系 ，又使知识的逻辑结构更加严谨 ，简明．线段 的 何(全一册 ·必修)EM3．北京：人民教育出版社 ，2000
定 比分点的嵌入不再显得牵强．学生的认识结构就是 6 人民教育出版社中学数学室．高级中学课本 ·数学(第一册
由知识结构转化而来，逻辑结构严谨的教材可以促进 · 下)[M]．北京：人民教育出版社，2001
理解．理解本身包含着了解理论和方法的实际背景、 7 上海中小学教材改革委员会．高级中学课本 ·数学(高二上
·
来龙去脉、意义作用、知识系统化的要求． 试验本)[M]．上海：上海教育出版社，2001
8 丁尔升，唐复苏．中学数学课程导论[M]．上海：上海教育出
以上得出的是定比分点公式的向量形式．在学习
版社 ，1996
了“平面向量的坐标运算”后，又可以用坐标形式处理维普资讯 http://www.
固晚霪魄 一点证 啦 幽 础
： j
华东师范大学数学系 徐章韬
中)，还涉及不同学科和数学的不 同分支．学生难 以把
1 线段的定比分点
这么多表面上看似不同的内容串联起来形成整体上
平均数概念涉及离散和连续量的表示，简单的数 的认识．以线段的定比分点为核心编织平均概念的概
据处理、随机变量的数学期望等，在教材中是螺旋发 念图，构织一幅纵横交错的概念发展图，能使旧知识
展的【 ．小学里就出现了算术平均数的概念，在初中 得到观念上的发展，新知识找到“生长点”，也能使学
平面几何里，三角形、梯形的中位线长公式实质上是 生看到数学发生、发展的动态过程，学会做数学．教材
一 种最简单的算术平均数．算术平均数可推广到加权 的逻辑结构对学生的认知结构很重要，因此探讨教材
平均数，服从某种分布的离散型随机变量的数学期望 的编排很有意义．
可看做加权平均数，线段的定比分点公式实质上是一
种加权平均数，这些都属于数值平均数．众数、中位数 2 编排比较
是位置平均数．这些 同一 主题 的 内容散布 于不 同学 线段的定 比分点在人教社的不同版本 的教材 中
段、不同数学分支的教材中，意图是使学生“有机会在 有着不同的编排位置．在《平 面解析几何 》L5 中，“线段
整个学习过程中对 同一专题有间歇地多次接触，经常 的定比分点”位于“有向线段”之后，这两节组成一大
瞻前顾后，多向联络，在不同专题的交叉学习中获得 节，位 于 “直 线 的方 程 ”之 前．在 《数 学 (全 一 册 ·
顿悟的触发点，也锻炼了他们在学习中组织知识的能 下)》L6 中位于“平面向量的坐标运算”之后，“平面向
力，以多次实践的方式完成对数学 内容的认识。”_2 教 量 的数量积及运算律”之前．同一教学内容缘何在不
材的编排是影响学生理解的重要因素之一． 同版本的教材里的编排 方式有如此大 的变化 哪种
数学作为一门工具性的学科，适用面广，很容易 编排方式有利于学生对此 内容 的掌握 笔者在一份
在各门学科 中找到“源型”．线段 的定 比分点 也是如 问卷调查中发现学生对定 比分点公式 的掌握不尽如
此。从化学的角度看 ，摩尔质量为 、摩尔数为 m 的 人意 ，很多学生(高三学生)连公式都记不准 ，遑论理
气体与摩尔质量为 。、摩尔数为 的气体混合(不发 解．为了更好地理解两种教材中线段的定比分点公式
生化 学反 应)，混 合 气 体 的平 均 摩 尔质 量 为 的编排方式 ，作如下比较 ：
+ 旦 2 从编写意图看 ，在《数学(全一册 ·下)》中是巩 固
． ]
rn x l ~-nx2
一 — —
，变形之， 一—— ，令 — n，即为线 并运用向量 ，向量的加法与减法 ，实数与向量的积，平
’H ’t + ’ L
m 面向量的坐标运算等知识 ，这个意图达成了．在《解析
段的定 比分点公式．从物理 的角度 看 ，分点相当于一 几何》中是为解析几何提供一些工具性的知识．在后
个支点 ，一个平衡点。在一细直条的刻度 处有一质 续章节中，线段的定 比分点公式几乎没有被用到，是
量为m的质点，在刻度 。处有一质量为 的质点，支 个孤立的知识点。所以，在现行教材的解析几何部分，
点在刻度 z处时，系统平衡．由力矩平衡有 (z—z ) 根本没有 这个公 式．在衔接 性上 ，《数学 (全 一册 ·
一n(x -x)，变形即得线段的定比分点公式．这些具 下)》是在“向量”一节中介绍线段的定比分点公式的，
体的表象不但沟通了学科间的联系 ，还有认识论上的 推导公式所需要的基础知识是共线向量定理、平面向
意义．克莱茵在《19世纪数学史 》中指 出：“黎曼 的理 量的坐标运算．而在《平面解析几何 》中推导线段的定
论和傅立叶的基本理论是由直观的物理思想中产生 比分点公式时用到了初中平面几何中的平行线分线
的．”他还指出：“ 应要求一个数学主题变成直观 段成比例定理．这个定理本身并不难，但是在具体的
上显然，才可认为研究到头了 ”E3]在教学时“学生 公式推导过程中却是为了投影的目的而用的，难度由
头脑中产生概念” 才有可能． 此提升．斜线段在两个方向上分别投影相当于对有向
教材渗透平均数概念的时间长(从小学一直 到高 线段作分解 ，是“化斜为直”的一种 手法 ，类同于物理
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中矢量的正交分解，其数学实质是平面向量基本定 进的工具，很容易确定 的符号(教材用“显然”两
理．没有这个定理，这种方法从矢量迁移到斜线段，对 字)．但与教材配套的教师用书指出教学难点依然是
学生而言，是有难度的．“向量”就分散了这个难点．在 确定 的符号．教材和教师用书上的说法迥然不同，
此之前就具体介绍过平面向量的坐标表示，用坐标运 真让人有点匪夷所思．在根据定义推导公式时，问题
算就能导出公式 ，同时逻辑上也更严谨．所 以在课 时 提出的方式也不同．《平面解析几何》是这样做的：设
分配上，在《平面解析几何》中，线段的定比分点需 2 P P 的两个端点分别为 P1(z1，y1)和 Pz(zz，yz)，点
课时，在“向量”中则只需 1课时．两本教材 的重点迥 P分P P 所成的比为 ( ≠一1)，求分点 P的坐标．
异．在《平面解析几何 》中，线段 的定 比分点公式 的重 这是在课文中用很大篇幅讨论内、外分点对 的符号
O1 p 影响之后 ，提出的问题．而在“向量”中指出 的含义
点是讲清定比分点的意义，中心是讲清 一 的含
f J 2 之后，直接提出“那么，点P的坐标如何表示呢 ”问题
义，在求定比分点坐标公式的过程式中，关键要讲清 出现及时 ，简洁明快 ，有利于驱动学生的思维．
一 一 线段的定比分点公式从本质上说是直线方程的
． 在《数学(全一册 ．下)》中，其重点是
参数表达式．P 、P 两点是基本点，是“基底”，直线上
线段的定比分点公式和中点坐标公式及其应用．重点 任何一点都可由这两个基本点表示出来．线段的定比
迥异，正是编排方式不同造成的．在《平面解析几何》 分点公式
中，线段的定 比分点的基础是平行线分线段成 比例定
z 一
理及有向线段的正交分解．平行线分线段成比例定理 z一— 苫 一 l_ +十 丽 一 纰z1 十+ (上i—一 )z ’，
是初中内容，学生可能早已淡忘，有向线段的正交分
一
解还需从物理里迁移过 来．这些地方需要浓墨重彩． 芊 一 +r 。一 +c 一 ，
在《数学(全一册 ·下)》中，线段的定 比分 点公式是前 其中， 一 ．这其实是直线的参数方程．在《平面解
1 T ，
面知识的自然发展，所以教材关注的是公式的应用，
析几何》开篇之初，学生根本没有直线参数方程的概
而不是公式 的推导．
念，在“向量”中，虽然也没有直线参数方程的概念，但
两种教材给出的定义也不同．《平面解析几何》中
由于有“基底”的概念，“两点确定一条直线”的涵义更
的定义是 ：有向线段 z上的一点 P，把有 向线 段P P。
加明晰．
分成两条有向线段P P和PP ．P P和PP 数量的比
从 上面 的分析来 看，把线段 的定 比分点 编排 在
叫做点 P分P P 所成 的比，通 常用字母 来表示 这
“向量”中比编排在《平面解析几何》中恰当，这反映了
p p
个比值， 一 ，点 P叫做P P 的定比分点．《数学 教材编排水平的提高．
』 』 2
(全一册 ·下)》中的定义是 ：设 P 、P 是直线 z上 的 3 编排建议
两点，点 P是 z上不 同于 P 、P 任意一 点，则存在一
从以上分析知，我们可以初步认定线段的定 比分
个实数 ，使P P— PP。， 叫做点 P分有向线段
点安置在“向量”中是合适的．但“向量”的编排方式还
P Pz所成的比．显然，当点 P在线段P P 上时 ，a>O， 可以改进，精中求简．这节内容若处理得当，甚至可以
当点 P在线段P P 或P P 的延长线时，a定比分点公式中，P 、P 是固定点、基本点 ，P点是 流 绍线段的定比分点公式 的)，丝毫不影响公式 的重要
动点、非基本点． 和 P是一一对应关系，P的横、纵 性，反而使教材的逻辑体系更严谨、更简明．
坐标都是 的函数．点 P属于形的范畴， 属于量的 从严谨形式化的角度看 ，可以“基 向量”为基本概
范畴，两者间的关系正是解析几何的研究对象．《数学 念 ，把线段的定 比分点、平面向量基本定理、空间向量
(全一册 ·下)》没有指出哪点是定 比分点 ，和课 文标 基本定理等串起来，形成有机的知识组块．线段的定
题不照应，是纰漏之处，但突出了 的地位．《平面解 比分点是说直线上任意一点都可以由两个不重合的
析几何》通过引入内分点、外分点这两个概念无意中 基本点表示(不重合的两点确定一条直线)，平面向量
强调 了 P 、Pz的基本性及 P点的流动性 ，但带来 的 基本定理是说平面上任意一个向量都可以由两个不
负效应是由于基本点、非基本点、内分点、外分点本来 共线 的基本向量表示(不重合的两相交直线确定一平
是相对而言的，情境不同，基本点、非基本点，内分点、 面)，空间向量基本定理是说空间中任意一个向量都
外分点的“身份”就不同，确定 的符号就成了教学难 可 以由三个不共线的向量表示．“基向量”的概念把三
点．而《数学(全一册 ·下)》通过采用向量这一比较先 (下转第 2O页)
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关系及其判定)的基础上，进一步学习圆的有关知识， 种方式 ，固定时间和课时，学生比较感兴趣，有进一步
为“直线与方程”“圆与方程”的学习打下 良好的基础． 学习的欲望；但囿于课时，有时内容未完，不得不在下
至于第 3节“圆锥截线”，可以放在高二的选修课程 周继续 ，间隔时间较长．
(选修 1—1、2—1)的椭圆、双曲线、抛物线之前教，比较 (2)连续开设 ，集 中教学．2006级采取 这种方式 ，
顺畅． 好处是具有整体性、连贯性，但对教学方式、对教师的
2．3．2 选修 3—1可以在高一安排 要求较高，教学方式要多样化，教师最好能有说书人
《普通高中数学课程标准(实验)》的基本理念之 的水平．
一 是“体现数学的文化价值”．数学是人类文化的重要 (3)在相应章节进行分散教学．2007级采取这种
组成部分，数学是人类社会进步的产物，也是推动社 方式，好处是相应章节的教学生动，来龙去脉清晰，而
会发展的动力．通过选修 3—1“数学史选讲”的学习， 且节约课时，但缺乏对数学史的整体认识．
学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相 高中数学课程的必修课程满足所有学生共同的
互作用，体现数学的科学价值、应用价值、人文价值， 数学需求，选修课程为有不同需求的学生提供选择的
开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对数学创 空间，我们在这里讨论必修课程的教学顺序和选修课
新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的 程能否进入高一教学的问题，也应当从学生的实际出
思想体系、数学的美学价值，崇尚数学的理性精神，学 发 ，一切从有利于学生的发展出发． ’
习数学家的亥8苦和创新精神，从而提高自身的文化素 参 考文献
养和创新意识． 1 王尚志，张思明．关于新课程必修模块不同顺序教学安排
笔者所在学校在高一开设了选修 3—1“数学史选 的思考讨论EJ3．中学数学教学参考(高中)，2008，3
讲”，我们采用了这样几种开课方式： 2 江苏省教育考试院．2008年普通高等学校招生全国统一考
(1)以选修课 的形式 ，2课时／周．2005级采取这 试(江苏卷)说明EM3．南京：江苏教育出版社 ，2007
(上接第 15页) 这道例题，得出坐标形式的线段的定比分点公式．这
者统一起来了，它们分别说的是一维直线、二维平面、 也符合教材内容螺旋式发展的思想．
三维空间的 向量表达式．在“平 面向量基本定理”中， 教学中循序渐进原则的“序”有两方面的含义，一
有一道例题： 、 不共线，-A-P—t (t∈R)，用 是科学知识的序，二是学习心理的序[8]．如此编排两
、 表示 ．这道题意义深远．由-A-P—t ，有 者得兼．
o--P一(1一￡) +￡ ． 、商 相当于同一平面内不 感谢华中师范大学数学与统计学院江春莲博士
共线的两基向量，0 是终点P在A、B确定的直线上 对本文的悉心指导 !
的任一向量．反过来看，由平面向量基本定理：0P 参考文献
— 。0 + 。 ，在特定条件下，即当A、B、P三点共 1 梁绍君．“算 术平 均数 ”概 念 的 四个 理解 水 平及 测 试结 果
线时，也即当 。+ 。一1时，有A--P— 。A百，这正是线 EJ3．数学教育学报，2005，3
2 李士铸．PME：数学教育心理[M]．上海：华东师范大学出
段的定比分点公式的向量表达式．换言之，线段的定
版社 ，2001
比分点公式不过是平面向量基本定理的一个特例而
3 李心灿，黄汉 平．数坛 英豪 [M]．北京 ；科学 普及 出版
已，写成定理的形式就是一个推论 ，显示 了两者 的内
社 ，1989
在联系．把这道例题多费点笔墨稍加改造，既渗透 了 4 张景中．什么是“教育数学”EJ3．高等数学研究，2004，7
“基向量”这个现代概念，沟通了一维直线和二维平面 5 人民教育出版社中学数学室．高级中学课本 ·平面解析几
的关系 ，又使知识的逻辑结构更加严谨 ，简明．线段 的 何(全一册 ·必修)EM3．北京：人民教育出版社 ，2000
定 比分点的嵌入不再显得牵强．学生的认识结构就是 6 人民教育出版社中学数学室．高级中学课本 ·数学(第一册
由知识结构转化而来，逻辑结构严谨的教材可以促进 · 下)[M]．北京：人民教育出版社，2001
理解．理解本身包含着了解理论和方法的实际背景、 7 上海中小学教材改革委员会．高级中学课本 ·数学(高二上
·
来龙去脉、意义作用、知识系统化的要求． 试验本)[M]．上海：上海教育出版社，2001
8 丁尔升，唐复苏．中学数学课程导论[M]．上海：上海教育出
以上得出的是定比分点公式的向量形式．在学习
版社 ，1996
了“平面向量的坐标运算”后，又可以用坐标形式处理维普资讯 http://www.
≤瞧 激 种 。巷
西北师范大学数学与信息科学学院 2006级研究生 苏克义
+Ⅱ +l，J+l+Ⅱ +1，J+2+Ⅱ +2，J+l+n +2●+2
1 问题
=a +2aI，J+1+ ahJ+2+2a汁l，J+ 4a +1，J+1
已知 数 阵 A。一 {a (0))= {a )，a ∈C．设 + 2Ⅱ +l，J+2+n +2，J+ 2a +2，J+1+n +2，J+2
A 一{a (，z))：
r a + 2a j-1 + n“j+2
a (，z)一 a (n- 1)+ aⅥ+l( 一 1)+ Ⅱ汁1， ( 一 1)
= +2a汁1， + 4a +1，J+1+ 2a计1． +2
+n +1， +1(，z一1)，i， 一1，2，3， ， ①
l+ ai+2，J+2a +2，J+1+a，+2，J+2，
则 A 叫做A。的 ，z次迭代数 阵．问题在于 ：已知 A。，
f1 2 1]
‘
求 A 的通项公式． ． ．x 一I 2 4 2 I． ③
2 归纳研究 【1 2 1』
为求A。一x A。中的 Xo' 一{z (3)}'同样可
在 A。一{a }中，由①知 ，构成 n (1)的四项呈正
算出 ．
方形排列 ： f a + 3ai,j+】 +-3al，j+2 +al，j+3
a ij (Ji，J+1
c3 ：
ⅡI+1，』 ai+1，J+1 {二：=i ： 二=； ： ： 二：=； 二 ： 二：=i ： j
其系数可排成 2阶数阵 ：
I+n +3，J +3a +3，J+1 +3a +3，J+2+-ai+s， +3，
㈥． ② f1 3 3 1 1
。
一
．
X 称 为 由 A。到 A 的 迭 代 数 阵 ，记 作 A {I3 9 9 3 {J． ④
一 X A。．由A。到A：的迭代数阵 X ：{z (2)}(记 l1 3 3 1 J
作 A。一X5∞A。)怎样求呢 观察对比② 、③、④ ，我们可 以发现很多东西．可
由① ，有 以看出，它们是以组合数为(上、左)边界的乘法表：如
a (2)一 ad(1)+n ， +1(1)+Ⅱ +l， (1) 在 x 中，第一行、第一列都是3次组合数(即杨辉三
+ a +】。 +1(1) 角的第 3行：1，3，3，1)，中间每个数都是它所在行、列
a + a ，j+l+ ai+l +ai+j，j+l 第一数之积，如 9—3×3，等等．于是可以猜想有姐下
+ a +】+aiIJ+2+a汁】，j+l+ 汁1，j+2 命题 设 由 A。到 A 的迭 代数 阵 为 X'o (A
+ a件1， +af+1，J十1+a件2，J+Ⅱ汁2，j4-1 一 X'o A。)，则
(上接第 49页) 参考文献
能会存在这些问题：选课人数较少，选修课对学生没 1 数学课程标准研制组．数学课程标准(实验)解 读[M]．南
京：江苏教育出版社 ，2004
有约束条件，完全是凭学生的兴趣爱好来上课的，组
2 严士健，王尚志主编．普通高中课程标准试验教科书 数
织教学 比较 困难 ，对于课上讲的内容 ，学生掌握不扎
学(选修 4—2)[M]．北京：北京师范大学出版社’2004 +
实，课上布置的任务难以完成等等．面对这些困难教 3 [美]G·波利亚 ．数学与猜想 ：数学中的归纳和类比[M]．
师就要注重研究 丰富多彩的、行之有效的教学方法 ， 北京：科学出版社，2001
4 张大均．教育心理学[M-I．北京 ：人民教育出版社，2OO3
努力来展现数学的魅力 ，使学生爱数学，爱上我们
5 程艺华．美 国芝加哥大学中学数学设计(UCSMP)：矩阵
的课．
[J]．数学通报，1996，1
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X 于是我们找到了证明的思路．
1 1 3．2 对命题的证明
C；=～ 我们用数学归纳法．
^
，
- -
G 、 ，1 1、
． ⑤
● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 当 一 时，x "一(1 1)命题成立·
e 设当 一是(忌≥1)时，命题成立．即zd(忌)一C
1 1 C{ ( ， ：1， ，志+1)．那么 ，须证明 X 抖”一{z (忌
如记 X5 一 {z ( ))，则 z (，2)一 C C +1))，z (忌+1)一C i-+ Cl (i，J一1，2， ，忌+2)．事
．
0 0 0 0
一 1，2， ，n+ 1)． 实上，由 X 一X 须经过如下三步： 0 l 2 l
(i)在 X 最上部加一个0行，在最左部加一0个 20 4 2
3 结论的证明
列(这时数阵成为(忌+1)阶)； 0 l 2 l 、 _I- ll l-_ __ ___ _J
3．1 对证明途径的探索 (i)把第 2行加到第 1行，再把第 3行加到第 2
②、③、④中的数阵是怎样生成的呢 比如由② 行 ， 再把第 忌+1行加到第 忌行 ，最后把第 忌+2
到③，它增加了一行、一列；另外①启发我们，由{a ( 行加到第 忌+1行 ；
一 1))求{a ( ))，须把后一行加到前一行，再把后一 (ii)把第 2列加到第 1列，再把第 3列加到第 2
列加到前一列，按此思路，我们试试看： 列， 再把第 忌+2列加到第 忌+1列．
那么，这样得到的 x 州 一{z (忌+1))的通项 ，
正好由类似于公式①中的四项(x5 中的)所构成：
z (忌+ 1)一 z (忌)+ z ，什l(忌)+ z抖l，(忌)
把第2行加l到第1行， +z件1。J+1(忌)(i， 一0，1， ，忌+l，其 中，Xoj—z o
再把第3行l加到第2行
一
t 0)． ⑥
f 1 2 1 按归 纳 假 设 ，有 z (忌)一C C (约 定 C
：J【 2 4 2
一 0)，代人⑥，有
1 2 l
z (忌+1)一CV +C +C C{ +C
进而 ，我们再求 X53)： 一 (C +C )(CJ +Cj)
一 C +1C；+l(i， 一 0，1，2， ，忌+ 1)．
fJ 21 24 21 经过一个上标代换，即可写成 ’
【1 2 1 z (忌+1)一C jC{ j( ，J一1，2， ，忌+2)，
即命题对 一是+1成立，可见对任何 成立．
把第2行加I到第1行，
再把第3行l加到第2行， 4 ．xoc 的几条性质
t 再把第4行■I 加到第3行
(1)x 为对称数阵，即z ( )一z ( )，此外，还
l 3 3 l 塑第2列加到第1列，1f 0
3 9 9 3 有三条对称轴．
●●。·--________-_-___·______·-_____。 一
3 9 9 3 再把第3列加到第2列，l 0 (2)它是一个有限方形数阵．
l 3 3 l 再把第4列加到第3列l0
(3)它是一个凸数阵：最大元素处在中心(一个或
用类似的方法，读者不难得到： 4个)，且都是平方数．
1 4 6 4 (4)利用迭代数阵及 A 一X A。，有
外 l 外 1
4 16 24 16
a ( )=∑∑ c：一 c a ㈩ ⑦
6 24 36 24 = l 一 1
(5)类似研究 X (m，n为非负整数)．
4 16 24 16
1 4 (注：迭代数阵结构优美，但不知①有何背景 ) 6 4

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