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圆锥曲线焦半径的极坐标形式应用
若一条线段的一个端点在圆锥曲线的焦点，而另一个端点在圆锥曲线上，这样的线段称为圆锥曲线的焦半径，它是解析几何中常见的几何量，在历届高考中多次出现过，此类题型涉及知识面广，常常将向量的有关知识与焦半径的倾斜角和长度联系起来，作为高考解析几何的压轴题，重在考查考生的逻辑推理能力，此类题考生失分严重，值得我们深入总结和分析研究。为此，本文介绍一个比较实用的焦半径公式，可用于求解与离心率,焦点弦长及斜率等有关的解析几何问题。供大家参考。
如图，在椭圆中，直线m为椭圆的右准线，分别为椭圆的左、右焦点，以F2为极点，所在直线为极轴，M为椭圆上一点，|MF2|为极径，点M的极角为，令。右焦点F2到右准线m的距离为p,椭圆的离心率为e,则由圆锥曲线的第二定义知,
(1)若,则|MF2|=e|MN|=e(p-|MF2|),
化简得|MF2|=，(图1)
(2)若，则|MF2|=e|MN|=e[p+|MF2|]=e(p-|MF2|),化简得|MF2|=；(图2)
(3)若，则|MF2|=e|MN|=e[p+|MF2|]=e(p-|MF2|),
化简得|MF2|=；(图3)
(4)若，则|MF2|=e|MN|=e[p-|MF2|]=e(p-|MF2|)，化简得|MF2|=；(图4)
检验知当=0、、、时，上式也成立。
同理，若为椭圆的左焦点和左准线也有类似的结论：|MF1|=，椭圆的焦点弦长为，由其推理过程知与焦点在哪条坐标轴上无关。可记忆为“左加右减”（焦点在准线的左方是为加，焦点在准线的右方是为减）。当焦点在y轴上时，结论类似可得“下加上减”，焦点弦长不变。
下面我们看这个结论的应用。
例1（2010高考数学辽宁卷理科20题）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)如果|AB|=，求椭圆C的方程.
解：(1)因为直线l的倾斜角为60o,，所以A在x轴上方，B在x轴下方，（如图5）此时，，所以，代入化简得。
(2)结合(1)知，所以，而，，联列方程组解得。故所求椭圆方程为。
评析：用此公式时必须确定弦的两个端点位置，从而确定公式中的角与已知角的关系。
例2（2010高考数学全国卷2理科12题）已知椭圆的离心率为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点．若，则
（A）1 （B） （C） （D）2
解：（图略）因为k>0,且，知B在x轴上方，A在x轴下方，令直线BF的倾斜角为，则，，所以,化简得，所以
评析：关键要据题意确定A,B两点的位置，从而代公式求解。
例3（2011高考数学浙江卷理科17题）设，分别为椭圆的左、右焦点，点A,B在椭圆上，若，则点的坐标是 ．
解：如图6，由得，不妨令倾斜角为锐角，所以A点的横坐标必大于-c,=，=，则，故=，又，解得，所以，而故直线的方程为，与联列消y得，所以x=0或x=(小于-c,不合题意舍去)，将x=0代入椭圆方程得y=,故。（当倾斜角为钝角时，A,B两点在x轴下方也符合题意。）
评析：应用此结论时，应先画出满足题意的图像，帮助分析，求出直线FA的斜率，从而确定直线方程，联列可求A点坐标。
例4（2011高考数学四川卷理科21题） 椭圆有两顶点 A（-1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．（如图7）
(1)当|CD | = 时，求直线l的方程；
(2)当点P异于A、B两点时，
求证：为定值。
解：(1)（如图）由已知可得椭圆方程,
b=1,c=1,,。设以F为顶点，y轴正半轴为始边按逆时针方向旋转到FD为终边的角为，直线FD的倾斜角为，则|CD|==,解得或（不合图像舍去），所以
，，
此时直线l的方程为，即l的方程为
(2)略
评析：当焦点在y轴上时，应结合图形判断公式中角与直线倾斜角的关系。
例5经过椭圆的焦点F的直线，交椭圆于A、B两点，若，求弦AB的倾斜角和长度。
解：不妨设F为右焦点，则，，而在椭圆中，所以c=1,e=,=3,=-1,代入，化简得，所以或。故|AB|==.
评析：对公式中每个量所代表的意义要熟悉，从而灵活应用。
同椭圆类似，我们可得双曲线当焦点在x轴上的焦半径公式：|MF2|=（F2为右焦点，M在双曲线的右支上。）（如图8），|MF1|=（ F1为左焦点，M在双曲线的左支上。），记忆为“左加右减”（焦点在准线的左方是为加，焦点在准线的右方是为减）。特别地：在双曲线中，若M在右支上，为左焦点，若，则|MF1|=e|MN|=e[|MF1|-p]=e(|MF1|-p)，化简得|MF1|=，时同理可得上述结论，特别地，当=0时仍成立，（）；同理，若M在左支上，为右焦点，则此时|MF2|=，。（如图9）可记忆为：“以焦点为主，在同侧基础上e换为-e”。
例6（2007年重庆卷第16题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为的直线，交双曲线于P,Q两点，则|FP||FQ|的值为
解：因双曲线的渐近线为，其倾斜角为和。易知P,Q均在右支上，因为=，离心率，焦准距，所以|FP||FQ|===
评析：应用此结论时一定要抓住F,P,Q三点在一条直线上，与渐近线及x正半轴的关系。
例7（自编题）已知双曲线C:的离心率为，过左焦点F且斜率k>0的直线交C的两支于A、B两点。若，则K=
解：因为，所以A在右支，B在左支上，知|AF|,
|FB|，且e=,代入化简得，所以，故k=
评析：关键要分清双曲线上的点与焦点在准线的同侧还是异侧，从而确定公式。
抛物线中e=1,同椭圆、抛物线类似，
可推导出,极坐标形式的焦半径公式：
|MF|=（开口向右或向上的抛物线）（图10），|MF|=（ 开口向左或向下的抛物线）。焦点弦长为。
例8（2008高考数学江西卷理科第15题）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，与抛物线交于A、B两点（点A在y轴左侧），则有=＿＿＿＿
解：（如图11）知=,
|AF|=,
|FB|==，
代入得=
评析：解答此题的关键是找出公式中的角与倾斜角的关系。
例9（2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线，交抛物线于A,B两点，若线段AB的长为8，则＿＿＿
解:由抛物线焦点弦的弦长公式为得，=8，解得。
评析：知=，用此公式解答相当简单。其它方法相对麻烦些。
综合知：在圆锥曲线中，若焦点在x轴上，那么焦点在对应准线右侧上的M点的焦半径公式为：|MF2|=，焦点在对应准线上的左侧上的M点的焦半径公式为|MF1|=，（特别地：在双曲线中若M在右支上，为左焦点，则此时|MF2|=，若M在左支上，为右焦点，则此时|MF1|=。即以焦点为主，M与F1,F2在准线的两侧时，将在同侧时以-e换e。）；若焦点在y轴上，与焦点在x轴上类似，仅需把左改为下，右改为上即可。其中为以焦点为顶点，y坐标轴的正半轴为始边，按逆时针方向旋转到所求线段为终边的角，e是圆锥曲线的离心率，p是焦准距。可以椭圆为主记忆为“左加右减，下加上减”其它类比可得。
N
F2
F1
M
o
m
x
图1
M
m
N
F2
F1
o
x
图2
x
o
F2
F1
M
m
N
图3
o
F2
F1
x
m
N
M
图4
x
y
o
F
A
B
图5
A
B
x
y
F2
o
F1
图6
x
y
o
B
F
D
C
A
Q
P
l
图7
0
x
F1
F2
M
N
m
图8
0
x
F1
F2
M
N
m
图9
o
M
F
x
N
图10
0
x
y
F
A
B
图11

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