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第五章 平行四边形
3 三角形的中位线
知识点 三角形中位线的概念和性质
定义 三角形中位线的性质 图示
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 内容 推理格式 作用
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半 ∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，DE＝BC （1）位置关系:可以证明两条直线平行； （2）数量关系:可以证明线段的相等或倍分关系
例 如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
例 如图所示，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.求证:四边形EFGH是平行四边形.
分析 连接AC，先利用三角形中位线定理证明HG＝EF，且HG∥EF，再利用平行四边形的判定定理证明即可.
证明 如图所示，连接AC.
∵G，H分别是CD，DA的中点，∴HG∥AC，HG＝AC.
同理，EF∥AC，EF＝ AC.∴HG∥EF，HG＝EF.
∴四边形EFGH是平行四边形.
方法归纳
当题目中出现线段的中点时，一般连接中点，考虑用三角形的中位线定理来解决，本题还可以再连接BD，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形来解决.
经典例题
题型一 三角形中位线性质的应用
例1 如图所示，在△ABC中，E是AB的中点，CD平分∠ACB，AD⊥CD于点D，连接ED，求证:
（1）DE∥BC；
（2）2DE＝BC-AC.
分析 （1）延长AD交BC于点F，根据△ACD≌△FCD得到AC＝CF，AD＝DF，故可得出DE∥BC.
（2）根据AC＝CF可得出BF＝BC-CF＝BC-AC，由三角形中位线定理即可得出结论.
证明 （1）如图所示，延长AD交BC于点F，
∵CD平分∠ACB，且AD⊥CD，∴∠CDA＝∠CDF＝90°，∠ACD＝∠FCD.
又∵CD＝CD，∴△ACD≌△FCD，∴AC＝CF，AD＝DF.
∵E是AB的中点，∴DE是△ABF的中位线，∴DE∥BC.
（2）由（1）知DE是△ABF的中位线，AC＝CF，
∴DE＝BF＝ （BC-CF）＝ （BC-AC），即2DE＝BC-AC.
点拨
当问题中有中点，且证明线段平行或2倍关系时，我们通常考虑问题能不能应用三角形中位线定理解决.
题型二 构造三角形的中位线解题
例2 如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC＝BD，E、F分别是AB、CD的中点，EF分别交BD、AC于点G、H.求证:OG＝OH.
分析
取BC边的中点M，连接EM，FM，首先根据三角形的中位线定理得到△EMF是等腰三角形，然后根据等边对等角得到∠MEF＝∠MFE，再根据平行线的性质得到∠OGH＝∠OHG，最后根据等角对等边即可证得结论.
证明 如图所示，取BC边的中点M，连接EM，FM，
∵M、F分别是BC、CD的中点，∴MF∥BD，MF＝BD，
同理，ME∥AC，ME＝ AC，
∵AC＝BD，∴ME＝MF，∴∠MEF＝∠MFE.∵MF∥BD，∴∠MFE＝∠OGH.
同理，∠MEF＝∠OHG，∴∠OGH＝∠OHG，∴OG＝OH.
点拨
已知三角形一边的中点时，常作辅助线构造出三角形的中位线.

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