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第五章 三角函数
5.1 任意角和弧度制
人教A版高中数学必修第一册
5.1.1 任意角
我们生活中随处可见的角
“李小鹏”：2008年在北京奥运会上，李小鹏在双杠比赛中凭借他做出的体操动作赢得了金牌。
(1)时钟从12：00到12：15，分针转过了多少度？
引入新的角的定义、分类:
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.射线OA、OB分别是角的始边和终边，端点O为角的顶点。
始边
终边
端点
B
A
O
旋转方向
你认为将一条射线绕其端点按逆时针方向旋转60°所形成的角，与按顺时针方向旋转60°所形成的角是否相等？
引入新的角的定义、分类:
逆时针方向旋转所形成的角叫做正角
O
A(B)
没有作任何旋转形成的角叫做零角
顺时针方向旋转所形成的角叫做负角
A
B
O
A
B
O
｛
角
正角
负角
零角
画出下列各角：正角，正角，
负角，负角
(1)时钟从12：00到12：15，分针转过了多少度？
(2)时钟从12：00到13：15，分针转过了多少度？
正常情况下，如果以零时为起始位置，
那么钟表的时针与分针在旋转时形成的角总是负角。
角的分类
为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，
思考1:对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
x
y
o
始边　
终边

终边
终边
终边






非象限角(轴线角)
非象限角(轴线角)
如果角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限，或称这个角为轴线角.
角的分类
为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，
思考2:锐角是第几象限的角？
x
y
o
始边　
终边

终边
终边
终边






非象限角(轴线角)
非象限角(轴线角)
角的分类
为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，
思考3:第一象限的角一定是锐角吗？
x
y
o
始边　
终边

终边
终边
终边






非象限角(轴线角)
非象限角(轴线角)
角的分类
为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，
思考4:第二象限的角一定比第一象限的角大吗？
x
y
o
始边　
终边

终边
终边
终边






非象限角(轴线角)
非象限角(轴线角)
刮一刮
刮一刮
刮一刮
405°
那么下列各角分别是第几象限的角？
刮一刮
刮一刮
刮一刮
百事可乐
刮一刮
刮一刮
刮一刮
试卷一套
刮一刮
刮一刮
刮一刮
-50°
刮一刮
刮一刮
刮一刮
-200°
刮一刮
刮一刮
刮一刮
百事可乐
刮一刮
刮一刮
刮一刮
-450°
刮一刮
刮一刮
刮一刮
210°
角的判断
角和终边的关系
请画出下列各组角，并思考：
一个角，对应几条终边？
(1)(2)(3)组的角分别是第几象限的角？
(1)300，-3300， 3900 (2) 1200， -2400，4800(3) 00 ， -3600，3600









角和终边的关系
请画出下列各组角，并思考：
③30-330 390三个角的关系
(1)300，-3300， 3900 (2) 1200， -2400，4800(3) 00 ， -3600，3600















角和终边的关系
请画出下列各组角，并思考：④终边与30°角终边相同的角有哪些？
(1)300，-3300， 3900 (2) 1200， -2400，4800(3) 00 ， -3600，3600


















角和终边的关系
请画出下列各组角，并思考：⑤与角α终边相同的角怎样用集合S表示出来？
(1)300，-3300， 3900 (2) 1200， -2400，4800(3) 00 ， -3600，3600


















角和终边的关系
一个角，对应一条终边；
一条终边，对应无数个角：终边相同的角
与α终边相同的角β可表示为：β=α+k·3600,k∈z,
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.
例题讲解
例1 在0°～360°范围内，找出与-950°12′角终边相同的角，并判定它是第几象限角.
【解析】∵-950°12′= 129°48′-3×360°,∴在0°～360°范围内, 与-950°12′角终边相同的角是129°48′, 它是第二限角.
关键是通过加减360°的整数倍，在0°～360°范围内找到终边相同的角.
例题讲解
例2 写出终边在y轴上的角的集合.
y轴非负半轴:α= 90°＋k·360°，k∈Z ；
终边在y轴上:S={α|α=90°+k·180° ,k∈Z}.
终边在x轴上:S={α|α=0°+k·180° ,k∈Z}.
终边在坐标轴上:S={α|α=0°+k·90° ,k∈Z}.
y轴非正半轴:α= 270°＋k·360°，k∈Z .
α= 90°＋2k·180°，k∈Z ；
α= 90°＋180°+2k·180°
=90°+(2k+1)·180°，k∈Z .
课堂小结：
任意角
1.角的定义：顶点、始边、终边
2.角的分类(旋转方向)：正角、负角和零角
(终边在坐标轴上的位置)象限角和轴线角3.终边相同的角集合表示:β=α+k·360°,k∈Z,
课后思考：
任意角
终边在第一象限、第二象限、第三象限及第四象限的角的集合分别是什么？
谢谢大家
人教版高中数学必修四

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