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沪科版数学八年级下册
第19章 四边形
19.1 多边形的内角和
第2课时 多边形外角和
教学目标
n边形的内角和为 。
n边形从一个顶点出发的对角线有 条
n边形共有对角线 条
(n－3) (n≥3)
n（n-3） (n≥3)
(n－2) ×180°(n≥3)
知识回顾
知识回顾
2、一个内角和为1620°的多边形有多少条对角线
1、在五边形ABCDE中，若∠A=∠D=90o,且
∠B:∠C:∠E=3:2:4,则∠C的度数为_______
80o
解： 设这个多边形的边数为n，得：
(n-2) 180°= 1620
解得：n=11
n（n-3）= ×11×（11-3）=44（条）
答：这个多边形有44条对角线
新知导入
清晨，小明沿一个五边形广场周围的小路，按逆时针方向跑步。
小明顺着这个五边形的广场跑一圈他转身角度的度数和是多少？
计算
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=？
在多边形的每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和。
多边形的外角和
计算
∠1+∠2+∠3+∠4+∠5就是求这个五边形的外角和
A
B
C
E
4
D
1
2
3
5
新知探究
多边形 图形 多边形的外角和
三角形
四边形
五边形
六边形
n边形
3×180o-1×180o=360o
4×180o-2×180o=360o
5×180o-3×180o=360o
6×180o-4×180o=360o
n×180o-(n-2)×180o=360o
多边形的外角和
新知探究
n边形的内角和与外角和之和构成n个平角.
即：内角和+外角和=n×180°
内角和=（n-2）× 180°
∴ 外角和= n×180° -（n-2）× 180°
=360°
定理 、
n边形的外角和等于360°(n为不小于3的整数).
新知讲解
例1 一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，求它是几边形？
解： 设这个多边形的边数为n，则它的内角和等于 (n-2) 180°，
(n-2) 180°= 3×360
n = 8
这个多边形的边数为8.
例题讲解
答：它是八边形
变式练习：一个正多边形的内角和等于它的外角和的3倍，求它的每个内角度数
解： 设这个多边形的边数为n，则它的内角和等于 (n-2) 180°，
(n-2) 180°= 3×360
n = 8
这个多边形的边数为8.
∴ 180°-360 ÷8=135°
答：它的每个内角度度数是135°
例2：一个正多边形的每个内角比相邻外角大36°求这个多边形的边数。
解：设一个外角为x°，
则内角为（x＋36）°
根据题意得：
　　 x+x+36＝180
　　 　 x＝72
360÷72＝5
答：这个正多边形为正五边形。
例题讲解
为什么房顶钢架要做成三角形？
新知探究
三角形具有稳定性
三角形具有稳定性
三角形的三边确定，三角形的形状和大小也就被确定，形状、大小唯一
为什么这些要选四边形呢？
活动：四根小棒（2长2短）摆四边形.看看你分别有多少种不同的摆法？
与三角形的稳定性相反，四边形具有不稳定性
新知探究
四边形的不稳定性
四边形具有不稳定性，实质是指四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定.
正是由于四边形具有不稳定性，可以变动，所以它可以拉开，也可以收拢，在实际生活中有很多应用
电力伸缩门
放缩尺
可折叠多功能衣架
折叠椅
折叠伞蓬骨架
升降机
新知练习
1、一个多边形的内角和等于1440°，那么它是______边形。
2、正五边形的每一个内角的度数是_______。
十
108°
3、正n边形的一个外角与一个内角的比是2：3，这个正n边形的内角和是 .
540°
4、一个多边形除去一个角后的内角和等于1020°，
它是 边形
八
5、一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（　　）
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
6、如果仅用一种正多边形进行镶嵌，那么下列正多边形不能够将平面密铺的是（　　）
A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形
7、如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（　　）
A．120° B．180° C．240° D．300°
A
D
D
1
2
60°
C
1、一个六边形如图，已知AB∥DE，BC∥EF，CD∥AF，求∠A＋∠C＋∠E的度数。
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
解：如图所示，连结AD，
∵AB∥DE， CD∥AF（已知）
∴∠1＝∠3，∠2＝∠4
（两直线平行，内错角相等）
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠FAB＝∠CDE，同理∠B＝∠E，∠C＝∠F
∴∠FAB＋∠C＋∠E= 1／2 ×720°=360°
∵∠FAB＋∠B＋∠C＋∠CDE＋∠E＋∠F
=（6－2）×180°= 720°
思考：有没有其它的解法？
F
E
D
C
B
A
P
R
Q
3
2
1
提升练习
A
B
C
D
E
F
∵∠FAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE＋∠DEF＋∠AFE=（6-2）×180°=720°
1
2
P
Q
R
如图所示：可向两个方向分别延长AB，CD，EF三条边，构成△PQR。
∵ DE∥AB
∴∠1=∠R,同理∠2=∠R
∴∠1＝∠2，
∴∠CDE=∠FAB
同理∠AFE＝∠BCD，∠ABC=∠DEF
∴∠FAB＋∠BCD＋∠DEF= 1／2 ×720°=360°
解法二：
2、如图，点E，F，G，H在长方形ABCD的四条边上，已知∠1=∠2=300，∠3=200。求五边形FGCHE各个内角的度数。
A
H
G
F
E
D
C
B
1
3
2
提升练习
解：由题意得:
∠A= ∠C =∠D=90°
∵∠1=∠2=30°，
∴∠QEH=∠EFA=600
∴∠FEH=180°-30°-60°=90°
∵ ∠3=200
∴∠EFG=180°-20°-60°=100°
∵∠1+∠CHE=180°
∴∠CHE=180°-30°=150°
∴∠CGF=(5-3)×180°-90°-90°-100°-150°=100°
拓展练习
（1）如图甲，以 ABC的各个顶点为圆心，2cm 为半径画三个圆，则圆与 ABC的公共部分的面积和为_______．
甲
A
B
C
乙
A
C
D
B
丙
B
A
D
C
E
（2）如图乙，以四边形ABCD的各个顶点为圆心，2cm为半径画四个圆，则圆与四边形ABCD的公共部分的面积和为_______．
（3）如图丙，以五边形ABCDE的各个顶点为圆心，2cm为半径画五个圆，则圆与五边形ABCE的公共部分的面积和为_______．
4π
6π
2π
（1）已知边数如何求内角和。
（2）已知内角和如何求边数。
n边形内角和等于（n -2）180°（n≥3）。
n边形的外角和等于360°。
n边形的对角线条数= （n≥3）。
说说这节课的收获和体验．
课堂小结

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