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应用均值定理求最值得一类误解
利用不等式中的均值定理求最值，是数学中的一种常用方法。但同时也是非常容易出错的一类题目，原因就在于忽略了均值定理的条件“一正二定三能等”。从而造成题目的误解甚至是错解。下面就两道题目谈一下这类问题的解法。
题目1：已知为正实数，且，求的最小值。
解：∵x﹥0,y﹥0
∴1=≥=8 (当且仅当x=4y时取等号)
∴≤， ∴xy≥64
题目2: 已知为正实数，且，求的最小值。
解：∵x﹥0,y﹥0,且
∴xy=2x+8y≥=8
∵xy﹥0, ∴≥8(当且仅当x=4y时取等号)
∴≥2≥2×8=16.
∴的最小值是16.
经验证，当x=4y时，得x＝16,y=4
∴的最小值是64，的最小值是20,
显然，题2的结果是错误的。错误的原因在哪里呢？在题2 的解法中又这样一步，≥2≥2×8=16，第一个等号成立的条件是下x=y,第二个等号成立的条件是x=4y，两个等号不能同时成立，出现错误。
下面给出题2 的正确解法：
方法一：∵，∴＝（）（）＝＋2＋8＋≥＋10＝18，当且仅当＋，即x=2y时成立。
方法二：∵＝1，且x﹥0,y﹥0，
∴x﹥8,y﹥2，且2x+8y＝
∴(x-8)(y-2)=16(定值)，
∴(x-8)(y-2) ≥＝8。当且仅当x-8= y-2时成立。
∴≥18。
方法三：∵＝1，∴。
∵x﹥0,y﹥0，∴x-8﹥0。
∴＝x+=≥,
当且仅当x-8= ,即x=12,y=6时等号成立。
∴的最小值为18。
由此看来，两道极其相似的题目，因为所求的结论不同，所应用条件不同，从而使解法各异。所以同学们在学习的时候一定要对定理的条件加以重视、理解，而不能盲目的死记硬背。
下面给出一道练习，仅供同学们课下参考。
练习：已知x、y是正实数，且。求的最小值。
答案：（）min=9

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