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1
第4节　直线、平面垂直的判定及其性质
课标要求 命题方向 数学素养
1.从基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的关系；
2.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题 1.线面垂直的判定与性质 逻辑推理、直观想象
2.面面垂直的判定与性质 逻辑推理、直观想象
01
02
知 识 特 训
能 力 特 训
01
知 识 特 训
知识必记
拓展链接
对点训练
1．直线与平面垂直
(1)直线和平面垂直的定义：
直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
[提醒]　“任意一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直．
(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：
平行
2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理
交线
1．[思想方法]垂直中转化思想的应用
注意线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化关系：
2．[知识外延]平面与平面垂直的性质的应用
当两个平面垂直时，常作的辅助线是在其中一个面内作交线的垂线，把面面垂直转化为线面垂直，进而可以证明线线垂直(必要时可以通过平面几何的知识证明垂直关系)，构造(寻找)二面角的平面角或得到点到面的距离等．
3．[拓展应用]与探索性问题有关的解题策略
(1)求条件探索性问题的主要途径：
①先猜后证，即先观察与尝试给出条件，再证明；
②先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．
(2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点等特殊点．
4．[知识外延]直线与平面垂直的五个结论
(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．
(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．
(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．
(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．
1．[易错诊断]“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线a与平面α垂直”的________条件．
答案：必要不充分
解析：根据直线与平面垂直的定义知“直线a与平面α内的无数条直线都垂直”不能推出“直线a与平面α垂直”，反之则可以，所以应是必要不充分条件．
【易错点拨】忽略线面垂直的条件致误．
2．[教材改编]已知PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有________对．
答案：7　
解析：如图，由于PD⊥平面ABCD，
故平面PDA⊥平面ABCD，平面PDB⊥平面ABCD，平面PDC⊥平面ABCD，平面PDA⊥平面PDC，平面PAC⊥平面PDB，平面PAB⊥平面PDA，平面PBC⊥平面PDC，共7对．
3．[模拟演练](2020·山东德州月考)若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面
α，则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：∵m⊥α，若l∥α，则必有l⊥m，即l∥α l⊥m.但l⊥m / l∥α，∵l⊥m时，l可能在α内．故“l⊥m”是“l∥α”的必要不充分条件．
B
4．[真题体验](2020·全国Ⅱ卷)设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．
p4：若直线l 平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则上述命题中所有真命题是________．
答案：p1，p4
02
能 力 特 训
特训点1
特训点2
特训点1　直线与平面垂直的判定与性质(多维探究类)
[解题指导]
(1)在平面DEC1内找到与已知直线A1B1平行的直线→得出线面平行．
(2)证明线线垂直→证明线面垂直→得出线线垂直．
证明：(1)因为D，E分别为BC，AC的中点，
所以ED∥AB.
在直三棱柱ABC A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以A1B1∥ED.
又因为ED 平面DEC1，A1B1 平面DEC1，
所以A1B1∥平面DEC1.
1．(2020·江苏省南通市模拟)在如图所示的空间几何体中，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，M是BC的中点，DA，EB都垂直于平面ABC.
求证：(1)AM⊥平面EBC；
(2)DA∥平面EBC.
证明：(1)因为△ABC是以BC为底边的等腰三角形，M是BC的中点，所以AM⊥BC.
因为EB⊥平面ABC，AM 平面ABC，所以EB⊥AM.
又因为BC，EB 平面EBC，EB∩BC＝B，
所以AM⊥平面EBC.
(2)因为DA，EB都垂直于平面ABC，所以DA∥EB.
因为EB 平面EBC，DA 平面EBC，所以DA∥平面EBC.
解：(1)证明：如图所示，取AC的中点O，连接OB，OD.
因为DA＝DC，所以OD⊥AC.
又因为平面ADC⊥平面ABC，且相交于AC，
所以OD⊥平面ABC，所以OD⊥OB.
因为AB2＋BC2＝AC2，所以AB⊥BC.
又AB＝BC，所以OB＝OC，所以△OBD≌△OCD，
所以DB＝DC，且M为BC的中点，所以BC⊥DM.
(1)判定线面垂直的四种方法
(2)判定线线垂直的四种方法
　特训点2　平面与平面垂直的判定与性质(师生互动类)
[解题指导]
(1)要证CE∥平面PAD→在平面PAD找到一条直线与CE平行或证明CE所在的平面与平面PAD平行．
(2)要证明平面EFG⊥平面EMN→可证明MN⊥平面EFG→证明MN与平面EFG的两条直线垂直即可．
证明：(1)方法一：如图，取PA的中点H，连接EH，DH.
方法二：如图，连接CF.
又EF 平面PAD，PA 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE 平面CEF，所以CE∥平面PAD.
(2)因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB.同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG＝F，EF，FG 平面EFG，
所以AB⊥平面EFG.
又因为M，N分别为PD，PC的中点，
所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面EFG.
又因为MN 平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
◎思维发散◎
1．(变设问)在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.
证明：因为AB⊥PA，AB⊥AC，
且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，
所以MN⊥平面PAC.
又MN 平面EMN，
所以平面EMN⊥平面PAC.
2．(变设问)在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.
证明：因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，
所以EF∥PA，FG∥AC.
又EF 平面PAC，PA 平面PAC，
所以EF∥平面PAC.
同理，FG∥平面PAC.
又EF∩FG＝F，
所以平面EFG∥平面PAC.
证明：因为E，F分别是AC，B1C的中点，所以EF∥AB1.
又EF 平面AB1C1，AB1 平面AB1C1，
所以EF∥平面AB1C1.
(2)因为B1C⊥平面ABC，AB 平面ABC，所以B1C⊥AB.
又AB⊥AC，B1C 平面AB1C，AC 平面AB1C，B1C∩AC＝C，所以AB⊥平面AB1C.
又因为AB 平面ABB1，所以平面AB1C⊥平面ABB1.
2．(2020·江西省重点中学九校模拟)如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AB＝3BC＝6，BF＝CF＝AE＝DE＝2，EF＝4，EF∥AB，G为FC的中点，M为线段CD上的一点，且CM＝2.
解：(1)证明：如图，连接FM.
∵BF＝CF＝BC＝2，G为CF的中点，∴BG⊥CF.
∵CM＝2，∴DM＝4.
∵EF∥AB，四边形ABCD为矩形，
∴EF∥DM.
又∵EF＝4，∴EFMD为平行四边形，
∴FM＝ED＝2，∴△FCM为正三角形，∴MG⊥CF.
∵MG∩BG＝G，∴CF⊥平面BGM.
∵CF 平面BFC，∴平面BGM⊥平面BFC.
证明面面垂直的常用方法
(1)利用面面垂直的定义；(2)利用面面垂直的判定定理，转化为从现有直线中(或作辅助线)寻找平面的垂线，即证明线面垂直．

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