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1.2.3 相反数
第一章 有理数
1.2 有理数
-3 -2 -1 0 1 2 3
原点
正方向
单位长度
知识回顾： 1. 数轴的画法
第一步：画一条直线
第二步：定原点
第三步：画正方向
第四步：定单位长度（单位长度要统一）.
学习目标
1.借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称.（难点）
2.会求有理数的相反数.(重点）
导入新课
情境引入1
成语故事《南辕北辙》讲了一个人……
如果点O表示魏国的位置，点A表示楚国的位置，假设楚国与魏国相距30 km，以魏国为原点0，我们规定向南为正方向，而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km，请同学们把这3个点在数轴上表示出来．
现在的位置
魏国
楚国
O
B
A
-30 -20 -10 0 10 20 30
两位同学背靠背，规定向前为正，
一人向前走3步，记作 ,
一人向后走3步 ，记作 .
对照数轴,说出-3与+3两数的相同点和不同点.
你还能说出具备这些特征的成对的数吗？
情境引入2
活动1：观察下列一组数＋1和－1，＋2.5和－2.5，
＋4和－4，并把它们在数轴上表示出来.
思考：
1）上述各对数之间有什么特点？
2）请写出一组具有上述特点的数
3）你能得出相反数的概念吗？
4）表示各对数的点在数轴上有什么位置关系？
相反数
一
探究一 相反数的概念
讲授新课
活动2：请观察这两个数，它们有什么异同点？你还能列举两个这样的数吗？
数字相同
符号不同
在数轴上观察:-2和2两个数的点有什么特征？
-3 -2 -1 0 1 2 3
特征：
1. -2和2只有符号不同。
2
2
2.
数字相同
归纳总结：
两个数只有符号不一样，数字相同。
具有以上特点的两个数就是我们要学习的—相反数。
想一想： 你能概括出什么是相反数了吗？
1.定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
2.一般地，a和-a互为相反数.
要点归纳
代数意义
一.相反数的概念（代数定义）
像1和-1，2.5和-2.5…这样只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
把其中一个叫做另一个数的相反数。 如 1是-1的相反数，-1是1的相反数.
规定：因为+0＝-0＝0. +0与-0互为相反数， 0的相反数是0.
试一试：你还能举出其它的相反数吗？
分别找出下列数的相反数.
+11.2 , 7 , 0 , － 3 , － 100
7 的相反数是－7 ,
0 的相反数是 0 ,
－3 的相反数是 3 ,
－100 的相反数是 100 .
解： +11.2 的相反数是－11.2 ,
二.相反数的求法：
求任意一个数的相反数就是在这个数的前面加上一个“－”号．当原数是几个数的和或者是几个数的差时，先用括号括起来再添“－”。如果原数前面有“－”时，以要先用括号括起来再添“－”。
三.相反数的表示：
一般的，数a 的相反数是-a.这里的a 表示任意一个数，可以是正数、负数、0。a以可以代表任意一个代数式。
通常在一个数的前面添上一个“－”号，它表示原来那个数的相反数，在一个数的前面添上一个“＋”号，它仍表示原来那个数。表示它本身。
判断题：
（1）－5是5的相反数;（ ）
（2）－5是相反数;（ ）
（3） 与 互为相反数;（ ）
（4）－5和5互为相反数；（ ）
（5） 相反数等于它本身的数只有0； ﹙ ﹚
（6） 符号不同的两个数互为相反数.﹙ ﹚
×
√
×
√
√
×
练一练
结合数轴考虑：
0的相反数是_____.
一个正数的相反数是一个　　　。
一个负数的相反数是一个　　　。
负数
正数
一个数的相反数是它本身的数是 ______．　　
0
0
思考：在数轴上，画出几组表示相反数的点，并观
察这两个点具有怎样的特征？
0
5
-5
-1
1
探究二 相反数的几何意义
a
-a
- 6 和 6, 1.5 和 - 1.5
0
2
- 6
6
- 1.5
1.5
相同点:
不同点:
到原点的距离相等
位于原点的两旁
在数轴上表示相反数的两个点和原点有什么关系？ 观察这每对点各有什么相同点和不同点.
画数轴并观察：
虽然-6和6在原点的不同侧， 但它们到原点的距离都等于6。到原点的距离相等。
0
2
- 6
6
- 1.5
1.5
四.互为相反数的两个数在数轴上的特点是:
1.位于原点的两侧。
2.且到原点的距离相等.
归纳总结：
在数轴上到原点距离相等的两个点所表示的两个数，是互为相反数.
在数轴上互为相反数的两个数对应的点，位于原点两侧（0除外），且到原点的距离相等。0的相反数对应原点。原点表示0的相反数。
在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称。
五.相反数的几何定义：
思考：数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什
么特点？借助数轴填一填：
1.数轴上与原点距离是2的点有____个，这些点表示的
数是________；
2.与原点的距离是5的点有____个，这些点表示的数是
________.
0
2
-2
两
2和-2
5和-5
两
5
-5
1. 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有_____个，它们分别在原点的______，表示_______，我们说这两点________________.
两
左右
-a和a
关于原点对称
归纳总结
1. 相反数是成对出现的。不能单 独存在。
2. 只有符号不同，若一个为正，则另一个为负。
3. 0的相反数是它本身，相反数是它本身的 数是0。
理解 相反数 概念注意：
4. 互为相反数的两个数在数轴上的对应点位于原点的两侧（0除外），且到原点的距离相等。
5. 在数轴上，互为相反数的两个点关于原点对称。
6. 任何有理数都有相反数。
六.相反数的性质：
1.任何数都有相反数，而且只有一个。
2.互为相反数的两个数之和为 0 . 和为 0 的两个数互为相反数。
若a、ｂ互为相反数＜＝＞a+b＝0 . ＜＝＞是互推符号。
3.当a>0时，-a<0（正数的相反数是负数）
4.当a<0时，-a>0（负数的相反数是正数）
5.当a=0时，-a=0（0的相反数是0）
以上说明-a不一定就是负数
多重符号的化简
二
问题1：a的相反数是什么？
在这个数前加一个“－”号．
问题2：如何求一个数的相反数？
a 的相反数是－a ， a可表示任意有理数.
－（＋1.1）表示什么？－（－7）呢？
－（－9.8）呢？它们的结果应是多少？
问题3：若把 a分别换成＋5，－7，0时，这些数的相
反数怎样表示？
a = +5， - a = -（+5）
a = -7， - a = -（-7）
a = 0， - a = 0
例、说出下列各式的意义并化简符号 （1）、-（+3） （2）、-（-4）
解 （1） -（+3）表示+3的相反数
所以 -（+3）=-3
（2）-（-4）表示-4的相反数
所以-（-4）=4
结论：要化简符号，首先要弄清意义。
一 、化简下列各数：
–（+10） ； ② +（ – 0.15）；
③ +（ + 3 ） ； ④ – ( –128 ) ;
解：① –（+10）= –10 ； ② +（ – 0.15）= – 0.15；
③ +（ + 3 ）= 3 ； ④ – ( –128 ) = 128 ;
方法： 一个数的前面添一个“ + ”号，仍然表示这个 数，结果不变；一个数的前面的“ – ”号，则表示取它的相反数，原来的符号要改变； 0 的相反数是 0。
（简单说：同号得正，异号得负)
简化符号时， 1. 正正得正，
2. 负负得正， 3. 正负得负
特别注意：这个结论只在数字前只有2个正负符号时使用
化简注意：在一个数的前面加“＋”或“－”， 结果的符号与前面“－”的个数有关：
若有奇数个“－”，则最后结果为“－”；
若有偶数个“－”，则最后结果为“+”；
它与“+”的个数无关 .
（1）-[-（-2）] （2）+{-[-（+5）]}
（3）-{-{-…-（-6）}}（共n个负号）
例3、说出下列各式的意义并化简符号
化简的规律是：
一个正数前面当有偶数个负号时，结果为正。
当有奇数个负号时，结果为负。
在一个数的前面加“＋”或“－”， 结果的符号与前面“－”的个数有关：
若有奇数个“－”，则最后结果为“－”；
若有偶数个“－”，则最后结果为“+”；
它与“+”的个数无关 .
化简注意：
思考：如果在一个数前面加上“＋”号所得得到的
结果是什么呢？
归纳总结
在一个数前面加上“－”号表示求这个数的相反数.
化简下列各数（先读后写）
(1)-(+10) (2)+(-0.15) (3)+(+3)
(4)-(-12) (5)+[-(-1.1)] (6)-[+(-7)]
例2
(6)-[+(-7)]=-(-7)=7.
由内向外依次去括号
方法总结：化简多重符号时，只需数一下数字前面有多少个负号，若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负.
解：(1)-(+10)=-10；
(2)+(-0.15)=-0.15；
(3)+(+3)=3；
(4)-(-12)=12；
(5)+[-(-1.1)]=+(+1.1)=1.1；
技巧：（一查二定）
1.式子中含偶数个“－”号时，结果正；
含奇数个“－”号时，结果为负。
2.凡是“+”都去掉。
1．-1.6是____的相反数，____的相反数是0.3．
2．下列几对数中互为相反数的一对为（ ）．
A． 和 B． 与
C． 与
3．5的相反数是____；a的相反数是___；
1.6
-a
-5
C
-0.3
当堂练习
4．若a=-13，则-a=____;若-a=-6，则a=___ ．
5．若a是负数，则-a是_____数；若-a是负数,则 　
a是_____数．
6. 的相反数是_____，-3x的相反数是___.
13
6
正
3x
正
7.（1）若a=3.2，则-a= ;
(2)若-a= 2,则a= ;
(3)若-（-a）=3，则-a= ;
(4)-（a-b）= .

能力拓展
-2
-3.2
-3
b-a
8.若2x+1是-9的相反数，求x的值.
解：由相反数的意义，得
2x+1=9
2x=8
x=4
拓展思考：已知两个有理数x、y，且x+y=0, 那么这两个有理数有什么关系？
课堂小结
1.相反数的概念:只有符号不同的两个数叫做
互为相反数；特别地，0的相反数是0.
2． 表示 的相反数.

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