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2022年中国数学奥林匹克竞赛国家集训队
选拔试题解析
本文给出2022年集训队的试题解答及评析，文章尽可能还原作者们在考试
时的思考和作法.并不代表每个题的答案都是最好的
I.试题
测试一
1.1设凸六边形ABCDEF内接于圆，AB的延长线和C的延长线相交于点G
AF的延长线和E的延长线相交于点H记△BCG的外心为M
△EFH的外心为N.证明：BE,CFMN三线共点
1.2给定素数p.设A是一个由整数构成的无穷集合.证明：可以选出A的
一个2p一2元子集B,使得B中任意p个两两不同的元素算数平均值都不在
A中
1.3设a,b.C,p,q,r是给定的正整数，且p.qr≥2.令
Q={(x,y,z)∈Z310≤x≤a.0≤y≤b.0≤z≤c}
初始时，在Q中的每个点处放置一枚棋子，一共放置M枚棋子.之后可以进
行如下三类操作：
(1)从点(x,y.2)处取走p枚棋子，并在点(x一1，y,2)∈Q处放上一枚新棋子：
(2)从点(x,y,2)处取走q枚棋子，并在点(x,y-1,)∈Q处放上一枚新棋子：
(3)从点(x,y,z)处取走r枚棋子，并在点(x,y,z-1)∈Q处放上一枚新棋子.
求M的最小值，使得不论最初的M枚棋子如何分布，都可以经过一系列上述
操作，使得点(0.0.0)处放有棋子
2.4锐角△ABC中，∠ACB>2∠ABC,I为内心，K为I关于BC的
对称点，BA的延长线与KC的延长线交于点D.过B作CI的平行线，与
△ABC的外接圆的劣弧BC交于点E(E≠B).过A作BC的平行线，与直
线BE交于点F.证明：若BF=CE.则AD=FK
2.5设C={z∈C|z=1}是复平面上的单位圆周，240个复数ǎ，2·，
240∈C（可以相同)满足下面两个条件
(1)对C上任意长度为π的开弧Γ，至多有200个(1≤)≤240)使得之，∈：
(2)对C上任意长度为的开弧Y,至多有120个j(1≤j≤240)使得)∈Y.
求1+2+…+240的最大值
2.6设m是正整数，A1,A2.·,Am是有限集A的m个子集（可以相同）.
已知对{1.2.·，m}的每个非空子集I均有
U4.
≥I+1.
证明：可将A中的每个元素染成黑白两种颜色之一，使得A1,A2,·,Am中的
每个集合都同时包含黑色元素和白色元素，
测试二
3.1求所有正整数m.n,使得在m×n的方格表（有m+1条竖线和n+1
条横线)中，可以将某些小格添加对角线（每格至多添加一条，可以不添）.使
得整个图（包括所有对角线及表格自身的边）可以一笔画走遍有边并回到起
点
3.2在非直角△ABC中，BC>CA>AB.设P(2=1.2)为平面上
不同两点，D,E,F分别为AP,BP,CP与⊙(ABC)的另一个交点，满足
D,E,D:F垂直且相等.设乃P2与⊙(ABC)交于点Q1.Q2.取Q:在AB.AC
上的垂足X:,Y,设XY,X2Y2交于点W.证明：W在△ABC的九点圆上
3.3设a1,a2,·,an为n个两两互不整除的正整数，证明：
a1+a2+·+am≥1.1n2-2n.
4.4给定正整数n,求实数x1,x2,··xn的值，使得下式取到最小值
∑
|k1x1+k2x2+·+knxn-1
(k1.k2…,k)e{01,2}m
4.5给定正整数n与映射f:Z→Z,证明下列命题等价：
(1)对任意正整数m满足mn,有n|∑f(d(m)
alm
(2)对任意正整数k满足k|n,有k|∑f(d)
4.6给定正整数m≥n≥2022，证明：对任意2n个实数41，a2,·,an
b1.b2,·.bn,满足a+b,-i引≤m的有序对(i.)的数量不超过3 nvmInn.
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