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6. 3三角形的中位线
北师大版八年级下册数学
第六章平行四边形
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给两个小朋友，要求两人所分的大小相同，请设计合理的解决方案；若平均分给四个小朋友，要求他们所分的大小都相同，请设计合理的解决方案；
情景引入
如图，有一块三角形的蛋糕，准备平均分给四个小朋友，要求四人所分的形状和大小都相同，请设计合理的解决方案.
问题1：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗
问题2：连接每两边的中点,看看得到了什么样的图形
四个全等的三角形
三角形的中位线及其性质
合作探究
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
A
B
C
D
E
知识要点
两层含义:
② 如果DE为△ABC的中位线，那么 D、E分别为AB、AC的 .
① 如果D、E分别为AB、AC的中点,那么DE为△ABC的 ；
中位线
中点
A
B
C
1.画出△ABC中所有的中位线.
2.画出三角形的所有中线并说出中位线和中线的区别.
D
E
F
探究新知
温馨提示
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
三角形有三条中位线
三角形的中位线和三角形的中线不同
E
D
F
A
C
B
你还能画出几条三角形的中位线？
探究新知
（1）相同之处——都和边的中点有关；
（2）不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点；
三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端点是三角形的顶点。
C
B
A
E
D
概念对比
C
B
A
D
中线DC
中位线DE
探究新知
DE和边BC关系
数量关系：
位置关系：
DE∥BC
DE= BC.
A
B
C
D
E
问题1:△ABC中,若D是AB的中点时,E也是AC
的中点,则DE与BC存在何种关系
小组讨论
想一想
如图：在△ABC中，D是AB的中点，E是AC的中点.
则有：
DE∥BC,
DE= BC.
2
1
E
A
B
C
D
说一说
E
A
B
C
D
F
解题分析2:
延长DE到F,使EF=DE , 连接CF
易证△ADE≌△CFE，
得CF=AD , CF//AB
又可得CF=BD,CF//BD
所以四边形BCFD是平行四边形
则有DE//BC,DE= DF= BC
解题分析 3.
A
B
C
D
E
B
C
A
D
E
F
证明：延长DE到F,使EF=DE,连接FC、DC、AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∴四边形DBCF是平行四边形
∵AE=EC
∴ CF∥DA，CF=DA
∴CF∥BD，CF=BD
∴ DF∥BC，DF=BC
又DE= DF
∴DE∥BC且DE= BC
三角形中位线定理
三角形的中位线平行且等于第三边的一半.
几何语言：
∵DE是△ABC的中位线（或AD=BD,AE=CE)
C
E
D
B
A
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
用 途
归纳总结
A
C
B
E
D
F
初试身手
练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点
若∠ADE=65°，则∠B= 度，为什么？
若BC=8cm，则DE= cm，为什么？
65
4
若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm，
则△DEF的周长=______
练习1.如图，在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点
9cm
若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____
12
1、 三角形三条中位线围成的三角形的周长与原三角形的周长有什么关系？
探究活动
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积有什么关系？
图中有_____个平行四边形
若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
3
6
设 计 方 案：
F
（中点）
(中点)D
E(中点)
A
B
C
例 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线
互相平分.
已知：△ABC中,AD=DB，BE=EC，AF=FC.
求证：AE与DF互相平分.
F
A
B
C
D
E
证明:连接DE、EF，因为
AD=DB，BE=EC，
所以DE ∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）。
同理EF ∥AB。
所以四边形ADEF是平行四边形。
因此AE、DF互相平分。（平行四边形的对角线互相平分）
定应用
已知:如图,A,B两地被池塘隔开,在没有任何测量工具的情况下,小明通过学习,估测出了A,B两地之间的距离:先在AB外选一点C,然后步测出AC,BC的中点M,N,并测出MN的长,由此他就知道了A,B间的距离.你能说出其中的道理吗
C
M
B
A
N
其中的道理是:
连结A、B,
∵MN是△ABC的的中位线,∴AB=2MN.
中位线定理应用
　已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证∠1＝∠2．
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.
猜想四边形EFGH的形状并证明。
A
B
C
D
E
F
G
H
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？
要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
证明：如图，连接AC
∵EF是△ABC的中位线
同理得：
∴四边形EFGH是平行四边形
典例示范
答： 四边形EFGH为平行四边形。
1.如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若AB=10cm，AC=8cm，BC=12cm，则EF=____，DF=____，DE=____，△DEF的周长为______ .
5cm
4cm
6cm
15cm
课堂练习
2.如图所示，在□ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OE∥BC交CD于E，若OE=3cm，则AD的长为（ ）．
A.3cm
B.6cm
C.9cm
D.12cm
B
3.如图所示，已知E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE=DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
求证：AB=2OF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD=BC．
∵CE=CD，∴AB＝CE，
∴四边形ABEC为平行四边形．
∴BF=FC，∴OF＝ AB，即AB=2OF．
∥
∥
∥
4.如图所示，在ABCD中，EF∥AB且交BC于点E，交AD于点F，连接AE，BF交于点M，连接CF，DE交于点N，求证：MN∥AD且MN= AD．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC．
又∵EF∥AB，∴EF∥CD．
∴四边形ABEF，ECDF均为平行四边形．
又∵M，N分别为□ABEF和□ECDF对角线的交点．
∴M为AE的中点，N为DE的中点，即MN为△AED的中位线．
∴MN∥AD且MN= AD．
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