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第四章 平行四边形
4.3 中心对称
情境导入
思考：右边的图案是不是轴对称图形？
如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
什么是轴对称图形？
你能在图案中找到一点，使图案绕该点旋转180°后仍和原图案重合吗？
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如图，点O是 ABCD的对角线AC,BD的交点.以O为旋转中心,把 ABCD按顺时针方向旋转180°，作出所得的图形。
A
B
C
D
O
你发现了什么 请剪出图形动手试一试，观察旋转180°前后原图形和像的位置情况．
如果一个图形绕某个点旋转180°后，所得到的图形和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
A
B
C
D
O
如图 ABCD是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
类似的，如果一个图形绕着一个点O旋转180°后，能够和另外一个图形互相重合，我们就称这两个图形关于点O成中心对称。
A
B
C
D
O
如图△AOD绕点O旋转180°后与△COB重合，△AOD与△COB关于点O成中心对称。
做一做：下列哪些图形是中心对称图形？
线段OA与OC有什么关系？
在平行四边形ABCD中，A，O，C三点有什么特征？
对称中心平分连结两个对称点的线段.
A
B
C
D
O
根据中心对称图形的定义，容易得出中心对称图形的以下性质：
例1，如图，已知△ABC和点O，画出△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称．
解：如图.
（1）连结AO并延长AO到点A′，使A′O=AO，则点A′即点A关于点O成中心对称的对称点;
（2）同理，作出点B，C的对称点B′，C′.
（3）连结A′B′、B′C′、C′A′.
△A′B′C′即为所求作的三角形．
例2 求证：在直角坐标系中，点A(x，y)与点B(-x，-y)关于原点成中心对称．
分析 由中心对称的定义知，要证明A，B两点关于原点O对称，只需证明A，O，B三点共线，且AO=BO即可.
证明 如图，连结AO，BO，作AC⊥x轴，
BD⊥x轴，C，D分别为垂足．
∵∣x∣=∣-x∣， ∣y∣=∣-y∣.
∴CO=DO，AC=BD.
∴Rt△AOC≌Rt△BOD.
∴AO＝BO，∠AOC＝∠BOD.
∴∠BOD＋∠AOD＝∠AOC＋∠AOD=180°
即A，O，B在一条直线上，当将点A绕点O旋转180°时，
点A与点B重合．
所以点A，B关于原点成中心对称
（我们也称为点A，B关于原点对称）
画与一个图形关于某点成中心对称的图形的关键是找对称点
图形绕对称中心旋转180°后能够与原图形重合
判断一个图形是不是中心对称图形
中心对称图形
对称中心是对称点连线的中点
对称点的连线都经过对称中心
随堂演练
1.[2018·深圳] 观察下列图形,是中心对称图形的是(　　)
D
2.[2019·温州] “瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡,主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用.下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是 (　　)
D
3.如图4-3-7是一个以点A为对称中心的中心对称图形.若∠C=90°,∠B=30°,AC=1,则BB'的长为 (　　)
图4-3-7
B
4.如图4-3-10,在长方形ABCD中,AB=3,BC=4,EF过AC,BD的交点O,则图中阴影部分的面积为　　　　.
图4-3-10
3

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