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23.1 图形的旋转
第二十三章 旋转
第1课时 旋转的概念与性质
学习目标
1. 掌握旋转的有关概念及基本性质；（重点）
2. 能够根据旋转的基本性质解决实际问题.（难点）
导入新课
情境引入
这些运动有什么共同的特点？
讲授新课
旋转的概念
一
B
O
A
45
°
问题 观察下面的现象，它有什么特点？
观察与思考
钟表的指针在不停地转动，从 12 时到 4 时，时针转动了______度.
120
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
思考:怎样来定义这种图形变换？
双击打开
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
怎样来定义这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
双击打开
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→
把一个平面图形绕平面内某一点 O 转动一个角度，叫做图形的旋转.
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对应点
旋转的定义
点 O 叫做旋转中心.
转动的角叫做旋转角.
转动的方向分为顺时针与逆时针.
如果图形上的点 P 经过旋转变为点 P'，那么这两个点叫做这个旋转的对应点.
知识要点
例1 下列物体的运动是旋转的有 .
①电梯的升降运动； ②行驶中的汽车车轮；
③方向盘的转动； ④骑自行车的人；
⑤坐在摩天轮里的小朋友.
典例精析
②③⑤
方法点拨：判断一种运动是否属于旋转，先看图形是否在同一平面内运动，其次要看是否有旋转中心、旋转角、旋转方向，还要注意判断变化前后图形大小是否发生了变化.
例2 若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是_____，旋转角是_________，
旋转角等于____°，其中的对应点
有_______、_______、_______、
_______、_______、_______.
点 O
∠AOB
60
F 与 A
A 与 B
B 与 C
C 与 D
D 与 E
E 与 F
A
C
D
E
F
B
O
练习 如图，△ABD 经过旋转后到△ACE 的位置.
(1)旋转中心是哪一点
(2)旋转了多少度 顺时针还是逆时针？
(3)如果 M 是 AB 的中点，经过上述旋转后，点 M 转到什么位置
A
B
C
E
M
解：(1)旋转中心是点 A.
(2)旋转了 60°，逆时针.
(3)点 M 转到了 AC 的中点上.
D
60°
.
旋转中心
旋转角
旋转方向
必须明确
确定一次图形的旋转时：
温馨提示：旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心，旋转方向，旋转角度”称为旋转的三要素；
归纳总结
A．30° B．45° C．90° D．135°
例 3 如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转的角度为 ( )
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD 是对应边，∠BOD 是旋转角，所以旋转角为 90°.
C
C
D
A
B
O
旋转的性质
二
合作探究
A
B
B′
A′
C
．
M
．
．
．
．
45°
绕点 C 逆时针旋转45°
△ABC 如何运动到△A′B′C 的位置？
N'
N
M′
旋转中心是点_____；
图中对应点有___________________
_______________________________；
图中对应线段有_________________
_______________；
每对对应线段的长度关系是_____；
图中旋转角等于_____°.
C
点 A 与点 A′，点 B 与
点 B′，点 M 与点 M′，点 N 与点 N′
CA 与 CA′、CB 与
CB′、AB 与 A′B′
45
相等
根据右图填空：
B'
A'
C'
A
B
C
O
AO = A'O，BO = B'O，CO = C'O
∠AOA' =∠BOB' =∠COC'
观察下图，你能找到相等的角和线段吗？
双击打开
2. 对应点与旋转中心所
连线段的夹角等于旋转角；
E
A
B
F
C
O
1. 对应点到旋转中心的
距离相等；
3. 旋转前、后的图形全等.
旋转的性质
知识要点
D
想一想 如图，将△ABC 逆时针旋转得到△DEF，如何确定它们的旋转中心位置？
D
E
B
F
C
A
答：如图，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点 O
即为旋转中心.
O
练一练 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知△ABC
的顶点 A(1，2)、B(－2，2)、C(－1，0)．若将△ABC以某点为旋转中心，顺时针旋转 90° 得到△DEF，则旋转中心的坐标是(　　)
A.(0，0) B.(1，0)
C.(1，－1) D.(2.5，0.5)
方法点拨：旋转中心在对应点连线的 垂直平分线上，要找旋转中心，只需 找到两组对应点连线的垂直平分线的交点即可.
C
例4 如图，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ADE，这时点 B，C，D 恰好在同一直线上，求∠B 的度数.
解：∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 150°，得到△ADE，
∴∠BAD = 150°，AB = AD.
∴∠B = (180°－150°) = 15°.
变式 如图，△ABC 为钝角三角形，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转 120°，得到△AB'C' ，连接 BB' . 若 AC'∥BB' ，则∠CAB' 的度数为多少？
解：∵将△ABC 绕点 A 逆时针旋转120°，得到△AB'C'，
∴∠BAB' =∠CAC' = 120°，AB = AB' .
∴∠AB'B = (180°－120°) = 30°.
又∵AC'∥BB' ，
∴∠B'AC' =∠AB'B = 30°.
∴∠CAB' =∠CAC'－∠B'AC' = 120°－30° = 90°.
例5 如图，四边形 ABCD 是正方形，△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE. 已知 AF＝5，AB＝8，求 DE 的长度．
解：∵△ADF 按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，
∴AE＝AF＝5，AD＝AB＝8.
∴DE＝AD－AE＝8－5＝3.
方法点拨：利用旋转的性质解决问题时应抓住以下几点：
(1)明确旋转中的“变”与“不变”；
(2)找准旋转前后的“对应关系”；
(3)充分挖掘旋转过程中的相等关系.
视频来源：洋葱数学
视频：正 n 边形的旋转特性
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1. 下列现象中属于旋转的有 ( )
①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④水龙头开关的转动；⑤钟摆的运动；⑥荡秋千运动.
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
2. 下列说法正确的是 ( )
A. 旋转改变图形的形状和大小
B. 平移改变图形的位置
C. 平移图形可以向某方向旋转一定距离得到
D. 由平移得到的图形也一定可由旋转得到
B
C
当堂练习
3. △ABC 绕点 A 旋转一定角度后得到 △ADE，若 BC = 4，AC = 3，则下列说法正确的是（ ）
A. DE = 3
B. AE = 4
C. ∠CAB 是旋转角
D. ∠CAE 是旋转角
D
4. 如图，在平面直角坐标系中，有一个 Rt△ABC，且A(－1，3)，B(－3，－1)，C(－3，3)，已知△A1AC1 是由△ABC 旋转得到的，则旋转中心的坐标是 (　　)
A．(0，0)
B．(－1，0)
C．(1，0)
D．(0，－1)
A
D
A
B
C
E
E′
5. 如图，点 E 是正方形 ABCD 内一点，连接 AE，BE，CE，将△ABE 绕点 B 顺时针旋转 90° 到△CBE′ 处，若 AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝____度．
解析：连接 EE′.
由旋转性质知 BE = BE′，∠EBE′ = 90°，
AE = CE′，∴∠BE'E = 45°，
EE′
在△EE′C 中，E′C = 1，CE = 3，
EE′
由勾股定理逆定理可知∠EE′C = 90°.
∴∠BE′C=∠BE′E＋∠EE′C = 135°.
135
拓展训练
如图，已知正方形 ABCD 的边长为 3，
E、F 分别是 AB、BC 边上的点，且∠EDF = 45°，将△DAE 绕点 D 按逆时针方向旋转 90°，得到△DCM．
(1) 求证：EF = MF；
证明：∵△DAE 绕点 D 逆时针旋转 90° 得到△DCM，
∴DE = DM，∠EDM = 90°.
∵∠EDF = 45°，∴∠FDM = 45°.
∴∠EDF =∠FDM．
又∵DF = DF，DE = DM，
∴△DEF≌△DMF. ∴EF = MF.
解：设 EF = MF = x，
∵ AE = CM = 1，AB = BC = 3，
∴ EB = AB - AE = 3－1 = 2，
BM = BC + CM = 3 + 1 = 4.
∴ BF = BM－MF = 4－x.
在 Rt△EBF 中，由勾股定理得 EB2 + BF2 = EF2，
即 22 + (4－x)2 = x2，
解得 x =
故 EF 的长为 .
(2) 当 AE = 1 时，求 EF 的长．
课堂小结
旋转
定义
三要素：旋转中心，旋转方向和旋转角度
性质
1. 对应点到旋转中心的距离相等；
2. 对应点与旋转中心所连线段的
夹角等于旋转角；
3. 旋转前、后的图形全等

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