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达州市2021-2022学年高二下学期期末监测
数学试题（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．0 B．1 C． D．2
3．下表是2017年至2022年硕士研究生的报名人数与录取人数（单位：万人），
年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022
报名人数 201 238 290 341 377 457
录取人数 72 76 81 99 106 112
根据该表格，下列叙述错误的是（ ）
A．录取人数的极差为40 B．报名人数的中位数是315.5
C．报名人数呈逐年增长趋势 D．录取比例呈逐年增长趋势
4．已知则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
5．是的（ ）
A．充要条件 B．充要不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．函数（）的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．3
7．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．直线过抛物线的焦点，且平分圆，则该直线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数的所有正极值点由小到大构成以为公差的等差数列，若将的图象向左平移个单位得到的图象，则（ ）
A． B． C． D．
10．在中，，，，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
11．某班同学利用课外实践课，测量北京延庆会展中心冬奥会火炬台“大雪花”的垂直高度．在过点的水平面上确定两观测点，，在处测得的仰角为30°，在的北偏东60°方向上，在的正东方向30米处，在处测得在北偏西60°方向上，则（ ）
A．10米 B．12米 C．16米 D．18米
12．正方体的棱长为1，点在正方体内部及表面上运动，下列结论错误的是（ ）
A．若点在线段上运动，则
B．若点在线段上运动，则平面
C．若点在内部及边界上运动，则的最大值为3
D．若点满足，则点轨迹的面积为
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．为庆祝共青团建团100周年，团市委就“为什么出发”、“怎样走到现在”、“如何走向未来”进行主题知识宣讲。现按年级进行分层抽样从某校800名高一学生、800名高二学生和1000名高三学生中派26名学生去学习。则高三学生应派______人．
14．若，满足约束条件则的最小值为______．
15．某三棱锥的三视图，如图所示，该三棱锥的体积为______．
16．双曲线（，）的左焦点为，，两点在双曲线的右支上，且关于轴对称，为正三角形，坐标原点为的重心，则该双曲线的离心率是______．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（一）必考题：共60分．
17．（12分）
在实数1与5之间插入个实数，使得这个实数成等差数列．
（1）求插入的个实数之和；
（2）若，求数列的前项和．
18．（12分）
小车C1科目二考试（以下简称为考试）规定：若第一次考试不通过，现场还有一次补考机会．
第一次通过 第二次通过 合计
男 20 5 25
女 20 15 35
合计 40 20 60
（） 0.100 0.050 0.025
2.706 3.841 5.024
附参考公式和数据：，其中．
（1）统计60名已通过的情况，得到如下列联表，根据该表格是否有95%的把握认为第一次通过与性别有关？
（2）某考点在每周星期一、星期三、星期五考试．甲乙两人都计划下周在本考点考试，求他们在同一天考试的概率．
19．（12分）
如图在四棱锥中，，，，，点，分别为，的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在线段上，，平面，．求点到平面的距离．
20．（12分）
已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过点的直线，交椭圆于，两点，使得？若存在，求直线的方程，若不存在，请说明理由．
21．（12分）
已知函数．
（1）若函数在处的切线是，求的值；
（2）当时，讨论函数的零点个数．
（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
已知曲线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，射线的极坐标方程为．
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）射线与曲线相交于，两点，求的值．
23．[选修4—5不等式选讲]（10分）
已知．
（1）求不等式的解集；
（2）设的最小值为，，，，求的最小值．
达州市2021-2022学年高二下学期期末监测
文科数学参考答案
一、选择题：
1．A 2．D 3．D 4．C 5．B 6．B 7．C 8．B 9．A 10．D 11．A 12．C
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．10 14． 15．9 16．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）插入个数后组成等差数列，其中，，
等差数列的前项和为
，
则插入的个实数之和．
（2），
，
所以数列的前项和．
18．解：（1）由列联表得，
．
因为，
所以没有95%的把握认为第一次通过与性别有关．
分别用，，表示甲在星期一、星期三、星期五考试课；分别用，，表示乙在星期一、星期三、星期五考试．这两人考试时间的所有组合为：，，，，，，，，，共9种，他们考试时间相同的有3种．
设事件“他们在同一天考试”，则．
所以他们在同一天考试的概率为．
19．（1）证明：取的中点，连接，．
∵在中，，分别为，的中点，∴．
又∵平面，平面，∴平面．
∵在梯形中，，分别为，的中点，∴．
又∵平面，平面，∴平面．
又∵，平面，平面，
∴平面平面．
又∵平面，∴平面．
（2）解：连接，，由题得，，
，．∴．
在中，，，∴，∴．
∴．
∵在中，，即，
∴．
设点到平面的距离为，
∵，
∴，解得，
所以点到平面的距离为．
20．解：（1）由题知，，，，
由椭圆定义知，即，
又，所以椭圆的标准方程为．
（2）假设存在满足题意的直线．
由题知直线的斜率存在，设的方程为，，，
由方程组得，
，
∴， ①， ②．
∵，∴，
，化简得：
③，
将①②代入③中，化简得，
解得，或．
当时，直线经过点，不满足题意，故舍去．
所以存在直线满足题意，其方程为．
（直线的方程也可以写成）．
21．解：（1）∵切点也在切线上，
∴，即．
，，即，∴．
（2）当时，，
∴，．
①∵当时，在上恒成立，
∴在上单调递增．
又，∴在上有且只有1个零点．
②当时，设，为方程的两根，
，，
即，，在上恒成立，
∴在上有且只有1个零点．
③当时，设，（）为方程的两根，
，，即，
当时，，当时，，当时，，
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
∴，
∴在上恒成立，
∴在上有且只有1个零点．
∵，∴在上有且只有1个零点．
∵在上恒成立，
∴在上有且只有1个零点．
综上所述，当时，在上有且只有1个零点，当时，在上有3个零点．
22．解：（1）由题得曲线的普通方程为．
∵，，
∴曲线的极坐标方程为．
（2）将代入得，
，，设，两点的极径分别为，，
，，
∴．
23．解：（1）当时，，
由得；
当时，，由得；
当时，，由得．
综上所述，不等式的解集为．
（2）由（1）知∴．
即，∴，
∴
，
当且仅当，时，取等号．
所以的最小值为．

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