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河北省定州市2021-2022学年高一下学期期末考试
数学
注意事项；
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.复数的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
2.某工厂生产甲 乙两种不同型号的产品，产量分别为2000件，3000件.为检验产品的质量，现用等比例分层抽样的方法从以上所有产品中抽取100件进行检验，则应从甲种型号的产品中抽取的产品数量为（ ）
A.20 B.30 C.40 D.60
3.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是平行四边形，且，则平面图形的周长为（ ）
A.12 B. C.5 D.10
4.已知单位向量满足，则（ ）
A. B. C. D.
5.从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，则互斥且不对立的两个事件是（ ）
A.“都是红球”与“都是黑球"
B.“至少有一个红球”与“恰好有一个黑球”
C.“至少有一个红球”与“至少有一个黑球”
D.“都是红球”与“至少有一个黑球”
6.在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为（ ）
A. B. C. D.
7.一艘船航行到点A处时，测得灯塔C在其北偏东75°方向，如图所示随后该船以15海里/小时的速度，向东南方向航行2小时后到达点B，测得灯塔C在其北偏东30方向，此时船与灯塔C间的距离为（ ）
A.海里 B.海里 C.海里 D.30海里
8.在中，且存在满足，则.（ ）
A. B. C. D.
二 多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知复数，则（ ）
A.若，则
B.若，则
C.若为纯虚数，则
D.若，则
10.近年，随着人工智能，AIoT，云计算等技术的推动，全球数据量正在无限制地扩展和增加.国际数据公司IDC统计了2016~2020年全球每年产生的数据量及其增速，所得结果如图所示，根据该统计图，下列说法正确的是（ ）
A.2016~2020年，全球每年产生的数据量在持续增加
B.2016~2020年，全球数据量的年平均增长率持续下降
C.2016~2020年，全球每年产生的数据量的平均数为33.7
D.2015年，全球产生的数据量超过15
11.在中，内角所对的边分别为，且，则（ ）
A. B.
C.周长的最大值为3 D.的最大值为
12.在矩形中，是的中点，将沿翻折，直至点落在边上.当翻折到的位置时，连接，如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A.四棱锥体积的最大值为
B.设的中点为，当时，二面角的余弦值为
C.不存在某一翻折位置，使得
D.是的中点，无论翻折到什么位置，都有平面
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知的内角所对的边分别是，则__________.
14.袋中有除颜色外完全相同的球共4个，其中红球3个，黃球1个，从袋中任意取出2个球，则取出的2个球都是红球的概率为__________.
15.已知某圆锥的母线长为5，其侧面展开图的面积为，则该圆锥外接球的表面积为__________.
16.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“勾股圆方图”，后人称其为“赵爽弦图”.如图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.已知为线段的中点，设为中间小正方形内一点（不含边界）.若，则的取值范围为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知向量.
（1）若，求；
（2）若，向量，求与夹角的余弦值.
18.（12分）
如图，平面平面，在矩形中，，四边形为菱形，为线段的中点，.
（1）证明：平面.
（2）求三棱锥的体积.
19.（12分）
某校在某次学业水平测试后，随机抽取了若干份数学试卷，并对其得分（满分100分）进行统计，根据所得数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（分组区间为.根据试卷得分从低到高将学生的成绩分为四个等级，每个等级中的学生人数占比如表所示.
成绩等级
得分范围
占比
（1）求图中的值，并根据频率分布直方图估计该校学生这次学业水平测试数学成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）试确定成绩等级为B的得分范围（结果保留一位小数）.
20.（12分）
如图，在平面四边形中，，且.
（1）若，求；
（2）求四边形面积的最大值.
21.（12分）
为普及抗疫知识 弘扬抗疫精神，某校组织了防疫知识测试.测试共分为两轮，每位参与测试的同学均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中的测试成绩均合格，则视本次测试成绩为合格.甲 乙两名同学均参加了本次测试，已知在第一轮测试中，甲 乙测试成绩合格的概率分别为；在第二轮测试中，甲 乙测试成绩合格的概率分别为.甲 乙两人在每轮测试中的成绩是否合格互不影响.
（1）甲 乙哪名同学在本次测试中成绩合格的概率更大？
（2）求甲 乙两人中至少有一人的成绩在本次测试中合格的概率.
22.（12分）
如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，是的中点，分别是棱上靠近点和点的三等分点，.
（1）证明：平面.
（2）求点到平面的距离.
河北省定州市2021-2022学年高一下学期期末考试
数学参考答案
1.A 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.
，复数的共轭复数是.
2.C 【解析】本题考查分层抽样，考查数学运算的核心素养.
从甲种型号的产品中抽取的产品数量为.
3.D 【解析】本题考查斜二测画法，考查数学运算的核心素养.
根据斜二测画法的规则可知该平面图形是矩形，且长为4，宽为1.故该平面图形的周长为10.
4.B 【解析】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算的核心素养.
因为，所以.
5.A 【解析】本题考查随机事件与概率，考查逻辑推理的核心素养.
“都是红球”与“都是黑球”不可能同时发生，且两个事件发生的概率之和不等于1，符合题意.
6.B 【解析】本题考查异面直线所成角，考查直观想象的核心素养.
如图所示，连接.在正方体中，，则为异面直
线与所成的角.不妨设该正方体的棱长为2，在Rt中，.
7.B 【解析】本题考查解三角形的实际应用，考查应用意识.
由题意可知，海里，由正弦定理可得，解得海里.
8.A 【解析】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算的核心素养.
记的中点为，因为，所以.因为，所以.
因为，所以为线段上靠近点的三等分点，是线段上靠近点的三等分点.建立如图所示的直角坐标系.
由题意可得，
则，故.
9.AC 【解析】本题考查复数，考查数学运算的核心素养.
若，则正确，错误.
，若为纯虚数，则，解得正确.，则，解得，D错误.
10.ACD 【解析】本题考查统计图，考查数据分析的核心素养.
由图可得2016~2020年，全球每年产生的数据量在持续增加，A正确.2016~2017年，全球数据量的年平均增长率由增长到了错误.年，全球每年产生的数据量的平均数为正确.设2015年全球产生的数据量为，则，解得，D正确.
11.BCD 【解析】本题考查正弦定理和余弦定理，考查逻辑推理的核心素养.
等价于.因为，所以错误.
等价于.因为，所以正确.
根据余弦定理得，所以，即，所以，所以，当且仅当时，等号成立，所以正确.
因为，所以，则，当且仅当时，等号成立.正确.
12.AB 【解析】本题考查立体几何初步，考查直观想象的核心素养.
对于，当平面平面时，四棱锥的体积最大，此时四棱锥的高为点到的距离.直角梯形的面积为，四棱锥体积的最大值为正确.
对于，取的中点，连接（图略），则，所以为二面角的平面角.在中，正确.
对于，设，在中，，即当的中点重合时，.故存在某一翻折位置，使得错误.
对于，当与的中点重合时，平面错误.
13. 【解析】本题考查余弦定理，考查数学运算的核心素养.
14. 【解析】本题考查古典概型，考查数学运算的核心素养.
设3个红球的编号分别为，黄球的编号为4.
从袋中的4个小球中任取2个球的样本空间，样本点为6个.所取的2个球都是红球的样本点有3个，分别为.故所求概率为.
15. 【解析】本题考查圆锥的外接球，考查直观想象的核心素养.
作出如图所示的圆锥，其侧面展开图的面积为，解得.
由圆锥的性质知其外接球的球心在上，连接.
设圆锥外接球的半径为，则，
，即，解得，
所以该圆锥外接球的表面积为.
16. 【解析】本题考查平面向量基本定理，考查逻辑推理的核心素养与数形结合的数学思想.
过点作，分别交于点，过点作，交的延长
线于点，过点作，交的延长线于点，如图，由
可知，点在线段上运动（不含端点）.当点与点重合时，，可知.当点与点重合时，，可知.故的取值范围为.
17.解：（1）因为，所以，
即，解得，
所以，
故.
（2）因为，所以，解得，则.
因为，
所以，即与大角的余弦值为.
18.（1）证明：因为平面平面，平面平面，所以平面
因为平面，所以.
在菱形中，为线段的中点，，易证.
因为，所以.
因为，所以平面.
（2）解，
19.解：（1）根据题意可得，解得.
该校学生这次学业水平测试数学成绩的平均分为
（2）由频率分布直方图可得，最后一组的频率为，
后两组的频率之和为，
后三组的频率之和为，
则.
，解得.
，解得.
故成绩等级为的得分范围为.
20.解：（1）在中，，解得.
（2）在中，.
又的面积为，
的面积为，
所以四边形的面积为，其中.
故四边形面积的最大值为.
21.解：（1）设“甲在第一轮测试中的成绩合格”，“甲在第二轮测试中的成绩合格”，
“乙在第一轮测试中的成绩合格”，“乙在第二轮测试中的成绩合格”，
则“甲同学在本次测试中成绩合格”，，
“乙同学在本次测试中成绩合格”，.
因为，所以甲同学在本次测试中成绩合格的概率更大.
（2）设“甲在本次测试中成绩合格”，“乙在本次测试中成绩合格”，
则，
“甲 乙两人中至少有一人在本次测试中合格”，
22.（1）证明：连接并交于点，连接.
在中，分别为的中点，所以，
同理，在中，有.
又因为，所以平面平面.
又平面，所以平面.
（2）解：连接.因为，所以，则.
又因为是的中点，所以.
因为底面是菱形，所以.
因为，所以平面，则.
因为底面是边长为2的菱形，，所以.
又因为，所以，
则，
则，故.
又因为，所以平面.
又因为平面平面，所以平面，则点到平面的距离即.
又因为，所以点到平面的距离为1.

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