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南昌市2021-2022学年高一下学期期末调研检测
数学
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内z对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.若，，表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出的是（ ）
A.内有无数条直线与平行 B.，
C.， D.，
3.在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（ ）
A.30° B.60° C.30°或150° D.60°或120°
4.如图，棱锥、棱柱、棱台的底面积和高均相等，分别为s，h，棱台上底面的面积为，现将装满水的棱锥、棱柱、棱台中的水分别倒入底面积为s的圆柱里，对应的水面高分别记为，，，则（ ）
A. B. C. D.
5.在等腰中，若，，则向量在向量方向上的投影为（ ）
A. B.-1 C.1 D.
6.某学生体重为，处于如图所示的平衡状态，假设他每只胳膊的最大拉力大小均为（重力加速度大小为g），如果要使胳膊得到充分的锻炼，那么他两只胳膊的夹角最大为（ ）
A. B. C. D.
7.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.如图是古希腊数学家希波克拉底研究的几何图形，此图由三个半圆构成，直径分别是直角三角形ABC的斜边BC、直角边AB，AC.点E在以AB为直径的半圆上，延长BE，CA交于点D，若，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知非零向量，，，下列有关向量的命题，不正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.是的充要条件 D.若，，则
10.若复数，满足，，则下列结论正确的是（ ）
A.的最小值为2 B.的最大值为4
C. D.
11.如图，在单位正方体中，M为线段上动点，则下列结论正确的是（ ）
A.直线与直线AC所成角为60° B.平面
C.平面 D.点与点D到平面的距离相等
12.汉代数学家赵爽利用弦图（又称赵爽弦图，它由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，如图），证明了被称为几何学的基石——勾股定理的正确性，现将弦图中的四条股延长相同的长度得到如图所示的一个“数学风车”，现以弦图的中心为坐标原点O，线段OA在如图所示的x轴上（其中有两“股”线延长交x，y轴分别为A，B），此“数学风车”绕点O逆时针匀速旋转一周的时间为2秒，，分别用，表示t秒后A，B两点的纵坐标，那么以下选项正确的有（ ）
A.函数与的图象经过平移后可以重合
B.函数的最大值为2
C.函数图象的一个对称中心为
D.函数在（1，2）上单调递减
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且直观图的面积为，则该平面图形的面积为______.
14.已知点A，B，C是球O的小圆O'上的三点，若，，则球O的表面积为______.
15.已知函数的部分图象如图所示，则______.
16.如图，在中，D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且，若，，则______.
四.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）在中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，.
（1）若，求；
（2）若的面积为，求c.
18.（12分）如图，已知正四棱台的侧棱与底面所成的角为60°，O为下底面ABCD的中心，.
（1）证明：平面；
（2）求正四棱台的体积.
19.（12分）如图，某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t（单位：s）与位移y（单位：mm）之间对应的函数图象如图所示，其变化规律可以用求刻画.
（1）求此弹簧振子运动的周期；
（2）求时弹簧振子所处的位置距离初始位置（）的距离是多少？
20.（12分）如图，直三棱柱中，，，点E，F，G，H分别是棱，BC，，CA的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面BGH.
21.（12分）人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间两个点，，曼哈顿距离.
余弦相似度：.
余弦距离：.
（1）若，，求A，B之间的和余弦距离；
（2）已知，，，若，，求的值.
22.（12分）将圆锥侧面展开得到扇形AOB（图1），已知扇形AOB的半径和面积分别为2，，现要探究在该扇形内截取一个矩形，应该如何截取，可以使得截取的矩形面积最大.现有两个实验小组，他们分别采用两种方案，方案一：如图2所示，将矩形的一边CD放在OA上，另外两个顶点E，F分别在弧AB和OB上；方案二：如图3所示，两个顶点D，E在弧AB上，另外两个顶点C，F分别在OA和OB上.
（1）求圆锥的体积；
（2）比较两种方案，哪种方案更优？并谈谈两种方案的区别与联系.
南昌市2021-2022学年高一下学期期末调研检测
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.B 2.B 3.C 4.A
5.A 6.B 7.D 8.A
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.ABC 10.ABC 11.AB 12.AC
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.8 14. 15.2 16.
四.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】（1）因为，，，由，
则，则；
（2）因为，则，
因为，，所以，
所以，则.
18.【解析】（1）证明：作BC中点M，连接AC，OM，.
因为O为AC中点，M为BC中点，所以，
又，故，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为面，面，
所以平面.
（2）连接，，设交点为，则为正四棱台上底面中心，
延长，交于点P，则面ABCD，且面，
所以，其中，，
由正四棱台的侧棱与底面所成角为60°，
知，
所以，，所以，
故.
19.【解析】（1）由图可知，函数，
故函数关于对称，
故，；
（2）由图知，，故，
，因为，
所以，所以，
，而，
所以时，该弹簧振子离时刻的距离是.
20.【解析】（1）连接，FH，
中，F，H分别是CB，CA的中点，
所以，，
又因为E是的中点，所以，，
因此四边形是平行四边形，所以，
又因为平面，所以平面；
（2）因为，点H是AC的中点，所以，
又因为平面平面，所以平面，
平面，所以，
又矩形中，，
因此，，
因此，
所以，
又，
所以平面BGH，由，
得到平面BGH.
21.【解析】（1），
，所以余弦距等于；
（2）由得
同理：由得，
故，
则.
22.【解析】（1）设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l
依题意，由，故弧长，
则，故，
那么，
则.
（2）方案一：连接OE，设，，
由条件知，，，，
在中，，得，
知，
，
所以，当时，矩形面积的最大值为；
方案二：如图，根据对称性转化为求中心角度为的扇形内接矩形面积最大值.
连接OD，设，，
由条件知，，，
，在中，，得，
知，
，
所以，圆心角为扇形中截面积最大值为；
比较可知，还是方案一内接矩形面积更大，最大值为，故方案一更优.
但是方案二可以利用对称性思想，转化到方案一模型求解，体现了化陌生为熟悉的解题思路，两种模型的本质是一样的.

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