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第4.3.3 余角和补角
人教版数学七年级上册
1.了解余角、补角的概念，掌握余角和补角的性质，并能利用余角、补角的知识解决相关问题.
2.了解方位角的概念，并能用方位角知识解决一些简单的实际问题.
学习目标
复习引入
对于三角板，我们已经很熟悉了，我们来回顾一下三角板各个角的度数
45°
45°
90°
60°
30°
90°
在一副三角尺中，每块都有一个角是90o，而其他两个角的和是多少呢？
1
2
如图：∠1与∠2互为余角，也可以说∠1是∠2的余角，或者∠2 是∠1的余角.
余角是成对出现的，所以不能说某个角是余角.
一般地，如下图，如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 )，即其中一个角是另一个角的余角.
互动新授
90o
类似地，如下图，如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角( 简称为两个角互补 )，即其中一个角是另一个角的补角.
补角是成对出现的，所以不能说某个角是补角.
如图：∠3与∠4互为补角，也可以说∠3是∠4的补角，或者∠4是∠3的补角.
4
3
互动新授
思考 ∠1 与∠2，∠3都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
1
2
同角 (等角) 的余角相等.
3
∠2=180°-∠1
∠3=180°-∠1
=
互动新授
结论：
同角 (等角) 的补角相等.
类似地，可以得到：
同角 (等角) 的余角相等.
同角 (等角) 的补角相等.
互动新授
几何语言：
∵∠1 +∠2=180°，∠1 +∠3=180°
∴∠2 =∠3
几何语言：
∵∠1 +∠2=90°，∠1 +∠3=90°
∴∠2 =∠3
典例精析
例3 如图，点A，O，B在同一直线上，射线OD和射线OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
O
A
B
C
D
E
解：因为点A，O，B在同一直线上，
所以∠AOC和∠BOC互为补角.
又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC
= (∠AOC+∠BOC )= 90°.
所以∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
东
西
北
南
O
正东：
正南：
正西：
正北：
西北方向：
西南方向：
东北方向：
东南方向：
射线 OA
A
B
C
D
45°
E
G
F
H
45°
八大方位
45°
45°
射线 OB
射线 OC
射线 OD
射线 OE
射线 OF
射线 OH
射线 OG
互动新授
45°
如图，说出下列方位
(1)射线OA表示的方向
为 .
(2)射线OB表示的方向
为 ___ _ .
(3)射线OC表示的方向
为 .
(4)射线OD表示的方向
为 .
北
东
西
南
C
A
B
D
北偏东 40°
北偏西 65°
南偏西 45°(西南)
南偏东 20°
40°
65°
70°
O
20°
互动新授
例4 如图，货轮O在航行过程中，发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时，在它北偏东40°，南偏西10°，西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.
东
南
西
北
60°
● B
40°
10°
45°
C ●
● A
● D
O
●
典例精析
画法：1. 以点O为顶点，表示正北方的射线为角的一边，画40°的角，使它的另一边OB落在东与北之间. 射线OB的方向就是北偏东40°，即客轮B所在的方向.
2.同理画出射线OC、射线OD.
射线OC、射线OD即为所求.
1. 图中给出的各角，哪些互为补角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
小试牛刀
2. 图中给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？
10°
30°
60°
80°
100°
120°
150°
170°
⑧
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
解：互余的角有：①与④，②与③
互补的角有：①与⑧，②与⑦，③与⑥，④与⑤.
小试牛刀
1．已知∠A＝65°，则∠A的补角等于(　　)
A．125° B．105°
C．115° D．95°
2．已知α＝36°42′，则α的余角为(　　)
A．57°18′ B．52°18′
C．53°18′ D．36°43′
C
C
课堂检测
3．对于互补的下列说法中：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°，则∠A，∠B，∠C互补；
②若∠1是∠2的补角，则∠2是∠1的补角；
③同一个锐角的补角一定比它的余角大90°；
④互补的两个角中，一定是一个钝角与一个锐角．其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
课堂检测
4.一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度
解:设这个角为x°, 则这个角的补角是(180-x)°.
由题意得180-x=3x,
解得: x=45,
则这个角的度数为45°.
课堂检测
5.甲、乙两船同时从小岛A出发，甲的速度为30海里/时，向北偏东20°方向航行，乙沿南偏东70°的方向以40海里/时的速度航行，半小时后甲、乙分别到达B，C两处．
(1)以1cm表示10海里，在图中画出B，C的位置；
(2)求∠BAC的度数；
(3)量出B，C的图上距离，并换算出实际距离．
解：(1)如图，
(2)∠BAC＝180°-20°-70°=90°.　
(3)用刻度尺量出B，C的图上距离约为2.5cm，所以实际距离约为25海里．
课堂检测
1.已知∠A与∠B互余，且∠A的度数比∠B度数的3倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则∠A的度数为 (3x+30)°.
根据题意得：x+( 3x+30)=90.
解得 x=15.
所以∠B 的度数为15°.
拓展训练
2.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．
（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;
（2 ）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
∠COE、∠BOE
O
A
B
C
D
E
∠COE、∠BOE
解：OE平分∠BOC，理由如下：
∵∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∴∠COD+∠DOE=90°，
∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，
∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，
∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
拓展训练
同角或等角的
补角相等
同角或等角的
余角相等
互余 互补
两角间的数量关系
对应图形
性质
课堂小结
1.如图，下列说法正确的个数有( )
①射线OA表示北偏东30°；
②射线OB表示北偏西30°；
③射线OD表示南偏西45°，也叫西南方向；
④射线OC表示正南方向．
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
D
课后作业
2. 如图，∠AOB=160°，∠AOD与∠DOC互余，∠BOD=90°，求∠COD的度数．
解：因为∠AOB=160°，∠BOD=90°，
所以∠AOD=70°.
因为∠AOD与∠DOC互余，
所以∠AOD＋∠DOC=90°.
所以∠COD=90°-∠AOD=90°-70°=20°.
课后作业
谢谢聆听

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