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浙教版2022-2023学年数学八年级下册第4章 平行四边形（解析版）
4.3中心对称
【知识重点】
一、中心对称：
1.定义：在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点.
2. 中心对称的性质：
(1)成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分；
(2)成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.
(3)若两个图形成中心对称，则对称中心在一组对应点所连线段的中点或两组对应点连线的交点.
二、中心对称图形:
1.定义：如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
2. 中心对称图形性质：
(1)对称中心平分连结两个对称点的线段，过中心对称图形对称中心的直线将图形分成全等的两部分.
(2)在直角坐标系中，点A(x，y)与点B(x ，y)关于原点成中心对称.
(3)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
【经典例题】
【例1】如图，的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有　 　对.
【答案】4
【解析】图中成中心对称的三角形有△AOD和△COB，△ABO与△CDO，△ACD与△CAB，△ABD和△CDB共4对.
故答案为：4
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，据此可得平行四边形是中心对称图形，进而即可得出答案.
【例2】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若 ， ， ，则 的长为　 　.
【答案】12
【解析】 在 中， ， ，
，
∵B与B'关于A中心对称，
.
故答案为：12.
【分析】在直角三角形ABC中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得AB=2AC，然后根据中心对称的性质得BB'=2AB可求解.
【例3】在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心．
【答案】解：这些艺术字均为中心对称图形，其对称中心为图形中的点O．
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形。根据定义可得题目中的汉字或字母是中心对称图形，且对称中心为图形中的点O。
【例4】求证：在直角坐标系中，点A(x，y)与点B(-x，-y)关于原点成中心对称.
【答案】证明：如图，连结AO，BO，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，C，D分别为垂足，
∵ |x|=|-x|，|y|=|-y|，
∴ CO=DO，AC=BD，
∴ Rt△AOC≌Rt△BOD（HL），
∴ AO=BO，∠AOC=∠BOD，
∴ ∠BOD+∠AOD=∠AOC+∠AOD=180°，
即A，O，B在一条直线上，当将点A绕点O旋转180°时，点A与点B重合，
∴点A，B关于原点成中心对称.
【分析】在平面直角坐标系中画出图形，连结AO，BO，作AC⊥x轴，BD⊥x轴，C，D分别为垂足，再由”HL“ 证明Rt△AOC≌Rt△BOD， 可得AO=BO，∠AOC=∠BOD，从而得到到点A，O，B在一条直线上，将点A绕点O旋转180°时，点A与点B重合，再结合中心对称的定义，即可证明结论.
【基础训练】
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】A、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、该图形是中心对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
3．如图，的对角线，相交于点O，，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影区域的面积与的面积比值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵是中心对称图形，
∴S△OEH= S△OFG，∴S阴影=S△OCD=，
故答案为：C．
4．如图，如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称，那么△ABC绕点G旋转　 　°后能与△DEF重合.
【答案】180
【解析】因为△ABC和△DEF关于点G成中心对称，所以△ABC绕点G旋转180°后能与△DEF重合.
故答案为：180.
5．如图， ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD，连结AD、BC，得到四边形ABCD，则AB　 　CD(填位置关系)，与ΔAOD成中心对称的是　 　，由此可得AD　 　BC(填位置关系)．
【答案】平行且相等；；平行且相等
【解析】如图， ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD，连结AD、BC，得到四边形ABCD，则AB平行且相等CD(填位置关系)，与ΔAOD成中心对称的是 ，由此可得AD|平行且相等BC(填位置关系)．
6．在方格纸中，选择标有序号①、②、③、④中的一个小正方形涂黑，能与图中阴影部分构成中心对称图形的小正方形的序号是　 　。
【答案】②
【解析】根据中心对称图形的特点可知， ② 符合条件.
故答案为： ② .
7．点P（1，2）关于点Q（-1.1）对称的点的坐标为　 　。
【答案】（-3，0）
【解析】设点P（1，2）关于点Q（-1，1）对称的点的坐标（a，b）.
∴
解之：a=-3，b=0
∴此点坐标为（-3，0）.
故答案为：（-3，0）.
8．已知点A（-1，2）与点B（3，4）是成中心对称的图形上的两个对称点，则对称中心的坐标为　 　。
【答案】（1，3）
【解析】设对称中心为（x，y），
∴x==1，y==3，
∴对称中心的坐标为 （1，3）.
故答案为： （1，3） .
9．找出图中的旋转中心，说出旋转多少度能与原图形重合？并说出它是否是中心对称图形．
【答案】解：图中的旋转中心就是该图的几何中心，即点O．该图绕旋转中心O旋转90°，180°，270°，360°，都能与原来的图形重合，因此，它是一个中心对称图形．
10．请你写出5个成中心对称的汉字，填在下面的方框内．
【答案】解：一、王、中、田、申、口、曰（答案不唯一）．
11．已知点A（4，5）、B（6，﹣3）关于点M成中心对称，试确定点M点坐标．
【答案】解：如图所示：点M即为所求，则M（5，1）．

12．如图是4×4正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．
【答案】解：从上数第四行第二个方格涂上，如图所示：
【培优训练】
13．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，则对称中心E点的坐标是（　　）
A．（3，-1） B．（0，0） C．（2，-1） D．（-1，3）
【答案】A
【解析】由图可知：A（3，2），A1（3，-4），
∵△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，点A的对应点为A1，
∴点E是点A和A1的中点，
∴E（3，-1）.
故答案为：A.
14．将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（　　）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D．是中心对称图形，也是轴对称图形
【答案】D
【解析】 将图④展开铺平后的图形如图所示：
该图形是中心对称图形，也是轴对称图形.
故答案为：D.
15．如图，已知△ABC与△CDA关于点O中心对称，过点O任作直线分别交AD、BC于点M、N，下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤△AOM和△CON成中心对称.其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】△ABC与△CDA关于点O对称，则AB＝CD、AD＝BC，所以四边形ABCD是平行四边形
因此点O就是 ABCD的对称中心，则有：
①点M和点N；B和D是关于中心O的对称点，正确；
②直线BD必经过点O，正确；
③四边形ABCD是中心对称图形，正确；
④四边形DMOC与四边形BNOA的面积必相等，正确；
⑤△AOM与△CON成中心对称，正确；
其中正确的个数为5个，
故答案为：D.
16．如图，将长为 ，宽为 的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数 的图像恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则 的值等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，设矩形①和矩形②的对称中心为A，设矩形③和矩形④的对称中心为B，
可知A（2.5，3），B（1，1.5），
设直线AB的解析式为y=k′x+b，
则 ，解得： ，
∴直线AB的解析式为y=x+0.5，
当x=0，则y=0.5，当x=3，则y=3.5，
∴C（3，3.5），D（0，0.5），
取线段CD的中点E，则E（1.5，2），
∵CF∥OD，
∴∠EDO=∠ECF，
∵∠DEO=∠CEF，CE=DE，
∴△DEO≌△CEF（ASA），
∴S△DEO=S△CEF，
∴直线OE等分所组成的图形的面积，
把E（1.5，2）代入y=kx，解得：k= ，
故答案为：D．
17．如图，已知 AB=3，AC=1，∠D=90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是　 　．
【答案】
【解析】∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴△DEC≌△ABC，
∵AB=3，AC=1，
∴DE=3，CD=1，
∴AD=2，
又∵∠D=90°，
∴AE===.
故答案为：.
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是　 　．
【答案】
【解析】∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点的坐标为（1，1），
点的坐标为（2，2），
点与点M1关于点B成中心对称，点的坐标为（3，0），
点的坐标为（4，-2），
点与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
点的坐标为（0，0），
点又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
，
∴点正好在原点，
∴点的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
19．由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示，请你用一条割线（可以是折线）将它分割成两个中心对称图形，要求给出两种不同的方法．

【答案】如图所示：

20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）将△ABC沿y轴向上平移3个单位得到△A′B′C′，那么B′的坐标为　 　 ；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1．
（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣2，0），B2（﹣4，1），C2（﹣3，﹣3），则该旋转中心的坐标为　 　．
（4）设P为x轴上的一个动点，当PA＋PC取得最小值时，点P的坐标为　 　 ．
【答案】（1）（0，0）
（2）解：如图1中，△A1B1C1即为所求．
（3）（0，1）
（4）（2，0）
【解析】（1）如图1中，△A′B′C′即为所求，B′的坐标为（0，0），
（3）如图2中，旋转中心J的坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
（4）如图2中，点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
21．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任一直线都将其分成全等的两个部分.
（1）如图1，直线m经过 ABCD对角线的交点O，则 　 　 (填“>”“＜”或“=”)；
（2）如图⒉，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点О且将整个图形分成面积相等的两部分的直线；
（3）八个大小相同的正方形如图3所示摆放，求作将整个图形分成面积相等的两部分的直线(用三种方法分割).
【答案】（1）=
（2）解：如图1所示.
（3）解：如图2所示.
【解析】(1)直线 经过 对角线的交点 ，
则 .
故答案为：=.
22．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
【答案】解：（1）平行四边形的重心是两条对角线的交点．
如图，平行四边形ABCD是中心对称图形，对角线的交点O是对称中心，
经过点O与对边相交的任何一条线段都以点O为中点（如图中线段PQ），
因此点O是各条线段的公共重心，也是 ABCD的重心．
（2）把模板分成两个矩形，连接各自的中心；
把模板重新分成两个矩形，得到连接各自中心的第二条线段，指出重心．
【直击中考】
23．（2022·衢州）下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】A、此图形不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、此图形是中心对称图形，故B符合题意；
C、此图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故D不符合题意；
故答案为：B.
24．（2020·台州）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b. 依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD. 则正方形ABCD的面积为　 　. （用含a，b的代数式表示）
【答案】a+b
【解析】如图，
正方形ABCD是由4个直角三角形和一个小正方形组成，4个直角三角形的面积和等于大正方形的面积a．故正方形ABCD的面积＝a+b．
25．（2020·宁波）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形.
（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.
(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)
【答案】（1）解：画出下列其中一种即可
（2）解：画出下列其中一种即可.
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4.3中心对称
【知识重点】
一、中心对称：
1.定义：在平面内，把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称，这个点叫做对称中心，旋转后两个图形上能够重合的点叫做关于对称中心的对称点.
2. 中心对称的性质：
(1)成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分；
(2)成中心对称的两个图形是全等图形，对应角相等，对应线段平行(或在同一直线上)且相等.
(3)若两个图形成中心对称，则对称中心在一组对应点所连线段的中点或两组对应点连线的交点.
二、中心对称图形:
1.定义：如果一个图形绕着一个点旋转180o后，所得到的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.
2. 中心对称图形性质：
(1)对称中心平分连结两个对称点的线段，过中心对称图形对称中心的直线将图形分成全等的两部分.
(2)在直角坐标系中，点A(x，y)与点B(x ，y)关于原点成中心对称.
(3)平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.
【经典例题】
【例1】如图，的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有　 　对.
【例2】如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若 ， ， ，则 的长为　 　.
【例3】在艺术字中，有些汉字或字母是中心对称图形．下面的汉字或字母，是中心对称图形吗？如果是，请标出它们的对称中心．
【例4】求证：在直角坐标系中，点A(x，y)与点B(-x，-y)关于原点成中心对称.
【基础训练】
1．下列四个图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，的对角线，相交于点O，，过点O，且点E，H在边上，点G，F在边上，则阴影区域的面积与的面积比值是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，如果△ABC和△DEF关于点G成中心对称，那么△ABC绕点G旋转　 　°后能与△DEF重合.
5．如图， ΔOAB绕点O旋转180°得到ΔOCD，连结AD、BC，得到四边形ABCD，则AB　 　CD(填位置关系)，与ΔAOD成中心对称的是　 　，由此可得AD　 　BC(填位置关系)．
6．在方格纸中，选择标有序号①、②、③、④中的一个小正方形涂黑，能与图中阴影部分构成中心对称图形的小正方形的序号是　 　。
7．点P（1，2）关于点Q（-1.1）对称的点的坐标为　 　。
8．已知点A（-1，2）与点B（3，4）是成中心对称的图形上的两个对称点，则对称中心的坐标为　 　。
9．找出图中的旋转中心，说出旋转多少度能与原图形重合？并说出它是否是中心对称图形．
10．请你写出5个成中心对称的汉字，填在下面的方框内（笔画长短可以适当调整，如“中”字）．
11．已知点A（4，5）、B（6，﹣3）关于点M成中心对称，试确定点M点坐标．
12．如图是4×4正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形．
【培优训练】
13．如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A1B1C1关于E点成中心对称，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，则对称中心E点的坐标是（　　）
A．（3，-1） B．（0，0） C．（2，-1） D．（-1，3）
14．将一张正方形纸片，按如图①，②的步骤，沿虚线对折两次，然后沿图③中的虚线剪去一个角得到图④，将图④展开铺平后的图形（　　）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形 B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形 D．是中心对称图形，也是轴对称图形
15．如图，已知△ABC与△CDA关于点O中心对称，过点O任作直线分别交AD、BC于点M、N，下列结论：①点M和点N，点B和点D分别关于点O对称；②直线BD必经过点O；③四边形ABCD是中心对称图形；④四边形DMOC和四边形BNOA的面积相等；⑤△AOM和△CON成中心对称.其中正确的有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
16．如图，将长为 ，宽为 的四个矩形如图所示摆放在坐标系中，若正比例函数 的图像恰好将所组成的图形分为面积相等的两部分，则 的值等于（　　）
A． B． C． D．
17．如图，已知 AB=3，AC=1，∠D=90°，△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，则AE的长是　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是　 　．
19．由16个边长相等的小正方形组成的图形如图所示，请你用一条割线（可以是折线）将它分割成两个中心对称图形，要求给出两种不同的方法．

20．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）将△ABC沿y轴向上平移3个单位得到△A′B′C′，那么B′的坐标为　 　 ；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1．
（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣2，0），B2（﹣4，1），C2（﹣3，﹣3），则该旋转中心的坐标为　 　．
（4）设P为x轴上的一个动点，当PA＋PC取得最小值时，点P的坐标为　 　 ．
21．知识背景：过中心对称图形的对称中心的任一直线都将其分成全等的两个部分.
（1）如图1，直线m经过 ABCD对角线的交点O，则 　 　 (填“>”“＜”或“=”)；
（2）如图⒉，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点О且将整个图形分成面积相等的两部分的直线；
（3）八个大小相同的正方形如图3所示摆放，求作将整个图形分成面积相等的两部分的直线(用三种方法分割).
22．物体受重力作用的作用点叫做这个物体的重心．例如一根均匀的棒，重心是棒的中点，一块均匀的三角形木板，重心就是这个三角形三条中线的交点，等等．
（1）你认为平行四边形的重心位置在哪里？请说明理由；
（2）现有如图的一块均匀模板，请只用直尺和铅笔，画出它的重心（直尺上没有刻度，而且不允许用铅笔在直尺上做记号）．
【直击中考】
23．下列图形是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
24．用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖面积为a，小正方形地砖面积为b. 依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形ABCD. 则正方形ABCD的面积为　 　. （用含a，b的代数式表示）
25．图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中，分别按下列要求选取一个涂上阴影：
（1）使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形.
（2）使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形.
(请将两个小题依次作答在图1，图2中，均只需画出符合条件的一种情形)
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