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8.1基本立体图形 8.2立体图形的直观图
跟踪训练（答案）
1、下列说法中，正确的是(　C　)
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形
C.正方体的所有棱长都相等
D.棱柱的所有棱长都相等
解：棱柱的侧面都是平行四边形，A错误；其他侧面可能是平行四边形，B错误；棱柱的侧棱与底面边长并不一定相等，D错误；易知C正确.
2、下列几何体是棱台的是(　D　)
解：AC不是由棱锥截成的，不符合棱台的定义，故AC不满足题意．B中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故B不满足题意．D符合棱台的定义．
3、对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是(　A　)
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90°的角的直观图一定会变为45°的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
解：对于A，根据斜二测画法，相交直线的直观图仍是相交直线，因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；
对于B，90°的角的直观图可以变为45°或135°的角，故B错误；
C，D显然正确．
4、一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为(　B　)
A.2 cm2 B.2 cm2
C.4 cm2 D.8 cm2
解：直观图的面积为××42＝2(cm2).
5、如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为(　C　)
A. B.4 C.8 D.2
解：由S原图形＝2S直观图，得S原图形＝2×4＝8.
6、.一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为(　B　)
A． B．3
C．3 D．
解：平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′是直角梯形，其面积为×(1＋2)×1＝；
则S原＝2S直＝3.故选B．
7、下列说法正确的是(　D　)
A．棱柱的侧棱长不相等
B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的侧面是等腰梯形
D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
解：A不正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确．
8、下列命题正确的是(　C　)
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆面和矩形面
解：如图所示，可排除A，B选项．对于D选项只有截面与圆柱的母线平行或垂直，截得的截面才为矩形面或圆面，否则截面为椭圆面或椭圆面的一部分，故选C．
9、一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(　B　)
A.a2 B.2a2 C.a2 D.a2
解：根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知，在x轴上(或与x轴平行)的线段，其长度保持不变；在y轴上(或与y轴平行)的线段，其长度变为原来的一半，且∠x′O′y′＝45°(或135°)，所以若设原平面图形的面积为S，则其直观图的面积为S′＝··S＝S.可以提出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积S＝＝2a2.
10、已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　D　)
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
解：如图①、②所示的实际图形和直观图．
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，
则C′D′＝O′C′＝a.
∴S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.
11、如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么(　C　)
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
解：选C．由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴，又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立．
12、碳70(C70)是一种碳原子族，可高效杀死癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为(　B　)
C70分子结构图
A.12 B.25 C.30 D.36
解:根据题意，顶点数就是碳原子数，即为70，每个碳原子被3条棱共用，面数为37，设有正五边形x个，正六边形y个，则x＋y＝37，5x＋6y＝70×3，解得x＝12，y＝25，故正六边形个数为25，即六元环的个数为25.
13、(多选)下列说法中正确的是(　BC　)
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.过球面上任意两点可作球的一个大圆或无数个大圆
C.三棱锥的四个面都可以是直角三角形
D.梯形的直观图可以是平行四边形
解：对于A，如两个同底的三棱锥构成的六面体，不是三棱锥，故错误；
对于B，球面上任意两点与球心共线时，可以作球的无数个大圆，与球心不共线时，可以作球的一个大圆，故正确；
对于C，一条侧棱垂直于底面直角三角形的一个锐角顶点的三棱锥满足题意，故正确；
对于D，作直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半，故错误.
14、(多选)下列结论错误的是(　ABCD　)
A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D．若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
解：在如图所示的平行六面体中，侧面ADD1A1及侧面BCC1B1都是矩形，且平面ABB1A1及平面DCC1D1都与底面ABCD垂直，故A、D错误；将菱形沿一条对角线折起所得三棱锥各面都是等腰三角形，但该棱锥不一定是正棱锥，故B错误；侧面都是矩形但底面为梯形的直四棱柱不是长方体，故C错误．故选ABCD．
15、(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是(　　)
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C.长方体是直平行六面体
D.存在每个面都是直角三角形的四面体
解：　A中，当顶点在底面的投影是正多边形的中心才是正棱锥，不正确；
B中，当平面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面才为矩形或圆，否则为椭圆或椭圆的一部分，B不正确；
C正确；
D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形.
16、(多选)给出下列四个命题，不正确的是(　　)
A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
解：对于A，平行六面体的两个相对侧面也可能是矩形，故A错；
对于B，等腰三角形的腰不是侧棱时不一定成立(如图)，故B错；
对于C，若底面不是矩形，则C错；
对于D，可知侧棱垂直于底面，故D正确.
综上，命题ABC不正确.
17、(多选)若正三棱锥V－ABC和正四棱锥V1－A1B1C1D1的所有棱长均为a，将其中两个正三角形侧面△VAB与△V1A1B1按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是(　AC　)
A．五面体 B．七面体
C．斜三棱柱 D．正三棱柱
解：新的组合体如图所示，故选A、C．
18、已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.
解：如图(1)和(2)的实际图形和直观图所示.
因为OE＝＝1，
由斜二测画法可知O′E′＝，E′F＝，
D′C′＝1，A′B′＝3，
则直观图A′B′C′D′的面积
S′＝×＝.
19、已知△ABC的平面直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为___a___2.
解：在△A1D1C1中，
由正弦定理＝，得x＝a，
∴S△ABC＝×a×a＝a2.
20、下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，所得截面都是圆面，则这个几何体一定是球．
其中正确结论的序号是⑤.
解：①中这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥，①错；②中这条腰若不是垂直于两底的腰，则得到的不是圆台，②错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，③错误；④中如果用不平行于圆锥底面的平面截圆锥，则得到的不是圆锥和圆台，④错；只有球满足任意截面都是圆面，⑤正确．8.1基本立体图形 8.2立体图形的直观图
跟踪训练
1、下列说法中，正确的是(　　)
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.若棱柱有两个侧面是矩形，则该棱柱的其他侧面也是矩形
C.正方体的所有棱长都相等
D.棱柱的所有棱长都相等
2、下列几何体是棱台的是(　　)
3、对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述不正确的是(　　)
A．三角形的直观图仍然是一个三角形
B．90°的角的直观图一定会变为45°的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
4、一个菱形的边长为4 cm，一内角为60°，用斜二测画法画出的这个菱形的直观图的面积为(　　)
A.2 cm2 B.2 cm2
C.4 cm2 D.8 cm2
5、如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为(　　)
A. B.4 C.8 D.2
6、.一平面四边形OABC的直观图O′A′B′C′如图所示，其中O′C′⊥x′轴，A′B′⊥x′轴，B′C′∥y′轴，则四边形OABC的面积为(　　)
A． B．3
C．3 D．
7、下列说法正确的是(　　)
A．棱柱的侧棱长不相等
B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的侧面是等腰梯形
D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
8、下列命题正确的是(　　)
A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台
B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆面和矩形面
9、一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于(　　)
A.a2 B.2a2 C.a2 D.a2
10、已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为(　　)
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
11、如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么(　　)
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
12、碳70(C70)是一种碳原子族，可高效杀死癌细胞，它是由70个碳原子构成的，其结构是由五元环(正五边形面)和六元环(正六边形面)组成的封闭的凸多面体，共37个面，则其六元环的个数为(　　)
C70分子结构图
A.12 B.25 C.30 D.36
13、(多选)下列说法中正确的是(　　)
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.过球面上任意两点可作球的一个大圆或无数个大圆
C.三棱锥的四个面都可以是直角三角形
D.梯形的直观图可以是平行四边形
14、(多选)下列结论错误的是(　　)
A．有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D．若有两个侧面垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
15、(多选)下面关于空间几何体的叙述正确的是(　　)
A.底面是正多边形的棱锥是正棱锥
B.用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形
C.长方体是直平行六面体
D.存在每个面都是直角三角形的四面体
16、(多选)给出下列四个命题，不正确的是(　　)
A.有两个侧面是矩形的立体图形是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱
17、(多选)若正三棱锥V－ABC和正四棱锥V1－A1B1C1D1的所有棱长均为a，将其中两个正三角形侧面△VAB与△V1A1B1按对应顶点粘合成一个正三角形以后，得到新的组合体是(　　)
A．五面体 B．七面体
C．斜三棱柱 D．正三棱柱
18、已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为________.
19、已知△ABC的平面直观图△A1B1C1是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为______.
20、下列结论：①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；⑤用任意一个平面截一个几何体，所得截面都是圆面，则这个几何体一定是球．
其中正确结论的序号是______.

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