资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
8.2 立体图形的直观图
【学习要求】
1.用斜二测画法画平面多边形及空间几何体的直观图；
2.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体）的直观图。
【思维导图】
【知识梳理】
1.空间几何体的直观图
（1）空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
（2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）
（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）
（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.
（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.
（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.
方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.
2.空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
3.斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
【高频考点】
高频考点1. 斜二测画法概念辨析
【方法点拨】根据斜二测画法基本概念判断即可。
1、（2022·全国·高一专题练习）对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（ ）
A．原来平行的边仍然平行 B．原来垂直的边仍然垂直
C．原来是三角形仍然是三角形 D．原来是平行四边形的可能是矩形
【答案】B
【解析】由斜二侧画法可知，平行的线段仍然平行，
三角形的直观图仍然是一个三角形，平行四边形的可能是矩形，
原来垂直的直线不一定垂直．故选：B
2、（2022·全国·高一专题练习）若把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）
A．平行于轴且大小为 B．平行于轴且大小为
C．与轴成且大小为 D．与轴成且大小为
【答案】A
【解析】平行于z轴（或在z轴上）的线段，
在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选：A
3.（2022·高一课时练习）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（ ）
A．三角形的直观图仍然是一个三角形 B．的角的直观图会变为的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
【答案】B
【解析】对于A，根据斜二测画法特点知，相交直线的直观图仍是相交直线，
因此三角形的直观图仍是一个三角形，故A正确；
对于B，的角的直观图会变为或的角，故B错误；
对于C，D，由斜二测画法的特点可知，C，D显然正确．故选：B．
4.（2022·高一课时练习）根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（ ）
A．90°，90° B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90°
【答案】D
【解析】根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，
∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与竖轴的夹角，所以度数为90°.故选：D.
5.（2023·高一课时练习）利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（ ）
A．① B．①② C．③ D．①②③④
【答案】B
【解析】由斜二测画法规则知，斜二测画法不改变平行性，
即原图形与直观图中对应的相交直线、平行直线的关系不变，
因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形，①②正确，
由于斜二测画法规则中，原图形中x，y轴互相垂直，
在直观图中，对应的轴夹角为，
并且原图形中在y轴上或平行于y轴的线段在直观图中长度减半，
原图形中在x轴上或平行于x轴的线段在直观图中长度不变，
因此斜二测画法会改变角的大小，③④错误.故选：B
高频考点2 . 画平面图形的直观图
【方法点拨】画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.
1、（2022·全国·高一专题练习）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的比为，故选C
2、（2022·高一课时练习）画出如图所示的水平放置的正方形的直观图（画在原图上）．
【答案】直观图见解析
【解析】该正方形直观图如图所示，
3.（2023·高一课时练习）如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图.
【答案】图见解析.
【解析】在等腰梯形中，过D作于O，
以直线CB，OD分别为x，y轴建立平面直角坐标系，如图，
其中，
在平面内取点，过作直线，使，如图，
在直线上取点，使，过作线段，使，
在直线上取点，使，
连接，抹去辅助线得等腰梯形的直观图，如图梯形.
4.（2023·高一课时练习）用“斜二测”法画出边长为2cm的正三角形的直观图.
【答案】图见解析.
【解析】在给定的正三角形中建立如图所示的平面直角坐标系，
其中线段是正三角形的高，，
在平面内取点，过作直线，使，如图，
在直线上取点，使，
过作线段，使，
连接，抹去辅助线得边长为2cm的正三角形的直观图，如图.
5、（2022·全国·高一专题练习）画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
【答案】作图见解析
【解析】（1）在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，
垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．如图①所示．
（2）画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，在x′轴上截取O′B′＝OB，
在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，
在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②.
（3）所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图．如图③.
6．（2022秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】C
【详解】如图所示，实线表示直观图，.,,
∴直观图的面积为,故选：C.
高频考点3 . 画立体图形的直观图
【方法点拨】(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球) 的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致.
1．（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．
【答案】作图见解析
【详解】解：根据斜二测画法的规则可知，底面矩形的直观图为平行四边形．
①画出水平放置的长、宽分别是8 cm、6 cm的矩形ABCD的直观图．
②作Az垂直于AB，在Az轴上截取．
分别过点B、C、D作，，，且．
③连接、、、，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，即得长方体的直观图，如图2所示．
2．（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
【答案】答案见解析
【详解】（1）画轴.如图，画x,y,z轴，三轴相交于O，使得 .
（2）画底面.在x轴上以O为中点截取线段FC，使FC=6cm,在y轴上以O为中点取线段GH,
使 ,分别过点G,H作x轴的平行线，并在平行线上分别以G,H为中点截取AB=3cm,ED=3cm,连接BC,CD,EF,FA,则六边形ABCDEF就是正六棱柱的底面的直观图.
（3）画侧棱.在z轴正半轴上取线段,使，过A,B,C,D,E,F各点作z轴的平行线，
在这些平行线上分别截取5cm长的线段 .
（4）成图.顺次连接,并加以整理（去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线），得到所要求作的正六棱柱的直观图
3．（2022·高一课时练习）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
【答案】答案见解析
【详解】【解】（1）画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
（2）画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6，在y轴上取线段GH，使得GH＝3，再过G，H分别作AB綊EF，CD綊EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H，连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
（3）画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′，在x′O1y′中仿照（2）的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
（4）连接AA1、BB1、CC1、DD1，擦去辅助线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图如图②）．
4．（2022·全国·高一专题练习）画出下列图形的直观图：
(1)棱长为4cm的正方体；(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．
【答案】(1)画法见解析，
；
(2)画法见解析，(1)如下图所示，按如下步骤完成：
第一步：作水平放置的正方形ABCD的直观图，使得AB=4cm，BC=2cm，且∠DAB=45°，取平行四边形ABCD的中心O，作x轴∥AB，y轴∥BD，
第二步：过点O作∠xOz=90°，过点A、B、C、D分别作等于4cm，顺次连接，
第三步：去掉图中的辅助线，就得到棱长为4的正方体的直观图.
(2)如下图所示，按如下步骤完成：
第一步：作水平放置的圆的直观图，使cm，cm.
第二步：过作轴，使，在上取点，使=4cm，连接，.
第三步：去掉图中的辅助线，就得到所求圆锥的直观图.
高频考点4 . 由直观图还原几何图形
1.（2023·高一课时练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在直观图中，其一条对角线在y轴上且长度为，
所以在原图形中其中一条对角线必在y轴上，且长度为，故选：A．
2.（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，是的直观图，其中，，那么是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
【答案】A
【解析】将直观图还原，则，，所以是正三角形.故选：A.
3.（2022春·河北沧州·高一沧县中学校考期中）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
【答案】C
【解析】因为矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，
又因为，所以，
在直观图中，，，高，，
所以，即原图形为菱形.故选：C
4.（2022·高一课时练习）如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据该平面图形的直观图，该平面图形为一个直角梯形，
且在直观图中平行于轴的边与底边垂直.故选：C.
5、（2023·高一课时练习）一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
【答案】C
【解析】令正是水平放置的的直观图，不妨令点在数轴上，如图，
因为，则线段与轴必相交，令交点为，
在直角坐标系中，点在轴上，，点在轴上，，如图，
因此点必在线段的延长线上，有，即是钝角三角形，
所以原三角形是钝角三角形，故选：C
6、（2023·高一课时练习）如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形．
【答案】答案见解析
【解析】（1）画出平面直角坐标系，在轴上取，即；
（2）在图①中，过作轴，交轴于，在轴上取，
过点 作轴，并使．
（3）连接，，则即为原来的图形，如图②所示．
高频考点5. 斜二测画法中有关量的计算1（计算原图相关量）
【方法点拨】根据斜二测画法中平面图形的面积与其直观图的面积的关系，结合具体条件，进行转化求解即可.
1.（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形，其中，，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（ ）
A．6 B． C． D．
【答案】B
【解析】根据四边形OABC直观图将其还有为平面图形如图：
根据直观图与原图的关系可得：
，，，则点，，
，故选：B.
2．（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为，则梯形的面积为（ ）
A．2S B．S C．2S D．S
【答案】C
【详解】设原图形的面积为.
因为直观图面积为S，且，所以.故选：C
3．（2022春·福建厦门·高一校考期中）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．2
【答案】A
【详解】如图1，在等腰直角三角形中，设轴与交于，则为的中点，且.过点作轴，且交轴于点，容易得到是等腰直角三角形，且，.
如图2，由斜二测画法可知，,且，则AC=2.
于是所求三角形的面积为.故选：A.
4．（2022春·江苏南京·高一校联考期末）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．
【答案】B
【详解】由题设知：原四边形中且，
所以原四边形为平行四边形，
而，则原四边形中，故，
综上，四边形的周长为.故选：B
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 __．
【答案】##
【详解】过点作轴，且交轴于点，
过点作轴，且交轴于点，则，
所以，则，所以原三角形的高，底边长为，
其面积为．故答案为：
6．（2022春·江西新余·高一统考期末）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积（ ）
A．12 B．6 C． D．
【答案】C
【详解】解：由斜二测画法的直观图知，
，，，；，
所以原图形中，，，，，，
所以梯形的面积为．故选：C．
高频考点6. 斜二测画法中有关量的计算2（计算直观图相关量）
【方法点拨】
1．（2022·浙江·高一校联考期中）已知的面积为，下图是的直观图，已知，，过作轴于，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设三角形直观图的面积为，显然，
又，解得.故选：
2．（2022春·湖南·高一校联考期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示.已知为坐标原点，,,.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
【答案】D
【详解】如图，画出直观图，
过点作，垂足为.因为，，所以，，，则，故四边形的周长为，所以D正确.故选：D.
3．（2022春·天津西青·高一统考期末）已知正的边长为，那么的直观图的面积为__________.
【答案】
【详解】
如图是△ABC和直观图，易知：，，在图中作于，则，故.故答案为：.
4．（2022春·上海虹口·高一校考期末）将边长为2的正方形水平放置，得到的直观图的面积为___________.
【答案】
【详解】以为原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立坐标系，
如图所示，则边长为2的正方形的直观图为，
做于，所以，可得，，
所以的面积为.故答案为：.选：C
5.（2022春·浙江宁波·高一统考期末）如图，水平放置的矩形，在直角坐标系下点的坐标为，则用斜二测画法画出的矩形的直观图中，顶点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】矩形的直观图如图所示
过作于，则由直观图的作法可知,
所以，所以顶点到轴的距离为，故选：A
6．（2022·上海·高二专题练习）如图∶矩形的长为4cm，宽为2cm，是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则四边形的周长为∶__________cm；
【答案】20
【详解】
由斜二测画法的规则知与轴平行或重合的线段其长度不变以及与横轴平行的性质不变；
与轴平行或重合的线段长度变为原来的一半，且与轴平行的性质不变.
还原出原图形如上图所示，其中cm，cm
cm所以原图形的周长为cm
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2022·高一课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
【答案】B
【解析】对于A，平行直线在直观图中长度可能会变化，但平行关系不变，A正确；
对于B，平行于轴和轴的两条直线，在直观图中夹角为，B错误；
对于C，直观图中与两条坐标轴重合的直线，
还原后与平面直角坐标系中的轴重合，实际位置互相垂直，C正确；
对于D，线段的中点在直观图中依然会是该线段直观图画法中的中点，D正确.故选：B.
2、（2022春·山东临沂·高一统考期中）如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．是等腰直角三角形 B．是锐角三角形
C．是钝角三角形 D．是等边三角形
【答案】A
【解析】将其还原成原图，如图，
设，则可得，，从而，
所以，即，故是等腰直角三角形.故选：A
3．（2022·四川广安·校考二模）正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】原图中：设是的中点，则，.
直观图中：，，
所以.故选：D
4．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图所示，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．16cm B．cm C．8cm D．cm
【答案】A
【详解】由斜二测画法，原图形是平行四边形，，
又，，，所以，
周长为．故选：A．
5．（2022·宁夏银川·银川一中校考三模）已知水平放置的平面四边形，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则的周长为（ ）
A．2 B．6 C． D．8
【答案】D
【详解】由直观图可得原图形如图，
根据斜二测画法可知，, 在中, ,
又,所以四边形的周长为,故选：D
6．（2022春·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，在四边形中，，，，且，则四边形水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（ ）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【详解】如图所示，为的直观图，根据斜二测画法的规则可知，，，平行于轴，∴该图形的面积为．故选：C.
7．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】利用斜二测画法将直观图还原如图，易知此时，，
又由轴得轴，故，不妨设是的中点，则，
所以在中，，
即中边上的中线的长度为.故选：A.
.
8.（2022春·河南新乡·高一统考期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，，，．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形的面积为（ ）
A．4 B． C．8 D．
【答案】A
【解析】如图，画出直观图，过点作，垂足为
因为，，
所以，，，则，
故四边形的面积为．故选：A
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、（2022·高一课时练习）对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
【答案】ACD
【解析】由直观图的做法可知：原图形中的平行性质仍然保持，
而相当长度和角的大小不一定与原来的相等.
对于A：等腰三角形的直观图不再是等腰三角形，故A错误；
对于B：因为正方形的对边平行，所以在直观图中仍然平行，
故正方形的直观图为平行四边形成立.故B正确；
对于C：梯形的上下底平行，在直观图中仍然平行；
两腰不平行，在直观图中仍然不平行；所以梯形的直观图仍是梯形.故C错误；
对于D: 正三角形的直观图不是等腰三角形.故D错误.故选：ACD
10、（2022·高一课时练习）下列说法中正确的有（ ）
A．画直观图时与x轴、y轴对应的轴、轴之间的夹角应为或
B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
【答案】ACD
【解析】由斜二测画法规则知，选项A，C正确；
长方体直观图的长、高与原长方体的长、高的比例相同，
但在直观图中的宽只是原来的一半， B错误；
水平放置的圆的直观图是椭圆，D正确.故选：ACD
11．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且，又轴，那么原的、、三条线段中（ ）
A．最长的是 B．最长的是 C．最短的是 D．最短的是
【答案】AD
【详解】由题意得到原的平面图为：
其中，，，∴，
∴的、、三条线段中最长的是，最短的是，故选：AD.
12．（2022春·浙江温州·高一统考期末）已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【详解】以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，A正确，
以BC为轴，则此时，则的长度范围是，
若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，则，，
由勾股定理得：，C正确；故选：AC
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·湖北·恩施市校联考模拟预测）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________．
【答案】8
【详解】根据直观图，还原原图可得OABC，如图所示：
根据原图与直观图的关系可得，，且，
所以，所以原图形OABC的周长为3+1+3+1=8，故答案为：8
14．（2022春·重庆长寿·高一校考阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为________.
【答案】
【详解】解：由直观图可得如下平面图形：
其中，，所以，
所以在直角三角形中，斜边边上的中线为；故答案为：
.15（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）如图， 是水平放置的斜二测直观图， 其中，， 则原图形 的面积是 _____________．
【答案】
【解析】因为与轴重合，与轴重合，所以，
所以在中，，故为直角三角形.
又由斜二测画法可知：在中，，，
所以，故答案为：
16、（2022春·山东德州·高一校考阶段练习）已知在如图所示的等腰梯形中，，，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为__________.
【答案】
【解析】如图所示，过作，垂足分别为.
依题意，，所以，
可知等腰梯形的面积为，
根据斜二测画法规则知，其直观图的面积为原图形面积的，
所以该梯形的直观图的面积为.故答案为：.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·高一课时练习）画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图．
【答案】画图见解析
【详解】根据斜二测画法的规则可知, 底面矩形的直观 图为平行四边形,
其中 , ,
作 底面, 在 轴上截取 ,过 作 , 使 , 过、
分别作 平行于 且等于 ,
连接 可得长、宽、高 分别为，，的长方体的直观图.
18．（2022·高二课时练习）如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，为的中点，试画出梯形水平放置的直观图，并求直观图的面积．
【答案】图见解析，
【详解】解：在梯形ABCD中，AB＝2，高OD＝1.由于梯形ABCD水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD和下底AB的长度都不变．如图所示，
在直观图中，O′D′＝OD，梯形的高D′E′＝，
于是，梯形A′B′C′D′的面积S＝×(1＋2)×＝.
19．（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【详解】解：（1）
画，轴，使，在轴上截取，在轴上截取．
过作轴的平行线，且取线段长度为2，连接，，，，
则四边形的直观图即为四边形；
（2）
画，轴，使，在轴上截取，
在轴过、分别作的平行线，与在轴上过作轴的平行线分别交于，，连接，，，．
则四边形的直观图即为四边形．
20、（2022·全国·高一假期作业）如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形．
【答案】图见解析.
【解析】如图，建立直角坐标系，在轴上截取，， ，
在轴上截取，再过点与轴平行的直线上截取，
连接，，便得到了原图形（如图）．
21、（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，求梯形的面积.
【答案】5
【解析】如图，根据直观图画法的规则，
直观图中平行于轴，， 原图中，
从而得出AD⊥DC，且，
直观图中，， 原图中，，
即四边形ABCD上底和下底边长分别为2，3，高为2，如图．
故其面积.
22．（2023·全国高一课时练习）画出一个上 下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.
【答案】见解析
【分析】建立空间直角坐标系,再根据斜二测画法的方法画出即可.
【详解】解析(1)画轴.如图①,画x轴 y轴 z轴相交于点O,使,∠xOz=90°.
(2)画下底面以O为线段中点,在x轴上取线段,使,在y轴上取线段,使.连接,则为正三棱台的下底面的直观图.
(3)画上底面在z轴上取,使,过点作,,建立坐标系.在中,类似步骤(2)的画法得上底面的直观图.
(4)连线成图连接,,,去掉辅助线,将被遮住的部分画成虚线,则三棱台即为要求画的正三棱台的直观图(如图②所示).
【点睛】本题主要考查了立体图形的直观图画法,属于中等题型.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 15中小学教育资源及组卷应用平台
8.2 立体图形的直观图
【学习要求】
1.用斜二测画法画平面多边形及空间几何体的直观图；
2.能用斜二测画法画出简单空间图形（长方形、球、圆柱、圆锥、棱柱及简单组合体）的直观图。
【思维导图】
【知识梳理】
1.空间几何体的直观图
（1）空间几何体的直观图的概念
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形.直观图是把空间图形画在平面内，既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.
（2）水平放置的平面图形的直观图画法（斜二测画法）
（1）画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点，画直观图时作出与之对应的轴和轴，两轴相交于点，且使（或）
（2）画线：已知图形中平行于或在轴，轴上的线段，在直观图中分别画成平行或在轴，轴上的线段.
（3）取长度：已知图形中在轴上或平行于轴的线段，在直观图中长度不变.在轴上或平行于轴的线段，长度为原来长度的一半.
（4）成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线，就得到了直观图.
方法归纳：设一个平面多边形的面积为，利用斜二测画法得到的直观图的面积为，则有.
2.空间几何体的直观图的绘制方法
（1）画轴. 在平面图形中取互相垂直的轴和轴，两轴相交于点, 画直观图时，把它们分别画成对应的轴与轴，两轴交于点, 且使”(或）, 它们确定的平面表示水平面；
（2）画底面. 已知图形中，平行于轴轴或轴的线段，在直观图中分别画成平行于轴、轴或轴的线段；
（3）画侧棱. 已知图形中平行于轴或轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于轴的线段，长度变为原来的一半；
（4）成图. 连线成图以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.
简记为：①画轴；②画底面；③画侧棱；④成图.
3.斜二测画法保留了原图形中的三个性质
①平行性不变，即在原图中平行的线在直观图中仍然平行；②共点性不变，即在原图中相交的直线仍然相交；③平行于x，z轴的长度不变．
【高频考点】
高频考点1. 斜二测画法概念辨析
【方法点拨】根据斜二测画法基本概念判断即可。
1、（2022·全国·高一专题练习）对于用斜二侧画法画水平放置的图形的直观图来说，下面说法错误的是（ ）
A．原来平行的边仍然平行 B．原来垂直的边仍然垂直
C．原来是三角形仍然是三角形 D．原来是平行四边形的可能是矩形
2、（2022·全国·高一专题练习）若把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应画成（ ）
A．平行于轴且大小为 B．平行于轴且大小为
C．与轴成且大小为 D．与轴成且大小为
3.（2022·高一课时练习）对于用斜二测画法画水平放置的图形的直观图来说，下列描述错误的是（ ）
A．三角形的直观图仍然是一个三角形 B．的角的直观图会变为的角
C．与y轴平行的线段长度变为原来的一半
D．由于选轴的不同，所得的直观图可能不同
4.（2022·高一课时练习）根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为（ ）
A．90°，90° B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90°
5.（2023·高一课时练习）利用斜二测画法得到：①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形.以上说法正确的是（ ）
A．① B．①② C．③ D．①②③④
高频考点2 . 画平面图形的直观图
【方法点拨】画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置.顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，这类顶点一般通过作过此点且与轴平行或垂直的线段，将此点转到与轴平行或垂直的线段上来确定.
1、（2022·全国·高一专题练习）利用斜二测画法画出边长为的正方形的直观图，正确的是图中的( )
A． B． C． D．
2、（2022·高一课时练习）画出如图所示的水平放置的正方形的直观图（画在原图上）．
3.（2023·高一课时练习）如图，等腰梯形ABCD上底，下底，高为1cm．用斜二测画法画出该梯形的直观图.
4.（2023·高一课时练习）用“斜二测”法画出边长为2cm的正三角形的直观图.
5、（2022·全国·高一专题练习）画水平放置的直角梯形的直观图，如图所示．
6．（2022秋·上海浦东新·高二校考阶段练习）已知直角梯形上下两底分别为分别为2和4，高为，则利用斜二测画法所得其直观图的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
高频考点3 . 画立体图形的直观图
【方法点拨】(1)对于一些常见简单几何体(柱体、锥体、台体、球) 的直观图，应该记住它们的大致形状，以便快速准确地画出.
(2)画空间几何体的直观图比画平面图形的直观图增加了一个z轴，表示竖直方向.
(3)平行于z轴(或在z轴上)的线段，方向与长度都与原来保持一致.
1．（2022·高一课时练习）用斜二测画法画长、宽、高分别是8cm，6cm，3cm的长方体的直观图．
2．（2022·高一课时练习）画出一个正六棱柱的直观图，底面为边长为3的正六边形，高为5．
3．（2022·高一课时练习）已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图．
4．（2022·全国·高一专题练习）画出下列图形的直观图：
(1)棱长为4cm的正方体；(2)底面半径为2cm，高为4cm的圆锥．
高频考点4 . 由直观图还原几何图形
1.（2023·高一课时练习）如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形是一个边长为1的正方形，则原图形的形状是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022秋·陕西渭南·高一统考期末）如图，是的直观图，其中，，那么是一个（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
3.（2022春·河北沧州·高一沧县中学校考期中）如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，，则原图形是（ ）
A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．梯形
4.（2022·高一课时练习）如图为一平面图形的直观图的大致图形，则此平面图形可能是（ ）
A． B． C． D．
5、（2023·高一课时练习）一个三角形水平放置的直观图是正三角形，则原三角形是（ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能
6、（2023·高一课时练习）如图，是水平放置的平面图形用斜二测画法画出的直观图，将其恢复成原图形．
高频考点5. 斜二测画法中有关量的计算1（计算原图相关量）
【方法点拨】根据斜二测画法中平面图形的面积与其直观图的面积的关系，结合具体条件，进行转化求解即可.
1.（2022春·山西吕梁·高一校联考期中）某几何体底面的四边形OABC直观图为如图矩形，其中，，则该几何体底面对角线AC的实际长度为（ ）
A．6 B． C． D．
2．（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为，则梯形的面积为（ ）
A．2S B．S C．2S D．S
3．（2022春·福建厦门·高一校考期中）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形．已知，则的面积为（ ）
A． B．4 C． D．2
4．（2022春·江苏南京·高一校联考期末）如图，水平放置的四边形的斜二测直观图为矩形，已知，，则四边形的周长为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．
5．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为的正三角形，原的面积为 __．
6．（2022春·江西新余·高一统考期末）若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，，，则原四边形的面积（ ）
A．12 B．6 C． D．
高频考点6. 斜二测画法中有关量的计算2（计算直观图相关量）
【方法点拨】
1．（2022·浙江·高一校联考期中）已知的面积为，下图是的直观图，已知，，过作轴于，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022春·湖南·高一校联考期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形如图所示.已知为坐标原点，,,.在用斜二测画法画出的它的直观图中，四边形的周长为（ ）
A．8 B．10 C． D．
3．（2022春·天津西青·高一统考期末）已知正的边长为，那么的直观图的面积为__________.
4．（2022春·上海虹口·高一校考期末）将边长为2的正方形水平放置，得到的直观图的面积为___________.
5.（2022春·浙江宁波·高一统考期末）如图，水平放置的矩形，在直角坐标系下点的坐标为，则用斜二测画法画出的矩形的直观图中，顶点到轴的距离为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·上海·高二专题练习）如图∶矩形的长为4cm，宽为2cm，是的中点，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则四边形的周长为∶__________cm；
【课后训练】
全卷共22题 满分：150分 时间：120分钟
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2022·高一课时练习）关于斜二测画法，下列说法错误的是（ ）
A．平行直线的直观图仍然是平行直线
B．垂直直线的直观图仍然是垂直直线
C．直观图中分别与两条坐标轴重合的直线，实际的位置是相互垂直的
D．线段的中点在直观图中仍然是中点
2、（2022春·山东临沂·高一统考期中）如图，是水平放置的的斜二测直观图，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．是等腰直角三角形 B．是锐角三角形
C．是钝角三角形 D．是等边三角形
3．（2022·四川广安·校考二模）正三角形的边长为1，建立如图所示的直角坐标系，则它的直观图的面积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·陕西西安·校考模拟预测）如图所示，正方形的边长为2cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A．16cm B．cm C．8cm D．cm
5．（2022·宁夏银川·银川一中校考三模）已知水平放置的平面四边形，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则的周长为（ ）
A．2 B．6 C． D．8
6．（2022春·河南平顶山·高一统考期末）如图所示，在四边形中，，，，且，则四边形水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（ ）
A． B．5 C． D．
7．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中学校校考阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，轴，则中边上的中线的长度为（ ）
A． B． C． D．
8.（2022春·河南新乡·高一统考期末）在直角坐标系中水平放置的直角梯形OABC如图所示．已知O为坐标原点，，，．在用斜二测画法画出的直观图中，四边形的面积为（ ）
A．4 B． C．8 D．
二 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9、（2022·高一课时练习）对于用斜二测画法所得的直观图，以下说法错误的是（ ）
A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B．正方形的直观图为平行四边形
C．梯形的直观图不是梯形 D．正三角形的直观图一定为等腰三角形
10、（2022·高一课时练习）下列说法中正确的有（ ）
A．画直观图时与x轴、y轴对应的轴、轴之间的夹角应为或
B．长方体直观图的长、宽、高与原长方体的长、宽、高的比例相同
C．水平放置的矩形的直观图是平行四边形
D．水平放置的圆的直观图是椭圆
11．（2023·全国·高三专题练习）如图所示的是水平放置的三角形直观图，是中边上的一点，且，又轴，那么原的、、三条线段中（ ）
A．最长的是 B．最长的是 C．最短的是 D．最短的是
12．（2022春·浙江温州·高一统考期末）已知是等腰直角三角形， ， 用斜二测画法画出它的直观图 ， 则的长可能是（ ）
A． B． C． D．
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（2022·湖北·恩施市校联考模拟预测）如图，正方形的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为________．
14．（2022春·重庆长寿·高一校考阶段练习）水平放置的的斜二测直观图如图所示，已知，，则边上的中线的实际长度为________.
.15（2022春·湖南株洲·高一校联考期中）如图， 是水平放置的斜二测直观图， 其中，， 则原图形 的面积是 _____________．
16、（2022春·山东德州·高一校考阶段练习）已知在如图所示的等腰梯形中，，，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为__________.
四 解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17．（2022·高一课时练习）画长、宽、高分别为，，的长方体的直观图．
18．（2022·高二课时练习）如图所示，四边形是一个梯形，，，为等腰直角三角形，为的中点，试画出梯形水平放置的直观图，并求直观图的面积．
19．（2022·全国·高一专题练习）用斜二测画法画出下列平面图形水平放置的直观图.
20、（2022·全国·高一假期作业）如图所示，梯形是一平面图形的直观图．若，，，．试画出原四边形．
21、（2022春·山西晋中·高一校考阶段练习）如图，梯形是一水平放置的平面图形在斜二测画法下的直观图.若平行于轴，，求梯形的面积.
22．（2023·全国高一课时练习）画出一个上 下底面边长分别为1,2,高为2的正三棱台的直观图.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com) 15

展开更多......

收起↑