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(共78张PPT)
从“心”出发 向”新“奋进
2023年3月5日·湛江
2心：精心教0，潜心研；新：2新课标，新中考3
目
录
CONT
ANTS
一
备考方向的研究到位
二
考点考法的复习到位
三
习题考题的选择到位
四
数学思维的训练到位
五
中考冲刺的措施到位
一 备考方向的研究到位
中国教育报课程周刊主编汪瑞林认为，今年的高考数学之所以“难”，在于在套路化、模式化的应试思路之下，考生遇到不在套路范围内的新题则畏惧。个别省市中考高分学生扎堆，除了试题的绝对难度降低，恐怕也有考查方式保守，试题探究性、开放性、综合性不足的问题。这样的降低难度并不代表未来的发展方向，水涨船高式的高分也不能减轻家长的焦虑。
汪主编认为，今后，中考不会越来越简单，高考也不会越来越难，而是从
知识立意走向素养立意，更加强调情景化、应用性和创新性。“
三反：反套路，反刷题，反应试。教师只有掌握了这种命题趋势，才能更好改革教学方式，从而更适应新的中高考。当然，这一届学生受疫情影响最大，命题者应该会考虑到。
求反比例函数解析式；
一次函数与反比例函数相交；
求面积或求值。
1.考查方向
试题特点
对函数概念、图象、性质等基础知识、基本技能、基本思想进行考查的同时，积极尝试跨学科综合试题的探索（如与化学、物理、生物等知识综合)；
创设真实的生活情境，设计有实际意义的问题，考查抽象
能力、几何直观、模型观念、应用意识等核心素养；
以函数知识为主线，考查提出问题、发现问题、分析问 题与解决问题的能力，突出函数与方程、不等式的联系，渗透函数观念与思想。
4.反比例函数问题的常规处理方法
联立方程组、解方程组；
分析反比例函数与一次函数图象 特征，由特征找特点，分析问题；
反比例函数k的几何意义；
善于利用勾股定理和三角形全等
或相似以及求面积方法求解。
3.与其他知识的融合考查
三角形相似与全等勾股定理
解方程组及解一元二次方程
平行四边形的性质
求面积的方法
（一）例 反比例函数
二 考点考法的复习到位
二 考点考法的复习到位
（二）《反比例函数》的考点考法
考点1 函数的概念
考法1 结合实际问题利用函数概念解题
创新题：（2022 扬州）某市举行中学生党史知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数 x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优
秀人数最多的是（ C ）
A．甲 B．乙
C．丙
D．丁
反比例中|k|越大，则图象越远离坐标轴
考点2 反比例函数的图象与性质
1
考点2 已知解析式，判断反比例函数的图象所在象限或增减性
2
考法1 根据增减性判断函数图象上点的纵坐标大小
3
考法2 已知反比例函数图象所在象限或增减性求参数的取值范围
考点3 反比例函数中 k 的几何意义
考点3
1
2
3
4
5
考法1 已知图象上一点求反比例函数解析式
（创新题．跨学科试题）（此处有超链接）
考法3 反比例函数与一次函数结合求k值
考法5 反比例函数与三角形线段关
系结合求k值（此处有超链接）
考法4 结合反比例函数k值求三角形面积
考法2 反比例函数与矩形面积结合求 k 值
（此处与超链接）
1
考法1 已知图象上一点求反比例函数解析式（创新题．跨学科试题）
创新题：（2022 山西）根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p
（Pa）是它的受力面积S（m2）的反比例函数，其函数图象如图所示．当S＝0.25m2时
，该物体承受的压强p的值为 400 Pa．
P =

2 考法2 反比例函数与矩形面积结合求 k 值
创新题：（2022 成都）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝﹣2x+6的图象与反比例

函数y＝ 的图象相交于A（a，4），B两点．
（1）求反比例函数的表达式及点B的坐标；
过点A作直线AC，交反比例函数图象于另一点C，连接BC，
当线段AC被y轴分成长度比为1：2的两部分时，求BC的长；
我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”．设P是第三象限内的反比例函数图象上一点，Q是平面内一点，当四边形ABPQ是完美筝形时，求P，Q两点的坐标．
新定义
5
考法5 反比例函数与三角形线段关系结合求k值
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞ 的解集；
创新题：（2022 重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ 4 的图
x
象相交于点A（1，m），B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
4
x
（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，
求△ABC的面积．
方程
一元一次
方程
二元一次
方程
分式方程
一元二次方程
模型建构
抽象
化归
方程求解
推理
概念
解法
应用
概念
解法
应用
概念
解法
应用
概念
解法
应用
教科书中方程有关知识的结构
方程两种单元结构关系图
重组的方程单元结构
(三）复习课课型·知识复习课
二元一次方程组
可化为一元一次方程的分式方程
一元二次方程
一元一次方程
消元
去分母
降次
(三）复习课课型·知识复习课
知识结构化示意图
学科内跨学科跨学段
(三）复习课课型·知识复习课
圆中常见辅助线模型
圆是中考必考的内容，只有掌握正确的解题方法，才能更好地学好圆的相关知识，并且对于提高学生的综合能力也非常重 要．而在解决圆的有关问题时，恰当添作辅助线则是解题的关 键．在作辅助线时，应从结论入手分析，寻找题设和结论之间的关系，寻找隐含的条件，使辅助线起到“搭桥铺路”的作用．
(三）复习课课型·方法总结课
（一）连半径，构造等腰三角形
（二）有直径，构造直角三角形
圆中常见辅助线
（四）有“弦的中点”作弦心距
（三）作弦心距，用垂径定理求线段长
（五）有弧中点，连接过弧中点的半径
（六）有等弧，作所对的弦、圆心角、圆周角
（七）有弦中点时，常构造三角形中位线
（八）有切点，连圆心，构造垂直
（十）切线判定，作垂直证半径，作半径证垂直
（十一）有内切圆，作角平分线
（十二）圆上有四点时，构造圆内接四边形
（十三）构造特殊的直角三角形
（十四）构造扇形与三角形，化不规则图形为规则图形
（十五）见角的平分线作垂线段
（十六）两圆相交，连接公共弦或两个圆心
G
E
O
C
D
A
B
F
H
E
F
O
D
A
C
B
G
M
H
D
C
O
A
B
E
P
F
A
E
O
C
B
D
F
（九）有弦切角，作它所对应的圆周角或圆心角
A F
C
O
B
D
E
G

(三）复习课课型·习题训练课
1. 在平面直角坐标系中，点A、B在坐标轴上，其中A（0，a）、B（b，0）满足：
．
（1）求A、B两点的坐标；
②设P的坐标为（0，m）则AP的长为2﹣m
S△ABC＝S △ APC+S △ APB
（2）将线段AB平移到CD，点A的对应点为C（﹣2，﹣2），如图所示．
①写出点B的对应点D的坐标 ．
②连接AC、BC，其中BC交y轴于点P，已知三角形ABC的面积为8，求点P的坐标．
宽高法
2.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为（1，1）（5，1）（2，4）．请你 在下面的坐标系中画出这三个点，根据这三个点的位置画出一个平行四边形，
并写出第四个点的坐标．
解：如图所示：
①以BC为对角线时，第四点的坐标为（6，4）；
②以AC为对角线时，第四点的坐标为（﹣2，4）；
③以AB为对角线时，第四点的坐标为（4，﹣2）；
第四个顶点的坐标为（6，4）或（﹣2，4）或（4，﹣2）．
方法：坐标系中□ABCD的四个点A、B、C、D的坐标满足
xA＋xC＝xB＋xD；yA＋yC＝yB＋yD.
小题大做大题小做
如图，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，AB表示点A和点B之间的距离，且a，b满足|a+2|+（b+5a）2＝0．
求A，B两点之间的距离；
若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则原点与数 表示的点重合；
点P从点A处以1个单位长度/秒的速度向左移动；同时点Q从点B处以2个单位长度/秒的速度也向左移动，设运动的时间为t（秒），当点P，Q与点A三者中恰好有一点是另外两个的中点时，求t的值；
点P以1个单位长度/秒的速度从点A运动到点B；同时点Q以2个单位长度/秒的速度从点B到点A再到点B，设运动的时间为t（秒），当点P到原点的距离是点Q到原点的距离的两倍时，求t的值．
解：（4）若0＜t≤2，且OP＝2OQ，则2﹣t＝2（10﹣2t），解得t＝6，不符合题意，舍去；
若2＜t≤5，且OP＝2OQ，则t﹣2＝2（10﹣2t），解得t＝4.4；
若5＜t≤6，且OP＝2OQ，则t﹣2＝2（2t﹣10），解得t＝6；
＝
若6＜t≤7，且OP＝2OQ，则t﹣2＝2（14﹣2t），解得t＝6，不符合题意，舍去；若7＜t≤12，且OP＝2OQ，则t﹣2＝2（2t﹣14），解得t
综上所述，t的值为4.4或6或 ．
综合性强，化动为静，分类讨论、数形结合、方程思想，空间观念、运算能力、推理能力，阅读理解能力。
(三）复习课课型·习题训练课
审题能力
4.【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA＝ ∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好
线”．例如，如图1，∠AOB＝60°，∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝20°，则∠AOC＝射线OA的友好线；同时，由于∠BOD＝ ∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．
相遇之前
OC是OA的友好线
OD是OC的友好线
相遇之后
OD是OA的友好线
OD是OC的友好线
【知识运用】新定义，化动为静，分类讨论、数形结合、方程思想，空间观念、运算能力、推理能力，阅读理解能力。
如图2，∠AOB＝120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM＝ °；
如图3，∠AOB＝180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线
OB重合，并绕点O以每秒3°的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
∠AOB，称射线OC是
阅读量
OC是OA的友好线
OC是OD的友好线
OD是OA的友好线
OC是OD的友好线
三 习 题 考 题 的 选 择 到 位
（一）从真实的情境中抽象的试题
聚焦时代重大现实问题、关键历史事件、社会热点话题、科技前沿进步、伟大建设成就等，着重考查学生的家国情怀、奋斗精神、责任担当与理想信念，以及美育、体育、劳动等领域的道德品质。
例（2022 北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后
的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动
员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞ ”“＝”或“＜”）．
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
例（2022 北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后
的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动
员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．某运动员进行了两次训练．
（1）第一次训练时，该运动员的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）；
水平距离x/m 0 2 5 8 11 14
竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40
解：（1）根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标
为：（8，23.20），
∴h＝8，k＝23.20，
即该运动员竖直高度的最大值为23.20m，
根据表格中的数据可知，当x＝0时，y＝20.00，代入y
＝a（x﹣8）2+23.20得：
20.00＝a（0﹣8）2+23.20， 解得：a＝﹣0.05，
∴函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；
识图、读表能力
（2）设着陆点的纵坐标为t，则第一次训练时，t＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20，
或x＝8﹣
∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离d1＝8+
第二次训练时，t＝﹣0.04（x﹣9）2+23.24，
，
解得：x＝9+
，
∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离d2＝9+
∵20（23.20﹣t）＜25（23.24﹣t）， ∴d1＜d2，
解得：x＝8+ 20 23.20 t 20 23.20 t ，
25 23.24 t 或x＝9﹣
25 23.24 t
20 23.20 t
25 23.24 t ，
例（2022 北京）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起
跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y＝a（x﹣h）
2+k（a＜0）．
（2）第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣0.04（x﹣9）
2+23.24．记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为d2，
则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）．
函数关系式为：y＝﹣0.05（x﹣8）2+23.20；
模型观念、应用意识、抽象能力、代数推理
三 习 题 考 题 的 选 择 到 位
（二）揭示知识本质的试题
例（2022·扬州）在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边
，若b2=ac，则sinA的值为 .
解：在△ABC中，∠C＝90°，
∴c2＝a2+b2，
∵b2＝ac，
∴c2＝a2+ac，
等式两边同时除以ac得：a
c a
令 a x,则有1 x 1
c x
∴x2 x 1 0
1
2 2
5 1 5 1
，x2 （舍）
当x= 5 1时，x 0
2
∴x= 5 1是原分式方程的解 2
a 5 1
∴sin A= =
c 2
解得x
三角函数的本质就是线段的比
三 习 题 考 题 的 选 择 到 位
（三）结构不良的试题
结构不良问题并不是这个问题本身有什么错误或是不恰当，而是指它没有明确的结构、要求或解决的途径。
学生学习中常见的试题一般都是结构良好的试题，条件不多不少
，需要解决的问题目标明确，有规范的思路和解法。然而现实生活中却并非如此，解决结构不良问题对考查学生的素养和能力，发挥考试的选拔功能、促进学生素养的养成和能力的提升具有深远意义。
三 习 题 考 题 的 选 择 到 位
（三）结构不良的试题
——任子朝，赵轩：数学考试中的结构不良问题研究[J].数学通报，2020年第2期.
1
2 4
具有多种解决方法、途径；
3
5
问题条件或数据部分
缺失或冗余；
问题目标界定不明确；
具有多种评价解决方法的标准；
所涉及的概念、规
则和原理等不确定。
数学科的结构不良问题的主要特征
例（2022 嘉兴）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，
AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．
若赞同小惠的证法，在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请补充一个条件，并证明．
解：赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：
小惠： 证明：∵AC⊥BD，OB＝OD， ∴AC垂直平分BD． ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴四边形ABCD是菱形． 小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．
∵OA＝OC，OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，又∵AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
结论开放性试题：平分
∠ABD =∠CBD
BD平分∠ABC AD∥BC AB∥CD
三 习 题 考 题 的 选 择 到 位
（四）创新性的试题
数学核心素养发展的本源是知识，知识学习的目标有三层：一是知识理解水平，是核心素养发展的前提和条件；二是知识迁移水平，是将所学迁移到不同的情境中去，促进新知识的学习或解决不同情境中的问题；三是知识创新水平，能够提出和发现新的问题，形成学科思维。知识理解、知识迁移、知识创新就是发展学生学科核心素养的三级教学目标。
——喻平：发展学生学科核心素养的教学目标与策略. 课程·教材·教法，
2017.01.
例（2022 河南）呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车．酒精气体传
感器是一种气敏电阻（图1中的R1），R1的阻值随呼气酒精浓度K的变化而变化（如图2），血液酒精浓度
）
M与呼气酒精浓度K的关系见图3．下列说法不正确的是（
A．呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小 B．当K＝0时，R1的阻值为100Ω C．当K＝10时，该驾驶员为非酒驾状态 D．当R1＝20时，该驾驶员为醉驾状态
解：由图2可知，呼气酒精浓度K越大，R1的阻值越小，故A正确，
不符合题意；
由图2知，K＝0时，R1的阻值为100，故B正确，不符合题意；
由图3知，当K＝10时，M＝2200×10×10﹣3＝22（mg/100mL），
∴当K＝10时，该驾驶员为酒驾状态，故C不正确，符合题意；由图2知，当R1＝20时，K＝40，
∴M＝2200×40×10﹣3＝88（mg/100mL），
∴该驾驶员为醉驾状态，故D正确，不符合题意；故选：C．
模型观念、应用意识、运算能力、读图识图能力、跨学科
（五）中考数学与其他学科的融合
在2022 年义务教育数学课程标准中，提出要设立跨学科主题活动，加强学科间相互关联， 带动课程综合化实施， 这也是基于学生核心素养要求， 增强学科育人的体现。
罗伟(徐州市第二十四中学)
三 习 题 考 题 的 选 择 到 位
1.数学与语文
（1）（2022 扬州）下列成语所描述的事件属于不可能事件的是（ D A．水落石出 B．水涨船高 C．水滴石穿 D．水中捞月
）
关键：
考查必然事件、不可能事件、随机事件的概念
注：语文中的这四个经典成语，与数学中的必然 事件、不可能事件有关。这也是用数学的眼光观 察现实世界。另外，吉林卷考查了文房四宝“笔、墨、纸、砚”中松花砚的俯视图；乐山卷从“智 者乐山”这四个字的华光彩云字体，判断哪个是 轴对称图形。这些题目让我们感受到了两大学科 的联系。
2.数学与英语
（2）（2022 齐齐哈尔）在单词statistics（统计学）中任意选择一个字母，字母为“s”的概率是（ C ）
关键：
考查概率
注：本题考查“统计学”中的概率，比较诙谐有 趣。眉山卷考查了英文字母的轴对称性，实际上，有些数学竞赛比如“希望杯”，有的数学题目就 是英语句子，从长远的眼光来看，学好英语，也 有利于数学的交流。
A． 1
10
B． 1 C． 3
5 10
D． 2
5
3.数学与物理
B．等式的性质2 D．不等式的性质2
（3）（2022 滨州）在物理学中，导体中的电流 I 跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间有以下关系：I＝ U ，去分母得IR＝U，那么其变形
R
的依据是（ B ） A．等式的性质1 C．分式的基本性质
关键：
等式的性质
注：现在的中考，不仅考计算，还考数学思想，数学方法等，这也是在以后的教学中，我们不能忽视的。数学和物理有着密切的联系，嘉兴、临沂卷考查了杠杆原理与反比例函数；丽水卷也考查了电压、电阻、电流与反比例函数；河北卷考查了曹冲称象与 一元一次方程；威海卷考查了光反射与角度；凉山卷考查平面镜反射与三角函数；要解决这些物理问题，则需要数学知识和方法，彰显了数学作为基础学科的重要性。
4.数学与化学
（4）（2022 江西）甲、乙两种物质的溶解度y（g）与温度t（℃）之间的
对应关系如图所示，则下列说法中，错误的是（ ）
A．甲、乙两种物质的溶解度均随着温度的升高而增大 B．当温度升高至t2℃时，甲的溶解度比乙的溶解度大 C．当温度为0℃时，甲、乙的溶解度都小于20g
D．当温度为30℃时，甲、乙的溶解度相等
注：在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量，叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度.如果能理解化学中溶解度的概念，则能更好的解决数学问题.此题本质是两个反比例函数图像的比较.另外广元卷考查石墨烯与科学计数法；河南卷考查呼气式酒精测试仪与函数。
D
5.数学与地理
（5）（2022 云南）赤道长约为40000000m，用科学记数法可以把数字40000000表示为（ A ）
A．4×107 B．40×106 C．400×105
注：赤道作为地理中的一个名词，同学们很熟悉，赤道的长度很长，用科学计数法来表示，就显出了数学的优越性.另外哈尔滨卷考查风能与科学计数法，牡丹江卷考查地震救灾问题与一次函数，山西卷考查二十四节气与概率问题等。
D．40000×103
关键：
科学记数法的表示方法
6.数学与生物
（6）（2022 山西）生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多．为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率
（单位：μmol m﹣2 s﹣1），结果统计如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是 （填“甲”或“乙”）．
关键：
方差、平均数
乙
注：通过计算，在平均数一样的前提下，选择方差小的，在育种中可培养出稳定的品种，还有山西卷考查鹦鹉螺外壳与黄金分割；粮食与科学计数法；毕节卷考查垃圾分类标识图案轴对称和中心对称性；鄂州卷考查细胞分裂与数学模型。
7.数学与政治
（7）（2022 苏州）为迎接党的二十大胜利召开，某校开展了 “学党史，悟初心”系列活动．学校对学生参加各项活动的人数进行了调查，并将数据绘制成如下统计图．若参加“书法”的人数为80人，则参加“大合唱”的人数为（ C ）
A．60人 B．100人 C．160人 D．400人
注：这是属于统计问题，在以后的学习，工作中会经常用到，此题在数学的学习中还渗透德育，培养学生正确的价值观和 人生观.河南卷也考查了主题教育活动与概率问题。
关键：
扇形统计图
8.数学与历史
．
．
．
（8）（2022 鄂州）孙权于公元221年4月自公安“都鄂”，在西山东麓营建吴王城，并取“以武而昌”之意，改鄂县为武昌．下面四个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ D ）
A． B C D
关键：
轴对称图形的概念
注：本题考查了轴对称图形的概念，介绍了武昌的由来及相关的历史，学生会倍感亲切.
9.数学与音乐
（9）（2022 丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（ C ）
A． 2 B．1
3
C．3 D．2
2
关键：
平行线分线段成比例定理
注：有的同学看到五线谱就头疼，实际上通过观察图形，运用平行线分线段成比例定理就能解决问题.美妙的音乐背后，原来五线谱中还有数学的知识。
10.数学与美术
（10）（2022 广西）《千里江山图》是宋代王希孟的作品，如图，它的局部画面装裱前是一个长为2.4米，宽为1.4米的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是8：13，且四周边衬的宽度相等，则边衬的宽度应是多少米？设边衬的宽度为x米，根据题意可列方程（ D ）
A．1.4 x 8 B．1.4 x 8
2.4 x 13 2.4 x 13
C．1.4 2x 8 D．1.4 2x 8
2.4 2x 13 2.4 2x 13
注：《千里江山图》以长卷形式，立足传统，画面细致入微，烟波浩渺的江河、层峦起伏的群山构成了一幅美妙的江南山水图，是中国十大传世名画之一。画面的装裱，是重要的一个环节，边衬的宽度通过列方程顺利解决，蕴含了模型思想.临沂卷
考查了剪纸艺术与轴对称、中心对称性。
11.数学与体育
（11）（2022 连云港）如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 4 m．
注：本题中篮球运行的曲线为抛物线，通过求二次函数中点的横坐标即可，看出数学可以解决体育中的问题.辽阳卷求篮球队员年龄的众数；吉林卷求冬奥会图案的旋转角等，也让我们领略了体育的风采。
关键：
二次函数的运用
12.数学与信息
注：二维码已经走进我们的日常生活，从日常买东西微信和支付宝，就能看出来，使人们的生活更便捷，显示了信息与数学的融合.
）
（12）（2022 安徽）随着信息化的发展，二维码已经走进我们的日常生活，其图案主要由黑、白两种小正方形组成．现对由三个小正方形组成的“ ”进行涂色，每个小正方形随机涂成黑色或白色，恰好是两个黑色小正方形和一个白色小正方形的概率为（ B
A． 1
3
C．1
2
B．3
8
D．2
3
关键：
树状图法求概率
B．点O是△DEF三条中线的交点
（13）（2022 潍坊）如图，△ABC的内切圆（圆心为O）与各边分别相切于点
D，E，F，连接EF，DE，DF．以点B为圆心，以适当长为半径作弧分别交AB，
1
BC于G，H两点；分别以点G，H为圆心，以大于2 GH 的长为半径作弧，两条
弧交于点P；作射线BP．下列说法正确的是（AC ）
A．射线BP一定过点O
13.数学与高考
1
C．若△ABC是等边三角形，则DE＝ 2 BC
D．点O不是△DEF三条边的垂直平分线的交点
注：本题考查的是三角形的外接圆与外心、内切圆与内心， 掌握三角形的外心和内心的定义、基本尺规作图是解题的关键
按照新课程标准的要求和陶行知先生倡导“生活教育”，我们要进行跨学科主题活动，要与各科教师多交流沟通蕴含的数学成分，或者运用数学知识去解决其他学科的问题，同时鼓励学生在进行各科学习时讨论与数学相关的问题，开展项目化活动，增强各学科育人功能，促进学生综合素养的不断提高。
中考中数学与其他学科的融合
三 习 题 考 题 的 选 择 到 位
（六）探究性的试题
奥恩斯坦发现探究对于学生成绩的提升具有积极作用，而探究最好的载体是问题驱动下对问题及问题的延伸做进一步的思考。
例（2022 江西）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要 根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，

并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝ ∠AOB；
知识应用（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
例（2022 江西）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况

的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝ ∠AOB；
知识应用（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的长．
解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD+∠BOD＝2∠ACO+2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
③如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA＝OC＝OB，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠AOD＝∠A+∠ACO＝2∠ACO，∠BOD＝∠B+∠BCO＝2∠BCO，
∴∠AOB＝∠AOD﹣∠BOD＝2∠ACO﹣2∠BCO＝2∠ACB，
∴∠ACB＝∠AOB；
C
C
图2
图3
∵OA＝2，
∴OP＝2OA＝4，
∴PA＝2 ．
知识应用（2）如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C＝60°，求PA的
长． （2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝2∠C＝120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝
（180°﹣120°）＝30°，
例（2022 江西）课本再现
（1）在⊙O中，∠AOB是所对的圆心角，∠C是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其

它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C＝ ∠AOB；
图4
含120°的等腰三角形
的底边是腰的 倍.
三 习 题 考 题 的 选 择 到 位
（七）开放性的试题
例（2022 德阳市）如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，与BC相交于点G，则下列结论：①∠BAD＝∠CAD；②若∠BAC＝60°，则∠BEC＝120°；③若点 G为BC的中点，则∠BGD＝90°；④BD＝DE．其中一定正确的个数是（ D ）
A．1 B．2 C．3
D．4
∵∠BAD＝∠CAD，
∴ BC DC
∴OD⊥BC，
∵点G为BC的中点，
∴G一定在OD上，
∴∠BGD＝90°，故③正确；
如图，连接BE，
∴BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠DBC＝∠DAC＝∠BAD，
∴∠DBC+∠EBC＝∠EBA+∠EAB，
∴∠DBE＝∠DEB，
∴DB＝DE，故④正确．
2 2
∵∠BAC＝60°，
解：∵E是△ABC的内心，
∴AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，故①正确；如图，连接BE，CE，
∵E是△ABC的内心，
∴∠EBC 1∠ABC，∠ECB= 1∠ACB
∴∠ABC+∠ACB＝120°，
∴∠BEC＝180°﹣∠EBC﹣∠ECB＝180°
－（1 ∠ABC+∠ACB）＝120°，故②正确；
2
三 习 题 考 题 的 选 择 到 位
（八）代数推理的试题
1.以代数式（方程、不等式或函数）为背景，通过图形直观寻找推理方法；
3.从代数到代数的推理问题；
2.现实情境或图形问题代数模型化解决；
4.与定义结合的推理问题；
在第一轮复习中突出代数式、方程、不等式、函数等代数核心知识
教学，强化函数、坐标、图形、代数运算之间的联系；渗透分类讨论、数形结合、转化、整体、方程、模型、从特殊到一般等数学思想；让学生初步感受换元法、夹逼法、反证法、作差法等在代数推理中的运用。
例（2022 福建）已知抛物线y＝x2+2x﹣n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2﹣2x﹣n与x轴交于C
，D两点，其中n＞0．若AD＝2BC，则n的值为 ．
解：∵y＝x2+2x﹣n＝（x+1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2 + 2x﹣n的对称轴为直线x＝﹣1
，顶点坐标为（﹣1，﹣n﹣1），
∵y＝x2﹣2x﹣n＝（x﹣1）2﹣n﹣1，
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣n﹣1），
∴抛物线y＝x2﹣2x﹣n的图象可由y＝
x2+2x﹣n的图象向右平移两个单位得到，
∵n＞0，
∴﹣n﹣1＜﹣1，
两函数的图象如图所示：
由平移得，AC＝BD＝2，
∵AB＝CD，AD＝2BC，
01
以代数式（方程、不等式或函数）为背景，通过图形直观寻找推理方法；
∴BC＝2AC＝4，
∴CD＝BC+BD＝6，
∵点C，D关于直线x＝1对称，
∴C（﹣2，0），
∵点C在抛物线 y＝x2﹣2x﹣n 上，
∴4+4﹣n＝0，
∴n＝8，
故答案为：8．
例（2022 乐山）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“
优美矩形”．如图所示，“优美矩形”ABCD的周长为26，则正方形d的边长为 ．
【分析】设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的边长为3x，正方形d的边长为5x，利用矩形的周长计算公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可求出x的值，再将其代入5x中即可求出结论．
解：设正方形b的边长为x，则正方形a的边长为2x，正方形c的
边长为3x，正方形d的边长为5x， 依题意得：（3x+5x+5x）×2＝26，解得：x＝1，
∴5x＝5×1＝5，
即正方形d的边长为5．故答案为：5．
02
现实情境或图形问题代数模型化解决；
03
从代数到代数的推理问题；
例（2022·嘉兴）设
的两位数是45．
（1）尝试：
，
是一个两位数，其中a是十位上的数字（1≤a≤9）．例如，当a＝4时
表示
①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25；
②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
③当a＝3时，352＝1225＝ ；
……
归纳： 与100a（a+1）+25有怎样的大小关系？试说明理由．
运用：若 与100a的差为2525，求a的值．
解：（1）∵①当a＝1时，152＝225＝1×2×100+25
；②当a＝2时，252＝625＝2×3×100+25；
∴③当a＝3时，352＝1225＝3×4×100+25，
故答案为：3×4×100+25；
（2） a5 ＝100a（a+1）+25，理由如下：
a5 ＝（10a+5）（10a+5）＝100a2+100a+25
＝100a（a+1）+25；
（3）由题知， 5 ﹣100a＝2525，
即100a2+100a+25﹣100a＝2525，
解得a＝5或﹣5（舍去），
∴a的值为5．
04
与定义结合的推理问题；
∴2022 不是“勾股和数”，
∵52+52＝50，
∴5055 是“勾股和数”；
例（2022 重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个位与十位数字后得到
的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．
解：（1）∵22+22＝8，8≠20，
9
c d
例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；
又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记G（M）＝
，P（M）＝ 10 a c b d ．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有满足条件的M．
3
（2）∵M为“勾股和数”，
∴10a+b＝c2+d2，
∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，
∴cd为3的倍数．
∴①c＝0，d＝9或c＝9，d＝0，此时M＝8109或8190；
②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．
∵G（M）为整数， 为整数，
∴c+d＝9，
9
∴10 ≤ c2+d2＜100c， d
3
∴P（M）＝10 a c b d ＝为整数，
四 数学思维的训练到位
《2023中国高考》：无价值，不入题；无思维，不命题；无情境，不成题！
强调因果关系；
逻辑思维
系统思维
结构化思维
批判性思维
强调整体和局部的关系；
强调不遗不漏、不重不补，如何抓到重点；
是从不同角度去还原事情的真相，形成自己的观点。这样的思维是学生习得的关键，也是未来他能够有更大创造力的关键。
思维
出路

明线
方法
思想
素养
暗线
类
比
来路
从特
殊到一般
类比
思路
从特
殊到一般
新知引入
新知形成
新知表达新知应用
生活
熟悉了
直观了
简单了
想通了
研究思路
研究内容
研究方法
生活
整体构建
四 数学思维的训练要到位
结构化思维教学
四 数学思维的训练到位
不同的解题方法，可以培养学生不同的思维方式．如，一题多解可以培养思 维的广阔性；数形结合，可以培养思维的灵活性；巧妙构造，可以培养思维的独 创性；逆向探求，可以培养思维的敏捷性；动静变换，可以培养思维的变通性等。
讲完一道题后，追问“你还有其他解法吗？”这样就给学生创造了思考、
探究、展示自己思维的机会。有利于营造积极思考的氛围，有利于学生多角度思考问题，有利于将知识、思想、方法连成线、结成网、筑成块、构成体，加深学生对相关知识的理解，从而培养学生的发散性思维。
（一）一题多解，培养发散性思维
例 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.
求证： BD AB
CD AC
一
.
法1：过点C作AB的平行线l，延长AD交于l点E（即AB∥CE）
∴△ABD∽△ECD，∠BAD=∠E
∴ BD AB
题
多
解
CD EC
又AD平分∠BAC
∴∠BAD=∠CAE
∴∠E=∠CAE
∴AC=EC
∴ BD AB
CD AC
法2：以C为圆心，CA为半径作弧，交AD的
延长线于点E（即CE=AC）
法3：过点C作AD的平行线l，延长BA
交于l点E（即AD∥CE）


= ， =
三角形内角平分线定理：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。
角平分线+平行线=等腰三角形
法4：以A为圆心，AC为半径作弧，交BA的延长线于点E（即AE=AC）
例 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.
.
求证： BD AB
CD AC
一
题
多
解
法5：以C为圆心，CD为半径作弧，交AD于点E（即CE=CD）
∴∠CED=∠EDC
∵∠CED=∠DAC+∠ACE
∠EDC=∠BAD+∠B
AD平分∠BAC
∴可证∠B=∠ACE
∴△ABD∽△ACE
∴ BD AB ∴ BD AB
CE AC CD AC
法6：作∠ACE=∠B，证CE=CD
法7：过点D作DE∥AC交AB于E
CD AE
则△BDE∽△BCA，BD BE
DE AC CD AC
CD DE
又由相似的性质 BE AB ，可证得 BD AB
又∵AD平分∠BAC
易证∠BAD=∠EDA
∴AE=DE
∴ BD BE
例 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC.
.
求证： BD AB
CD AC
一
题
多
解
法8：过点D作DE⊥AB于E，作DF⊥AC于F
∵AD平分∠BAC
∴DE=DF
∵△ABD与△ACD等高（同高）
AB
S
∴S△ABF
法9：过点B作BE⊥AD的延长线于E，过点C作CF⊥AD的延长线于F
∴CF∥BE
∴△CFD∽△BED
∴ BD BE CD CF
∵△ABD与△ACD等高（同底）
S
∴S△ABF
AB ∴BD AB CD AC
AC CF
法10：证△ABE∽△ACF
AB BE
∴
例 已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC
.
.
求证： BD AB
CD AC
一
题
多
解
法11：作△ABC的外接圆O，延长AD交圆O于点E
∵AD平分∠BAC
∴∠BAE=∠CAE
∴同弧所对圆心角∠BOE=∠COE
∴BE=CE
易证△BDE∽△ADC
∴ BD BE
AD AC
由△CED∽△ABD
得 CD CE
AD AB
BD BE
CD CE
∴ AD AC 得 BD AB
CD AC
AD AB
BD AB
CD AC

一
题
多
解
三角形内角平分线性质
三角形外角平分线性质
三角形外角平分线定理：三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。
（过点C作平行线）
AB BD AC CD
证
段明
的比
方例
法线

相似法

作平行
证等腰
方法
数形结合
几何直观
推理能力
模型观念
运算能力
知识
思想 素养
面积法
三角函
数法
作等腰
证平行
角平分线+平行线=等腰三角形，平行法，两角法，等量代换， A字型，X型，等腰三
角形的判定，辅助圆，圆周角定理
化归思想
方程思想
四 数学思维的训练到位
牛顿说：“没有大胆的猜想，就不会有伟大的发现。” 教学中，可以通过
教材例（习）题，鼓励、引导学生大胆猜想，以培学生的创造性思维。
一题多变，给人新鲜感，唤起学生的好奇心和求知欲；
一题多变，体现知识的关联，深化对概念、公式、定理的理解与应用；
一题多变，培养学生的观察能力，思考由浅入深，体验数学从简单到复杂，从一般到特殊的探索规律，培养学生迁移类推能力和归纳能力；
一题多变，引导学生去探求“变异”的结果，可以克服思维定式，提高思维的敏捷性、应变性、发散性、创造性等。
（二）一题多变，培养学生创造性思维
例 如图1，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°,P为AB的中点.
若点M、N分别在线段AC、BC上移动，在移动中保持CM=BN，试判断△PMN的形状，并证明你的结论.
一
题
多
变
第一，若变换原题中的题设与结论，即可得到以下变式题：
1
变式1 将原命题变换为“若点M、N分别在线段AC、BC上移动，在移动中
保持∠MPN=90°,试猜想PM与PN、CM与BN之间有何等量关系，并证
明你的结论”.
变式2 将原命题变换为“若点M、N分别在直线CB、AC的延长线上移动，
在移动中保持∠MPN=90°,(如图2)，试猜想PM与PN、CM与BN之间有
何等量关系，并证明你的猜想.”
方法同变式1
斜中线、三线合一构造等腰Rt△，SAS
斜中线、三线合一，构造等腰Rt△，ASA
一
题
多
变
变式3 将原命题变换成一个操作题：(如图3)，△ABC是一块含45°角
的三角板，△PDE是一块含30°角的三角板，且点P是AB的中点，
把△PDE绕着点P旋转任意角 (0°＜ ＜45°)，上述结论是否成立
？为什么？
方法同变式1
变式4 若将变式3的“点P是AB的中点”改为“AP:PB=3:1”，试猜想线段
PM与PN之间有何数量关系？并说明你的理由.
△APF∽△BPG， PF ：PG =3:1
△PMF∽△PNG，PM ：PN =3:1
变式5 若将变式3的“点P是AB的中点”改为“AP:PB=n:m”，试猜想线
段PM与PN之间有何数量关系？并说明你的理由.
由特殊到一般
F
G
辅助线发生变化
例 如图1，在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°,P为AB的中点.
若点M、N分别在线段AC、BC上移动，在移动中保持CM=BN，试判断△PMN的形状，并证明你的结论.
一
题
多
变
第二，若变换图形、探究数量间的关系，即可得到以下变式题：
2
变式6 已知，如图1，在Rt△ABC中，BC=AC=a，∠ACB=90°,点P
是AB中点，若点M、N分别在线段AC、BC上移动，在移动中保持
∠MPN=90°,
Ⅰ.试问四边形CMPN的面积是否发生变化？
Ⅱ.CM+CN的长度是否发生变化？若不变，试分别求出它们的值；若
有变，请说明你的理由.
F
E
由特殊到一般，作垂直，三线合一，角分线，同角的余角相等，AAS
一
题
多
变
变式7 若将“变式1”变换为“已知∠ACB=90°，CK是∠ACB的平分线（如图）,请按
以下要求解答问题”.
(1)将三角板的顶点P在射线CK上移动，两直角边分别与CA、CB相交于点M、N.
①在图4中，证明：PM=PN.
3

②在图5中，点D是MN与CP的交点，且PD= PN．求△PCN与△PND的面积之比.
图4
图5
方法与变式6类似
△PCN与△PND共边共角相似
一
题
多
变
变式8 如图，已知正方形ABCD边长为a，对角线AC，BD相交于点O，将另一边长为a的正
方形OEFG的一个顶点放在O处，其相邻两边与正方形ABCD的相邻两边相交于M、N两点，当正方形OEFG绕着O点旋转任意角度时，请探索：在旋转过程中，两个正方形重叠部分图形的周长与面积是否发生变化，若变化，请求出其变化范围，若不变，请求出
相应的定值．
第三，若变换图形、探究规律，即可得到以下变式题：
3
△OBM≌△OCN（ASA），得S
△OBM
＝S
△OCN
4
，1 2
最小2a，最大（1+
2 ）
四 数学思维的训练到位
多题一解，指的是在习题处理时，帮助和引导学生对所做的习题进行归纳总结，分
类比较，异中求同，从而揭开不同习题的表面现象，挖掘它们的本质结构，以达到数学知识的变通性、规律性和发展性，进而形成解决问题的通法。它可使学生对所学的内容更感兴趣，感到一切新问题都是可以转化成已经解决的问题来解决。
习题教学中要有意识地帮助学生养成良好的总结归纳的习惯，比如做题时让学生分
析题目所考查的知识点，用的是什么方法解决的，做过的典型题目中哪些也用到了这种方法，并让他们试着找出相同类型的题目，比较一下这些题目之间的区别和联系，以及题目解法的相同点是什么等等，逐步培养他们学会自己去提炼数学思想和方法的能力。
（三）多题一解，培养学生求同性思维
（1）计算（3x-1）（3x+1）
（2）计算（3x-2y）（3x+2y）
（3）一个长方体的长、宽、高分别为x-3，x+3，x +9 ，体积为544，求x.
解：根据题意，得：（x-3）（x+3）（x +9 ）=544
解得：x=±5
∵x＞3
∴x=5
（4）求2×（3+1）×（3 +1）×（34+1）×…×（332+1）-364的值.
解：原式=（3-1）×（3+1）×（3 +1）×（34+1）×…×（332+1）-364
=（3 -1）×（3 +1）×（34+1）×…×（332+1）-364
=（34-1）×（34+1）×…×（332+1）-364
=……
=（364-1）-364
=-1
代数例题
代数例题
（5）已知364-1能被80-90之间的两个整数整除，这两个整数是 .
解：364﹣1，
＝（332）2﹣1，
＝（332+1）（332﹣1），
＝（332+1）[（316）2﹣1]，
＝（332+1）（316+1）（316﹣1），
＝（332+1）（316+1）（38+1）（38﹣1），
＝（332+1）（316+1）（38+1）（34+1）（34﹣1），其中（34+1）（34﹣1）就是82和80，
所以两个整数是82，80．
（6）计算123456783×123456789×（123456786 +9）-1234567864
解：设123456786=a，则
原式=（a-3）（a+3）（a +9）- a4
=（a4-81）- a4
=-81
多题一解在训练思维能力的过程中，可分为以下几个步骤实施：
1.选题
选题时要注意问题与问题之间的关联性，要做到在形式上不同，在实质上相同；
3.归纳提炼
通过对基本问题的解决，让学生总结出最基础的解决方法，并上升为一种通式。
2.基本问题
先要引导学生解决多道问题中最为一般、 最为基础的问题。
4.解决问题
阅读其他问题，由表及里，分析与已解决问题之间内在的、实质上的联系，并应用已有通式解决之。
5.反思点拨
总结学生的解题思路和思考方法，反思学生的思维特点并予以点拨。
教学中，教师应通过一题多解，到一题多变、多题归一，最后整理总结，得到多题一解，让学生在紧张的做题过程中，看到一道题就知 道怎么去思考和解决。面对一个问题，如果深 入去分析、解决与反思，必能以一当十、以少 胜多，也就无需茫茫的题海了。多题一解，让 学习由厚变薄，这样既减负增效，又培养了学 生的思维能力。
四 数学思维的训练到位
五 中考冲刺的措施到位
（一）制定“三个”计划
1.自主复习计划
自主小结计划
自主调节计划
（三）做好“五练”
（此处有超链接）
（二）落实“四件”事情
每天有具体的重点复习内容；
每天列出常考易错的知识清单；
每天落实一次基础练习；
每周保证一次套题训练。
（四）评价“五多五少”
（此处有超链接）
中考冲刺
（五）善作善成 久久为功
五 中考冲刺的措施到位
（三）做好“五练”
1
练规范是审题规范、解答规范，做到思路明确、书写认真、步骤清晰；
练速度是在规定的时间内，完成一定量的题目（阅读量不少于中考），并保证会做的题目拿满分；补漏卷的完成时间要少于同等题量的常规测试时间；
练重点是加大重点题型、专题、考点、自己薄弱点的练习，熟练掌握这些内容的解题思路和规律；
2
3
4
练技巧是分析各类题型的隐含条件，巧妙选择解题方法，掌握常见题型的解题技巧；
5 练能力是通过练习逐步培养自己的应变能力，能够沉着冷静地解答好每一题。
多鼓励，少批评，保护学生上进心；多讲希望，少摆困难，保护学生自信心；多个别指导、谈心，少集体对比，保护学生自尊心；多让学生总结、自我评价，少做主观评价，让学生养成一颗健康心；多找教学辅导上的原因，少指责学生，减轻学生心理负担，保持一颗平常心。
五 中考冲刺的措施到位
四
评价 “
五多五少 ”
分工
合作精准共同体
水分
书写、格式、过程规范
分明
考点必常边缘、考法基础：课前测、午练、晚练易错：周日作业、滚动补漏
分外
稳优生（专题、创新）抓临界（总分、学科）盯学困（面批、加练）
1分钟
限时作业多法优法
1分
找原因定方法常反馈
满分
考前宝典考后满分
（变式、原题、难原中变，考试课）
分层
走班、走组
个别、组长、群讲
挑战书、师徒结对
缘分
因缘而来
情、联、变、思、素养
彼此成全
各位老师：春光无限好，奋进正当时。我们要以新课
标，新中考为方向，制定高远的复习规划、详细的复习计划，
要精心教，潜心研，更要把每一件事做精、做细、做实， “致广大而尽精微”！
铢积寸累，必成丈匹。总结每一次检测的得与失，时刻保持内生动力，抓住每一分钟，弄通每一道题，精彩每
一节课，就必有所获，必能进步，2023年中考必胜！

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