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8.2立体图形的直观图
前面我们认识了柱体、锥体、台体、球以及简单组合体的结构特征。
为了将这些空间几何体画在纸上，用平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构，这就需要我们学习直观图的有关知识。
直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形。画立体图形的直观图，实际上是把不完全在同一平面内的点的集合，用同一平面内的点表示。
因此，直观图往往与立体图形的真实形状不完全相同，在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形。
要画立体图形的直观图，首先要学会画水平放置的平面图形。
观察：如图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状 矩形的农田在我们眼里又是什么形状？
在初中，我们已经学习过投影. 一个物体的投影，不仅与这个物体的形状有关，而且还与投影的方式和物体与投影面的位置有关.
如果一个矩形垂直于在投影面，投影线不垂直于投影面，则矩形中的平行投影是一个平行四边形.
利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.
1.平行性不变，但形状、长度、 夹角会改变.
2.平行直线段或同一直线上的两条线段的比不变.
3. 平行于地面的直线在地面上的投影长不变．
利用这种画法画水平放置的平面图形的直观图，其步骤如下：
(1)在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于O点．画直观图时，把它画成对应的x′轴y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′oy′=45 (或135 ).它们确定的平面表示水平面。
(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．
(3)已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半．
对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.
如图，□A′B′C′D′就是利用斜二测画法画出的水平放置的正方形ABCD的直观图.

思考: 把一个直角梯形水平放置，得其直观图如
图，比较两图，其中哪些线段之间的位置
关系、数量关系发生了变化？哪些没有发
生变化？
我们通过下面的例题一起来分析.
例1 用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.
注意：画水平放置的平面图形的关键是确定多边形顶
点的位置．
画法：(1)在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为 x轴，对称轴MN所在直线为y轴，两轴交于点O．画相应的x′轴，y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′o y′=45 .
建系时要尽量考虑图形的对称性
再以M′为中点，画E′F′∥x′轴，并且等于EF.
注意：水平放置的线段长不变，竖直放置的线段长
变为原来的一半．
(2)以O′为中点，在 x′ 轴上取A′D′=AD，在 y′ 轴上取
以N′为中点，画B′C′∥x′轴，且等于BC；
(3)连接A′B′，C′D′，D′E′，F′A′并擦去辅助线x′轴和y′轴，便获得正六边形 ABCDEF 水平放置的直观图A′B′C′D′E′F′:
请你认真领会斜二测画法画水平放置的平面图形的方法步骤.
画直观图时，除多边形外，还经常会遇到画圆的直观图的问题 . 生活的经验告诉我们，水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图. 实际画图时，常用椭圆模板.
常用的一些空间图形的平面画法
(二) 空间几何体的直观图的画法
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行线和长度都不变。下面介绍几种简单几何体的直观图的画法.
例2 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、
2 cm的长方体ABCD-A′B′C′D′的直观图.
D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
则□ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图.
画法:(1)画轴. 画x轴、y轴、z轴，
三轴交于点O(A)，使∠xOy=45
，∠xOz=90 .
（2）画底面. 在x轴正半轴上取线段AB，使AB=4 cm；
在y轴正半轴上取线段AD，
使AD=1.5cm，
过点B作y轴的平行线，
过点D作x轴的平行线，设
它们的交点为C，
D′
A
B
C
D
A′
B′
C′
(3)画侧棱. 过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.
思考 画棱柱的直观图大致可分几个步骤进行？
画轴
→
画底面
成图
→
画侧棱
→
(4)成图. 顺次连接A′，B′, C′, D′，整理得到圆柱的直观图.
对于圆锥的直观图，一般先画圆锥的底面，在借助圆锥的轴确定圆锥的顶点，最后画出两侧的两条母线.
画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆. 同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性.
分析：画组合体几何体的直观图，先要分析它的结构特征，知道其中有哪些简单几何体以及它们的组合方式，然后再画直观图.
例4 某简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱, 上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.
本题中没有尺寸要求，画图时只需选择合适的大小，表达出该几何体的结构特征就可以了.
A
B
A′
B′
P
·
P
A
B
A′
B′
O′
O
A
C
D
4．如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积.
A′（O′）
B′
C′
D′
y′
x′
A
B
C
D
一、空间几何体的直观图的特点:
1. 保持平行关系和竖直关系不变．
2. 保持水平长度和竖直长度不变；
3. 纵向长度取其一半．
二、三视图与直观图的异同

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