资源简介

(共38张PPT)
7.1复数的概念
第七章 复数
章前导入
我们知道，对于实数系的一元二次方程,当时没有实数根。因此，在研究代数方程的过程中，如果限于实数根，有些问题无法解决。
事实上，数学家在研究解方程的问题中早就遇到负实根的开平方问题，但他们一直回避。到了16世纪，数学家在研究实数系的一元三次方程的求根公式时，这一问题就无法避免了，于是他们开始尝试解决。
在解决这个问题的过程中，数学家们遇到了许多困扰，例如负实根到底能不能开平方？如何开平方？负实根开平方的意义是什么？等等
章前导入
本章，我们将体会数学家们排除这些困扰的思想，通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法，研究复数的表示、运算及其几何意义，体会“数”与“形”的融合，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。
7.1复数的概念
第七章 复数
7.1.1数域的扩充和复数的概念
课程标准
（1）通过方程的解，认识复数；
（2）理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数相等的含义
新课导入
在解决求判别式小于的实数系一元二次方程根的问题时，一个自然的想法是，能否像引进无理数而把有理数集扩充到实数集那样，通过引进新的数而使实数集得到扩充，从而使方程变得可解呢？
复数概念的引入与这种想法直接相关.
l
一
二
三
教学目标
了解引入数域扩充的必要性，感受实数系扩充到复数系的规则；
理解复数的概念；
理解复数的代数表达式，理解两个复数相等的含义。
教学目标
难点
重点
新知探究
探究一：复数的概念以及表达式
新知讲解
问题1 中，当为何值时，有实数解？当为何值时，无实数解？
当时，有实数解
当时，无实数解
没有实数解，即负实数在实数中不能开平方。
这是为什么？
这就是我们本节课所要探究的最重要的问题！
新知讲解
问题1 我们知道，方程在实数集中无解.
联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求密切相关.
追问 我们学过的数集有哪些？
自然数、整数、有理数、实数
新知讲解
N
Z
Q
R
自然数（正整数与零）
整数
有理数
实数
计数的需要
表示相反意义的量
测量、分配中的等分（分数）
度量的需要
解方程x2=2
？
新知讲解
方程在有理数集中无解的问题，人们把有理数集扩充到了实数集.
数集扩充后，在实数集中规定的加法运算、乘法运算，与原来在有理数集中规定的加法运算、乘法运算协调一致，并且加法和乘法都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律.
依照这种思想，为了解决这样的方程在实数系中无解的问题，我们设想引入一个新数，使得是方程的解，即使得.
拓展：是数学家欧拉(Le-onhard Euler，1707-1783)最早引入的，它取自(想象的，假想的)一词的词头.
新知讲解
把新引进的数添加到实数集中，我们希望数和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.
问题2 实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢？
依照以上设想，把实数与相乘，结果记作；把实数与相加，结果记作.
注意到所有实数以及都可以写成()的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中.
概念生成
我们把形如的数叫做复数，其中叫做虚数单位.全体复数所构成的集合叫做复数集.
这样，方程在复数集中就有解了.
复数通常用字母表示，即.
复数的实部
复数的虚部
新知探究
探究二：复数的相关概念（两个复数相等）
新知讲解
复数
（1）当且仅当时，它是实数；
（2）当且仅当时，它是实数；
（3）当时，它叫虚数；
（4）当且时，它叫做纯虚数.
新知讲解
对于实数是可以比较大小的。那复数是否可以比较大小？
问题3 和如何比较大小？它们什么时候能够相等呢？
实数可以比较大小，复数不可以比较大小
我们规定：与相等当且仅当且
新知讲解
问题4 ，，，它们是虚数吗？如果是，请你分别写出它们的实部与虚部分别是多少？顺手帮我判断出哪个数是纯虚数。
它们都是虚数，它们的实部分别是，，，，虚部分别是，，，
并且其中只有是纯虚数.
新知讲解
问题5 复数集与实数集之间有什么关系？
显然，实数集是复数集的真子集，即.
这样，复数可以分类如下：
复数
复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系，可用右图表示.
例题讲解
例1.当实数取什么值时，复数是下列数？
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
解(1)：当，即时，复数是实数.
(2)当，即时，复数是虚数.
(3)当，且时，
即时，复数是纯虚数.
小结
复数的实部
复数的虚部
与相等当且仅当且
7.1复数的概念
第七章 复数
7.1.2复数的几何意义
一
二
三
教学目标
理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系
掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念
掌握用向量的模来表示复数的模的方法
教学目标
难点
重点
复习回顾
复数的实部
复数的虚部
（1）当且仅当时，它是实数；
（2）当且仅当时，它是实数；
（3）当时，它叫虚数；
（4）当且时，它叫做纯虚数.
新知讲解
我们知道，实数与数轴上的点一一对应，因此实数可以用数轴上的点来表示.
复数有什么几何意义呢？
一一对应
实数（数）
数轴上的点（形）
新知讲解
复数的实部
复数的虚部
问题1 一个复数由什么唯一确定？
新知讲解
根据复数相等的定义，任何一个复数都可以由一个有序数对唯一确定；反之也对.
因为任何一个复数都可以由一个有序数对唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数与有序数对是一一对应的.而有序数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
新知讲解
复数与有序数对是一一对应的.而有序数对与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系.
复数 复平面内的点.
一一对应
这是复数的一种几何意义.
新知讲解
问题2 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.你能用平面向量来表示复数吗？
O
x
y
b
a
如图，设复平面内的点表示复数，连接，显然向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定.因此，复数集中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下的一一对应关系(实数0与零向量对应)
复数 平面向量.
一一对应
这是复数的另一种几何意义.
新知讲解
为方便起见，我们常把复数说成点或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一个复数.
复数与向量成了对应关系后，根据向量的知识，我们能够推导出复数的模！
O
x
y
b
a
图中向量的模叫做复数的模或绝对值，记作或.
即，其中.
如果那么是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
新知讲解
复数
平面向量
复平面内的点
三者之间都形成了一一对应的关系
例题讲解
例2.设复数，.
(1)在复平面内画出复数，对应的点和向量；
(2)求复数，的模，并比较它们的模的大小.
解(1)：如图，复数对应的点分别为
对应的向量分别为.
(2)：
所以
你发现了什么？
新知讲解
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
复数的共轭复数用表示
即如果，那么.
两个复数的实部相等，虚部互为相反数
新知讲解
问题4 若是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？
（1）点、向量关于轴对称
（2）模长相等
例题讲解
例3.设在复平面内对应的点为，那么满足下列条件的点的集合是什么图形？
(1)；(2).
解(1)：由得，向量的模等于1，所以满足条件的点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆.
(2)：不等式可化为
不等式
新知讲解
不等式的解集是圆的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件的点的集合.
容易看出，所求的集合是以原点为圆心，以及为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界.
l
小结
1.复平面
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.
2.复数的几何意义
小结
3.复数的模
(1)定义：向量的模叫做复数的模或绝对值.
(2)记法：记作或.即，其中.
如果那么是一个实数，它的模就等于(的绝对值).
4.共轭复数
(1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数.
(2)表示方法：复数的共轭复数用表示，即如果，那么.

展开更多......

收起↑