8.2 立体图形的直观图 同步练习(含解析)

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8.2 立体图形的直观图 同步练习(含解析)

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《第二节 立体图形的直观图》同步练习
一、基础巩固
知识点1 水平放置的平面图形的直观图
1.[2022天津部分区高一下期末]用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下列结论中正确的是 (  )
A.正方形在直观图中仍然是正方形
B.相等的角在直观图中仍然相等
C.相等的线段在直观图中仍然相等
D.平行的线段在直观图中仍然平行
2.(多选)如图,已知等腰三角形ABC,则下图中可能是△ABC的直观图的是 (  )
3.[2022江西萍乡高一下期末]已知菱形的边长为4 cm,一个内角为120°,将菱形水平放置,使较短的对角线成纵向,则此菱形的直观图的面积为    cm2.
4.如图,四边形ABCD是一个梯形,CD∥AB,CD= AO=1,三角形AOD为等腰直角三角形,O为AB的中点.画出梯形ABCD水平放置时的直观图.
知识点2 直观图的还原与计算
5.[2022广东顺德德胜学校高二上期中]如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是选项中的(  )
6.(多选)[2022浙北G2联盟嘉兴一中、湖州中学高一下期中联考]已知一个正方形的直观图是一个平行四边形,其中有一边长为4,则此正方形的面积可能为(  )
A.16 B.64 C.32 D.8
7.(多选)[2022安徽师范大学附属中学高一下期中]如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,A'B'=2, A'C'=B'C'=,则在△ABC中(  )
A.AC=BC B.AB=2
C.AC=2 D.S△ABC=4
8.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6 cm,O'C'=2 cm,C'D'=2 cm,则原图形的形状是     ,其面积为    .
知识点3 空间几何体的直观图
9.若画一个高为10 cm的圆柱的直观图,则圆柱的高应画成(  )
A.平行于z轴且为10 cm
B.平行于z轴且为5 cm
C.与z轴成45°且为10 cm
D.与z轴成45°且为5 cm
10.[2022广东惠州高一月考]如图1所示,一块边长为100 cm的正方形铁片上有四块阴影部分,将这些阴影部分裁下来,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器.请在图2所示的空间直角坐标系中按比例画出该正四棱锥的直观图.
二、能力提升
1.(多选)[2022安徽省六安第一中学高一下期中]如图所示的是水平放置的三角形的直观图,D'是△A'B'C'中B'C'边上的一点,且D'C'A.最长的是AB B.最长的是AC
C.最短的是AC D.最短的是AD
2.如图所示的正方形是水平放置的平面图形OABC的直观图,则平面图形OABC以边OA所在直线为轴旋转一周所形成的几何体是(  )
A.一个圆柱
B.一个圆柱和一个同底面的圆锥的组合体
C.一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体
D.两个同底的圆锥的组合体
3.如图,已知△A'B'C'是水平放置的△ABC按斜二测画法画出的直观图,A'B'在x'轴上,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=3,则△ABC的边AB上的高为(  )
A.3 B.6 C.3 D.6
4.(多选)[2022浙江温州高一期末]已知△ABC是等腰直角三角形,AB=AC=2,用斜二测画法画出它的直观图△A'B'C',则B'C'的长可能是 (  )
A.2 B.2 C. D.
5.[2022湖北宜昌一中月考]在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=2,CD=1,AD=3,AA1=4.
(1)画出四棱柱ABCD-A1B1C1D1的直观图;
(2)将四棱柱ABCD-A1B1C1D1补成一个长方体,并说出补上的几何体的名称.
6.[2022江苏南京高一下月考]用斜二测画法得到的多边形A1A2…An的直观图为多边形A'1A'2…A'n,试探索多边形A1A2…An与多边形A'1A'2…A'n的面积之间有无确定的数量关系.
参考答案
一、基础巩固
1.D
2.CD 根据直观图中两坐标轴的夹角∠x'O'y'=45°或135°,作出等腰三角形ABC的直观图,如图所示,结合选项,知选CD.
3.2 解析方法一 如图1所示,在菱形ABCD中,取AC,BD所在直线分别为x,y轴,画出它的直观图如图2所示.
在菱形ABCD中,AB=AD=4,∠ABC=120°,所以BD=4,AC=4.在四边形A'B'C'D'中,B'D'=BD=2,A'C'=AC=4,易知S△O'C'D'=S△O'A'D'=S△O'A'B'=S△O'B'C'=×sin 45°=(cm2),所以S四边形A'B'C'D'=4S△O'C'D'=2(cm2).
方法二 由题意得菱形ABCD的对角线AC=4,BD=4,所以菱形ABCD的面积为S=×4×4=8(cm2),所以该菱形的直观图的面积为S'==2(cm2).
4.解析①画出相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
②将已知图形中x轴上的线段AB在直观图中画成x'轴上的线段A'B',且保持原长度不变,点O'是A'B'的中点;将已知图形中y轴上的线段OD画成y'轴上的线段O'D',且长度为原来的;作D'C'∥y'轴,并取D'C'=DC=1.连接A'D',B'C',如图1.
③擦去辅助线x'轴与y'轴,便获得梯形ABCD水平放置的直观图A'B'C'D',如图2.
5.C 由斜二测画法的规则可知,该平面图形为直角梯形,又第一象限内的边平行于y'轴,故选C.
6.AB 根据题意,正方形的直观图如图所示.①若直观图中A'B'=4,则原正方形的边长为AB=A'B'=4,所以该正方形的面积为S=4×4=16;②若直观图中A'D'=4,则原正方形的边长为AD=2A'D'=8,所以该正方形的面积为S=8×8=64,故选AB.
7.BD 如图1,在直观图△A'B'C'中,过C'作C'D'⊥A'B'于点D'.因为A'B'=2,A'C'=B'C'=,所以A'D'=1,C'D'==2.又∠C'O'D'=45°,所以O'D'=2,O'A'=1,O'C'=2.将直观图△A'B'C'还原为原平面图形△ABC,如图2.OC=4,OA=1,AB=2,故B正确.又AC=,BC=,故A,C错误.S△ABC=AB·OC=×2×4=4,故D正确.故选BD.
8.菱形 24 cm2 解析如图,在原图形OABC中,OD=2O'D'=2×2=4(cm),CD=C'D'=2 cm,所以OC===6(cm),所以OA=OC=BC=AB,故四边形OABC是菱形,=OA×OD=6×4=24(cm2).
9.A 直观图画法原则,知高平行于z轴,且长度与原图一致,故选A.
10.解析由题图1知加工成的容器底面是一个边长为60 cm的正方形,侧面均为等腰三角形(底边长为60 cm,高为50 cm),则正四棱锥的高为=40(cm),则可画出该四棱锥的直观图,如图所示.
二、能力提升
1.AD 由题意得到原△ABC如图.其中,AD⊥BC,BD>DC,所以AB>AC>AD,所以△ABC中AB,AD,AC这三条线段中最长的是AB,最短的是AD,故选AD.
2.C  由直观图画出原图,如图所示,所以平面图形OABC以边OA所在直线为轴旋转一周所形成的几何体是一个圆锥和一个同底面的圆柱(内部挖去一个同底等高的圆锥)的组合体.故选C.
3.D  如图,过C'作C'M'∥y'轴,交x'轴于点M',则△ABC的边AB上的高CM在直观图中为C'M'.在△C'M'B'中,C'M'==3,所以CM=2C'M'=6.
4.AC 以BC为x'轴,画出直观图,如图1,此时B'C'=BC==2,A正确.以BC为y'轴,此时B'C'=BC=,则B'C'的长度范围是[,2].若以AB或AC为x轴,画出直观图,如图2,以AB为x'轴,则A'B'=2,A'C'=1,此时过点C'作C'D⊥x'轴于点D,则∠C'A'B'=45°,则A'D=C'D=,B'D=2-,由勾股定理得B'C'=,故选AC.
5.解析(1)由题意,结合直观图的画法,即可得到直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的直观图,如图1.
(2)由题意,结合长方体的几何特征,可得补成的长方体,如图2,即补上的几何体是三棱柱BCE-B1C1E1.
6.解析①设在△ABC中,CD为高,边AB平行于x轴,用斜二测画法得到其直观图为△A'B'C',则有C'D'=CD,△A'B'C'的高为C'M=C'D'=CD,
所以S△A'B'C'=A'B'·C'M=S△ABC.
②当△ABC的三边都不与x轴平行时,可过其中一个顶
点作与x轴平行的直线与对边相交,不妨设过点A作与x轴平行的直线交BC于点D,
则AD将△ABC分成△ABD和△ACD,
由①可知S△A'B'C'=S△A'B'D'+S△A'C'D'=S△ABD+S△ACD=S△ABC.
③对多边形A1A2…An,可连接A1A3,A1A4,…,A1An-1,得到(n-2)个三角形,即△A1A2A3,△A1A3A4,…,△A1An-1An,
由①②知+…+(+…+
)=,
综上可知,多边形A1A2…An与其直观图多边形A'1A'2…A'n的面积之间有确定的数量关系.

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