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人教A版（2019）必修第二册《7.1 复数的概念》提升训练
一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）已知复数z=a+bi（a，b∈R），当a=0时，复平面内的点z的轨迹是（ ）
A. 实轴 B. 虚轴 C. 原点 D. 原点和虚轴
2.（5分）己知是虚数单位，复数满足，则复平面内表示的共轭复数的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.（5分）若复数满足，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
4.（5分）设是虚数单位，则复数对应的点在复平面内位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.（5分）复数（1+i）（1-ai）∈R，则实数a等于（ ）
A. 1 B. -1 C. 0 D. ±1
6.（5分）在复平面内，复数对应的点在
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7.（5分）如果复数满足，那么的最小值是
A. B. C. D.
8.（5分）已知复数对应的向量如图所示，则复数所对应的向量正确的是
A. B.
C. D.
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知复数，，则下列结论正确的是
A. 若，则
B. 若，则
C.
D. 若，则
10.（5分）下面是关于复数为虚数单位的四个命题，其中正确命题的是
A. B. 对应的点在第一象限
C. 的虚部为 D. 的共轭复数为
11.（5分）下列关于复数的命题中正确的是
A. 若是虚数，则不是实数
B. 若，且，则
C. 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零
D. 复数对应的点在实轴上方
12.（5分）下列命题中正确的有
A. 若复数，则的虚部为
B. 若为复数，则
C. 若复数，则在复平面内对应的点在第四象限
D. 若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线
13.（5分）已知复数满足，则下列关于复数的结论正确的是
A.
B. 复数的共轭复数为
C. 复平面内表示复数的点位于第四象限
D. 复数是方程的一个根
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分） 如果复数为纯虚数，那么实数的值为________．
15.（5分）已知是虚数单位，则复数在复平面内对应的点的坐标为 ______ .
16.（5分）已知复数满足其中为虚数单位，则的值为 ， ．
17.（5分）设复数，满足，，则______．
18.（5分） 若复数是纯虚数，其中，则_________．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）在复平面上，平行四边形的三个顶点、、对应的复数分别为，，求第四个顶点的坐标及此平行四边形的对角线的长.
20.（12分）已知设方程，是方程的两根，其中，则的值；
关于的方程有实根，其中，求的最小值，并求取得最小值时方程的根．
21.（12分）已知复数，求分别满足下列条件的实数的值．
为纯虚数；
在复平面上的对应点在以为圆心，为半径的圆上．
22.（12分）已知复数
若为纯虚数，求实数的值；
若在复平面上对应的点在直线上，求实数的值．
23.（12分）满足是实数，且的实部与虚部互为相反数的虚数是否存在，若存在，求出虚数；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：复数z=a+bi（a，b∈R），当a=0时，z=bi．
因此复平面内的点z（0，b）的轨迹是：
原点和虚轴．
故选：D．
2.【答案】C;
【解析】解：由，得：
，
复平面内表示的共轭复数的点的坐标为，共轭复数的点在第三象限．
故选：．
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
3.【答案】C;
【解析】解：，
由，得，
即，
或．
即实数的取值范围是．
故选：．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式列式求解．
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
4.【答案】A;
【解析】解：因为复数，
故复数对应的点在复平面内位于第一象限．
故选：
先利用复数的乘法运算求出复数，然后由几何意义分析求解即可．
此题主要考查了复数乘法运算法则的运用，复数的几何意义的运用，考查了化简运算能力，属于基础题．
5.【答案】A;
【解析】解：∵复数（1+i）（1-ai）=a+1+（1-a）i 是实数，∴1-a=0，故 a=1，
故选 A．
6.【答案】B;
【解析】解：对应的点位于第二象限．
故选：
根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．
此题主要考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
7.【答案】A;
【解析】解：复数满足，
的几何意义是以，为端点的线段，
则的几何意义为上的点到的距离，
则由图象知到线段的距离的最小值为，
故选：．
根据复数的几何意义进行求解即可．
此题主要考查点到直线的距离的求解，根据复数的几何意义进行求解是解决本题的关键．
8.【答案】A;
【解析】解：由已知条件可知，，复数对应的点为，对应的向量为：
故选：
利用已知条件求出复数，求出复数以及对应的点，即可判断复数对应的向量．
此题主要考查复数与复平面内的点以及复数对应的向量的对应关系，基本知识的考查．
9.【答案】ABC;
【解析】
此题主要考查复数的运算、共轭复数和复数的模，属于基础题.
利用复数的运算性质、模的性质和共轭复数的定义逐个判断即可.解：对于，若，则，故，所以正确；
对于，若，则，所以正确；
对于，，，故，所以正确；
对于，当，时，，但，所以错误．故选
10.【答案】AB;
【解析】
此题主要考查复数的基本概念，复数的几何意义、共轭复数、复数模的求法，是基础题．
可直接由复数的相关知识进行判断四个命题的真假．

解：，，故正确；
对应的点在第一象限，故正确；
的虚部为，故错误；
的共轭复数为，故错误．
故选
11.【答案】AD;
【解析】解：根据虚数的定义，正确；
选项，虚数不能比较大小，错误；
选项，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于，说法错误；
选项，对应点的坐标为，因为，所以点在轴上方，说法正确．
故选：
根据复数的分类判断，选项；虚数不能比较大小，故选项错误；根据复数的几何意义判断选项．
此题主要考查复数分类，纯虚数的含义，几何意义，属于基础题．
12.【答案】ACD;
【解析】解：若复数，则的虚部为，故正确；
若为复数，则，错误，如，则，，故错误；
若复数，则在复平面内对应的点的坐标为，在第四象限，故正确；
若复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线，故正确．
故选：
由复数的基本概念判断；举例说明错误；求出复数的坐标判断；再由复数模的几何意义判断
此题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数的基本概念，是基础题．
13.【答案】ABD;
【解析】
此题主要考查复数的运算，复数的模、共轭复数、复数代数形式的几何意义，属于基础题.
由复数的运算，复数的模、共轭复数、复数代数形式的几何意义，逐个进行判断.
解：由题意，，
，故正确；
复数的共轭复数为，故正确；
复平面内表示复数的点为，位于第二象限，故错误；
，
所以复数是方程的一个根，故正确.
故选：
14.【答案】;
【解析】解：复数为纯虚数，
，解得．
故答案为：．
由实部为且虚部不为列式求得值．
该题考查复数的基本概念，是基础的计算题．
15.【答案】（1，2）;
【解析】解：复数的实部为，虚部为，
则在复平面内对应的点的坐标为，
故答案为：
由已知复数可得其实部与虚部，则答案可求．
此题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
16.【答案】;
【解析】解：，
，
，，
故答案为：，．
根据复数的基本运算法则进行化简即可．
此题主要考查复数模长的计算及共轭复数的求解，比较基础．
17.【答案】2;
【解析】解：复数，满足，，所以，
，
得．
．
又，故．
故答案为：．
利用复数模的计算公式和复数的运算性质，求解即可．
熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义、复数模的计算公式是解答该题的关键．
18.【答案】;
【解析】
该题考查了复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．
由实部为且虚部不为列式求得的值，得到，再由复数模的计算公式求解．
解：是纯虚数，
，解得．
．
则．
故答案为．

19.【答案】解：设D（x，y），依题意得：A（0，1）、B（1，0）、C（4，2）平行四边形ABCD以AC、BD为对角线，
则有 ，∴（1，-1）=（4-x，2-y ），∴，故，
∴D（3，3），对角线 ，．;
【解析】
由题意可得，即，求出，的值，即得第四个顶点的坐标
及此平行四边形的对角线的长．
此题主要考查复数代数形式的加减运算及其几何意义，复数与复平面内对应点之间的关系，利用，
是解答该题的关键．
20.【答案】解：（1）判别式Δ=4-4a=4（1-a），
①若Δ≥0，即a≤1，则α，β是实根，
则α+β=-2，αβ=a，
则（|α|+|β|） =α +β +2|αβ|=（α+β） -2αβ+2|αβ|=4-2a+2|a|，
故|α|+|β|=，
当0≤a≤1时，|α|+|β|=2，
当a＜0时，|α|+|β|=2；
②若Δ＜0，即a＞1，则α，β是虚根，
α=-1+i，β=-1-i，
故|α|+|β|=2=2．
综上：．
（2）设为方程的实根，则+a+4+3i=0，
所以a=---i，
则|a| =（+） +（） =++8≥18，
当=即=±时，|a|min=3，
当=时，另一个根为（4+3i），
当=-时，另一个根为-（4+3i）．;
【解析】
分，两种情况讨论，再由根与系数的关系及复数模的运算即可求解；
设为方程的实根，可得，由复数模的运算及基本不等式即可求解，从而可得此时方程的根．
此题主要考查复数模的运算，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：（1）由复数的基本概念可得，
解之可得m=-1…（6分）
（2）由复数的几何意义可得（-1-0）2+（-3m+2+3m）2=17，
化简可得+-6=0，解之可得=2，即…（14分）;
【解析】
由题意可得，解之即可；
可得，解此方程可得．
此题主要考查复数的代数形式与几何意义，涉及圆的方程，属基础题．
22.【答案】解：因为为纯虚数，
所以，
解得；
因为在复平面上对应的点在直线上，
所以，
解得
;
【解析】此题主要考查复数的概念，以及复数的几何意义，属于基础题.
利用复数的概念，解得即可；
利用复数的几何意义，解方程，即可得.
23.【答案】解：假设存在虚数z，则设z=a+bi（a，b∈R，且b≠0），
则，
得，
∵b≠0，∴，
解得或．
∴存在虚数=-1-3i或=-3-i满足上述条件．;
【解析】
假设存在虚数，则设，且，由已知条件列出方程组，求解即可得到，的值，则答案可求．
该题考查了复数相等的充要条件，考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．

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