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人教A版（2019）必修第二册《7.1.1 数系的扩充和复数的概念》提升训练
一 、单选题（本大题共13小题，共65分）
1.（5分）设 ， 是复数，则下列结论中正确的是．

A. B.
C. D.
2.（5分）用反证法证明“三角形的三个内角中至少有一个不大于”时的假设为
A. 三个内角中至多有一个不大于 B. 三个内角中至少有两个不大于
C. 三个内角都不大于 D. 三个内角都大于
3.（5分）正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理
A. 结论正确 B. 大前提不正确
C. 小前提不正确 D. 大前提、小前提、结论都不正确
4.（5分）已知回归直线的斜率的估汁值是，样本点的中心为，则回归直线方程是
A. B.
C. D.
5.（5分）设，其中，为实数，则
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.（5分）执行下面的程序框图，若输入，的值分别为，，输出的值为，则的取值范围为
A. B. C. D.
7.（5分）已知，记，， ，，则等于
A. B. C. D.
8.（5分）某种产品的广告支出费用单位：万元与销售额单位：万元之间有如下关系：
已知与的线性回归方程为，则当广告支出费用为万元时，残差为
A. B. C. D.
9.（5分）天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两
天下雨的概率：先利用计算器产生到之间取整数值的随机数，用，，，表示下雨，用，，，，，表示不下
雨再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况经随机模拟试验产生了如下组随机数：


据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为
A. B. C. D.
10.（5分）确定结论“与有关系”的可信度为时，则随机变量的观测值必须
A. 大于 B. 大于
C. 小于 D. 大于
11.（5分）“一支参加科技创新竞赛的师生的队伍中，包括我在内，总共是名．下面讲到的人员情况，无论是否把我计算在内，都不会有任何变化．在这此师生中：①学生不少于老师；②男老师多于女学生；③女学生多于男学生；④至少有一位女老师．”，由此推测这位说话人是
A. 男学生 B. 女学生 C. 男老师 D. 女老师
12.（5分）直线为参数被曲线所截的弦长为
A. B. C. D.
13.（5分）不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是
A. B.
C. D.
二 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）若复数满足为虚数单位，则 ______ ．
15.（5分）在中，若，，，则的外接圆半径为，将此结论类比到空间，可得到正确的结论：在四面体中，若，，两两垂直，，，，则四面体的外接球半径为______．
16.（5分）下列命题中，真命题的序号是______．
①“若，则”的否命题；
②“，函数在定义域内单调递增”的否定；
③“”是“”的必要条件；
④函数与函数的图象关于直线对称．
17.（5分）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为为参数，则与交点的直角坐标为______．
18.（5分）已知，，，则的最大值是______．
三 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知复数
当实数取什么值时，复数是实数；
当实数取什么值时，复数是纯虚数；
当实数取什么值时，复数
20.（12分）随着炎热的夏天到来，在海边旅游的人们都喜欢潜水这项活动．某潜水中心调查了名男性与名女性下潜至距离水面米时是否会耳鸣，如图为其等高条形图：

绘出列联表；
利用独立性检验的方法，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与耳鸣有关？
参考数据及公式：
，．
21.（12分）已知，求证：；
已知函数，用反证法证明方程没有负数根．
22.（12分）已知函数，
Ⅰ分别求，，的值；
Ⅱ由上题归纳出一个一般性结论，并给出证明．
23.（12分）某汽车公司为调查店个数对该公司汽车销量的影响，对同等规模的，，，四座城市的店一季度汽车销量进行了统计，结果如表：
城市
店个数
销售台数
根据统计的数据进行分析，求关于的线性回归方程；
该公司为扩大销售拟定在同等规模的城市开设个店，预计市的店一季度汽车销量是多少台？
附：回归方程中的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，．
答案和解析
1.【答案】D;
【解析】 A错误，虚数不能比较大小．
B错误，令，计算知道左边为，右边为 ，矛盾．
C错误等式左右边不相等，错误。故选D．
2.【答案】D;
【解析】解：用反证法证明：“三角形的内角中至少有一个内角不大于”时，
应假设结论的否定成立，
而“三角形的内角中至少有一个内角不大于”的否定是：
三角形的三个内角都大于，
故选：．
根据“三角形的内角中至少有一个内角不大于”的否定是：三角形的三个内角都大于，由此得到答案．
这道题主要考查运用反证法证明，把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，是解题的突破口，属于基础题．
3.【答案】C;
【解析】
该题考查演绎推理的基本方法，关键是理解演绎推理的定义以及三段论的形式．
分析：根据题意，分析所给推理的三段论，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可得到答案．

解：根据题意，该推理的大前提：正弦函数是奇函数，正确；
小前提是：是正弦函数，因为该函数不是正弦函数，故错误；
结论：是奇函数，故错误．
故选：．
4.【答案】A;
【解析】
此题主要考查线性回归直线方程，可根据回归直线方程一定经过样本中心点这一信息，选择验证法或排除法解决，具体方法就是将点的坐标分别代入各个选项，满足的即为所求．

解：回归直线方程一定过样本中心点，
将样本点的中心分别代入各个选项，只有满足
故选A．
5.【答案】A;
【解析】
此题主要考查了复数代数形式的运算，涉及复数相等的条件，属基础题.解：，其中，为实数，
，
即得，故正确.
6.【答案】B;
【解析】
此题主要考查程序框图的应用，属基础题．
直接利用程序框图求出结果．

解：根据程序框图：，，，
当时，，，，
当时，，，，
当时，，，，
输出，
故：，
故选：．
7.【答案】A;
【解析】解：，
所以，，
，
，
，
…
，
所以
又，，，
则…
故选：
求导，表示出，，，，，根据周期性可得…
此题主要考查了导数运算法则、三角函数与数列的周期性、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8.【答案】D;
【解析】解：将代入与的线性回归方程为，
则，
故残差为
故选：
将代入与的线性回归方程为，将与所得的结果比较，即可求解．
此题主要考查线性回归方程的性质，以及残差的求解，属于基础题．
9.【答案】B;
【解析】解：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下组随机数，在组随机数表示三天恰有两天下雨的有、、、、，共组随机数，所求概率为
10.【答案】B;
【解析】解：
由上表可知当时，有
故可确定“与有关系”的可信度为．
故选B．
由表格可得当时，有，故可确定“与有关系”的可信度为．
该题考查独立性检验的相关程度，属基础题．
11.【答案】A;
【解析】
此题主要考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．
设女学生人数为，男学生人数为，女老师人数为，男老师人数为，根据已知构造不等式组，推理可得结论．

解：设女学生人数为，男学生人数为，女老师人数为，男老师人数为，
则有：，，，，
从而得出：，
假设：，仅有：，，，时符合条件，
又因为使中一个数减一任符合条件，只有符合，即男学生；
假设：，则没有能满足条件的情况，
综上，这位说话的人是男学生．
故选A．
12.【答案】C;
【解析】解：直线为参数化为普通方程：直线．
曲线，展开为，，化为普通方程为，即，
圆心，．
圆心到直线距离，
直线被圆所截的弦长．
故选C．
先把参数方程和极坐标方程化为普通方程，并求出圆心到直线的距离，再利用关系：即可求出弦长．
正确运用弦长、圆心到直线的距离、半径三者的关系：是解答该题的关键．
13.【答案】C;
【解析】解：令，
作出图象如图，

，
不等式对任意实数恒成立，
，得．
实数的取值范围是．
故选：．
令，写出分段函数，求得的最大值，由求得实数的取值范围．
该题考查含有绝对值的不等式的解法，还考查了指数不等式，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
14.【答案】;
【解析】
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
由，得，再利用复数代数形式的乘除运算化简则答案可求．

解：由，
得，
故答案为．
15.【答案】;
【解析】解：由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时
一般是由点的性质类比推理到线的性质，
由线的性质类比推理到面的性质，
由圆的性质推理到球的性质．
由已知在平面几何中，中，若，，，
则的外接圆半径，
我们可以类比这一性质，推理出：
在四面体中，若、、两两垂直，，，，
则构造以为顶点，，，为长方体的相邻的三条棱，其外接球的直径为长方体的对角线，可得四面体的外接球半径．
故答案为：．
可将图形补成以，，为相邻的边的长方体，运用长方体的对角线即为外接球的直径，即可得出结论．
由平面图形的性质类比推理空间图形的性质时，一般是由点的性质类比推理到线的性质，由线的性质类比推理到面的性质，由圆的性质推理到球的性质．
16.【答案】①②;
【解析】解：对于①，“若，则”的否命题是
“若，则”，它是真命题；
对于②，“，函数在定义域内单调递增”是假命题，
该命题的否定是真命题；
对于③，由“”得出“”成立，即充分性成立，
由“”不能得出“”成立，即必要性不成立，
是充分不必要条件，③是假命题；
对于④，函数和的图象关于直线对称，
函数的图象可由的图象左移一个单位得到，
函数图象可由的图象右移一个单位得到，
所以函数和的图象关于直线对称，④是假命题；
综上，正确的命题序号是①②．
故答案为①②．
①，写出命题的否命题，再判断它的真假性；
②，判断原命题是假命题，得出该命题的否定是真命题；
③，判断充分性与必要性是否成立即可；
④，由函数图象平移变换知该命题是假命题．
此题主要考查了命题真假的判断问题，是基础题．
17.【答案】;
【解析】
曲线的极坐标方程为，把代入可得直角坐标方程．曲线的参数方程为为参数，化为普通方程：联立解出即可．
该题考查了极坐标化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、曲线的交点，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解：曲线的极坐标方程为，化为直角坐标方程：．
曲线的参数方程为为参数，化为普通方程：．
联立，解得，
则与交点的直角坐标为．
故答案为：．

18.【答案】;
【解析】解：，，，
，当且仅当时，即，时取等号，
，
故答案为：．
根据柯西不等式，即可求出．
该题考查了柯西不等式，考查了转化能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）对于复数，要使复数z是实数，
需，可得m=4，即当m=4时，复数z是实数．
（2）对于复数，要使复数z是纯虚数，
需，可得m=1，即当m=1时，复数z是纯虚数．
（3）对于复数，要使复数z=2+5i，
需，可得m=-1，即当m=-1时，复数z=2+5i．;
【解析】
由题意利用复数为实数的条件，求得的值．
由题意利用复数为纯虚数的条件，求得的值．
由题意利用复数相等的充要条件，求得的值．
此题主要考查复数的有关概念和运算，属于基础题．
20.【答案】解：由男女生各人及等高条形图可知，
耳鸣的男生有人，耳鸣的女生有人；
无耳鸣的男生有人，无耳鸣的女生有人；
填写列联表如下：
有耳鸣 无耳鸣 总计
男
女
总计
由公式计算的观测值：，
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为性别与耳鸣有关．;
【解析】
由等高条形图求得耳鸣男生、女生的人数及无耳鸣男生、女生的人数，填写列联表；
由公式计算的观测值，与临界值比较，可得结论．
该题考查了独立性检验和列联表的应用问题，也考查了计算能力，是基础题．
21.【答案】证明：（1）由题意a＞b＞0，故＞0，＞0
欲证＜
只须证（）2＜（）2，
即a+b-2＜a-b
只须证b＜，
只须证＜ab
只须证b＜a，显然成立
故a＞b＞0，有＜；
（2）设存在＜0（≠-1），使f（）=0，则=-．
由于0＜＜1得0＜-＜1，解得＜＜2，
与已知＜0矛盾，因此方程f（x）=0没有负数根．;
【解析】
观察题设，本题中的不等式的证明可以用分析法，逐步寻求不等式成立的条件，由不等式的形式知，可采用平方的办法转化；
对于否定性命题的证明，可用反证法，先假设方程有负数根，经过层层推理，最后推出一个矛盾的结论．
此题主要考查不等式的证明，证明用到了分析法，分析法是从要证明的结论出发，一步步向前推，得到一个恒成立的不等式，或明显成立的结论即可．
此题主要考查了函数的零点问题与方程的根的问题．方程的根，就是指使方程成立的未知数的值．对于结论是否定形式的命题，往往反证法证明．
22.【答案】解：（Ⅰ）；
同理；
．
（Ⅱ）由此猜想：当+=1时，．
证明：设+=1，则，
故猜想成立．;
【解析】
Ⅰ利用条件，求，，，
Ⅱ归纳猜想一般性结论，利用指数的性质给出证明．
该题考查归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，正确归纳猜想是关键．
23.【答案】解：由题意可得：，，

，
，
回归直线方程为．
将代入上式得．
预计市的店一季度汽车销量是台．;
【解析】
先由题中数据求出，，再由公式求得，，则线性回归方程可求；
将代入的结果，即可得出所求预测值．
此题主要考查线性回归方程，熟记最小二乘法求，的估计值即可，属于中档题．

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