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2023年高考数学命题理论与实践研判解读
2022年全国高考数学科共包括如下几套试卷：教育部教育考试院命制6套数学试卷，包 括全国甲卷2套(文、理科),全国乙卷2套(文、理科)、新高考I卷1套(不分文理科)、新高考 Ⅱ卷1套(不分文理科),另有北京自主命题卷、上海自主命题卷、天津自主命题卷以及浙江自 主命题卷。总体上，2022年高考数学试题继续落实立德树人的根本任务，贯彻德智体美劳全 面发展的教育方针，坚持素养导向、能力为重的命题原则，以必备知识为载体，深入考查核心 素养和关键能力。试题紧扣学科本质，凸显理性思维，具有鲜明的时代特色，体现了我国的社 会主义建设成就、科学防疫的成果和社会主义的制度优势，注重了新课标、新教材、新高考要 求的统一性，落实了“一核四层四翼”的要求，加强教考衔接，很好地发挥了高考育人功能和导向推动作用。
一、基本情况概述
2022年教育部教育考试院命制6套数学试卷在稳定中求创新，重视对学生基本数学素 养、思想方法与能力的考查，关注学生的应用意识与创新意识。试题梯度明显，有较好的区分 度；重视数学本质，发挥了育人作用；对基础性知识进行了深入考查，发挥了选拔功能；强化了 教学与考试的衔接，发挥了引导作用；落实了“价值引领、素养导向、能力为重、知识为基”的综合考查模式.
2022年全国甲卷理科数学，突出对基础知识(约占55%)以及主干内容的考查，如函数与 导数(32分)、立体几何(27分)、解析几何(22分)、概率统计(22分)、三角函数与解三解形 (10分)、数列(12分)。命题时坚持思想性与科学性的统一，发挥数学应用广泛、联系实际的 学科特点，设置真实情境，命制具有教育意义的试题，发挥教育功能和引导作用。试题落实高 考内容改革总体要求，贯彻德智体美劳全面发展的教育方针，聚焦核心素养，突出对关键能力 的考查，体现了高考数学的科学选拔功能和育人导向作用。例如第2题以社会环境建设中的 垃圾分类为背景考查学生的数据分析能力；第8题取材于我国古代科学家沈括的著作《梦溪 笔谈》。该试卷依据课程标准命制，深化基础考查，突出主干知识，加强教考衔接，发挥高考试题对中学教学改革的引导和促进作用。例如第16题考查数形结合的思想，数学试题力图引导中学遵循教学规律、提高课堂教学效果，实现作业题、练习题减量提质；第19题，以学校体 育比赛为背景，考查概率的基础知识和离散型随机变量的分布列，体现了对主干知识的深入 考查。该试卷加强对学科核心素养的考查，强化数学思想方法的渗透，深入考查关键能力，发 挥数学科高考的选拔功能，助力提升学生综合素质。例如第20题考查直线、抛物线、三角函 数、不等式的基本性质以及解析几何的基本思想方法，要求学生在复杂的直线与抛物线的位置关系中，抓住问题的本质，发现解决问题的关键，选择适合的解题方法。
2022年全国乙卷理科数学，突出对基础知识(约占50%)以及主干内容的考查，如函数与 导数(27分)、立体几何(22分)、解析几何(27分)、概率统计(22分)、三角函数与解三角形 (17分)、数列(10分)。试题突出数学本质，重视理性思维，坚持素养导向、能力为重的命题原 则；发挥了“立德树人、服务选材、引导教学”核心功能，全面覆盖“核心价值、学科素养、关键能 力、必备知识”考查内容，实现了“基础性、综合性、应用性、创新性”考查要求，试题难度较大， 减负不降选拔标准。该试卷创设现实情境，体现数学的应用价值。例如第10题以棋手比赛 为情境，通过获胜概率的大小选择比赛方案，考查概率和不等式综合应用能力；第13题以学 生参加社区服务工作为情境，考查概率的基础知识；第19题以生态环境建设为背景材料，考 查学生应用统计的基本知识和基础方法解决实际问题的能力，对数据分析与数学运算素养也 作了相应的考查。该试卷突出理性思维，深入考查数学学科素养。如第4题和第10题可用 取特殊值的方法；第14题是结论开放题，四个圆写出一个即可，其中三点构成直角三角形，其 外接圆最容易求；第17题，即使第(1)问没证出来，第二问也可利用第(1)问的结论顺利得分； 第22题，思维定式都是将直线方程代入二次曲线方程，很多同学忽略了隐含限制，没有得到 正确结果，先将二次曲线C的参数方程代入直线方程，隐含限制显性化，就能顺利求解。该 试卷重视基础，重点考查关键能力。如第4题、第10题、第12题着重考查运算求解能力；第9 题研究球内四棱锥体积的最大值问题，要求学生有较强的空间想象能力和分析问题能力；第 19题考查了统计思想，考查了数据处理能力和对公式的变形与计算能力；第21 题考查了分类讨论能力、推理论证能力和数学语言表达能力。
2022年全国甲卷文科数学，突出对基础知识(约占55%)以及主干内容的考企，如两数与 导数(27分)、立体几何(22分)、解析几何(27分)、概率统计(22分)、数列(12分)、:角函数 与解三角形(10分)。试题突出对基础知识、基本技能和思想方法的考查，同时对学生处理数 学问题的能力提出了一定的要求，注重对核心素养的考查。试题发挥考查基础和区分选拔的 作用，能够满足高校选拔人才的目的。本套试题立足基础，全面深化对于基础知识的考查。 例如第5题以三角函数图象为背景，考查图象的平移、对称等知识点以及数形结合的数学思 想，要求学生能够整体地把握问题的本质；第10题考查空间几何体的侧面积与体积及其展开 图问题，要求学生熟练掌握公式，能够灵活运用数学方法解决问题。该试题灵活新颖，综合考查数学素养。例如第12题看似只是考查比较大小，实则涉及构造函数，研究函数单调性、指对互换等知识点，考查比较灵活，对学生思维的灵活度有较高要求；第15题鼓励学生用创造性、发散性思维分析解决问题，引导教学重视培养学生的创新性思维。
2022年全国乙卷文科数学，突出对基础知识(约占50%)以及主干内容的考查，如函数与 导数(22分)、立体几何(22分)、解析几何(22分)、概率与统计(27分)、三角函数与解三角形 (17分)、数列(10分)。该试卷突出对数学主干知识的考查，体现重点知识重点考查，重复考 查的特点。入手点平缓，体现人文关怀，前3小题分别考查集合、复数、平面向量，简单易做， 充分考虑到文科生特点。除概率大题第19题外，试题没有复杂的情境，平铺直叙很直接，没 有所谓的文化外衣，让学生一下子进入了数学问题。试题注重对思想方法的考查，重点考查 数形结合思想、函数方程思想、分类讨论思想等思想方法；重视对通性通法的考查，重视对数学概念的考查。例如第16题是建立在函数奇偶性概念上的一道很好的试题。
2022年新高考I、Ⅱ卷数学，注重数学学科知识与国家生产生活实际的紧密联系，通过 创设真实问题情境，着重考查学生灵活运用数学知识分析问题、解决问题的能力，体现了数学 的应用价值和育人价值，试题考查回归数学本源。例如新高考I卷第4题以南水北调为背 景，引导学生关注科技、关注民生，同时体现了中学数学核心素养中的数学建模，让学生利用 数学知识，构建模型，解决科技民生问题；新高考I卷第20题关注时事热点，近些年来，疾病 问题一直是社会热点问题，本题关注了某地方性疾病与当地居民的卫生习惯，透露出保持良 好的卫生习惯可以减少发病率的信息，同时结合了独立性检验以及条件概率进行考查。打破 常规，加强对推理证明的考查，新高考I卷有第17题第(2)问证明不等式，第20题第(2)问证 明一个特殊的概率关系式，以及第22题第(2)问证明交点的横坐标成等差数列3个证明问题，所以以后的数学备考，也要关注各章节中有关推理证明的问题。
二、紧扣时代脉络，突出展现核心价值
作为高考统考科目，数学科不仅担负着重要的选拔功能，还担负着重要的育人功能。紧扣时代脉络，突出展现核心价值，是数学科发挥学科特点、展现德育要求的最好途径。
1.发挥学科特色，彰显育人功能
2022年全国甲卷理科第2题以公益讲座“垃圾分类”为背景，提供一张描述讲座前后垃 圾分类知识问卷答题正确率的散点图，以图文并茂的情境考查学生提取信息能力、数据分析 和处理的能力，在具有基础性、综合性、应用性的同时具有一定创新性。同时试题反映国家关心环保，着力提高公民垃圾分类的意识，让学生在试题求解的过程中了解国家的政策与成果。
2022年新高考I卷第20题，以疾病防控调查卫生习惯为背景，考查学生对知识的实际 应用能力及数学运算能力。试题将卫生习惯与数学中的概率统计巧妙结合在一起，考查学生 将图表信息转化为数学条件的信息整理加工能力，将概率相关知识灵活应用于现实问题的能力，以及面对开放性问题分类讨论的数学思维。
2.关注时代主题，强化数学应用
2022年全国乙卷理科第9题、文科第12题，研究球内四棱锥体积的最大值问题，解题 时，需要将问题转化为三次函数的最值问题，进而利用导数求解，要求学生有较强的空间想象 能力和分析问题能力。2022年新高考Ⅱ卷第8题对思维的灵活性有较高要求，在抽象的情境中发现函数周期性是解题的关键，2022年全国乙卷理科第4题，以嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测， 成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星为情境，体现数学的应用价值和时代特征，激发青 年学生树立为国家服务、奉献科技事业的信念；考查学生综合应用数列、函数、不等式等基础知识观察问题、分析问题和解决问题的能力。
三、银线：注重理性思维，强化关键能力考查
理性思维在数学素养中起着最本质、最核心的作用，理性思维能力、分析和解决问题的能 力是数学科对“智育”考查的第一重镇。高考数学突出理性思维，将数学应用、数学探索、数学 文化学科素养统一到理性思维的主线上，在数学应用、数学探索等方面突出体现对逻辑思维能力等关键能力的考查。
关键能力是学业要求的综合化表现，是学科素养在特定形式下的具体内涵和技能表现，其具体内涵如下。
1.信息识别与获取能力
在高速发展的信息化时代，信息整理能力十分重要，它包含信息的识别与获取、信息的处 理与分析等。数学的信息整理能力表现为用数学的眼光发现问题，用数学的思想方法准确地概括和描述现实问题，用数学的工具分析和解决问题。
信息识别与获取能力要求学生能通过各种方式与渠道获取信息，根据应对问题情境的需 要，合理地组织、调动各种相关知识与能力，完成信息获取活动；根据应对问题情境的需要，合 理地组织、调动各种相关知识与能力，系统化、多层面、多角度地对新信息进行加工处理，准确 把握新信息的实质，把握新旧信息的联系，形成对新信息的准确判断、分析与评价。未来的高 考命题中材料的阅读量有可能会进一步增加，图表数据信息和实验场景可能会大量出现，这些都是为了考查学生的信息获取、识别和加工的能力。
题源 能力解读
2022新高考I卷，4 该试题以南水北调工程为背景，给出描述水位与水面面积的有关文字信息，考查学 生从相关文本中快速获取与水量、面积相关的信息，并将文本信息转换为数学条件的能力
2022新高考Ⅱ卷，19 该试题以疾病调查为背景，给出频率分布直方图，考查学生从文字与图表中快速获取有效信息，在真实情境下对信息进行整理加工、分析建模以及实际应用的能力
2022全国甲卷，理2 以社区公益讲座为背景，给出描述关于讲座前后问卷答题的正确率的文本与散点 图，考查学生从相关文本与图表中快速获取相关信息，并将文本与图表信息转换为数学知识进行求解的能力
例如2022年全国甲卷理科第19题，以比赛项目为背景，要求学生能够通过解读题干信 息，找到甲、乙学校获胜的所有情况，最终通过离散型随机变量的分布列等基本知识解答。具体命题如下：
【例1】(2022年全国甲卷，理19)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个 项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军.
已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望.
序号 关键信息 关键信息解读
1 甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个 项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没 有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军 介绍比赛规则
2 已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5,0.4,0.8,各项目的比赛结果相互独立 说明三个事件相互独立
3 求甲学校获得冠军的概率 设甲在三个项目中获胜的事件依次记为 A,B,C,再根据甲获得冠军则至少在两个项 目中获胜，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出
4 用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望 根据题目信息，X的可能取值为0,10,20,30, 再分别计算出对应的概率，即可列出分布列，求出期望
2.数学抽象与空间想象能力
数学抽象与空间想象能力主要是指，学生对客观事物的空间形式进行观察、分析、抽象、思考和创新的能力。它是立体几何课程教学的主要目的，在教学上，力求做到使学生能将空 间物体形态抽象为空间几何图形，能借助给定的文体图形想象出实体形状以及几何元素在空 间的实际位置关系，并能用符号或数式表达出来且能正确解题。空间想象能力具体包括以下 几个方面：①熟悉基本几何图形(平面和空间),并能找出其概念原型，能正确地画出实物或用 语言、数学符号表述；②能分析图形中基本元素之间的位置关系及度量关系，明确几何图形与 实物空间形式的区别与联系；③能借助图形来反映并思考客观事物或用数学语言表达的空间 形状和位置关系。
题源 能力解读
2022新高考I卷，16 根据条件“过F,且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点”作出正确的图形，根据图形准确作出要求的三角形，进而通过数形结合解决问题
2022全国甲卷，文9、理7 运用几何法找到相应的线面角借助边长间关系求得，考查学生正确地分析出图形中基本元素及其相互关系的能力
【例2】(2022年全国甲卷，文10、理9)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心
角之和为2π,侧面积分别为S甲和Sz,体积分别为V甲和Vz. 则
A. B.2 C. D.
序号 关键信息 数学符号与抽象
1 甲、乙两个圆锥的母线长相等 圆锥的侧面积公式Sm=πrl,这里甲、乙两个圆锥的母线长l相等
2 侧面展开图的圆心角之和为2π 由圆心角公式
3 侧面积分别为S甲和Sz 圆锥的侧面积公式S侧=xrl
4 体积分别为Vφ和Vz 圆锥的体积公式
5 由圆锥的侧面积公式得
设母线长为L,甲圆锥底面圆半径为r甲，乙圆锥底面圆半径为rz,根据圆锥的侧面积公
式Sm=xrl和题目已知信息可得r甲=2rz,利用圆心角公式 并结合圆心角之和可将r 甲 ， r z 分 别 用 l 表 示 ， 利 用 勾 股 定 理 分 别 求 出 两 圆 锥 的 高 ， 根 据 圆 锥 的 体 积 公 式 V 两 锥 =，即可得解。着重考查学生对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的能力。
3.数学建模能力
数学建模是指对一些现实问题进行数学抽象，用数学的语言表达、用数学知识构建模型 来解决问题的过程。数学建模是为了构建数学与外部世界的桥梁，是解决现实问题的基本手段。
在高考数学中对数学建模这 一 核心素养进行考查，其关键点在于：学生能结合题目的情 境，能够针对问题建立数学模型，然后运用相关数学知识求解模型，更高水平的学生能够基于 现实背景验证模型及改进完善模型，提高创新能力。在正式进入高考真题的分析之前，我们需要先学习数学建模的基础知识 ， 全面认识数学建模的活动形式 。 数学建模的主要步骤如下 。
数学建模的思维核心在于建构“现实与理想、原型与变型”之间的数学关系，是用字母、数 字和其他数学符号构成的等式或不等式，或用图表、图像、框图、数理逻辑等来描述事物的特 征及其内部联系或与外界联系的一种抽象表达。数学建模是联系现实世界与数学世界的桥 梁，始于现实世界并终于现实世界。在高考试题中，常用的数学模型有：方程(组)、不等 式(组)、函数、几何、概率统计、数列等。数学建模通常与设置的问题的性质、建模目的等有 关，基本流程为：问题分析，提出假设，模型选择或建构，模型求解，结果检验。针对不同数学 模型，采用解方程、几何求解、证明定理、逻辑推理、数学运算等方法，依据相关的约束条件，结合给定的相关数据，进行求解。
合乎实际结果
题源 能力解读
2022新高考I卷，7 构造函数的过程，考查了能在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型的能力
2022全国乙卷，理12 由特殊的抽象函数考查了在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题、解决问题的能力
【例3】(2022年新高考I卷，12)已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,记
g ( x ) = f ' ( x ) .若 ,g(2+x)均为偶函数，则( )
A.f(0)=0 C.f(- 1)=f(4) D.g(- 1)=g(2)
问题分析：根据题干信息已知，均为偶函数，运用偶函数的性质推导关系式。
模型假设：因为 ,g(2+x)均为偶函数，所以根据偶函数模型可以得到
模型分析：根据关系式可得，两个函数均为对称函数，g(x)的图象关于直线x=2对称，且关于点 对称，从而推导出周期判断选项正误。
模型求解：因为 是偶函数，所以
所以函数f(x)的图象关于直线 对称，
所以f(- 1)=f(4) . 故C正确；
因为g(2+x)为偶函数，所以g(2-x)=g(2+x),
所以g(x)的图象关于直线x=2对称.
因为g(r)=f(x),g(x)的图象关于直线x=2对称，
所以f(x)的图象关于点(2,t)(t∈R)对称.
因为f(x)的图象关于直线 对称，
所以g(x)的图象关于点 对称.
所以f(x)与g(x)均是周期为2的函数.
所以f(0)=f(2)=t(t不恒等于0),故A错误；
,故B正确,故D错误
4.逻辑推理与论证能力
逻辑推理是指从一些事实及命题出发，依照逻辑规则推算出另一个命题的推理的过程， 主要有两类： 一是由特殊到一般的推理，主要是归纳推理和类比推理；二是由一般到特殊的推 理，主要是演绎推理。逻辑推理是得出数学结论和构建数学体系的一种重要方式，是数学具 备严谨性的保证，也是数学活动中交流的基本思维。逻辑推理能力要求学生会对问题或资料 进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括，会用演绎、归纳和类比进行推理，能准确、清晰、有条 理地进行表述。在高考数学中考查逻辑推理能力的题目比重较大，解决此类题目的关键是： 学生能够发现并提出问题，能够掌握逻辑推理的形式及论证的过程，能够理解知识之间的有机联系，构建知识体系。
题源 能力解读
2022全国甲卷，文7 由函数解析式和图象得到函数的奇偶性和特殊点的取值情况，考查学生对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的推理能力
2022新高考I卷，18 理解并会运用二倍角公式、正弦定理、均值不等式等基础知识。考查学生根据问 题的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径的能力，以及对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的能力
2022全国乙卷，理4 借助题目选项得到本题主要信息是：数列(b。}项的大小比较，然后再运用不等式 的性质比较大小，考查学生对问题或资料进行观察、比较、分析、综合、抽象与概括的能力
2022新高考Ⅱ卷，22 在解决第(2)问时，讨论 时命题不成立，然后证明时命题成立，再证明a≤0时命题成立，考查学生对问题比较、分析、综合、抽象与概括，并能准确、清晰、有条理地进行表述的逻辑推理能力
【例4】(2022年北京卷，6)设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”
是“存在正整数N。,当n>N。时，an>0”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
该题与大学极限知识联系紧密，充分性的推导过程可以用演绎推理推导；必要性推导过程可以用反证法证明。考查学生会用演绎、归纳和类比进行推理。
序号 关键信息 数学符号与抽象
1 四个选择项支 需要学生正确认识判断充分必要条件的方法， p → q,p是q的充分条件，q是p的必要条件，p=q,p是q的充要条件
2 {a。}是公差不为0的无穷等差数列 “无穷”的含义是项数为趋向于无穷大
3 {a,}为递增数列 考虑an>an- 1或者公差d>0
4 存在正整数N。,当n>N。时，am>0 结合“无穷等差数列”可推理如果la,为递增 数列，有d>0,总能找到一项，使得an>0;反之，可以采用反证法证明
5.批判性思维能力
批判性思维能力要求学生在面对各种复杂问题时独立思考、敢于质疑，运用已有知识进 行审慎思考、分析推理，得出可靠的结论；根据对问题情境的分析，从多元性、情境性、关联性、层次结构性、动态平衡性、开放性和时序性等方面把握问题与事物的本质。
批判性思维是重要的能力素养，是理性思维的高度体现，批判性思维的培养对于培养人 的优良品质与创造力具有重要的意义。高考数学突出对批判性思维能力的考查，考查学生推理论证、发现错误、修正错误的能力，以及发现解决问题的方向和方法的能力。
题源 能力解读
2022新高考Ⅱ卷，21 将①②③三个条件恰当地用代数形式表达，同时答案不唯一，需要学生选择 其中两个作为条件，证明另一个条件成立，主要考查学生对题干问题进行分 析、综合、抽象与概括并能准确、清晰以及综合与灵活地应用所学的数学知 识、思想方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题的能力
2022全国乙卷，理14、文15 考查学生能发现问题、提出问题，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想 方法，选择有效的方法和手段分析信息，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题的能力
2022全国甲卷，文15 要求能根据题干运用直线与圆锥曲线的关系建立起a,b,c之间的关系，进 而求得离心率，主要考查学生对题干问题进行分析、综合、抽象与概括并能 准确、清晰、有条理地进行表述的能力。试题结果为取值范围，但要求学生写出范围内的一个结果即可，让不同的学生运用不同的思路进行求解
【例5】(2022年全国乙卷，理12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+ g(2 - x)=5,g(x) - f(x - 4)=7 .若y=g(x) 的图象关于直线x=2对称， g(2)=4,则
A.-21 B.-22 C.-23 D.-24
解题思路如下。
解法一：
因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称，所以g(2-x)=g(2+x).
因 为f ( x ) + g ( 2 - x ) = 5 ,所 以f ( - x ) + g ( 2 + x ) = 5 ,所 以f ( - x ) = f ( x ) ,所 以 f(x)为偶函数.
因为g(2)=4,f(0)+g(2)=5,所以f(0)=1.
因为g(x) - f(x - 4)=7,所以g(2 - x)=f( - x - 2)+7,
代入f(x)+g(2 - x)=5,得f(x)+f( - x - 2)= - 2,故f(x)的图象关于点 (-1,-1)中心对称，
所以f(1)=f(- 1)=- 1.
由f ( x ) + f ( - x - 2 ) = - 2 , f ( - x ) = f ( x ) ,得f ( x ) + f ( x + 2 ) = - 2 ,
所以f(x+2)+f(x+4)= - 2,
所以f(x+4)=f(x),所以f(x)周期为4.
由f(0)+f(2)= - 2,得f(2)= - 3 .
又f(3)=f( - 1)=f(1)= - 1,f(4)=f(0)=1,
故选D .
解法二：因为题目的目标是.的值，所以考虑消去g(x),获得f(x)的相关性质.
因为g(x) - f(x - 4)=7,所以g(x+2) - f(x - 2)=7,
又因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称，
所以g(2+x)=g(2 - x),
所以g(2 - x) - f(x - 2)=7 .
又因为f(x)+g(2 - x)=5,所以f(x)+f(x - 2)= - 2,
所以f(x-2)+f(x-4)=-2,所以f(x)是周期为4的周期函数.
在f ( x ) + f ( x - 2 ) = - 2 中 ， 令x = 3得f ( 3 ) + f ( 1 ) = - 2 ,再 令x = 4得f ( 4 ) +f(2)=-2,
所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)= - 4 .
由g(2)=4,在f(x)+g(2 - x)=5 中，令x=0,得f(0)=1 .
在f ( x ) + f ( x - 2 ) = - 2 中 ， 令x = 0 ,得f ( 2 ) = f ( - 2 ) = - 3 ,
在g ( x + 2 ) - f ( x - 2 ) = 7 , f ( x ) + g ( 2 - x ) = 5 中 分 别 令x = 1和x = - 1
解 得 f ( - 1 ) = - 1 ,
代 入f ( x ) + f ( x - 2 ) = - 2得f ( 1 ) = - 1 .
解法三：从三角函数视角解题，因为g(x)的性质更明确，既具有轴对称性，又具有中心对 称性，所以从三角函数视角解题，是个不错的选择。先构造g(x)的一个解析式，进而得到
f(x)的一个解析式。
因 为g ( x ) - f ( x - 4 ) = 7 ,所 以g ( x + 4 ) - f ( x ) = 7 .
又因为f(x)+g(2 - x)=5,所以g(x+4)+g(2 - x)=12,
所以g(x)的图象关于点(3,6)对称.
又因为g(x)的图象关于直线x=2对称且g(2)=4,利用五点作图法的特征，令 是符合题意的，此时 ,显然f(x)的周
期为4.
解法四：
因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称，
所以g(2 - x)=g(x+2) .
因 为g ( x ) - f ( x - 4 ) = 7 ,所 以g ( x + 2 ) - f ( x - 2 ) = 7 , 即g ( x + 2 ) = 7 + f ( x - 2 ) ,
因为f(x)+g(2 - x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,
将g(x+2)=7+f(x - 2)代入得f(x)+[7+f(x - 2)]=5, 即f(x)+f(x - 2)= — 2,
所 以f ( 3 ) + f ( 5 ) + … + f ( 2 1 ) = ( - 2 ) × 5 = - 1 0 ,
f(4)+f(6)+ …+f(22)=(-2)×5=- 10.
因 为f ( x ) + g ( 2 - x ) = 5 , g ( 2 ) = 4 ,所 以f ( 0 ) + g ( 2 ) = 5 , 即f ( 0 ) = 1 ,所 以f ( 2 ) =-2-f(0)=—3.
因为g(x) - f(x - 4)=7,所以g(x+4) - f(x)=7,又因为f(x)+g(2 - x)=5,
相加得， g(2 - x)+g(x+4)=12,
所以y=g(x)的图象关于点(3,6)中心对称，
因为函数g(x)的定义域为R,
所以g(3)=6.
因为f(x)+g(x+2)=5,所以f(1)=5 - g(3)= - 1 .
f(22)]=- 1-3- 10- 10=-24.
故选D.
6.符号与语言表达能力
符号与语言表达是思维运作后的信息输出，是数学知识、核心素养、思维过程、逻辑论证 的具体表现。要求学生根据应对问题情境的需要，能够合理组织、调动各种相关的知识，准确 传达信息并进行交流沟通；根据具体情境的不同，选用口语、书面语等不同语体并灵活转换； 熟练运用图像、图表、图片表达思想、观点，借助口语、书面语或绘图等方式表达抽象的概念； 灵活运用各种文本形式准确表达个人的情感、思想和观点；能够根据情境需要，运用外语进行交流。数学试卷还特别要求运用专业术语有逻辑地展示解题的过程。
【例6】(2022新高考I卷，22)已知函数f(x)=e' -ax和g(x)=ax— Inx有相同的最小值.
(1)求a;
(2)证明：存在直线y=b,其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并
且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.
本题由指数函数与一次函数、对数函数与一次函数构成的两个新函数为载体，考查在用 零点存在定理证明直线y=b与两条曲线y=f(x)和y=g(x)各有两个不同交点时，如何取 值以及证明两条曲线y=f(x)和y=g(x)有唯一一个交点问题。学生在求解此题时需要利 用化归与转化的思想，将目标函数转化为易于处理的形式，利用导数进行研究。该题使学生
理性思维的广度和深度得到充分展示，考查学生进一步学习与探究的潜能。
四、串联线：融合现实情境，倡导“五育”并举
数学在人类社会发展中起着十分重要的作用，数学实力已经影响着一个国家的综合实 力。数学素养影响人的长远发展，数学素养的教育在培养学生真、善、美的品质和创造力方面 有着特殊且重要的作用。近两年来的数学命题都较好地融合现实情境，积极落实“五育”并举
的教育理念.
1.以文化人，展示德育要求
培养理想信念和爱国情怀是立德树人的重要内容。高考数学试题以中国社会主义建设成果为试题情境，考查逻辑推理、数学建模、数据分析等学科素养。
例如2022年全国甲卷理科第8题以沈括的著作《梦溪笔谈》中“会圆术”为背景，考查学 生综合运用知识解决问题的能力，让学生充分感受到我国古代科学家的聪明才智；2022年新高考I卷第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景，引导学生关注社会主义建设的伟大成果，增强社会责任感。将现实生活中的水库抽象为空间几何体棱台，考查学生运用 图形与图表等手段形象地揭示问题的本质和根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理的能力。
2.巧设生活情境，彰显体质教育
身心健康是素质教育的核心内容，在高考评价体系的核心价值指标体系中，包含健康情 感的指标，要求学生具有健康意识，注重增强体质、健全人格、锻炼意志。体质测试也是中学 乃至大学的必备科目，在许多地方已经纳入考核指标。高考数学设计了以体育运动、身体素质为问题情境的试题，体现了积极的导向作用。
例如2022年全国甲卷理科第19题以学校体育比赛为情境，文科第19题以中学生参加 综合实践活动时设计的包装盒为情境，考查学生在新的现实情境下解决实际问题的能力，试 题的设计引导中学加强体育锻炼、劳动理念的教育；2022年全国乙卷理科第13题、文科第 14题以社区服务工作为情境，引导学生关心公益，积极投身公益事业；2022年全国乙卷理科 第10题考查棋手比赛背景下的概率计算，文科第4题统计了两位同学的课外体育运动时长， 在此情境下考查基本统计量的识别和概率估计。这些问题既考查了数学知识，又体现了体育教育对人的全面发展的重要性。
3.展示数学之美，体现美育教育
良好的审美素养影响人对社会、对他人、对事物积极的人生态度，同时良好的审美素养对 培养人的创造能力也十分重要。数学美包括对称美、和谐美、简洁美等，数学在培养学生发现美、欣赏美的过程中起着重要作用。
例如2022年新高考Ⅱ卷第3题，以我国古代建筑中的举架结构为背景，将某建筑的举架 结构图抽象得到数学几何图形(截面示意图),考查学生的阅读理解能力和数学建模能力；考 查学生综合应用等差数列、解析几何、三角函数等基础知识解决实际问题的能力。中国古代 建筑独树一帜，其成果在世界建筑史上具有重要地位，试题设置相关情境对引导学生关注我 国古代优秀成果、增强民族自尊心有积极的教育意义，让学生体会古建筑之美。2022年全国 乙卷文科第19题，以环境治理将荒山改造成绿水青山为情境，考查了概率统计等相关知识，增强学生保护环境的意识，感受生态环境之美。
4.理论联系实际，引导劳动教育
培养学生的劳动态度和劳动精神，是深入推进课程改革的重要内容，对塑造正确的世界 观、人生观、价值观具有重要意义。高考数学试题将社会生产劳动实践情境与数学基本概念有机结合，发挥高考在培养劳动观念中的引导作用。
2022年全国乙卷理科第13题以五名同学参加社区服务工作为背景，考查排列组合及古 典概型的概率计算，培养学生的数学应用意识，提高学生对劳动实践的兴趣。2021年全国甲卷理科第17题以不同机床生产同种产品的质量为背景，体现统计与概率中独立性检验的应用，考查数据分析与数学运算能力，通过科学比较机床生产质量，让学生了解真实的生产场景。
小结：坚持守正出新，彰显高考改革方向
2022年高考数学试题情境真实、内容选择灵活，开放性加强，难度顺序打破固化，引导教 学要促进学生学会学习，即会“阅读”、会“思考”、会“反思”及具备一定的“品格”。“阅读”指提 取关键信息，理解数量关系，读懂符号、图表等；“思考”指形成解决问题的思路并得到结果； “反思”指问题解决后的总结、比较、提升；“品格”指解决问题必备的信心、勇气等。高考数学 坚持改革创新，全面贯彻高考评价体系的要求，更新评价理念，落实立德树人的根本任务，在 考试内容改革、题型创新、试卷结构改革以及科学调控难度等方面进行了积极探索。试题科 学把握数学考试的方向性、时代性、科学性与高校人才选拔功能的关系，正确把握高考数学命题与课程标准的关系，充分发挥高考数学对中学数学教育教学的正确导向作用。
1.试题情境真实，要求学生会“阅读”
近年来，对学生数学阅读能力的培养引起了越来越多的关注。数学阅读不同于文学类阅 读，数学文本材料中有大量的符号、图形、表格等，学生需要了解这些符号、图形、表格的含义， 进而理解与其相关的数学概念。同时，数学科具有抽象性、严谨性和应用性的特点，要求学生 具备一定的数学抽象、逻辑推理、数学建模等素养。任子朝等指出，高考数学对关键能力的考 查贯串于解决问题的全过程，在学生接触问题之初，阅读理解能力起关键作用。2022年的高 考数学试题延续往年的做法，通过设置丰富的情境，考查学生的数学阅读能力。例如，新高考 I卷第4题以我国的重大建设成就“南水北调”工程为背景，考查学生的数学阅读能力。学生 阅读时需将题目中的信息和对水库的认识联系起来，理清题干中的数量关系，如水位高度和 相应水面的面积之间的关系及其单位之间的关系，还要注意是棱台而不是圆台，充分理解题 目的要求。短短100余字，包含了丰富的信息。新高考Ⅱ卷第3题以我国古代建筑中的举架 结构为背景，考查学生的数学阅读能力。如果说上个例题要求学生根据题目中的信息自己想 象水库的样子，画出示意图，那么此题则为了让学生更好地理解举架结构，给出了其截面示意 图。题目涉及的数量关系较多，需要学生准确理解和把握。而事实上，很多学生会想当然地 认为点A,B,C,D均在一条直线上，这就会进入误区，影响问题的解决。因此，要仔细审题， 理清题目中的信息，而不能想当然。另外，除了通过设置真实情境考查学生的数学阅读能力外，还可以设置新定义的试题，如2022年北京卷第21题。
2.内容选择灵活，要求学生会“思考”
教学的目的之一是在认知及实践活动中发展学生的思考力。近年来，高考数学试题内容 的选择越来越全面和灵活，需要学生会“思考”,将知识及其之间的关系理解透彻，这在2022年的高考数学试题中表现得比较突出。例如，新高考I卷第20题对条件概率的意义的考查，条件概率是高中阶段概率学习的重要内容之一，也是解决概率问题时常用到的概念。 在各版本高中数学教科书中， 一般节标题中都会出现“条件概率”字样，可见它的重要性。第 (2)问考查学生对条件概率的理解和应用，引导学生真正理解所学内容，而不单单是记住公 式。新高考I卷第12题考查函数、导函数及其对称性、周期性的关系，在本题的解题过程中， 学生只需理解偶函数、导函数的含义，借助图象进行推理，无需记忆公式。本题是对基本概念的考查，也是对学生数学思维品质的考查，要求学生对知识有深刻理解，具有较强的综合应用能力和创新思维。
可见，数学科有着严谨的逻辑体系，学生仅靠刷题已经很难适应指向核心 素养的考查，只有会“思考”,真正理解教材内容，才能够顺利解决遇到的数学问题。新高考 Ⅱ卷第13题对正态分布曲线特点及其意义的考查，新高考Ⅱ卷第7题对球的表面积的考查，都体现了这个要求。
3.试题开放性加强，要求学生会“反思”
数学反思能力的基本特征包括：思维的开放性、灵活性和探究性等。但在传统的教学中， 教师对学生反思能力的培养不够。近年来，高考中的试题类型越来越丰富，在保留单选题、填 空题、解答题的基础上，增加了多选题、开放性问题和劣构问题等，这要求学生在日常学习中 学会“反思”,掌握一定的选择策略。在2022年高考数学试题中，开放性试题的比重有所增 加。例如，新高考I卷第14题和全国甲卷文科第15题答案是开放的，新高考Ⅱ卷第21题是 劣构问题，新高考I卷和新高考Ⅱ卷都设置了4道多选题。新高考I卷第14题考查的是直 线与圆的位置关系。根据题目中圆的方程，可以在直角坐标系中画出两个圆，我们会发现这 两个圆外切，它们有3条公切线。比较一下三条切线的求解方法，我们很容易发现，求3条切 线的方程的运算量是不一样的，在考试中，选择求解哪条切线决定了完成该题所需的时间，因 此，学生需要在日常学习中学会比较、反思、总结采取不同解题方法的利弊，从而作出最优选 择。新高考Ⅱ卷第21题的第(1)问比较常规，难度较低。第(2)问是一个劣构问题，题目给定 了3个条件，要求任取两个作为条件证明另外一个条件成立，那么一共有3种选择方法可以 形成3个问题，对学生的直观想象能力和数学运算能力要求较高。在解题过程中，学生需要 充分理解题干中的条件，看出背后的规律；同时，能将题干中的条件与所给的3个条件建立联 系并分析各个条件的特点，进而得出结论。教师在日常教学中，要注意引导学生掌握证明“点 在线上”的多种思路以及关注不同解题条件下相应的工作量，形成经常反思、梳理、总结解决类似问题的意识。
4.难度顺序打破固化，引导学生养成必备的学习“品格”
试题呈现的顺序与难度在很大程度上会影响学生的考试成绩。在往年的高考中，通常第 儿题考什么难度的问题，甚至什么内容都是相对固定的，而近年来这种固化的模式有逐渐被 打破的趋势。2022年高考数学试题在难度呈现顺序上就比较灵活。例如，新高考I卷第7题的难度大于第8题的难度，第17题第(1)问的难度大于第(2)问的难度。这就要求学生具备良好的心理素质，能够及时调整自己的心态，保持信心和勇气。新高考I卷第7题从形 式上看是学生非常熟悉的考题，但是试题难度很大。首先，学生如果根据以往的思路来构造 函数会比较困难；其次，需要对a,b,c两两比较大小，运算量较大。若采用泰勒公式则可以轻 松得到结果，但泰勒公式不是课标要求学习的内容。因此，这样的问题对大部分学生来说难 度很大。但是第8题是学生日常学习中常见的问题，解题思路非常清楚，只是运算量略大，需 要学生坚定信心，在解决问题的过程中坚持不懈。解答时也可以借助图形直观理解空间形式 和数量关系，采用排除法，但是这对学生思维的灵活性要求更高。面对第8题时，学生不要因为第7题难度很大、第8题运算量大而产生动摇，而要及时调整心态，沉着应对。
综上，2022年高考数学试题体现了培养学生会“阅读”、会“思考”、会“反思”及具备一定 的学习“品格”的导向，指向促进学生“学会学习”素养的培育。这给我们的数学教学带来如下启示。
一是加强数学阅读。教师在培养学生数学阅读能力时，要让学生注意到概念、定理、公 式、例题等的不同。阅读概念时要思考：为什么讲这个概念 这个概念是怎么来的 它在数 学体系中处于什么位置 此前有没有学过类似的概念，它们之间有什么联系 阅读定理时要 思考：为什么把它作为定理 它的重要性体现在哪些方面 它研究的是性质、判定，还是不同 概念、对象之间的关系 阅读公式时要思考：为什么它是重要的公式 重要性体现在哪些方 面 有什么用 它是怎么得出的 阅读例题时要思考：该题与本节课所学内容之间的关系怎样 它的典型性是什么 代表了哪一类问题 等等。
二是重视数学思维。数学是思维的体操，教师在教学中必须让学生多想，引导学生学会 “思考”。通过2022年新高考I卷12题可以发现，该题没有大的阅读量.没有涉及复杂的解 题技巧，学生只要会“思考”,数学思维处于高阶水平，就很容易完成。在实际教学中，教师要 关注学生思维的差异，给学生提供完整的思考问题的机会，并通过高质量的作业促进学生数学思维的发展。
三是关注学习体验，加强意志品格的指导。师生关系是影响学生学业成绩的重要因素。 良好的师生关系不仅意味着在日常教学中学生能经常性地感受到来自教师的鼓励、关心和陪 伴，还意味着在教学中教师能够对学生学习自信心、意志品格、主动迎接挑战的勇气与坚持、 毅力等品格精神的形成进行指导。为此，教师要定期与学生进行情感的沟通和交流，让学生收获良好的学习体验，形成必备的学习“品格”。
实际情境
提出问题
逻辑推理
直观想象
建立模型
数学建模
求解模型
数学抽象
数学运算
检验结果
不合乎实际
数据分析
观察、比较、分析、综合
观察、比较、分析、综合、抽象与概括
抽象与概括
演绎
演绎、归纳和类比推理 归纳
类比
准确、清晰、有条理地表述
逻辑思维
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