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2023届高考数学复习专题 ★★
排列组合解题策略大全
一、合理分类与分步
1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？
分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1）若甲在末尾，剩下四人可自由排，有种排法；2）若甲在第二，三，四位上，则有种排法，由分类计数原理，排法共有（种）
解法二(排除法):甲在排头:,乙在排尾: ,甲在排头且乙在排尾: ,故符合题意的不同的排法为: .注: 甲在排头和乙在排尾都包含甲在排头的同时乙在排位,所以多减了要补回来.
2、从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？
解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：
若甲乙都不参加，则有派遣方案种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有方法，所以共有；③若乙参加而甲不参加同理也有
④（同例1）若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有种，共有方法.所以共有不同的派遣方法总数（种）
二、特殊元素和特殊位置优先法
1、0，1，2，3，4，5可以组成多少个没有重复数字的五位奇数？
分析：特殊元素：0，1，3，5；特殊位置：首位和末位
先排末位：，再排首位：，最后排中间三位： 共有：=288
2、7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
先种这两种特殊的花在除中间和两端外剩余的3个位置：;再在其余5个位置种剩余的5种花：；总共：=1440
三、排列组合混合问题先选后排法
1、4个不同小球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的方法有多少种？
分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1）选：从四个球中选2个有种，从4个盒中选3个盒有种；2）排：把选出的2个球看作一个元素与其余2球共3个元素，对选出的3盒作全排列有种，故所求放法有种。
2、5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？
解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有
3、9名乒乓球运动员，其中男5名，女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？
解析：先取男女运动员各2名，有种，这四名运动员混和双打练习有中排法，故共有种.
4、一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有多少种？
先在正副班长中选1人：，再在剩余4名战士中选3人：，最后对选出的4人进行全排列：，总共=192
四、相邻元素捆绑法
1、五人并排站成一排，如果必须相邻且在的右边，那么不同的排法种数有多少种？
解析：把视为一人，且固定在的右边，则本题相当于4人的全排列，种，答案：.
2、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法？
分析： 把甲、乙、丙三人看作一个“元”，与其余4人共5个元作全排列，有种排法，而甲乙、丙、之间又有种排法，故共有种排法。
3、7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法？
可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。 =480
4、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中有且只有两个偶数夹在1和５之间,这样的五位数有多少个？
解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.
五、不相邻（相离）问题插空法
1、七人并排站成一行，如果甲乙两个不能站在一起，那么不同的排法种数有多少？
解析：除甲乙外，其余5个排列数为种，再用甲乙去插6个空位有种，不同的排法种数是种，选.
2、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
先排除舞蹈外的5个节目为种，再用4个舞蹈节目去插6个空位有种，不同的排法种数是
3、某人射击8枪，命中4枪，命中的4枪中恰有3枪连在一起的情形有多少种？
先将未命中的4枪排好，这里不讲顺序，然后将命中的4枪分3枪和1枪两组，插入5个空，共种情形。
4、马路上有8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足条件的关灯方法共有多少种？
分析：表面上看关掉第1只灯的方法有6种，关第二只，第三只时需分类讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在5只亮灯的4个空中插入3只暗灯”的问题。故关灯方法种数为。
六、定序问题缩倍法
1、五人并排站成一排，如果必须站在的右边（可以不相邻）那么不同的排法种数有多少？
解析：在的右边与在的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即种，选.
2、6个人排队，甲、乙、丙三人按“甲---乙---丙”顺序排的排队方法有多少种？
分析： 不考虑附加条件，排队方法有种，而其中甲、乙、丙的种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有种。
七、多排问题直排法
1、（1）6个不同的元素排成前后两排，每排3个元素，那么不同的排法种数有多少？
解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成6个不同的元素排成一排，共种，选.
（2）8个不同的元素排成前后两排，每排4个元素，其中某2个元素要排在前排，某1个元素排在后排，有多少种不同排法？
解析：看成一排，某2个元素在前半段四个位置中选排2个，有种，某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有种，其余5个元素任排5个位置上有种，故共有种排法.
2、有2排座位,前排11个座位，后排12个座位。现在安排2人就坐,规定前排中间3个座位不能坐,并且这2个人不左右相邻,那么不同的排法共多少种？
在20个可以坐的任意取2个排列,有380种,减去其中两人相邻的情况.相邻的情况有2*3+2*3+2*11=34种
所以答案为380-34=346
九、自由分配求幂法
1、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法
解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法
2、某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法有多少种？
十、相同元素分组隔板法
1、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插入隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法。
2、10个相同的球装入5个盒中,每盒至少一有多少装法？
十一、平均分组先乘后除
1、将4人平均分成两组，有多少种不同的分法？
分析：如果象例1一样，则有C24=6种。但事实上，将ABCD四人平均分成两组，只有AB-CD、AC-BD、AD-BC三种。为什么呢？我们不难发现，从4人中选2人时，选AB或CD是两种不同的选法，但在分组时，AB-CD应是同一组，即每种分法都重复了2次。故正确的分组种数为种。
2、六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1)每组两本（均分三堆）
(2)一组一本，一组二本，一组三本
(3)一组四本，另外两组各一本
分析：（1） (2) C16C25C33=60 (3)
十一、非平均分组只用乘法 (分步为每个小组按数量取物）
1、将6人分成1人、2人、3人三组，有多少种不同的分法？
解：由乘法原理不难得到不同的分法有C16C25C33=60种。
说明：这种分组将元素分成个数互不相等的组，可以直接由乘法原理求出适合条件的不同种分法。
十四、定向分配（小组要分给指定的对象）------用分步乘法(分步为每个对象按数量取物）
1、 六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1) 甲两本、乙两本、丙两本.
(2) 甲一本、乙两本、丙三本.
(3) 甲四本、乙一本、丙一本.
分析：（１）法一：先平均分组：；再分给三人：；共=90
此法较繁，故采用法二：先为甲选两本：,再为乙选两本：，最后为丙选两本：；
共=90
（2）先为甲选1本：,再为乙选两本：，最后为丙选两本：；
共=60
先为甲选1本：,再为乙选两本：，再为丙选两本：；共=30
十三、不定向分配（小组可分给任一对象）-----先分组，再排列
1、六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？
(1) 每人两本（平均分给甲乙丙三人）
(2) 一人一本、一人两本、一人三本
(3) 一人四本、一人一本、一人一本
分析：此组题属于分配中的不定向分配问题，是该类题中比较困难的问题。由于分配给三人且未指明具体的分配对象，那么同一组书给不同的人是不同的分法，所以是排列问题。实际上可看作“分为三组，再将这三组分给甲、乙、丙三人”，
因此只要将分组方法数再乘以Ａ３３＝６ ，即
（１）先分组（平均分组）：；再分配给三人（排列）：；总方法为：
（２）先分组（非平均分组）：C16C25C33，再分配给三人（排列），总方法为：C16C25C33=360(种)
（３）先分组（含非平均分组和平均分组）：，再分配给三人（排列），总方法为：=90 (种)。
2、6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，有多少种分法？
分析：六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”，即书要分完，人不能空手。因此，考虑先分组，后排列。先分组，六本书怎么分为三组呢？有三类分法(1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各一本，另一组四本。所以根据加法原理，分组法是15+60 +15 =90(种)。再考虑排列，即再乘以。所以一共有90×6=540种不同的分法。
3、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，恰有一个空盒的放法有多少种？
分析：恰有一个空盒，则另外三个盒子中小球数分别为1，1，2。实际上可转化为先将四个不同的小球分为三组，两组各1个，另一组2个，分组方法有 (种)，然后将这三组(即三个不同元素)分配给四个小盒(不同对象)中的3个的排列问题，即共有=144(种)。
十五、正难则反 排除法
1、从10人中选6人参加一项活动，其中甲、乙、丙至少有一人被选到，问有多少种不同的选法？
十六、复杂问题可以考虑列举法
1、将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有多少种？
解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法
2、将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的盒子，要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？
解析：从5个球中取出2个与盒子对号有种，还剩下3个球与3个盒子序号不能对应，利用枚举法分析，如果剩下3，4，5号球与3，4，5号盒子时，3号球不能装入3号盒子，当3号球装入4号盒子时，4，5号球只有1种装法，3号球装入5号盒子时，4，5号球也只有1种装法，所以剩下三球只有2种装法，因此总共装法数为种.
3、同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？ (9)
十八、对应思想转化法（化归）
1、（1）圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？
解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形，显然有个，所以圆周上有10点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有个.
（2）某城市的街区有12个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从到的最短路径有多少种？
解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从到最短路线必须走7小段，其中：向东4段，向北3段；而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过4段的走法，便能确定路径，因此不同走法有种.
十九、涂色问题
1、用5种不同的颜色给图中标①、②、③、④的各部分涂色，每部分只涂一种颜色，相邻部分不能同色，则不同的涂色方法有多少种？
分析：先给①号区域涂色有5种方法，再给②号涂色有4种方法，接着给③号涂色方法有3种，由于④号与①、②不相邻，因此④号有4种涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有
2、（2003年全国高考题）如图所示，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着方法共有多少种？
分析：依题意至少要用3种颜色
当先用三种颜色时，区域2与4必须同色，
区域3与5必须同色，故有种；
当用四种颜色时，若区域2与4同色，
则区域3与5不同色，有种；若区域3与5同色，则区域2与4不同色，有种，故用四种颜色时共有2种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有+2=24+224=72
2、用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色可以反复使用，共有多少种不同的涂色方法？
分析：可把问题分为三类：
四格涂不同的颜色，方法种数为；
有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂法种数为；
两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为，
因此，所求的涂法种数为
3、用6种不同的颜色给图2的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法共有多少种？（07天津市理科高考16题）
解析：题中最多使用3种颜色的言外之意是最少使用2种颜色（用1种颜色不合题意），启示我们把解法分成两类：
一类是用2种颜色涂有种选法，满足相邻格异色、一个一色的4个格子涂法有种，共有=30种。
二类是用3种颜色涂法有种选法，满足题意的3个格子涂法有种，且另一格可用余下3种颜色之一， 有种法，共有=360种。
综上，所求涂色方法总共有390种。
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件
解决排列组合混合问题,先选后排是最基本的指导思想。
要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列.
后排法.
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
后排法.
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.
一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种
相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
各个元素的位置，一般地n个同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为种
平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以 (n为均分的组数)避免重复计数。说明：若将个元素分组，其中有组元素个数相同，则不同种分组方法有
说明：若将个元素分组，其中每组元素个数都不相同，则不同种分组方法有
解不定向分配题的一般原则：先分组后排列。
有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰.
求.
对于条件比较复杂的且元素个数较少的排列组合问题，不易用公式进行运算，枚举法会收到意想不到的结果
处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
A
B
根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。
②
①
③
④
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5
根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论，从某两个不相邻区域同色与不同色入手，分别计算出两种情形的种数，再用加法原理求出不同涂色方法总数。
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