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2023届高考数学复习专题 ★★
数列中的数学思想方法
数学思想方法的掌握和自觉运用可以使数学学习达到更高境界。数列中蕴含了函数思想、方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等重要的数学思想，努力用数学思想的高观点指导数列的学习，可以更深刻地理解知识，形成能力。
一、函数思想与数形结合思想
数列是定义在正整数集上的函数，等差、等比数列的通项公式和前项和公式是函数的解析式，在函数的观点指导下可使许多问题的理解产生一个质的飞跃。
例1．已知数列是等差数列，数列是等比数列，其公比，且 （），若，,则（ ）
或
分析：（方法一），，所以，选B
（方法二）等差数列是定义在正整数集上的一次函数，等比数列（）时是定义在正整数集上的指数函数。由，知两函数有两个交点如图，显然，而且当时都有，当时，
例2．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于（　　　）
A．55　　　　 B．70　　　　　C．85　　　　　D．100
分析：函数的本质是对应，对数列，就是，就是，将上述对应关系中的整体代换成了即可。
解：
所以，
二、方程的思想
等差数列有两个基本量，等比数列有两个基本量，等差与等比数列的两个基本问题都可以用两个基本量来表示，所以列出关于两个基本量的方程组来求解，这种方法又可称为基本量法。
例3．在等比数列中，如果（ ）
A．135 B．100 C．95 D．80
分析：以等比数列的首项和公比为基本量列方程组求解，适当运用整体思想可使运算简化。
解：，
注：本题当然可以用等比数列的性质求解，但方程的思想才是这类题的通法。
三、化归与转化思想
数列有等差、等比两种基本类型，其它数列常常化归为等差或等比数列的问题来解决。
例4．已知数列｛｝中，在直线y=x上，其中n=1,2,3….
(Ⅰ)令
(Ⅱ)求数列
(Ⅲ)设的前n项和,是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，试求出.若不存在,则说明理由.
解：（I）由已知得
又
是以为首项，以为公比的等比数列.
解：（II）由（I）知，
将以上各式相加得：
（III）存在，使数列是等差数列.
数列是等差数列的充要条件是、是常数
即
又.
当且仅当，即时，数列为等差数列.
注：函数迭代及数列递推是近年来高考数学综合题的热点问题，考查了函数的性质及函数方法在数列中的应用，体现了数列是特殊的函数的本质属性。另外，迭代和递推又经常可以实现一般数列向等差、等比数列的转化，深刻地考查了等价转化的数学思想。
四、分类讨论思想
等比数列的前项和公式是分类给出的，应用时要注意对公比是否为1进行讨论。另外，一般数列由的公式也是分类给出的，要注意对的情况进行讨论。
例：已知数列是等差数列，且
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求的前项和公式。
分析：（1）用基本量法、方程的思想求解；（2）用错位相减法求和实现了从一般数列到等比数列的化归，但要对进行分类讨论，当时不是等比数列；当时单独求和。
解：（1）易得由
（2）当时，，所以；
当时，，所以；
当时，
两式相减得：
所以，
注：有人将等差与等比数列对应项相乘所得的数列称为等差比数列，用错位相减法求和。这是课本上等比数列前项各公式推导的思路，这种题在近年的高考中频繁出现。
高考考纲指出了高考命题的能力立意，考查数学思想，倡导理性思维的指导思想。数学思想方法的学习可以使我们有意识、自觉地将数学知识转化为数学能力，最终通过自身的领悟转化为创造性能力。因此，加强数学思想方法的学习和领悟，是培养我们分析问题和解决问题的能力的重要方法，是提高高考成绩的捷径。
1、用等比数列定义证明2、瞄准目标(常数)
化异为同(转化)
约分得证
一般数列问题
迭加转化
等差等比问题
拆项分 组
一般数列求和
等差等比求和
分类讨论
错位相减实现化归

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