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2023届高考数学复习专题 ★★
高中数学拓展公式在解题中的巧用
★角平分线定理
如下图所示，若为中的内（外）角平分线与的交点，则。
【示例1】已知、分别为双曲线：的左、右焦点，点，点的坐标为，为的平分线，则 。
【简答】：依据题意可得，，因为为的平分线，且点的坐标为，所以由角平分线定理得，即。
由双曲线的定义知，故可得。
【示例2】已知是的内心，，，，若，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【简答】：如上图所示，因为是的内心，即平分，平分，所以由角平分线定理得，从而得
， （评注：目的是为了确定的位置）
所以
，即，故选B。
【示例3】已知双曲线：的右焦点为，过点向双曲线的一条渐近线引垂线，垂足为，交另一条渐近线于。若，则双曲线的离心率 。
【简答】：如上图所示，因为，所以依据题意可得，，。
注意到，轴为的平分线，所以由角平分线定理可得到，所以
进而在直角三角形中，由勾股定理可得，即
所以
★广义托勒密定理（不等式）
设为任意凸四边形，则，当且仅当四点共圆时取等号。
【示例1】在平面四边形中，，，，，则的最小值为 。
【简答】：依据题意可设，则。
所以由托勒密定理得， 即
化简得，故的最小值为。
【示例2】如图，在凸四边形中，，，，。当变化时，对角线的最大值为 。
【简答】：依据题意可设，则。
所以由托勒密定理得， 即
化简得，故的最大值为。
★阿波罗尼斯圆（轨迹问题）
若平面内一动点到两定点的距离之比等于非的正常数，即且，则此动点的轨迹即为阿波罗尼斯圆。
【示例1】满足条件，的三角形的面积的最大值是 。
【简答】：根据题意有，若把看作定点，看作动点，则由阿波罗尼斯圆的轨迹定义知点的轨迹为圆。不妨设，，，由化简得，此即为动点的轨迹方程，结合图形易知，故面积的最大值为。
★重心性质
（Ⅰ）；（Ⅱ）（另一条中线亦如此）；
（Ⅲ）若，，，则的重心的坐标为；
（Ⅳ）三条中线将分成个面积相等的小三角形。
【1】中，，且，若，则实数的值是 。
【简答】：因为，所以，即；
所以 ①
又因为，且，所以为的重心且。
根据重心的相关性质，不妨设，，
所以
同理，
将这三个式子的结果均代入①式可算出。
★圆的相交弦定理
如图所示，弦与弦相交于点，则有。
【示例1】函数的图像与轴，轴有三个交点，有一个圆恰经过这三个点，
则此圆与坐标轴的另一个交点是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【简答】：根据题意得到三个交点分别为，，。
设过三点的圆与坐标轴交的第四个点为，且在轴的正半轴上。易知与的交点为，所以由相交弦定理得，即，解得。
所以，故选B。
★海伦公式
边长为的三角形的面积公式为，其中。
【1】设的三边长分别为，，，的面积为，。
若，，，，，则（ ）
（A）为递减数列 （B）为递增数列
（C）为递增数列，为递减数列 （D）为递减数列，为递增数列
【简答】：本题采用特殊值法。为了便于利用海伦公式算面积，不妨设
，，，周长的一半，则
；
，，，周长的一半，则
；
，，，周长的一半，则
；
，，，周长的一半，则
；
从而易看出，故选B。（根据选项此题至少算4个）
★圆的切割线定理
如图所示，过点引两条割线，一条切线，则有。
【1】如图，抛物线：的焦点为，准线l与x轴的交点为。点在抛物线上，以为圆心，为半径作圆，设圆与准线l交于不同的两点M，N。
（Ⅰ）若点的纵坐标为2，求；
（Ⅱ）若，求圆的半径。
【简答】：（Ⅰ）根据题意易得到，点到直线的距离；从而
。
（Ⅱ）先设直线与圆交另外一点为。
由圆的切割线定理得到；
因为，所以，即，所以。
此时为圆的一条弦，根据垂径定理，易知线段的垂直平分线必过圆心，所以
从而；所以，故圆的半径为。
★三角形内切圆半径公式
（其中为的内切圆半径）
【1】在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，
则的最大值是（ ）
（A）4π （B） （C）6π （D）
【简答】：根据题意只需考虑两方面的情形：一是保证球与上下底面相切，二是保证与三侧面相切。
当球与上下底面相切时，球的半径应为，
当球与三侧面相切时，球的半径应为，
因此最终确定球半径的最大值，进而体积最大值
【评注】：多面体的内切球半径公式：（推导原理是体积分割法）。
★抛物线焦半径、焦点弦公式（该课外公式仅解小题）
①为抛物线的焦点弦，为焦点，，，为直线的倾斜角，则有（课内） ；
（课外） 。
②为抛物线的焦点弦，为焦点，，，为直线的倾斜角，则有（课内） ；
（课外） 。
【示例1】已知为抛物线：的焦点，过作两条互相垂直的直线，，直线与交于两点，直线与交于两点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【简答】：依据题意可得，
所以
故选A。
另解：
【示例2】过抛物线的焦点作一直线交抛物线于，两点，若线段与的长分别为，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【简答】：依据题意可得，因大小不定，则不妨取，
所以。
评注：当然本题可利用特殊位置以确定答案，比如当平行于轴时，易得出C选项。
【示例3】过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，与抛物线分别交于、两点（点在轴左侧），则 。
【简答】：依据题意得，。（因为结合图形易看出）。
所以。
★三次函数对称中心公式
对于三次函数的对称中心，只需将三次函数求导两次后等于零，即得对称中心的横坐标，所以三次函数的对称中心为。
【1】已知函数，实数满足，，则（ ）（A） （B） （C） （D）
【简答】：依据题意可得，则该三次函数的对称中心为，所以满足
，然而，所以，故选A。
【2】已知点，点在曲线上，点在直线上，为线段的中点，则的最小值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】：B
【3】
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