资源简介

(共35张PPT)
人教A版必修第二册 第八章 阅读与思考
欧几里得《原本》与公理化方法
一、课堂引入
2.向量“空间”
实数是有序的，可以比较大小；实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性；加法运算满足交换律、结合律，乘法运算满足交换律、分配律、结合律；在现实生活中有广泛运用.
1.实数“域”.
创建新体系的一种方法——公理化方法
向量的加、减、数乘运算是封闭的；向量的加法满足交换律、结合律；数量积运算满足交换律、分配律.
向量是沟通几何和代数的桥梁，并且有丰富的物理背景，有广泛的运用价值，是一个优良的“空间”.
推论3 过两条平行直线，有且只有一个平面.
平面与平面平行性质定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
第一次给出公理化的数学
体系——欧几里得《原本》
数学公理化方法，就是从尽可能少的原始概念（基本概念）
基本概念——如中学数学中的点，直线，平面等.
二.公理化方法
公理是对基本概念间的相互关系和基本性质所作的一种阐述和规定.
相容性：不能自相矛盾.
独立性：任一条公理不能从别的公理推出来.
和尽可能少的一组不加证明的原始命题（公理，公设）出发，
应用严格的逻辑推理，推导出其余的命题，使某一数学分支成 为 演绎系统的一种方法.
三.《原本》简介
由于人类生活和生产的需要，产生了几何学.
古希腊数学积累了大量的、具体的成果.但这些知识缺乏系统性, 大多数是片断的、零散的.
1.历史起源
欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果整理、收集起来，并加以系统化.
他从少数已被经验反复验证的公理出发，运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理与推论，写成了十三卷在数学史上的数学巨作《原本》，使几何学成为一门独立、演绎的科学.
2. 《原本》诞生
几何《原本》在人类数学史中第一次给出了公理化的数学体系，成为理性思维的象征.对整个数学发展产生了深远的影响.
3. 《原本》的意义
公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受.人们普遍建立了这样的认识，所有的数学理论，都必须按照数学的定义，公理与三段论的逻辑论证来组织.
四. 《原本》内容简介 1.整体概述
卷 内容 定义 公理 公设 命题
1 直线形 23 5 5 48
2 几何代数法 2 14
3 圆 11 37
4 多边形 7 16
5 比例论 18 25
6 相似形 4 33
7 数论 22 39
8 数论 0 27
9 数论 0 36
10 不可公度量 16 115
11 立体图形 28 39
12 求积术 0 18
13 正多面体 0 18
合计 131 5 5 465
2.内容框架（第I卷）
设AB为已知的线段.要求以线段AB为边建立一个等边三角形.
以A为圆心、AB为半径作圆BCD(公设1.3)；再以B为圆心，以BA为半径作圆ACE(公设1.3)；两圆相交与C点，连接CA、CB.
圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条直线上任何一点所连成的线段都相等.
因为A点是圆CDB的圆心，故AC等于AB（定义I.15） .
又点B是圆CAE的圆心，故BC等于BA（定义I.15），
因为等于同量的量彼此相等（公理I.1）；
所以CA等于CB. 三条线段CA、AB、BC相等.
所以三角形ABC是建立在线段AB上的等边三角形. 证毕
命题I.1 已知一条线段可作一个等边三角形
以定点为圆心及定长的线段为半径可作圆.
在点A上取AD等于c，又以A为圆心、以AD为半径建圆DEF（公设I.3）.
因为点A是圆DEF的圆心，所以AE=AD（定义I.15）.
又c也等于AD，所以线段AE和c都等于AD，所以AE也等于c(公理I.1).
所以从较长AB上作出了AE等于短线段c. 证毕
命题I.3 给定两条不等线段，可以在较长的线段切取一条线段等于较短的线段.
设AB和c是给定的两条不等线段.AB较长.
A B
c
在AC上任取一点D,CB上任取一点E，并让CD等于CE(命题I.3).
在DE上建立等边三角形FDE（命题I.1）.连接FC，那么FC就是直线AB在C点上的垂线.
因为DC等于CE，CF是公共边，边DC、CF与EC、CF是对应边；底边DF与底边相等；故三角形DCF全等于三角形ECF.
角DCF、ECF互为邻角. 所以角DCF、FCE皆为直角.（定义I.10）
所以线段CF垂直于线段AB，并在C点上平分.
所以过一条直线上的一个点可以作该直线的垂线. 证毕
命题I.11 过直线上的一点，可以作该直线的垂线.
设AB已知直线，C为直线上的点.
要求从C点作一条直线垂直于AB.
五、非欧几何的创立
罗巴切夫斯基认为第五公设不能被证明，把第五公设换成一条新的公设“平面内过已知直线外一点至少可以引两条直线与已知直线不相交”，用公理化方法创建自己的公理体系，提出新的几何学
1826年2月11日在物理数学系会议上宣读了论文《平行线理论和几何学原理概论及证明》
1829年发表了《几何学原理》
1835年发表了《平行线理论的几何学探讨》 ...
公设
I.1 过现点可以作一条直线.
I.2 直线可以向两端无限延伸.
I.3 以定点为圆心及定长的线段为半径可以作圆.
I.4 凡直角都相等.
—罗氏几何
罗巴切夫斯基
I.5 同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在直线同侧的两个内角之和小于1800，则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交.
五、非欧几何的创立
在研究和应用公理化过程中产生了非欧几何.
平行公理不同
欧氏几何：过直线外一点有且只有一条直线与已知
直线平行.
非欧几何
直线、平面的认识
观察下的平面、直线，事实上的直线、平面.
观察下的平面、直线，事实上的曲线和曲面
黎曼几何
三角形内角和=1800
三角形内角和>1800
三角形内角和
欧式几何
数学家们通过非欧几何学的创立，意识到我们在接受欧几里得几何学的证明时，不知觉地依赖过直观.
很多数学家开始认真的研究几何学基础以及数概念、分析学、代数学乃至整个数学基础等问题，公理化方法在这些研究中取得了进一步的完善和发展.
六、公理化方法的作用
1.概括整理数学知识.《原本》就是欧几里得用公理化方法把零散的几何知识归为一体，树立了研究数学的典范.
2. 促进新理论的创建. 非欧几何就是在研究和应用公理 化过程中产生的.
3.对其他学科有示范作用.由于数学公理化方法表述数学理论的简捷性、条理性、结构的合理性，其他学科纷纷效法，建立了自己的公理化体系.
七、作业布置
1.细读欧几里得《原本》的若干定义、公理、公设和命题.
2.简述《原本》在数学史上的意义.
3.写一篇有关公理化方法的小论文.
一、
教材分析
二、
学情分析
三、
教学目标及重难点
四、
整体思考
五、
课程设计
1.《欧几里得<原本>与公理化方法》是新人教A版高中数学必修第二册第八章《立体几何初步》内容结束后的拓展阅读课.
一、
教材分析
3.公理化方法对概括整理数学知识、促进新理论的创立、对其他学科的示范都有重要作用，是创建新的体系的一种方法，对学生后续学习、研究有积极的延伸.
2.本课是继学生掌握了立体几何四个基本事实、三个推论、平行和垂直的定理、性质基础上，结合欧几里得《原本》的内容，从历史发展的角度学习公理化方法.后续还连接着“文献阅读与数学写作-几何学的发展”.
1.学生已经掌握了实数运算性质、初中平面几何、必修第二册《平面向量》等基本内容，对很多额外的知识内容如向量中的“外积”、代数中的“群、环、域”等都没有基础.
二、
学情分析
2.学生重点学习了必修第二册第八章《立体几何初步》中的内容，
能直观认识和理解空间中点、直线、平面的位置关系，会用数学语
言表述、证明有关立体几何中平行、垂直等问题.
三、
教学目标及重难点
教学重点
教学难点
教学目标
教学目标
1.经历两个熟悉命题的证明，分析命题的推理结构，理解公理化方法.
2.经历《原本》第I卷中两个命题的证明，进一步了解《原本》的内容，加深对公理化方法的理解.
3.通过介绍《原本》的起源、诞生、意义及非欧几何的创立，了解公理化方法的作用，为后续“文献阅读与数学写作”积累背景知识.
教学重点：
结合欧几里得《原本》和学生已有的知识掌握公理化方法.
教学难点：公理化方法和非欧几何中的平行公理.
四、
整体思考
本节课容量大，涉及很多课外知识，有一定的深度和挑战.如何
基于学生已有数学知识储备增加学生的活动经验，让学生在亲身经
历的活动中深入体会公理化方法的思想是本节课重点思考的问题.
1.所用命题和定理均取材于教科书，从学生已经熟悉问题引入，主要为了
提取出证明框架，有效地节约了课堂时间，也让学生对公理化方法概念有
了经验积累.
2.引入中特地选择平行相关的定义和证明命题，和后面欧氏几何、非欧几何
中的平行公理形成一体.
五、
课程设计
课堂引入
作业布置
公理化方法和《原本》介绍
《原本》第I卷内容
非欧几何的创立
公理化方法作用
1.从学生熟悉的实数、向量两个体系出发，让学生了解“为什么要学公理化方法”、创建什么样的体系更有意义”.
课堂引入
2.从书本的一个命题出发，追本溯源回到定义和定理，在实践证明中体会公理化思想.
1.根据前面的经验积累自然给出数学公理化方法的内涵，对学生理解相对模糊的“基本概念、公设、公理”等作必要的解读，让学生加深对公理化方法内涵的理解.
公理化方法和《原本》介绍
2.学生对《原本》比较生疏，通过对《原本》的发展、意义简述，拉近学生和《原本》的距离；通过对《原本》的历史起源、诞生的介绍，拓宽知识面，渗透数学文化.
《原本》第I卷内容介绍
1.通过第I卷中三个命题的学习，让学生理解《原本》中一系列命题的推理结构，渗透公理化方法.
2.鉴于学生对第一卷中的定义、公理、公设不熟悉，且量较大，短时间无法细读运用，故选取了学生知识范围内能证明的命题I.1 和I.3，重点提取它们的推理结构，理解公理化方法的具体运用.
非欧几何的创立
1.第五公设.
2.剖析欧式几何和非欧几何.
3.建立一个粗略的模型解释黎曼几何中直线、平行公理帮助学生理解.
通过介绍非欧几何的创立，渗透公理化方法的作用.
通过介绍非欧几何中一些浅显易懂的内容，拓宽、丰富学生的数学知识；同时通过主要人物、主要成果的介绍，拓展数学文化.
公理化方法的作用
1.概括整理数学知识.
2.促进新理论的创建.
3.对其他的学科有示范作用.
作业布置
1.细读欧几里得《原本》的若干定义、公理、公设和命题.
2.结合“文献阅读与数学写作”，写一篇有关几何学的发展或者公理化方法的小论文.
了解欧式几何的发展以及对数学和人类文明的贡献，布置开放性作业激发学生学习兴趣，并且通过阅读书籍、请教老师、上网收集等过程性学习提升学生综合素养.

展开更多......

收起↑