资源简介

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《平面向量及其应用教材解析》
向量是集数与形于一身的数学研究工具
本章内容展开
02
01
课程设置
03
新旧教材对比
《标准（实验）》的课程结构有两个关键词：模块化、螺旋式
问题：
1.模块化导致整体知识结构出现逻辑性问题
2.受课时限制，删减了一些知识，导致知识不连贯，以及为了并凑课时而把一些没有直接联系的知识放在同一模块（必修5的解三角形、数学、不等式）；
3.螺旋式上升地安排知识，认为割断了知识的逻辑链，教学要求变得模糊不清，难以把握。
高中数学课程结构必修课程选择性必修课程
新课标首次设置“几何与代数”内容主线。这样设置的目的，一是为代数、特别是线性代数的学习建立几何直观，二是让学生知道如何用代数运算解决几何问题，这是现代数学的重要研究手法。突出几何直观与代数运算之间的融合，即通过形与数的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。
平面向量是“几何与代数”主线的开篇内容，用向量来“统领”“几何与代数”主题的全部内容。
《高中数学教材编写研究》章建跃、余海东主编
物理
代数
类比数及其运算研究向量运算
物理背景引入
几何
向量概念——有向线段
向量运算——几何意义
几何定理证明运算性质
向量解决几何问题
三条主线
本章内容展开
位移、速度、力等——向量的定义与表示
位移的合成——向量加法的三角形法则
力的合成——向量加法的平行四边形法则
物理受力平衡——相反向量、向量的减法法则
物理受力做功——向量的数量积
力的分解——平面向量基本定理
应用向量解决物理问题
物理：
联系生活
建模思想
几何：
有向线段——向量的直观形象
几何模型——向量运算
应用向量解决几何问题（长度、角度、垂直、证明余弦定理、正弦定理）
几何性质——运算法则、运算律
加法交换律是平行四边形性质的代数表 示．也就是说，交换律的成立是以平行四边形性质 为逻 辑 基 础 的。
运算律λ（ａ＋ｂ）＝λａ ＋λｂ，它的本质就是相似三角形对应边成比例定理的代数化形式，数乘向量分配律 的逻辑基础是相似三角形定理：
数量积 的定义、运 算 律 以 直角三角形为基础，数量积交换律的逻辑基础是直角三角形的射影定理
必修4的阅读与思考
代数：
类比数的运算建立向量运算体系
一般观念指导下展开研究，体现研究方法的方向，发展逻辑推理素养
引入一种量就要研究它的运算，定义一种运算就要研究运算律，从特殊关系、特殊量入手研究运算性质
三大要点
形成向量的概念
建立向量运算体系
解决数学和实际问题
旧：三角函数 向量 三角恒等变换 解三角形
新：三角函数 三角恒等变换 向量（向量的应用——解三角形）
二、数学建模素养
新旧教材对比：
略显生硬
更加自然，凸显应用
旧：概念 线性运算 向量基本定理及坐标表示 数量积 应用
新：概念 运算（线性运算、数量积）基本定理及坐标表示 应用
突出基本定理与共线定理联系：共线定理是一维的向量基本定理；对运算进行了明显的分类.
体现了研究一个数学对象及其应用的基本思路和方法：引入量——引入运算——研究运算性质，符合向量空间结构体系.
平面向量基本定理加深对向量的认识，为解决向量应用问题奠定基础.
旧：称|a|cosθ为向量a在向量b方向上的投影
投影 ——变换，动词
投影向量——结果——向量.
新： 叫做向量
旧：正负表示方向
新：与物理背景一致、体现降维、体现一脉相承
证明投影向量相等
缺乏严谨
数量积运算——线性运算
线性运算——数量积运算
新教材中没有提及几何意义
几何意义怎么描述？
（1）共线定理的应用
（2）体会严密的逻辑推理过程
（3）为平面向量基本定理证明系数
的唯一性做铺垫
共线定理后配置的例题
逻辑推理
数学建模活动与数学探究活动，体现了新的评价方式，数学的应用价值。
恳请批评指正！

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