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2022-2023学年浙教版数学八年级下册4.3中心对称 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·紫金期末）以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
2．（2022八下·本溪期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022八下·房山期末）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．笛卡尔心形线 B．阿基米德螺旋线
C．科克曲线 D．赵爽弦图
4．（2022八下·丹东期末）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
5．（2022八下·成都期末）简简单单的七巧板能拼出千变万化的图形．殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传，被称为“唐图”．下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2022八下·薛城期末）围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取对战机棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2021八下·宁波期中）下列如图交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2022八下·苏州期中）图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由1个正六边形和6个全等的等边三角形组成的，则该图案（　　）
A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
B．是中心对称图形但并不是轴对称图形
C．是轴对称图形但并不是中心对称图形
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
9．（2022八下·桂平期末）下列说法中，错误的是（　　）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称
10．（2022八下·漳州期末）北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌，观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到.下列关于图2和图3的说法中，不正确的是（　　）
A．图2中的图案是轴对称图形
B．图2中的图案是中心对称图形
C．图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合
D．将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案
二、填空题
11．根据中心对称图形的性质可知,任何一对对应点的连线的就是该中心对称图形的对称中心,或两对对应点的连线的　 　是对称中心
12．（2018八下·嘉定期末）写出一个轴对称图形但不是中心对称图形的四边形：　 　
13．（2022八下·隆回期中）如图，的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有　 　对.
14．在方格纸中，选择标有序号①、②、③、④中的一个小正方形涂黑，能与图中阴影部分构成中心对称图形的小正方形的序号是　 　。
15．（2022八下·拱墅期中）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若 ， ， ，则 的长为　 　.
16．（2022八下·胶州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是　 　．
三、作图题
17．
（1）已知六边形 ABCDEF是以O为对称中心的中心对称图形（如图），画出六边形 ABCDEF的全部图形；
（2）请你作出四边形ABCD关于点O的中心对称图形。
18．（2022八下·昌图期末）如图，将置于平面直角坐标系中，，，．
( 1 )将向右平移6个单位长度得到，请画出；
( 2 )以点O为对称中心，画出与成中心对称的；
( 3 )若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．
四、解答题
19．如图，已知点A（2，3）和直线y=x，
（1）点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C；写出点B、C的坐标；
（2）若点D是点B关于原点（0，0）的对称点，判断四形ABCD的形状，并说明理由．
20．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下三种变换：
①f（m，n）=（m，﹣n）； ②g（m，n）=（﹣m，n）； ③h（m，n）=（﹣m，﹣n）．
（1）请你根据以上规定的变换，求f[g（﹣3，2）]的值；
（2）请你以点（a，b）为例，探索以上三种变换之间的关系．
21．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下：
（1）分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标．
（2）从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来．
（3）根据你发现的特征，解答下列问题：若△ABC内有一个点M（2a+5，1﹣3b）经过变换后，在△PRQ内的坐标称为N（﹣3﹣a，﹣b+3），求关于x的方程 -=1的解．
22．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

（1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B选项图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
4．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项判断即可。
5．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐项进行判断，即可得出答案.
6．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A中图形不是中心对称图形，不符合题意；
B中图形不是中心对称图形，不符合题意；
C中图形不是中心对称图形，不符合题意；
D中图形是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
7．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
8．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：该图案是中心对称图形但并不是轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
9．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，故此选项不符合题意；
B、正方形的对角线互相垂直平分，正确，故此选项不符合题意；
C、斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，正确，故此选项不符合题意；
D、如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称，错误，
如图：
在和中，
，，，
∴，但和不成中心对称．
故此选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质可判断A；根据正方形的性质可判断B；根据全等三角形的判定定理可判断C；画出示意图，△ADC≌△BDC，但△ADC与△BDC不成中心对称，据此判断D.
10．【答案】D
【知识点】轴对称图形；图形的旋转；旋转对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
如图，图2中的图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故A、B正确；
这3条对称轴将图2平均分成了六份，其中每份所占的圆心角的度数为
图2中的图案绕对称轴的交点旋转60°，可以与自身重合，故C正确；
将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，不能设计出图2中的图案，故D错误.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，据此可判断A、B；根据图2可知图形被平分成6份，利用360°除以6可得旋转的度数，据此判断C；若每次旋转120°，则旋转三次可绕城一周，据此判断D.
11．【答案】中点；交点
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的性质可知,任何一对对应点的连线的就是该中心对称图形的对称中心,或两对对应点的连线的中点或交点式对称中心。
故答案为：中点；交点
【分析】根据中心对称图形的性质解答此题即可。
12．【答案】等腰梯形（答案不唯一）
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】是轴对称图形但不是中心对称图形的，例如：等腰梯形，等腰三角形，角，射线，正五边形等．
故答案为：等腰梯形（答案不唯一）．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，知符合条件的图形有等腰三角形，等腰梯形，角，射线，正五边形等．
13．【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：图中成中心对称的三角形有△AOD和△COB，△ABO与△CDO，△ACD与△CAB，△ABD和△CDB共4对.
故答案为：4
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，据此可得平行四边形是中心对称图形，进而即可得出答案.
14．【答案】②
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的特点可知， ② 符合条件.
故答案为： ② .
【分析】中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合，依此特点分别判断即可.
15．【答案】12
【知识点】含30°角的直角三角形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
，
∵B与B'关于A中心对称，
.
故答案为：12.
【分析】在直角三角形ABC中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得AB=2AC，然后根据中心对称的性质得BB'=2AB可求解.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点的坐标为（1，1），
点的坐标为（2，2），
点与点M1关于点B成中心对称，点的坐标为（3，0），
点的坐标为（4，-2），
点与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
点的坐标为（0，0），
点又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
，
∴点正好在原点，
∴点的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【分析】根据中心对称的性质分别求出M1、M2、M3的坐标，可知按照此规律跳跃，每三个点循环一次，由于，可知点M2022刚好和M3的坐标一致，即得结论；
17．【答案】（1）解：作法如图：
（2）解：作法如图：
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】 (1) 根据中心对称图形的特点，得出对称中心O是对应点所连线段的中点，即B， O， E共线，且OB=OE，C， O， F共线，且OC=OF；
(2)根据中心对称图形的特点，分别作出OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'，OD=OD'，然后把A'，B'，C'，D'顺次连接起来即可.
18．【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵如图所示，即为所求；
⑶（-3，0）
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：连接B，C，交于一点即为旋转中心，∴旋转中心为（-3，0）．
【分析】（1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据中心对称的性质找出点A1、B1、C1的对应点，再连接即可；
（3）连接BB2，CC2，它们的交点即是旋转点。
19．【答案】解：（1）∵A（2，3），
∴点A关于直线y=x的对称点B（3，2），
点A关于原点（0，0）的对称点C（﹣2，﹣3）；
（2）∵B（3，2），
∴点B关于原点（0，0）的对称点D（﹣3，﹣2），
∵点B与点D关于O对称，
∴BO=DO，
∵点A与点C关于O对称，
∴AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据两个点关于y=x对称，这两个点的横纵坐标正好相反；两点关于原点对称，那么这两个点的横坐标互为相反数可直接写出答案；
（2）首先根据两点关于原点对称，那么这两个点的横坐标互为相反数可直接写出D点坐标，再根据矩形的判定方法可得四边形ABCD是矩形．
20．【答案】解：（1）由题意得：f[g（﹣3，2）]=f（3，2）=（3，﹣2）；
（2）f[g（a，b）]=f（﹣a，b）=（﹣a，﹣b）=h（a，b），
所以，fg=h，
f[h（a，b）]=f（﹣a，﹣b）=（﹣a，b）=g（a，b），
所以，fh=g，
g[h（a，b）]=g（﹣a，﹣b）=（a，﹣b）=f（a，b），
所以，gh=f，
所以，fg=h；fh=g；gh=f．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据规定变换进行计算即可得解；
（2）根据规定的变换方法通过计算即可得解．
21．【答案】解：（1）点A的坐标为（4，3），点P的坐标为（﹣4，﹣3）；点B的坐标为（3，1），点Q的坐标为（﹣3，﹣1）；点C的坐标为（1，2），点R的坐标为（﹣1，﹣2）．
（2）△ABC与△PQR关于原点对称．
（3）由题意得，2a+5=3+a，1﹣3b=b﹣3，
解得：a=﹣2，b=1，
则方程可化为： ﹣ =1，
解得：x=．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）结合直角坐标系可得出各点的坐标；
（2）根据（1）的答案可得△ABC与△PQR关于原点对称；
（3）根据关于原点对称的点的坐标，横坐标、纵坐标互为相反数可得出a、b的值，代入解方程即可得出答案．
22．【答案】（1）解：延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF=BG=DF=DG，
∵DE⊥DF，
∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）解：若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，
由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
∴BE2+CF2=EF2．

【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）可按阅读理解中的方法构造全等，把CF和BE转移到一个三角形中求解．
（2）由（1）中的全等得到∠C=∠CBG．∵∠ABC+∠C=90°，∴∠EBG=90°，可得三边之间存在勾股定理关系．
1 / 12022-2023学年浙教版数学八年级下册4.3中心对称 课后测验
一、单选题
1．（2022八下·紫金期末）以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．（2022八下·本溪期末）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B选项图形是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
C选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
3．（2022八下·房山期末）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．笛卡尔心形线 B．阿基米德螺旋线
C．科克曲线 D．赵爽弦图
【答案】C
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可。
4．（2022八下·丹东期末）下列银行标志中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义逐项判断即可。
5．（2022八下·成都期末）简简单单的七巧板能拼出千变万化的图形．殊不知七巧板作为中国传统玩具在国外也甚为流传，被称为“唐图”．下面四幅七巧板拼图的形状是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故A不符合题意；
B、是中心对称图形，故B不符合题意；
C、不是中心对称图形，故C不符合题意；
D、不是中心对称图形，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据中心对称图形的定义：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，逐项进行判断，即可得出答案.
6．（2022八下·薛城期末）围棋起源于中国．古代称之为“弈”，至今已有4000多年历史.2017年5月，世界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlphaGo进行了围棋人机大战．截取对战机棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A中图形不是中心对称图形，不符合题意；
B中图形不是中心对称图形，不符合题意；
C中图形不是中心对称图形，不符合题意；
D中图形是中心对称图形，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
7．（2021八下·宁波期中）下列如图交通标志中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
8．（2022八下·苏州期中）图①是苏州园林内的一种窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案，该图案是由1个正六边形和6个全等的等边三角形组成的，则该图案（　　）
A．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
B．是中心对称图形但并不是轴对称图形
C．是轴对称图形但并不是中心对称图形
D．既是轴对称图形又是中心对称图形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：该图案是中心对称图形但并不是轴对称图形.
故答案为：B.
【分析】轴对称图形：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形.
中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形.
9．（2022八下·桂平期末）下列说法中，错误的是（　　）
A．角平分线上的点到角两边的距离相等
B．正方形的对角线互相垂直平分
C．斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
D．如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质；正方形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、角平分线上的点到角两边的距离相等，正确，故此选项不符合题意；
B、正方形的对角线互相垂直平分，正确，故此选项不符合题意；
C、斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等，正确，故此选项不符合题意；
D、如果两个三角形全等，那么这两个三角形一定成中心对称，错误，
如图：
在和中，
，，，
∴，但和不成中心对称．
故此选项符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据角平分线的性质可判断A；根据正方形的性质可判断B；根据全等三角形的判定定理可判断C；画出示意图，△ADC≌△BDC，但△ADC与△BDC不成中心对称，据此判断D.
10．（2022八下·漳州期末）北京2022年冬奥会的开幕式上，各个国家和地区代表团入场所持的引导牌是中国结和雪花融合的造型，如图1是中国体育代表团的引导牌，观察发现，图2中的图案可以由图3中的图案经过对称、旋转等变换得到.下列关于图2和图3的说法中，不正确的是（　　）
A．图2中的图案是轴对称图形
B．图2中的图案是中心对称图形
C．图2中的图案绕某个固定点旋转60°，可以与自身重合
D．将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，可以设计出图2中的图案
【答案】D
【知识点】轴对称图形；图形的旋转；旋转对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：
如图，图2中的图案是轴对称图形，也是中心对称图形，故A、B正确；
这3条对称轴将图2平均分成了六份，其中每份所占的圆心角的度数为
图2中的图案绕对称轴的交点旋转60°，可以与自身重合，故C正确；
将图3中的图案绕某个固定点连续旋转若干次，每次旋转120°，不能设计出图2中的图案，故D错误.
故答案为：D.
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，据此可判断A、B；根据图2可知图形被平分成6份，利用360°除以6可得旋转的度数，据此判断C；若每次旋转120°，则旋转三次可绕城一周，据此判断D.
二、填空题
11．根据中心对称图形的性质可知,任何一对对应点的连线的就是该中心对称图形的对称中心,或两对对应点的连线的　 　是对称中心
【答案】中点；交点
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的性质可知,任何一对对应点的连线的就是该中心对称图形的对称中心,或两对对应点的连线的中点或交点式对称中心。
故答案为：中点；交点
【分析】根据中心对称图形的性质解答此题即可。
12．（2018八下·嘉定期末）写出一个轴对称图形但不是中心对称图形的四边形：　 　
【答案】等腰梯形（答案不唯一）
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】是轴对称图形但不是中心对称图形的，例如：等腰梯形，等腰三角形，角，射线，正五边形等．
故答案为：等腰梯形（答案不唯一）．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，知符合条件的图形有等腰三角形，等腰梯形，角，射线，正五边形等．
13．（2022八下·隆回期中）如图，的对角线、交于点，则图中成中心对称的三角形共有　 　对.
【答案】4
【知识点】平行四边形的性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：图中成中心对称的三角形有△AOD和△COB，△ABO与△CDO，△ACD与△CAB，△ABD和△CDB共4对.
故答案为：4
【分析】把一个平面图形，沿着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，据此可得平行四边形是中心对称图形，进而即可得出答案.
14．在方格纸中，选择标有序号①、②、③、④中的一个小正方形涂黑，能与图中阴影部分构成中心对称图形的小正方形的序号是　 　。
【答案】②
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：根据中心对称图形的特点可知， ② 符合条件.
故答案为： ② .
【分析】中心对称图形绕其中心点旋转180°后图形仍和原来图形重合，依此特点分别判断即可.
15．（2022八下·拱墅期中）如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若 ， ， ，则 的长为　 　.
【答案】12
【知识点】含30°角的直角三角形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
，
∵B与B'关于A中心对称，
.
故答案为：12.
【分析】在直角三角形ABC中，根据30度角所对的直角边等于斜边的一半得AB=2AC，然后根据中心对称的性质得BB'=2AB可求解.
16．（2022八下·胶州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，．点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点，使得点与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点，使得点与点关于点B成中心对称；第三次跳跃到点，使得点与点关于点C成中心对称；第四次跳跃到点，使得点与点关于点A成中心对称；…，依此方式跳跃，点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：∵点M从坐标原点O出发，第一次跳跃到点M1，点M1与点O关于点A成中心对称，点的坐标为（1，1），
点的坐标为（2，2），
点与点M1关于点B成中心对称，点的坐标为（3，0），
点的坐标为（4，-2），
点与点M2关于点C成中心对称，点C的坐标为（2，-1），
点的坐标为（0，0），
点又回到了原点，
∴按照此规律跳跃，每三个点循环一次，
，
∴点正好在原点，
∴点的坐标为（0，0）．
故答案为：（0，0）．
【分析】根据中心对称的性质分别求出M1、M2、M3的坐标，可知按照此规律跳跃，每三个点循环一次，由于，可知点M2022刚好和M3的坐标一致，即得结论；
三、作图题
17．
（1）已知六边形 ABCDEF是以O为对称中心的中心对称图形（如图），画出六边形 ABCDEF的全部图形；
（2）请你作出四边形ABCD关于点O的中心对称图形。
【答案】（1）解：作法如图：
（2）解：作法如图：
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】 (1) 根据中心对称图形的特点，得出对称中心O是对应点所连线段的中点，即B， O， E共线，且OB=OE，C， O， F共线，且OC=OF；
(2)根据中心对称图形的特点，分别作出OA=OA'，OB=OB'，OC=OC'，OD=OD'，然后把A'，B'，C'，D'顺次连接起来即可.
18．（2022八下·昌图期末）如图，将置于平面直角坐标系中，，，．
( 1 )将向右平移6个单位长度得到，请画出；
( 2 )以点O为对称中心，画出与成中心对称的；
( 3 )若将绕某一点旋转可以得到，请直接写出旋转中心的坐标．
【答案】解：⑴如图所示，即为所求；
⑵如图所示，即为所求；
⑶（-3，0）
【知识点】作图﹣平移；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：连接B，C，交于一点即为旋转中心，∴旋转中心为（-3，0）．
【分析】（1）根据平移的性质找出点A、B、C的对应点，再连接即可；
（2）根据中心对称的性质找出点A1、B1、C1的对应点，再连接即可；
（3）连接BB2，CC2，它们的交点即是旋转点。
四、解答题
19．如图，已知点A（2，3）和直线y=x，
（1）点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C；写出点B、C的坐标；
（2）若点D是点B关于原点（0，0）的对称点，判断四形ABCD的形状，并说明理由．
【答案】解：（1）∵A（2，3），
∴点A关于直线y=x的对称点B（3，2），
点A关于原点（0，0）的对称点C（﹣2，﹣3）；
（2）∵B（3，2），
∴点B关于原点（0，0）的对称点D（﹣3，﹣2），
∵点B与点D关于O对称，
∴BO=DO，
∵点A与点C关于O对称，
∴AO=CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C，
∴AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据两个点关于y=x对称，这两个点的横纵坐标正好相反；两点关于原点对称，那么这两个点的横坐标互为相反数可直接写出答案；
（2）首先根据两点关于原点对称，那么这两个点的横坐标互为相反数可直接写出D点坐标，再根据矩形的判定方法可得四边形ABCD是矩形．
20．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点（m，n），规定以下三种变换：
①f（m，n）=（m，﹣n）； ②g（m，n）=（﹣m，n）； ③h（m，n）=（﹣m，﹣n）．
（1）请你根据以上规定的变换，求f[g（﹣3，2）]的值；
（2）请你以点（a，b）为例，探索以上三种变换之间的关系．
【答案】解：（1）由题意得：f[g（﹣3，2）]=f（3，2）=（3，﹣2）；
（2）f[g（a，b）]=f（﹣a，b）=（﹣a，﹣b）=h（a，b），
所以，fg=h，
f[h（a，b）]=f（﹣a，﹣b）=（﹣a，b）=g（a，b），
所以，fh=g，
g[h（a，b）]=g（﹣a，﹣b）=（a，﹣b）=f（a，b），
所以，gh=f，
所以，fg=h；fh=g；gh=f．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据规定变换进行计算即可得解；
（2）根据规定的变换方法通过计算即可得解．
21．如图，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下：
（1）分别写出点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标．
（2）从中你发现了什么特征？请你用文字语言表达出来．
（3）根据你发现的特征，解答下列问题：若△ABC内有一个点M（2a+5，1﹣3b）经过变换后，在△PRQ内的坐标称为N（﹣3﹣a，﹣b+3），求关于x的方程 -=1的解．
【答案】解：（1）点A的坐标为（4，3），点P的坐标为（﹣4，﹣3）；点B的坐标为（3，1），点Q的坐标为（﹣3，﹣1）；点C的坐标为（1，2），点R的坐标为（﹣1，﹣2）．
（2）△ABC与△PQR关于原点对称．
（3）由题意得，2a+5=3+a，1﹣3b=b﹣3，
解得：a=﹣2，b=1，
则方程可化为： ﹣ =1，
解得：x=．
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）结合直角坐标系可得出各点的坐标；
（2）根据（1）的答案可得△ABC与△PQR关于原点对称；
（3）根据关于原点对称的点的坐标，横坐标、纵坐标互为相反数可得出a、b的值，代入解方程即可得出答案．
22．课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

（1）如图1，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．
小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到E，使得DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三边关系可得2＜AE＜8，则1＜AD＜4．
[感悟]解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．
（2）解决问题：受到（1）的启发，请你证明下列命题：如图2，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF．
求证：BE+CF＞EF，若∠A=90°，探索线段BE、CF、EF之间的等量关系，并加以证明．
【答案】（1）解：延长FD到G，使得DG=DF，连接BG、EG．
（或把△CFD绕点D逆时针旋转180°得到△BGD），
∴CF=BG=DF=DG，
∵DE⊥DF，
∴EF=EG．
在△BEG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．
（2）解：若∠A=90°，则∠EBC+∠FCB=90°，
由（1）知∠FCD=∠DBG，EF=EG，
∴∠EBC+∠DBG=90°，即∠EBG=90°，
∴在Rt△EBG中，BE2+BG2=EG2，
∴BE2+CF2=EF2．

【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）可按阅读理解中的方法构造全等，把CF和BE转移到一个三角形中求解．
（2）由（1）中的全等得到∠C=∠CBG．∵∠ABC+∠C=90°，∴∠EBG=90°，可得三边之间存在勾股定理关系．
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