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第二十六讲 不等式的解法
【考纲解读】
理解一元一次不等式，一元一次不等式组，一元二次不等式，方式不等式和绝对值不等
式的定义；
掌握一元一次不等式，一元一次不等式组，一元二次不等式，方式不等式和绝对值不等
式的解法，能够熟练地求解不等式的解集；
了解无理不等式，指数不等式和对数不等式定义，了解无理不等式，指数不等式和对数
不等式的解法。
【知识精讲】
一、一元二次不等式的解法：
1、一元二次不等式的定义：
（1）一元二次不等式的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的不等式，称为一元二次不等式；
（2）一元二次不等式的一般形式：①a+bx+c＞0(或≥0)，②a+bx+c＜0(或≤0)，其中系数a≠0.
2、一元二次不等式的解法：
(1)求解一元二次不等式的基本方法有：①因式分解法；②图像法；
（2）一元二次不等式因式分解法的基本方法是：①将一元二次不等式中的二次三项式分解成两个一次因式的积；②根据有理数的乘法法则把一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组；③ 求解两个一元一次不等式组；④ 得出一元二次不等式的解集；
（3）图像法求解一元二次不等式涉及到一元二次方程和一元二次函数的相关知识，它们之间的相互关系详见下表：
一元二次方程 判别式 = -4ac＞0 =-4ac=0 =-4ac＜0
a+bx+c=0（a＞0）实数解 ≠ = 没有实数解
一元二次函数的图像
y= a+bx+c(a＞0) 0 0
一元二次不等式的解集 （-，） （-，） R
a+bx+c＞0(a＞0) （，+） （，+）
a+bx+c＜0(a＞0) （,）
（4）上表中的二次项系数是（a＞0)，但在求解一元二次不等式的问题时也有二次项系数（a＜0)的情况，对这样的问题我们的处理方法是不等式两边同乘以负一；
（5）图像法求解一元二次不等式的基本方法是：①求出判别式的值，若＞0，则求出一元二次方程a+bx+c=0的两根；②确定一元二次函数y= a+bx+c的对称轴和开口方向；
③作出一元二次函数y= a+bx+c的大致图像；④从上表中找到对应的位置；⑤得出一元二次不等式的解集。
3、一元n次不等式的解法：
（1）一元n次不等式的定义：形如++------+＞0（或0或＜0或0）（0，n，n3）的不等式，称为一元n次不等式；
（2）一元n次不等式的解法：一元n次不等式解答的基本思路是：①把f(x)=++------+＞0（或0或＜0或0）转化为f(x)=（x-）（x-）------(x-)＞0（或0或＜0或0），②在数轴上标出区间（-，）（，）--------（，+），当＞0时，因为函数f(x)的值在上述区间自右至左依次为+，-，+，-，------所以f(x)=++------+＞0的解集为正值区间，f(x)=++------+ ＜0的解集为负值区间；
（3）思考问题：当＜0时，f(x)=++------+＞0的解集为负值区间， f(x)= ++------+＜0的解集为正值区间。
二、分式不等式的解法：
1、分式不等式的定义：
分母中含有未知数的不等式，称为分式不等式。
2、分式不等式的解法：
（1）形如＜0（或＞0）的不等式的解答思路是把分式不等式转化为两个一元一次不等式组；解答的基本方法是：①运用有理数的运算法则把分式不等式转化为两个一元一次不等式组；② 分别求解两个一元一次不等式组；③求出两个不等式组解集的并集；④得出分式不等式的解集；
(2) 形如≤0（或≥0）的不等式的解答思路是把分式不等式转化为两个一元一次不等式组；解答的基本方法是：①运用有理数的运算法则把分式不等式转化为两个一元一次不等式组（注意分式的分母不能为零）；② 分别求解两个一元一次不等式组；③求出两个一元一次不等式组解集的并集；④得出分式不等式的解集。
三、含绝对值符号不等式的解法：
1、基本绝对值不等式的解集：
（1）基本绝对值不等式的定义：
形如|x|＜c(或≤c，c＞0为常数)或|x|＞c(或≥c，c＞0为常数)的不等式，称为基本绝对值不等式；
（2）基本绝对值不等式的解集：
①|x|＜c(c＞0为常数)的解集为{x|-c＜x＜c}；② |x|≤c(c＞0为常数)的解集为{x|-c≤x≤c}；③|x|＞c(c＞0为常数)的解集为{x|x＜-c或x＞c}；④|x|≥c(c＞0为常数)的解集为{x|x≤-c或x≥c}。
2、绝对值中是一次式（或二次式）绝对值不等式的解法：
（1）绝对值中是一次式（或二次式）绝对值不等式解答的基本思路:将绝对值中的一次式（或二次式）视为整体未知数运用基本绝对值不等式的解集转化为一元一次不等式组（或一元二次不等式组），再求解一元一次不等式组（或一元二次不等式组）就可求出绝对值不等式的解集；
（2）解答绝对值中含一次式（或二次式）的绝对值不等式的基本方法：①将绝对值中的一元一次式（或一元二次式）视为整体未知数；②运用基本绝对值不等式的解集把原不等式转化为一元一次不等式组（或一元二次不等式组）；③ 求解一元一次不等式组（或一元二次不等式组）；一次（或二次）不等式；④得出绝对值不等式的解集。
3、含有两个（或两个以上）绝对值不等式的解法：
(1) 含有两个（或两个以上）绝对值不等式解答的基本思想：先求零点，运用零点将数轴分成几段，然后各段分别去绝对值符号求解；
（2）解答含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的基本方法：① 令各个绝对值为零分别求出零点；②由各零点把数轴分成几段；③分段去绝对值符号，得到一元一次（或一元二次）不等式并求解；④ 求出各段解集的并集；⑤得出绝对值不等式的解集。
四、无理不等式的解法：
1、无理不等式的定义：
根号中含有未知数数的不等式，称为无理不等式。
2、无理不等式的解法：
（1）解答无理不等式的基本思路：将无理不等式等价转化为有理不等式求解；
（2）求解无理不等式的基本方法是：①将无理不等式等价转化为有理不等式；②求解有理不等式；③得出无理不等式的解集； g(x) ≥0，
（3）无理不等式等价转化为有理不等式的基本方法：①＞ f(x) ＞g(x)；
f(x) ≥0 f(x) ＞ 0，g(x) ＜0，f(x) ≥0，
②＜g(x) g(x) ≥0；③＞g(x) g(x)≥0或f(x) ≥0；
f(x) ＜ f(x) ＞
④f(x) .＜0 g(x) ＞0； ⑤f(x) . ≥ 0f(x) ≥0 ，
f(x) ＜0， g(x) ≥0。
五、指数（或对数）不等式的解法：
1、指数（或对数）不等式的定义：
（1）含有对数函数的不等式，称为对数不等式；
（2）含有指数函数的不等式，称为指数不等式。
2、指数，对数不等式的解法：
（1）对数不等式解答的基本思路：运用对数函数的图像和性质将对数不等式等价转化为一元一次不等式（或一元二次不等式）求解；
（2）在解答对数不等式时应该注意的问题是：①对数的真数必须大于零；②对数的底数的不同取值对对数函数单调性的影响；
（3）含指数不等式解答的基本思路：运用指数函数的图像和性质将指数不等式等价转化为一元一次不等式（或一元二次不等式）求解；
（4）在解答指数不等式时应该注意的问题是指数底数的不同取值对指数函数单调性的影响。
【探导考点】
考点1一元二次不等式的解法：热点①因式分解法及运用；热点②图像法及运用；热点③已知一元二次不等式的解集，求不等式中参数的值（或取值范围）；
考点2分式不等式的解法：热点①求解分式不等式；热点②分式不等式与一元二次不等式的综合问题；
考点3绝对值不等式的解法：热点①基本绝对值不等式的解集及运用；热点②绝对值中是一元一次式（或一元二次式）绝对值不等式的解法；热点③含有多个绝对值符号的绝对值不等式的解法；
考点4指数（或对数）不等式的解法：热点①指数不等式的解法；热点②对数不等式的解法；热点③指数与对数不等式综合问题的解法。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、求下列一元二次不等式的解集：
（1）(5-x)(x+4)＜0； （2）(x+7)(2-x)＞0； （3）(3x+2)(2x-1)＜0；
（4）2-3x-2＞0； （5）-2+x+3＜0； （6）+2x-15＞0；
（7）-2x-3＜0； （8）4-4x＞15； （9）14≥4+x；
（10）x(x+2)＞x(3-x)+1；（11）8-2x≥； （12）2-4x+1＞0。
2、求下列一元二次不等式的解集：
（1）2-3x+1＜0； （2）-3+4x+4＜0； （3）(2x+1)(4x-3)＞0；
（4）（x-1）(x+3)＜0； （5）0＜4-11x-3＜3； （6）-4＜--x-＜-2.
（7）（-+）≥（-9）-3x； （8）|-3x+4|＞x+2。
『思考问题1』
（1）【典例1】是求解一元二次不等式的问题，解答这类问题需要理解一元二次不等式的定义，掌握求解一元二次不等式的基本方法；
（2）求解一元二次不等式的基本方法是：①选择恰当的求解方法；②按照选定解法的基本方法求解一元二次不等式；
（3）一元二次不等式因式分解法的基本方法是：①把不等式左边的二次三项式分解成两个一次因式的积；②根据数的乘法法则得到两个一元一次不等式组；③求解两个一元一次不等式组；④ 得出一元二次不等式的解集；
（4）图像法求解一元二次不等式的基本方法是：①求判别式= -4ac的值，确定一元二次方程a+bx+c=0根的情况，从而得到一元二次函数y= a+bx+c的图像与x轴的交点坐标；②确定一元二次函数y= a+bx+c的对称轴，开口方向和顶点坐标；③作出一元二次函数y= a+bx+c的大致图像；④利用一元二次方程a+bx+c=0，一元二次函数y= a+bx+c和一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0）之间的关系，结合图形确定一元二次不等式的解集；⑤得出一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0）的解集。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= -x+1，x＜0,则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( )
x-1，x≥0,
A｛x|-1＜x＜-1｝ B｛x|x≤1｝ C｛x|x≤-1｝ D｛x|--1≤x≤-1｝
2、求下列一元二次不等式的解集：
（1）（x+2）(x-3)＞0； （2）x(x-2)＜0； （3）（x-a）(x-b)＞0(a＜b)；
（4）3-7x+2＜0； （5）-6-x+2≤0； （6）4+4x+1＜0；
（7）-3x+5＞0； （8）-4x+1＞0； （9）-4x+1＜0；
【典例2】按要求解答下列问题：
1、不等式a+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜},则a，c的值为（ ）
A a=6，c=1 B a=-6，c=-1 C a=1，c=1 D a=-1，c=-6
2、如果｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝其中b＞0，求实数a，b的取值范围；
3、已知关于x的不等式 +ax+b＜0的解集为（1,2），试求关于x的不等式b+ax+1＞0的解集；
4、解关于x的不等式-（a+1）x+a＜0.
『思考问题2』
（1）【典例2】是求解含有参数的一元二次不等式问题，解答这类问题需要对参数进行分类讨论；
（2）参数分类的基本方法是：①从运算的角度考虑分类（确定符号，去绝对值符号）；②从不等式的类型考虑分类（二次项系数为零或不为零）；③从比较一元二次方程两根的大小考虑分类（一元二次方程的两根与参数相关）；④从单调性应用的需要考虑分类；
（3）求解含参数一元二次不等式的基本方法是：①若二次项系数为常数，考虑分解因式对参数进行分类讨论（比较两根的大小）；当二次三项式不易分解时，可依据判别式符号对参数进行分类讨论（确定一元二次方程解的情况）；②若二次项系数含有参数，则需要考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是一元二次式；当二次项系数不为零时，仍需对参数可能情况分别求解；③对方程的根进行讨论，确定两根的大小得出解集。
〔练习2〕解答下列问题：
1、求不等式12-ax＞（a∈R）的解集；
2、不等式组（x-2）（x-5）≤0，与不等式（x-2）（x-5）≤0同解，则实数a的取值范围是（ ） x（x-a）≥0
A （-，2］ B （-，2） C （-，5］ D （5，+）
3、解关于x的不等式a-2≥2x-ax(a∈R)；
4、函数y=的定义域为A，函数y==lg(k+4x+k+3)的定义域为B，若A∩B=B，求实数k的取值范围； -x-2＞0；
5、是否存在实数a，使得不等式组 2+（5+2a）x+5a＜0，的整数解的集合是单元素｛-2｝；
6、若不等式2x-1＞m(-1)对于满足：-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范围。
7、设二次不等式a+bx+1＞0的解集为｛x|-1＜x＜｝，则ab的值为（ ）
A -6 B -5 C 6 D 5
8、设0＜a＜1，集合A=｛x∈R|x＞0｝，B=｛x∈R|2-3（1+a）x+6a＞0｝，D=A∩B，求集合D（用区间表示）
9、已知f(x)=-3+a（6-a）x+6。
（1）解关于a的不等式f(1)＞0；
（2）若不等式f(x)＞b的解集为（-1,3），求实数a、b的值。
【典例3】按要求解答下列问题：
1、若不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值集合为（ ）
A {a|a≤2} B {a|-2＜a＜2} C {a|-2＜a≤2} D {a|a≤-2}
2、若一元二次不等式2k+kx-＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A （-3，0］ B ［-3，0） C ［-3，0］ D （-3， 0）
3、若不等式2x-1＞m(-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为 ；
4、不等式+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ；
5、设函数f(x)=m-mx-1，若对于x∈［1，3］，f(x) ＜-m+5恒成立，求m的取值范围；
6、对任意m∈［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零，求x的取值范围。
『思考问题3』
（1）【典例3】是关于一元二次不等式恒成立的问题，解答这类问题需要弄清楚谁是主元，谁是参数（一般地知道谁的范围，谁就是主元；求谁的范围，谁就是参数）；
（2）对于一元二次不等式恒成立问题，若是恒大于零，表明相应的一元二次函数的图像在给定的区间上全部在X轴的上方；若是恒小于零，表明相应的一元二次函数的图像在给定的区间上全部在X轴的下方；解答这类问题的基本思路是转化为求一元二次函数的最值问题（或把参数分离，再求函数的最值）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、不等式（m-2）+2（m-2）x-4＜0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是 ；
2、已知函数f(x)= ，若任意的x∈［1，+），f(x) ＞0恒成立，则实数a的取值范围是 ；
3、函数f(x)= 的定义域是R，则实数a的取值分是 ；
4、已知函数f(x)= +mx-1，若对于任意的x∈［m，m+1］,都有f(x) ＜0成立，则实数m的取值范围是 ；
5、已知不等式m-2x-m+1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；
6、已知关于x的不等式-ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 （2012全国高考福建卷）
7、已知函数f(x)= +ax+b(a，b∈R)的值域为〔0，+∞），若关于x的不等式f(x)＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为 （2012全国高考江苏卷）
8、对任意x∈［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求a的取值范围；
9、对任意a∈［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范围。
10、已知不等式m-2x-m+1＜0.
（1）是否存在实数m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在请说明理由；
（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围。
【典例4】按要求解答下列问题：
1、要在长800m，宽600m的一块长方形地面上进行绿化，
要求四周种花卉（花卉带的宽度相等），中间种草坪（如
右图）阴影部分种草坪，要求草坪的面积不少于总面积的
一半，求花卉带宽度的范围。
2、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品，（生产
条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100.（5x+1-）元。
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润。
『思考问题4』
（1）【典例4】是一元二次不等式的应用问题，解答这类问题需要熟悉应用问题的常见类型和各个类型应用问题涉及的基本数量及相互之间的关系；
（2）解答一元二次不等式应用问题的基本方法是：①阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；②列出不等式，建立相应的数学模型；③求解不等式，得出数学结论（注意数学模型中自变量的实际意义）；④回归实际问题，得出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为（ ）
A 12元 B 16元 C 12元到16元之间 D 10元到14元之间
2、工厂对某种原料的全年需要是Q，为保证生产，又节约开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购进，已知每次订购费用是a元，又年保管费用率是p，设每次购进的数量为x（单位：吨）及全年保管费S（单位：元）之间的关系是S=px，问全年订购多少次，才能是订购费用与保管费用之和最少？并求出这个最少和的费用（为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数）
【典例5】按要求解答下列问题：
1、不等式＞0的解集为（ ）
A{x|x＜-2或x＞3}B{x|x＜-2或1＜x＜3}C{x|-2＜x＜1或x＞3}D{x|-2＜x＜1或1＜x＜3}
2、求下列不等式的解集：
（1）2--15x＞0； （2）（x+4）＜0；（3）（-1）（-6x+8）≥0。
『思考问题5』
（1）【典例5】是求解一元高次不等式的问题，解答这类问题需要注意一元高次不等式的结构特征，掌握一元高次不等式的解答方法；
（2）求解一元高次不等式的基本方法是：①将一元高次式化为几个一次式的积的形式（注意x的系数为正）；②求解一元高次方程的根；③运用穿根法求出一元高次不等式的解集。
〔练习5〕解答下列问题：
1、不等式＞0的解集为（ ）
A{x|x＜-3或x＞4}B{x|x＜-3或2＜x＜4}C{x|-3＜x＜2或x＞4}D{x|-3＜x＜2或2＜x＜4}
2、求下列不等式的解集：
（1）（x+2）（x-2）≤0； （2）＞0。
【典例6】按要求解答下列问题：
1、不等式≤的解集为（ ）
A (-∞,-1) B 〔0,1) C (-∞,-1) ∪〔0,1) D (-1，0〕∪(1，+∞)
2、关于x的不等式ax-b＞0的解集为（1，+），则关于x的不等式>0的解集为（ ）
A （-，0）（1，+） B （-1，2） C （1，2） D （-，-1）（2，+）
3、已知关于x的不等式＜0的解集是M，①当a=4时求M；②若3∈M，5∈M，求实
数a的取值范围；
4、求不等式＜0（a∈R）的解集。
5、求下列分式不等式的解集：
（1）＜0； （2）≥1； （3）≥0；
（4）＞0； （5）≤0； （6）＞0；
（7）≤0； （8）＜-1。
『思考问题6』
（1）【典例6】是求解分式不等式的问题，解答这类问题需要理解分式不等式的定义，掌握分式不等式的解法；
（2）形如＜0（或＞0或≤0或≥0）的不等式的解答思路是运用有理数的运算法则把分式不等式转化为 不等式组；解答的基本方法是：①运用有理数的运算法则把分式不等式转化为 不等式组（注意含等号时分母不能为零）；② 分别求解两个不等式组；③求出两个不等式组解集的并集；④得出分式不等式的解集；
（3）分式不等式中含有常数时，处理的方法是：①先将常数移到含分式的一边进行通分化为形如＜0（或＞0或≤0或≥0）的不等式；②求解不等式＜0（或＞0或≤0或≥0）。
〔练习6〕解答下列问题：
1、不等式的解集为（ ）
A （1，+） B （-，-2） C （-2，1） D （-，-2）（1，+）
2、下列不等式中与不等式≥0的解集相同的是（ ）
A （2-x）（x-1）≥0 B （x-2）（x-1）≥0且x1
C （x-2）（x-1）≤0且x1 D （2-x）（x-1）≤0
3、不等式≥2的解集是（ ）
A ［-3，］ B ［-，3］ C ［，1）（1，3］ D ［-，1） （1，3］
4、解关于x的不等式＞1（a1）；
5、求下列分式不等式的解集：
（1）＜0； （2）＞0； （3）≥-1；
（4）＞0； （5）＜0； （6）＞2.
【典例7】解答下列问题：
1、已知适合不等式|-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值是3，求p的值；
2、求下列绝对值不等式的解集：
（1）|x-2|＜5； （2）|2x+5|＞7； （3）|x-6|＜0.001； （4）3≤|8-x|；
（5）|x+5|＜6； （6）|4x-1|≥9； （7）|3x-8|＜13； （8）|x-2|≥1；
（9）|x+2|＞； （10）|2x+|≤； （11）|ax-1|＜x（a＞0）；
（12）1≤|-x|＜； （13）|-9|≤x+3； （14）|-3x+4|＞x+2；
『思考问题7』
（1）【典例7】为绝对值中是一次式（或二次式）的绝对值不等式，解答的基本思路是将绝对值中的一次式（或二次式）视为整体未知数运用基本绝对值不等式的解集转化为
不等式，再求解；
（2）解答绝对值中含一次式（或二次式）的绝对值不等式的基本方法是：①将绝对值中的一次式（或二次式）视为 未知数；②运用基本绝对值不等式的解集把原不等式转化为
不等式；③ 求解一次（或二次）不等式；④得出结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、不等式|-2|＜2的解集是（ ）
A （-1，1） B （-2，2） C （-1，0）（0，1） D （-2，0）（0，2）
2、求下列绝对值不等式的解集：
（1）|5x-4|＜6； （2）|x+4|＞9； （3）|x-|＜； （4）3≤|2-x|；
（5）|4x-3|＜21； （6）|3x-2|≥4； （7）|+2|＞；（8）|x+1|≥2；
（9）|+x|≤；（10）|+|≤。
【典例8】解答下列问题：
1、若不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围；
2、求下列绝对值不等式的解集：
（1）|2x+1|+|x-2|＞4； （2）|x+3|+|x+2|+|x+1|＞3
『思考问题8』
(1) 【典例8】是求解含有两个（或两个以上）绝对值的不等式问题，解答的基本思想是先求零点，运用零点将实数分成几段，然后各段分别去绝对值符号求解；
（2）解答含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的基本方法是：① 令各个绝对值为零分别求出零点；②由各零点把实数分成几段；③分段去绝对值符号，得到一次（或二次）不等式并求解；④ 求出各段解集的并集得出结果。
〔练习8〕解答下列问题：
1、若不等式|x-1|+|x-2|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围；
2、求下列绝对值不等式的解集：
（1）|3x+1|+|x-3|＞4； （2）|x+4|+|x+3|+|x+1|＞5。
【典例9】解答下列问题：
1、不等式-x≤1的解集是 ；
2、不等式2＞2ax+3的解集为（4，c），求a，c的值；
3、求下列不等式的解集：
（1）-x＞； （2）＜x；
（3）|-x|＜2； （4）＞x+。
『思考问题9』
（1）【典例9】是求解无理不等式的问题，解答无理不等式的基本思路是将无理不等式等价转化为 不等式求解；
（2）求解无理不等式的基本方法是：①通过换元或平方的方法将无理不等式转化为 不等式（注意二次根式的性质）；②求解有理不等式；③得出结果；
〔练习9〕求下列不等式的解集：
（1）+x＞； （2）＜3x；
（3）|-x|＜3； （4）＞x+。
【典例10】解答下列问题：
1、函数f(x)= 的定义域为 ；
2、解关于x的不等式＞(a＞0,且a≠1)；
3、求下列不等式的解集：
（1）（-x-2)＞(x-1)-1； （2）（-x-2)＞（2x-2）；
（3）＞； （4）＞；
（5）（-x）＜2； （6）（-x）＜x+1。
『思考问题10』
（1）【典例10】是求解对数不等式(或指数不等式)的问题，解答这类问题需要理解对数不等式，(或指数不等式)的定义，掌握对数不等式(或指数不等式)的解法；
（2）解答对数不等式（或指数不等式）的方法是：①运用对数函数（或指数函数）的图像和性质将对数不等式（或指数不等式）等价转化为普通不等式；②求解普通不等式；③ 得出结果。
〔练习10〕求下列分式不等式的解集：
（1）（x+1）＞(-+2x+3)； （2）＜x-1；
（3）（3-x）≥-2； （4）＞；
（5）＞； （6）x＜3x (a＞0,且a≠1)。
【追踪考试】
【典例11】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=|2x+3|-|2x-1|。
（1）画出y=f(x)和y=g(x)的图像；
（2）若f(x+a) g(x)，求a的取值范围（2021全国高考甲卷）。
2、已知函数f(x)=|x-a|+|x+3|。
（1）当a=1时，求不等式f(x) 6的解集；
（2）若f(x)>-a，求a的取值范围（2021全国高考乙卷）。
3、已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|。
（1）画出函数f(x)的图像；
（2）求不等式f(x)> f(x+1)的解集（2020全国高考新课标I）
4、设函数f(x)=ln(1+|x|-，则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是（ ）（2020全国高考新课标II）
A （，1） B （-，）（1，+） C （-，） D （-，-）（，+）
5、已知a，b是非负实数，函数f(x)=|x-3a|+|x+4b|。
（1）当a=1，b=时，解不等式f(x)7；
（2）若函数f(x)的最小值为6，求+的最大值（成都市高2019级高三一诊）
6、已知函数f（x）=|x+1|-|ax-1|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）＞1的解集；
（2）若x（0，1）时，不等式f（x）＞x成立，求a的取值范围（2018全国高考新课标I卷）
7、设函数f（x）=5-|x+a|-|x-2|.
（1）当a=1时，求不等式f（x）0的解集；
（2）若f（x）1，求a的取值范围（2018全国高考新课标II卷）
8、设函数f（x）=|2x+1|+|x-1|.
（1）画出y= f（x）的图像；
（2）当x［0，+ ）时，f（x）ax+b，求a+b的最小值（2018全国高考新课标III）
『思考问题11』
（1）【典例11】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末考试）试卷中有关求解不等式的问题，归结起来主要包括：①一元二次不等式；②分式不等式；③绝对值不等式；④指数函数（对数函数）不等式等几种类型；
（2）解答问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属的类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习11〕解答下列问题：
1、在关于x的不等式-ax-a＞0（其中e=2.71828----为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个正整数，则实数a的取值范围为（ ）（2018成都市高三三诊）
A (，］ B ［，） C (，］ D ［，）
2、已知函数f（x）=|2x+1|+|x-1|。
（1）解不等式f（x）3；
（2）记函数f（x）的最小值为m，若a，b，c均为正实数，且a+b+2c=m，求++的最小值（2018成都市高三二诊）
3、若关于x的不等式+2ax+10在［0，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围为（ ）（2018成都市高三一诊）
A （0，+∞） B ［-1，+∞） C ［-1，1］ D ［0，+∞）
4、已知函数f（x）=|x-2|+k|x+1|，k∈R。
（1）当k=1时，若不等式f(x)＜4的解集为{x|＜x＜}，求+的值；
（2）当x∈R时，若关于x的不等式f(x) k恒成立，求k的最大值（2018成都市高三一诊）
5、已知函数f（x）=|2x+1|+|x-a|，a∈R。
（1）当a=2时，解不等式f（x）4；
（2）若不等式f(x) <1的解集为非空集合，求实数a的取值范围（2018成都市高三零诊）
6、已知函数f（x）=|x+1|+|3-x|，x-1.
（1）求不等式f(x) 6的解集；
（2）若f(x)的最小值为n，正数a，b满足：2nab=a+2b，求2a+b的最小值（2017成都市高三一珍）
7、已知函数f（x）=4-|x|-|x-3|。
（1）求不等式f(x+ )0的解集；
（2）若p，q，r为正实数，且++=4，求3p+2q+r的最小值（2017成都市高三二诊）
8、已知函数f（x）=|x-a|，a ∈R。
（1）当a=1时，求不等式f(x)+|2x-5|6的解集；
（2）若函数g(x)=f(x)-|x-3|的值域为A，且［-1,2］A，求a的取值范围（2017成都市高三三诊）
9、已知函数f（x）=-+ax+4，g(x)=|x+1|+|x-1|。
（1）当a=1时，求不等式f(x) g(x)的解集；
（2）若不等式f(x) g(x)的解集包含［-1，1］，求a的取值范围（2017全国高考新课标I卷）
10、已知函数f（x）=|x+1|-|x-2|。
（1）求不等式f(x)1的解集；
（2）若不等式f(x) -x+m的解集非空，求m的取值范围（2017全国高考新课III)
第二十六讲 不等式的解法
【考纲解读】
1.理解一元一次不等式，一元一次不等式组，一元二次不等式，方式不等式和绝对值不等
式的定义；
2.掌握一元一次不等式，一元一次不等式组，一元二次不等式，方式不等式和绝对值不等
式的解法，能够熟练地求解不等式的解集；
3.了解无理不等式，指数不等式和对数不等式定义，了解无理不等式，指数不等式和对数
不等式的解法。
【知识精讲】
一、一元二次不等式的解法：
1、一元二次不等式的定义：
（1）一元二次不等式的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二的不等式，称为一元二次不等式；
（2）一元二次不等式的一般形式：①a+bx+c＞0(或≥0)，②a+bx+c＜0(或≤0)，其中系数a≠0.
2、一元二次不等式的解法：
(1)求解一元二次不等式的基本方法有：①因式分解法；②图像法；
（2）一元二次不等式因式分解法的基本方法是：①将一元二次不等式中的二次三项式分解成两个一次因式的积；②根据有理数的乘法法则把一元二次不等式转化为两个一元一次不等式组；③ 求解两个一元一次不等式组；④ 得出一元二次不等式的解集；
（3）图像法求解一元二次不等式涉及到一元二次方程和一元二次函数的相关知识，它们之间的相互关系详见下表：
一元二次方程 判别式 = -4ac＞0 =-4ac=0 =-4ac＜0
a+bx+c=0（a＞0）实数解 ≠ = 没有实数解
一元二次函数的图像
y= a+bx+c(a＞0) 0 0
一元二次不等式的解集 （-，） （-，） R
a+bx+c＞0(a＞0) （，+） （，+）
a+bx+c＜0(a＞0) （,）
（4）上表中的二次项系数是（a＞0)，但在求解一元二次不等式的问题时也有二次项系数（a＜0)的情况，对这样的问题我们的处理方法是不等式两边同乘以负一；
（5）图像法求解一元二次不等式的基本方法是：①求出判别式的值，若＞0，则求出一元二次方程a+bx+c=0的两根；②确定一元二次函数y= a+bx+c的对称轴和开口方向；
③作出一元二次函数y= a+bx+c的大致图像；④从上表中找到对应的位置；⑤得出一元二次不等式的解集。
3、一元n次不等式的解法：
（1）一元n次不等式的定义：形如++------+＞0（或0或＜0或0）（0，n，n3）的不等式，称为一元n次不等式；
（2）一元n次不等式的解法：一元n次不等式解答的基本思路是：①把f(x)=++------+＞0（或0或＜0或0）转化为f(x)=（x-）（x-）------(x-)＞0（或0或＜0或0），②在数轴上标出区间（-，）（，）--------（，+），当＞0时，因为函数f(x)的值在上述区间自右至左依次为+，-，+，-，------所以f(x)=++------+＞0的解集为正值区间，f(x)=++------+ ＜0的解集为负值区间；
（3）思考问题：当＜0时，f(x)=++------+＞0的解集为负值区间， f(x)= ++------+＜0的解集为正值区间。
二、分式不等式的解法：
1、分式不等式的定义：
分母中含有未知数的不等式，称为分式不等式。
2、分式不等式的解法：
（1）形如＜0（或＞0）的不等式的解答思路是把分式不等式转化为两个一元一次不等式组；解答的基本方法是：①运用有理数的运算法则把分式不等式转化为两个一元一次不等式组；② 分别求解两个一元一次不等式组；③求出两个不等式组解集的并集；④得出分式不等式的解集；
(2) 形如≤0（或≥0）的不等式的解答思路是把分式不等式转化为两个一元一次不等式组；解答的基本方法是：①运用有理数的运算法则把分式不等式转化为两个一元一次不等式组（注意分式的分母不能为零）；② 分别求解两个一元一次不等式组；③求出两个一元一次不等式组解集的并集；④得出分式不等式的解集。
三、含绝对值符号不等式的解法：
1、基本绝对值不等式的解集：
（1）基本绝对值不等式的定义：
形如|x|＜c(或≤c，c＞0为常数)或|x|＞c(或≥c，c＞0为常数)的不等式，称为基本绝对值不等式；
（2）基本绝对值不等式的解集：
①|x|＜c(c＞0为常数)的解集为{x|-c＜x＜c}；② |x|≤c(c＞0为常数)的解集为{x|-c≤x≤c}；③|x|＞c(c＞0为常数)的解集为{x|x＜-c或x＞c}；④|x|≥c(c＞0为常数)的解集为{x|x≤-c或x≥c}。
2、绝对值中是一次式（或二次式）绝对值不等式的解法：
（1）绝对值中是一次式（或二次式）绝对值不等式解答的基本思路:将绝对值中的一次式（或二次式）视为整体未知数运用基本绝对值不等式的解集转化为一元一次不等式组（或一元二次不等式组），再求解一元一次不等式组（或一元二次不等式组）就可求出绝对值不等式的解集；
（2）解答绝对值中含一次式（或二次式）的绝对值不等式的基本方法：①将绝对值中的一元一次式（或一元二次式）视为整体未知数；②运用基本绝对值不等式的解集把原不等式转化为一元一次不等式组（或一元二次不等式组）；③ 求解一元一次不等式组（或一元二次不等式组）；一次（或二次）不等式；④得出绝对值不等式的解集。
3、含有两个（或两个以上）绝对值不等式的解法：
(1) 含有两个（或两个以上）绝对值不等式解答的基本思想：先求零点，运用零点将数轴分成几段，然后各段分别去绝对值符号求解；
（2）解答含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的基本方法：① 令各个绝对值为零分别求出零点；②由各零点把数轴分成几段；③分段去绝对值符号，得到一元一次（或一元二次）不等式并求解；④ 求出各段解集的并集；⑤得出绝对值不等式的解集。
四、无理不等式的解法：
1、无理不等式的定义：
根号中含有未知数数的不等式，称为无理不等式。
2、无理不等式的解法：
（1）解答无理不等式的基本思路：将无理不等式等价转化为有理不等式求解；
（2）求解无理不等式的基本方法是：①将无理不等式等价转化为有理不等式；②求解有理不等式；③得出无理不等式的解集； g(x) ≥0，
（3）无理不等式等价转化为有理不等式的基本方法：①＞ f(x) ＞g(x)；
f(x) ≥0 f(x) ＞ 0，g(x) ＜0，f(x) ≥0，
②＜g(x) g(x) ≥0；③＞g(x) g(x)≥0或f(x) ≥0；
f(x) ＜ f(x) ＞
④f(x) .＜0 g(x) ＞0； ⑤f(x) . ≥ 0f(x) ≥0 ，
f(x) ＜0， g(x) ≥0。
五、指数（或对数）不等式的解法：
1、指数（或对数）不等式的定义：
（1）含有对数函数的不等式，称为对数不等式；
（2）含有指数函数的不等式，称为指数不等式。
2、指数，对数不等式的解法：
（1）对数不等式解答的基本思路：运用对数函数的图像和性质将对数不等式等价转化为一元一次不等式（或一元二次不等式）求解；
（2）在解答对数不等式时应该注意的问题是：①对数的真数必须大于零；②对数的底数的不同取值对对数函数单调性的影响；
（3）含指数不等式解答的基本思路：运用指数函数的图像和性质将指数不等式等价转化为一元一次不等式（或一元二次不等式）求解；
（4）在解答指数不等式时应该注意的问题是指数底数的不同取值对指数函数单调性的影响。
【探导考点】
考点1一元二次不等式的解法：热点①因式分解法及运用；热点②图像法及运用；热点③已知一元二次不等式的解集，求不等式中参数的值（或取值范围）；
考点2分式不等式的解法：热点①求解分式不等式；热点②分式不等式与一元二次不等式的综合问题；
考点3绝对值不等式的解法：热点①基本绝对值不等式的解集及运用；热点②绝对值中是一元一次式（或一元二次式）绝对值不等式的解法；热点③含有多个绝对值符号的绝对值不等式的解法；
考点4指数（或对数）不等式的解法：热点①指数不等式的解法；热点②对数不等式的解法；热点③指数与对数不等式综合问题的解法。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、求下列一元二次不等式的解集：
（1）(5-x)(x+4)＜0； （2）(x+7)(2-x)＞0； （3）(3x+2)(2x-1)＜0；
（4）2-3x-2＞0； （5）-2+x+3＜0； （6）+2x-15＞0；
（7）-2x-3＜0； （8）4-4x＞15； （9）14≥4+x；
（10）x(x+2)＞x(3-x)+1； （11）8-2x≥； （12）2-4x+1＞0。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②二次三项式十字想乘法分解因式的基本方法；③因式分解法求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式的性质，运用二次三项式十字想乘法分解因式和因式分解法求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件就可求出各一元二次不等式的解集。
【详细解答】（1）(5-x)(x+4)＜0，5-x＞0，且 x+4＜0,或5-x＜0，且 x+4＞0，x＜-4，或x＞5，不等式(5-x)(x+4)＜0的解集为（-，-4）（5，+）；（2）(x+7)(2-x)＞0， x+7＞0，且2-x＞0，或 x+7＜0，且 2-x＜0，-7＜x＜2，或， 不等式(x+7)(2-x)＞0的解集为(-7，2)；（3）(3x+2)(2x-1)＜0，3x+2＞0，且2x-1＜0，或 3x+2＜0，且 2x-1＞0，-＜x ＜，或，不等式(3x+2)(2x-1)＜0的解集为（-，）；（4）2-3x-2=(2x+1)(x-2)，2-3x-2＞0， 2x+1＞0，且 x-2＞0，或 2x+1＜0，且 x-2＜0，x＞2或 x＜-，不等式2-3x-2＞0 的解集为（-，-）（2，+）；（5）-2+x+3=(-2x+3)(x+1)，-2+x+3＜0，-2x+3＞0，且 x+1＜0，或 -2x+3＜0，且 x+1＞0，x＜-1，或 x＞，不等式-2+x+3＜0的解集为（-，-1）（，+）；（6）+2x-15=(x-3)(x+5)，+2x-15＞0，x-3＞0，且 x+5＞0， 或 x-3＜0，且 x+5＜0， x＞3或x＜-5，不等式+2x-15＞0的解集为（-， -5）（3，+）；（7）-2x-3=(x-3)(x+1)，-2x-3＜0，x-3＞0，且 x+1＜0，或 x-3＜0，且 x+1＞0， 或-1＜x＜3，不等式-2x-3＜0的解集为（-1，5）（8）4-4x＞15，4-4x-15＞0，4-4x-15=(2x+3)（2x-5）＞0，4-4x＞15， 2x+3＞0，且2x-5＞0，或2x+3＜0，且 2x-5＜0，x＜-或x＞,不等式4-4x ＞15的解集为（--）（，+）；（9）14≥4+x，4+x-14≤0，4+x-14=(4x-7)(x+2)，14≥4+x，4x-7≥0，且x+2≤0，或 4x-7≤0，且 x+2≥0， 或-2≤x≤，不等式14≥4+x的解集为 ［-2，］；（10） x(x+2)＞x(3-x)+1， 2-x-1＞0，2-x-1=(2x+1)(x-1)， x(x+2)＞x(3-x)+1， 2x+1＞0，且x-1＞0， 或2x+1＜0，且 x-1＜0，x＜-， 或x＞1,不等式x(x+2)＞x(3-x)+1的解集为（-，-）（1，+）；（11）8-2x≥，+2x-8≤0，+2x-8=(x+4)(x-2)，8-2x≥， x+4≥0，且x-2≤0，或x+4≤0，且 x-2≥0，-4≤x≤2或，不等式8-2x≥的解集为［-4，2］；（12）2-4x+1=(x-1-)(x-1+)，2-4x+1＞0， x-1-＞0，且x-1+＞0，或x-1-＜0，且 x-1+＜0，x＜1-或x＞1+,不等式2-4x+1＞0的解集为（-，1-）（1+，+）。
2、求下列一元二次不等式的解集：
（1）2-3x+1＜0； （2）-3+4x+4＜0； （3）(2x+1)(4x-3)＞0；
（4）（x-1）(x+3)＜0； （5）0＜4-11x-3＜3； （6）-4＜--x-＜-2.
（7）（-+）≥（-9）-3x； （8）|-3x+4|＞x+2。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④图像法求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用图像法求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件就可求出各一元二次不等式的解集。
【详细解答】（1）=9-8=1＞0，一元二次方程2-3x+1=0有不同的两个实数根=,
=1，2＞0，一元二次函数y=2-3x+1图像 y
的对称轴为x=，当x=时，y=-,作出函数y 0 1 x
=2-3x+1的图像如图所示，由图知不等式2-3x+1＜0的解集为（，1）；
（2）=16+48=64＞0，一元二次方程-3+4x+4=0有不同的两个实数根=-,
=2，-3＜0，一元二次函数y=-3+4x+4图像的 y
对称轴为x=，当x=时，y=5+,作出函数y =-3 - 0 2 x
+4x+4的图像如图所示，由图知不等式-3+4x+4＜0的解集为（-，-）（2，+）；
（3）=4+96=100＞0，一元二次方程(2x+1)(4x-3)=0有不同的两个实数根=-,
=，8＞0，一元二次函数y=(2x+1)(4x-3)图像的 y
对称轴为x=，当x=时，y=-3-,作出函数y=(2x+1) - 0 x
(4x-3)的图像如图所示，由图知不等式(2x+1)(4x-3)＞0的解集为（-，-）（，+）；
（4）=2++4=6+＞0，一元二次方程（x-1）(x+3)=0有不同的两个实数根=-6,=，＞0，一元二次函数y=2-3x+1图像 y
的对称轴为x=-2-，当x=-2-时，y=-2+,作出函数y -6 -2- 0 x
=（x-1）(x+3)的图像如图所示，由图知不等式（x-1）(x+3)＜0的解集为（-6，）；
（5）=121+48=169＞0，一元二次方程4-11x-3=0有不同的两个实数根=-,=3，4＞0，一元二次函数y=4-11x-3图像的 y
对称轴为x=2-，当x=2-时，y=-11-,作出函数y=4 - 0 2- 3 x
-11x-3的图像如图所示，由图知不等式4-11x-3＞0的解集为（-，-）（3，+）；
=121+96=217＞0，一元二次方程4-11x-6=0有不同的两个实数根=-,=3+
，4＞0，一元二次函数y=4-11x-6图像的对称 y
轴为x=2-，当x=2-时，y=-14-,作出函数y=4 - 0 2- 3+ x
-11x-3的图像如图所示，由图知不等式4-11x-6＜0的解集为（-，3+），不等式组0＜4-11x-3＜3的解集为（-，-）（3，3+）。
（6）=1+5=6＞0，一元二次方程+x-=0有不同的两个实数根=-1-,=-1
+，＞0，一元二次函数y=+x-图像的 y
对称轴为x=-1，当x=-1时，y=-3,作出函数y=+x -1- -1 0 -1+ x
-的图像如图所示，由图知不等式+x-＜0的解集为（-1-，-1+）；
=1+1=2＞0，一元二次方程+x-=0有不同的两个实数根=-1-,=-1+，
＞0，一元二次函数y=+x-图像的对称 y
轴为x=-1，当x=-1时，y=-1,作出函数y=+x -1- -1 0 -1+ x
-的图像如图所示，由图知不等式+x-＞0的解集为（-，-1-）（-1+，+），不等式组-4＜--x-＜-2的解集为（-1-，-1-）（-1+，-1+）。
（7）（-+）≥（-9）-3x，2-3x-7≤0，=9+56=65＞0，一元二次方程2-3x-7=0有不同的两个实数根=-,=+， y
2＞0，一元二次函数y=2-3x-7图像的对称轴为x=, - 0 + x
当x=时，y=-8-，作出函数y=2-3x-7的图像如图所示，由图知不等式（-+）≥（-9）-3x的解集为［-，+］；
（8）|-3x+4|＞x+2，-2x+6＜0，或-4x+2＞0，对-2x+6＜0，=4-24=-20＜0，一元二次方程-2x+6=0没有实数根，1＞0， y
一元二次函数y=-2x+6图像的对称轴为x=1, 当x=1时， 0 1 x
y=5，作出函数y=-2x+6的图像如图所示，由图知不等式-2x+6＜0的解集为；对-4x+2＞0，=16-8=8＞0，一元二次方程-4x+2=0有不同的两个实数根=2-,
=2+，1＞0，一元二次函数y=-4x+2图像的对称轴 y
为x=2, 当x=2时，y=-2，作出函数y=-4x+2的图像如图 0 2- 2 2+x
所示，由图知不等式-2x+6＜0的解集为（-，2-）（2+，+）, 不等式|-3x+4|＞x+2的解集为（-，2-）（2+，+）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是求解一元二次不等式的问题，解答这类问题需要理解一元二次不等式的定义，掌握求解一元二次不等式的基本方法；
（2）求解一元二次不等式的基本方法是：①选择恰当的求解方法；②按照选定解法的基本方法求解一元二次不等式；
（3）一元二次不等式因式分解法的基本方法是：①把不等式左边的二次三项式分解成两个一次因式的积；②根据数的乘法法则得到两个一元一次不等式组；③求解两个一元一次不等式组；④ 得出一元二次不等式的解集；
（4）图像法求解一元二次不等式的基本方法是：①求判别式= -4ac的值，确定一元二次方程a+bx+c=0根的情况，从而得到一元二次函数y= a+bx+c的图像与x轴的交点坐标；②确定一元二次函数y= a+bx+c的对称轴，开口方向和顶点坐标；③作出一元二次函数y= a+bx+c的大致图像；④利用一元二次方程a+bx+c=0，一元二次函数y= a+bx+c和一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0）之间的关系，结合图形确定一元二次不等式的解集；⑤得出一元二次不等式a+bx+c＞0（或a+bx+c＜0）的解集。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= -x+1，x＜0,则不等式x+(x+1)f(x+1)≤1的解集是( )（答案：C）
x-1，x≥0,
A｛x|-1＜x＜-1｝ B｛x|x≤1｝ C｛x|x≤-1｝ D｛x|--1≤x≤-1｝
2、求下列一元二次不等式的解集：
（1）（x+2）(x-3)＞0； （2）x(x-2)＜0； （3）（x-a）(x-b)＞0(a＜b)；
（4）3-7x+2＜0； （5）-6-x+2≤0； （6）4+4x+1＜0；
（7）-3x+5＞0； （8）-4x+1＞0； （9）-4x+1＜0；
（答案：（1）（-，-2）（3，+）；（2）（0，2）；（3）（-，a）（b，+）；（4）（，2）；（5）（-，-］［，+）；（6）；（7）R；（8）（-，2-）（2+，+）；（9）（2-，2+）。）
【典例2】按要求解答下列问题：
1、不等式a+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜},则a，c的值为（ ）
A a=6，c=1 B a=-6，c=-1 C a=1，c=1 D a=-1，c=-6
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a，c的方程组，求解方程组求出a，c的值就可得出选项。
【详细解答】不等式a+5x+c＞0的解集为{x|＜x＜},，是一元二次方程a+5x+c=0的两根，a+9c+15=0①, a+4c+10=0②，联立①②解得：a=-6，c=-1，B正确，选B。
2、如果｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝其中b＞0，求实数a，b的取值范围；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的不等式组，求解不等式组就可求出a，b的取值范围。
【详细解答】｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝，｛x|（2x-b）(ax+1)＞0｝，①当a<0时，不等式2a+(2-ab)x-b＞0的解集在-与b之间，显然｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝其中b＞0不成立；②当a=0时，不等式2a+(2-ab)x-b＞0的解集为（b，+），显然｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝其中b＞0不成立；③当a>0时，｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝=｛x|x＜-或x＞b｝，｛x|2a+(2-ab)x-b＞0｝｛x|x＜-2或x＞3｝，-≥-2且b≤3，a≥，03、已知关于x的不等式 +ax+b＜0的解集为（1,2），试求关于x的不等式b+ax+1＞0的解集；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的不等式组，求解不等式组就可求出a，b的取值范围。
【详细解答】关于x的不等式 +ax+b＜0的解集为（1,2），1，2是一元二次方程+ax+b=0的两根，a+b+1=0①, 2a+b+4=0②，联立①②解得：a=-3，b=2， b+ax+1＞0, 2-3x+1＞0, 2-3x+1=(2x-1)(x-1), 2-3x+1＞0, 2x-1＞0且x-1＞0或2x-1＜0且x-1＜0，x＜或x＞1，若关于x的不等式 +ax+b＜0的解集为（1,2），则关于x的不等式b+ax+1＞0的解集为（-，）（1，+）。
4、解关于x的不等式-（a+1）x+a＜0.
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式和参数分类讨论的基本方法，结合问题条件就可求出关于x的不等式-（a+1）x+a＜0的解集。
【详细解答】-（a+1）x+a=（x-a）(x-1)，不等式-（a+1）x+a＜0， x-a＞0且x-1＜0或x-a＜0且x-1＞0，①当a＜1时，a＜x＜1或；②当a=1时，；③当a＞1时，或1＜x＜a，综上所述，当a＜1时，关于x的不等式-（a+1）x+a＜0的解集为（a，1）；当a=1时，关于x的不等式-（a+1）x+a＜0的解集为；当a＞1时，关于x的不等式-（a+1）x+a＜0的解集为（1，a）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求解含有参数的一元二次不等式的问题，解答这类问题需要对参数进行分类讨论；
（2）参数分类的基本方法是：①从运算的角度考虑分类（确定符号，去绝对值符号）；②从不等式的类型考虑分类（二次项系数为零或不为零）；③从比较一元二次方程两根的大小考虑分类（一元二次方程的两根与参数相关）；④从单调性应用的需要考虑分类；
（3）求解含参数一元二次不等式的基本方法是：①若二次项系数为常数，考虑分解因式对参数进行分类讨论（比较两根的大小）；当二次三项式不易分解时，可依据判别式符号对参数进行分类讨论（确定一元二次方程解的情况）；②若二次项系数含有参数，则需要考虑二次项系数是否为零，确定不等式是不是一元二次式；当二次项系数不为零时，仍需对参数可能情况分别求解；③对方程的根进行讨论，确定两根的大小得出解集。
〔练习2〕解答下列问题：
1、不等式组（x-2）（x-5）≤0，与不等式（x-2）（x-5）≤0同解，则实数a的取值范围是 x（x-a）≥0（ ）（答案：A）
A （-，2］ B （-，2） C （-，5］ D （5，+）
2、设二次不等式a+bx+1＞0的解集为｛x|-1＜x＜｝，则ab的值为（ ）（答案：C）
A -6 B -5 C 6 D 5
3、求不等式12-ax＞（aR）的解集；（答案：当a＜0时，不等式12-ax＞的解集为（-，）（-，+）；当a=0时，不等式12-ax＞的解集为（-，0）（0，+）；当a＞0时，不等式12-ax＞的解集为（-，-）（，+）。）
4、解关于x的不等式a-2≥2x-ax(aR)；（答案：当-2＜a＜0时，不等式a-2≥2x- ax的解集为（-，）（-1，+）；当a=0时，不等式a-2≥2x- ax的解集为（-，-1］；当a＜-2或a＞0时，不等式a-2≥2x- ax的解集为（-，-1）（，+）。）
5、函数y=的定义域为A，函数y==lg(k+4x+k+3)的定义域为B，若A∩B=B，求实数k的取值范围； （答案：实数k的取值范围是[-4，-]；）
-x-2＞0；
6、是否存在实数a，使得不等式组 2+（5+2a）x+5a＜0，的整数解的集合是单元素｛-2｝；
（答案：存在实数a（-，2）使得不等式组的整数解的集合是单元素{-2}）
7、设aR，函数f(x)=a-2x-2a，若不等式f(x)＞0的解集为A，集合B=｛x|1＜x＜3｝,
且A∩B=，求实数a的取值范围；（答案：若A∩B=，则实数a的取值范围是[0，]）
8、设0＜a＜1，集合A=｛xR|x＞0｝，B=｛xR|2-3（1+a）x+6a＞0｝，D=A∩B，求集合D（用区间表示）（答案：D=（0,）（，+））
9、已知f(x)=-3+a（6-a）x+6。
（1）解关于a的不等式f(1)＞0；
（2）若不等式f(x)＞b的解集为（-1,3），求实数a，b的值。（答案：（1）（3-2，3+2）；（2）a=3,b=-3。）
【典例3】按要求解答下列问题：
1、若不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值集合为（ ）
A {a|a≤2} B {a|-2＜a＜2} C {a|-2＜a≤2} D {a|a≤-2}
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式和参数分类讨论的基本方法，结合问题条件就可求出关于a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】当a-2=0，即a=2时，不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0，-4＜0成立；当a-2≠0，即a≠2时，不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立， a-2＜0①，且=4（a-2）(a-2+4)= 4（a-2）(a+2) ＜0②，联立①②解得：-2＜a＜2，综上所述，若不等式（a-2）+2（a-2）x-4＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值集合为（-2，2］, C正确，选C。
2、若一元二次不等式2k+kx-＜0对一切实数x都成立，则k的取值范围为（ ）
A （-3，0］ B ［-3，0） C ［-3，0］ D （-3， 0）
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式和参数分类讨论的基本方法，结合问题条件就可求出关于a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】当k=0时，不等式2k+kx-＜0-＜0成立；当k≠0时，不等式2k+kx-＜0对一切x∈R恒成立， 2k＜0①，且=k（k+3）＜0②，联立①②解得：-3＜k＜0，综上所述，若不等式2k+kx-＜0对一切实数x都成立，则实数k的取值范围为（-3，0］, A正确，选A。
3、若不等式2x-1＞m(-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为 ；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式和参数分类讨论的基本方法，结合问题条件就可求出关于x的不等式组，求解不等式组就可求出x的取值范围。
【详细解答】设f(m)= m(-1)-2x+1，不等式2x-1＞m(-1)， m(-1)-2x+1＜0对满足-2≤m≤2的所有m都成立，f(-2)= 2+2x-3＜0①，f(2) =2-2x-1＜0②，联立①②解得：＜x＜，若不等式2x-1＞m(-1)对满足-2≤m≤2的所有m都成立，则x的取值范围为（，）。
不等式+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是 ；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元二次不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】不等式+ax+4＜0的解集不是空集，方程+ax+4=0有两个不相等的实数根，=-16＞0，解之得：a<-4或a>4，若不等式+ax+4＜0的解集不是空集，则实数a的取值范围是（-，-4）（4，+）。
设函数f(x)=m-mx-1，若对于x［1，3］，f(x) ＜-m+5恒成立，求m的取值范围；
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式和参数分类讨论的基本方法，结合问题条件就可求出关于x的不等式，求解不等式就可求出x的取值范围。
【详细解答】设f(x)= m-mx-1+m-5=m+m-6，f(x) ＜-m+5, m-mx-1+m-5<0，m+m-6<0对于x［1，3］恒成立，①当m>0时，函数f(x)=m+m-6在［1，3］上单调递增，=f(3)=7m-6<0，解之得0对任意m［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零，求x的取值范围。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法；⑤参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据一元而不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，运用求解一元二次不等式和参数分类讨论的基本方法，结合问题条件就可求出关于x的不等式组，求解不等式组就可求出x的取值范围。
【详细解答】设f(m)= m(x-2)+-4x+4，对任意m［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零， m(x-2)+-4x+4>0对满足-1≤m≤1的所有m都成立，f(-1)= -5x+6>0①，f(1) =-3x+2>0②，联立①②解得：x＜1或x>3，若对任意m［-1，1］，函数f(x)= +(m-4)x+4-2m的值恒大于零，则x的取值范围是（-，1）（3，+）。
『思考问题3』
（1）【典例3】是关于一元二次不等式恒成立的问题，解答这类问题需要弄清楚谁是主元，谁是参数（一般地知道谁的范围，谁就是主元；求谁的范围，谁就是参数）；
（2）对于一元二次不等式恒成立问题，若是恒大于零，表明相应的一元二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴的上方；若是恒小于零，表明相应的一元二次函数的图像在给定的区间上全部在x轴的下方；解答这类问题的基本思路是转化为求一元二次函数的最值问题（或把参数分离，再求函数的最值）。
〔练习3〕解答下列问题：
1、不等式（m-2）+2（m-2）x-4＜0对一切实数x都成立，则实数m的取值范围是 ；（答案：实数m的取值范围是（-2，2]）
2、已知函数f(x)= ，若任意的x［1，+），f(x) ＞0恒成立，则实数a的取值范围是 ；（答案：实数a的取值范围是（1，+））
3、函数f(x)= 的定义域是R，则实数a的取值范围是 ；（答案：实数a的取值范围是[0，））
4、已知函数f(x)= +mx-1，若对于任意的x［m，m+1］,都有f(x) ＜0成立，则实数m的取值范围是 ；（答案：实数a的取值范围是（-，0））
5、已知不等式m-2x-m+1＜0，是否存在实数m对所有的实数x，使不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由；（答案：不存在实数m，使不等式m-2x-m+1＜0在R上恒成立。）
6、已知关于x的不等式-ax+2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是 ；（答案：实数a的取值范围是（0，8））
7、已知函数f(x)= +ax+b(a，bR)的值域为〔0，+∞），若关于x的不等式f(x)＜c的解集为（m，m+6），则实数c的值为 ；（答案：实数c的值为9）
8、对任意x［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求a的取值范围；（答案：实数a的取值范围是（0，8））
9、对任意a［-1，1］，函数f(x)= +(a-4)x+4-2a的值恒大于零，求x的取值范围。（答案：x的取值范围是（-，1）（3，+））
10、已知不等式m-2x-m+1＜0.
（1）是否存在实数m对所有的实数x不等式恒成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在请说明理由；（答案：不存在实数m，使不等式m-2x-m+1＜0对所有的实数x恒成立）
（2）设不等式对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围。（答案：x的取值范围是（，））
【典例4】按要求解答下列问题：
1、要在长800m，宽600m的一块长方形地面上进行绿化，
要求四周种花卉（花卉带的宽度相等），中间种草坪（如
右图）阴影部分种草坪，要求草坪的面积不少于总面积的
一半，求花卉带宽度的范围。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】设花卉的宽度为xm，根据问题条件得到关于x的一元二次不等式，运用一元二次不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，利用求解一元二次不等式的基本方法，就可求出花卉宽度x的取值范围。
【详细解答】设花卉的宽度为xm，草坪的面积为（800-2x）（600-2x），草坪的面积不少于总面积的一半，（800-2x）（600-2x）≥800600，-700x+60000≥0，解之得：
02、甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品，（生产条件要求1≤x≤10），每小时可获得的利润是100.（5x+1-）元。
（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润。
【解析】
【知识点】①一元二次不等式定义与性质；②一元二次方程定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】（1）根据问题条件得到关于x的一元二次不等式，运用一元二次不等式，一元二次方程和一元二次函数的性质，利用求解一元二次不等式的基本方法，就可求出x的取值范围；（2）根据问题条件得到关于x的一元二次函数，运用一元二次函数的性质，结合问题条件就可求出当x取何值时，生产900千克该产品获得的利润最大，并求最大利润。
【详细解答】（1）生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，200.（5x+1-）≥3000，5x,14-≥0，5-14x-3≥0，解之得：x≤-或x≥3，1≤x≤10，3≤x≤10，即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是［3，10］；（2）设生产900千克该产品获得的利润为y元，y=.100.（5x+1-）=9（5+-）=9[-3+]，当且仅当=，即x=6时，y取得最大值为457500元，甲厂应该选取6千克/小时的生产速度，能够生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457500元。
『思考问题10』
（1）【典例4】是一元二次不等式的应用问题，解答这类问题需要熟悉应用问题的常见类型和各个类型应用问题涉及的基本数量及相互之间的关系；
（2）解答一元二次不等式应用问题的基本方法是：①阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；②列出不等式，建立相应的数学模型；③求解不等式，得出数学结论（注意数学模型中自变量的实际意义）；④回归实际问题，得出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件，那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为（ ）（答案：C）
A 12元 B 16元 C 12元到16元之间 D 10元到14元之间
2、工厂对某种原料的全年需要是Q，为保证生产，又节约开支，打算全年分若干次等量订购，且每次用完后可立即购进，已知每次订购费用是a元，又年保管费用率是p，设每次购进的数量为x（单位：吨）及全年保管费S（单位：元）之间的关系是S=px，问全年订购多少次，才能是订购费用与保管费用之和最少？并求出这个最少和的费用（为简便计算，不必讨论订购次数是否为整数）（答案：全年订购次，才能使全年订购费用与保管费用之和最少，最少费用为元）
【典例5】按要求解答下列问题：
1、不等式＞0的解集为（ ）
A{x|x＜-2或x＞3}B{x|x＜-2或1＜x＜3}C{x|-2＜x＜1或x＞3}D{x|-2＜x＜1或1＜x＜3}
【解析】
【知识点】①一元高次不等式定义与性质；②求解一元高次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元高次不等式的性质，运用求解一元高次不等式的基本方法，结合问题条件求出不等式＞0的解集就可得出选项。
【详细解答】不等式＞0，（x+2）（x-3）（x-1）＞0，解之得：-23,不等式＞0的解集为（-2，1）（3，+），C正确，选C。
2、求下列不等式的解集：
（1）2--15x＞0； （2）（x+4）＜0；（3）（-1）（-6x+8）≥0。
【解析】
【知识点】①一元高次不等式定义与性质；②求解一元高次不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元高次不等式的性质，运用求解一元高次不等式的基本方法，结合问题条件就可求出各不等式的解集。
【详细解答】（1）2--15x＞0，x（2x+5）（x-3）＞0，解之得：-3,2--15x＞0的解集为（-，0）（3，+）；（2）（x+4）＜0，（x+4）＜0，且x-5，解之得：x<-5或-52,（x+4）＜0的解集为（-，-5）（-5，-4）（2，+）；（3）（-1）（-6x+8）≥0，（x+1）（x-1）（x-2）（x-4）≥0，解之得：x≤-1或1≤x≤2或x≥4，不等式（-1）（-6x+8）≥0的解集为（-，-1][1，2][4，+）。
『思考问题5』
（1）【典例5】是求解一元高次不等式的问题，解答这类问题需要注意一元高次不等式的结构特征，掌握一元高次不等式的解答方法；
（2）求解一元高次不等式的基本方法是：①将一元高次式化为几个一次式的积的形式（注意x的系数为正）；②求解一元高次方程的根；③运用穿根法求出一元高次不等式的解集。
〔练习5〕解答下列问题：
1、不等式＞0的解集为（ ）（答案：C）
A{x|x＜-3或x＞4}B{x|x＜-3或2＜x＜4}C{x|-3＜x＜2或x＞4}D{x|-3＜x＜2或2＜x＜4}
2、求下列不等式的解集：
（1）（x+2）（x-2）≤0； （2）＞0。
（答案：（1）（-，-2][1，2]；（2）（-2，-1）。）
【典例6】按要求解答下列问题：
1、不等式≤的解集为（ ）
A (-∞,-1) B 〔0,1) C (-∞,-1) ∪〔0,1) D (-1，0〕∪(1，+∞)
【解析】
【知识点】①分式不等式定义与性质；②求解分式不等式的基本方法。
【解题思路】根据分式不等式的性质，运用求解分式不等式的基本方法，结合问题条件求出不等式≤的解集就可得出选项。
【详细解答】≤，≤0，x（,x+1）（x-1）≤0，且x-1，且x1，解之得：x<-1或0≤x<1,不等式≤的解集为 (-∞,-1) ∪[0,1），C正确，选C。
2、关于x的不等式ax-b＞0的解集为（1，+），则关于x的不等式>0的解集为（ ）
A （-，0）（1，+） B （-1，2） C （1，2） D （-，-1）（2，+）
【解析】
【知识点】①一元一次不等式定义与性质；②求解一元一次不等式的基本方法；③分式不等式定义与性质；④求解分式不等式的基本方法。
【解题思路】根据一元一次不等式的性质，运用求解一元一次不等式的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的不等式，从而求出a，b的取值范围，利用分式不等式的性质和求解分式不等式的基本方法，求出不等式>0的解集就可得出选项。
【详细解答】关于x的不等式ax-b＞0的解集为（1，+），b>a＞0，-<-1，不等式>0，（ax+b）（x-2）＞0，解之得：x<-或x>2，不等式>0的解集为（-，-1）（2，+），D正确，选D。
求不等式＜0（aR）的解集。
【解析】
【知识点】①分式不等式定义与性质；②求解分式不等式的基本方法；③参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据分式不等式的性质，运用求解分式不等式和参数分类讨论的基本方法，结合问题条件就可求出不等式＜0的解。
【详细解答】不等式＜0，（x-a）（x-）＜0，①当a<，即a<0或a>1时，a，即01时，不等式＜0（aR）的解集为（a，）；当a=0或a=1时，不等式＜0（aR）的解集为；当04、已知关于x的不等式＜0的解集是M。
（1）当a=4时求M；
（2）②若3M，5M，求实数a的取值范围。
【解析】
【知识点】①分式不等式定义与性质；②求解分式不等式的基本方法。
【解题思路】（1）当a=4时，得到关于x的分式不等式，根据分式不等式的性质，运用求解分式不等式的基本方法，就可求出不等式＜0的解集M；（2）当3M，5M时，得到关于a的分式不等式组，根据分式不等式的性质，运用求解分式不等式的基本方法，求出分式不等式组的解集就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】当a=4时，不等式＜0，＜0，（x+2）（x-2）（4x-5）＜0，解之得：x<-2或5、求下列分式不等式的解集：
（1）＜0； （2）≥1； （3）≥0；
（4）＞0； （5）≤0； （6）＞0；
（7）≤0； （8）＜-1。
【解析】
【知识点】①分式不等式定义与性质；②求解分式不等式的基本方法。
【解题思路】根据分式不等式的性质，运用求解分式不等式的基本方法，结合问题条件就可求出各不等式的解集。
【详细解答】（1）＜0，（x+2）（x-3）＜0，解之得：-2-，解之得：-5≤x<-，不等式≥1的解集为[-5，-）；（3）≥0，（x+1）（x-1）（x-2）（x-3）≥0，且x-1，x3，解之得：x<-1或1≤x≤2或x>3,
不等式≥0的解集为（-，-1）[1，2,]（3，+）；（4）＞0，
（2x+5）（3x-4）>0，解之得：x<-或x>，不等式＞0的解集为（-，-）（，+）；（5）≤0，（2x-15）（5x+2）≤0，且x-，解之得：-0，解之得：-23,不等式＞0的解集为（-2，1）（3，+）；（7）≤0，（x+3）（x-2）（x-5）≤0，且x2，解之得：x≤-3或2不等式＜-1的解集为（-1，1）（2，3）。
『思考问题6』
（1）【典例6】是求解分式不等式的问题，解答这类问题需要理解分式不等式的定义，掌握分式不等式性质和基本解法；
（2）形如＜0（或＞0或≤0或≥0）的不等式的解答思路是运用有理数的运算法则把分式不等式转化为一元一次不等式组；解答的基本方法是：①运用有理数的运算法则把分式不等式转化为一元一次不等式组（注意含等号时分母不能为零）；② 求解一元一次不等式组；③求出一元一次不等式组的解集；④得出分式不等式的解集；
（3）分式不等式中含有常数时，处理的方法是：①先将常数移到含分式的一边进行通分化为形如＜0（或＞0或≤0或≥0）的不等式；②求解不等式＜0（或＞0或≤0或≥0）。
〔练习6〕解答下列问题：
1、不等式>0的解集为（ ）（答案：D）
A （1，+） B （-，-2） C （-2，1） D （-，-2）（1，+）
2、下列不等式中与不等式≥0的解集相同的是（ ）（答案：C）
A （2-x）（x-1）≥0 B （x-2）（x-1）≥0且x1
C （x-2）（x-1）≤0且x1 D （2-x）（x-1）≤0
3、不等式≥2的解集是（ ）（答案：D）
A ［-3，］ B ［-，3］ C ［，1）（1，3］ D ［-，1） （1，3］
4、解关于x的不等式＞1（a1）；（答案：当a<0时，不等式＞1的解集为（，2）；当a=0时，不等式＞1的解集为；当01时，不等式＞1的解集为（-，）（2，+））
5、求下列分式不等式的解集：
（1）＜0； （2）＞0； （3）≥-1；
（4）＞0； （5）＜0； （6）＞2.
（答案：（1）(-5，8）；（2）（-，-4）（，+）；（3）（-，-）[-，+）；
（4）（-，1）（2，3）（4，+）；（5）（-，-5）（2，7）；（6）（，3）（5，6）。）
【典例7】解答下列问题：
已知适合不等式|-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值是3，求p的值；
【解析】
【知识点】①绝对值不等式定义与性质；②求解绝对值不等式的基本方法；③一元二次不等式定义与性质；④求解一元二次不等式的基本方法。
【解题思路】根据绝对值不等式的性质，运用求解绝对值不等式的基本方法，结合问题条件得到关于x的一元二次不等式，利用一元二次不等式的性质和求解一元二次不等式的基本方法就可求出p的值。
【详细解答】适合不等式|-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值是3，不等式|-4x+p|+|x-3|≤5，|-4x+p|+3-x≤5，|-4x+p|≤x+2，①若|-4x+p|=-+4x-p，|-4x+p|≤x+2，-3x+p+2≥0，显然此时，不等式|-4x+p|+|x-3|≤5的解集不可能为 （-，3]；②若|-4x+p|=-4x+p，|-4x+p|≤x+2，-5x+p-2≤0，设不等式|-4x+p|+|x-3|≤5的解集为[c，3]，（x-c）(x-3)=-（c+3）x+3c=-5x+p-2，c+3=5，且3c=p-2，c=2，p=6+2=8,综上所述，若适合不等式|-4x+p|+|x-3|≤5的x的最大值是3，则p的值为8。
2、求下列绝对值不等式的解集：
（1）|x-2|＜5； （2）|2x+5|＞7； （3）|x-6|＜0.001； （4）3≤|8-x|；
（5）|x+5|＜6； （6）|4x-1|≥9； （7）|3x-8|＜13； （8）|x-2|≥1；
（9）|x+2|＞； （10）|2x+|≤； （11）|ax-1|＜x（a＞0）；
（12）1≤|-x|＜； （13）|-9|≤x+3； （14）|-3x+4|＞x+2。
【解析】
【知识点】①基本绝对值不等式定义与性质；②基本绝对值不等式的解集及运用；③一元一次不等式定义与性质；④求解一元一次不等式的基本方法。
【解题思路】根据基本绝对值不等式的性质，运用基本绝对值不等式的解集得到关于x的一元一次不等式（或不等式组），利用一元一次不等式的性质和求解一元一次不等式（或不等式组）的基本方法，就可求出各绝对值不等式的解集。
【详细解答】（1）|x-2|＜5，-57，2x+5<-7或2x+5>7，解之得：x<-6或x>1，不等式|2x+5|>7的解集为（-，-6）（1，+）；（3）|x-6|<0.001，-0.00101，不等式|x-6|＜0.001的解集为（5.999，6.001）；（4）3≤|8-x|，8-x≤-3或
8-x≥3，解之得：x≥11或x≤5，不等式3≤|8-x|的解集为（-，5][11，+）；（5）|x+5|＜6，-6，x+2<-或x+2>，解之得：x<-或x>-，不等式|x+2|>的解集为（-，-）（-，+）；（10）|2x+|≤，-≤2x+≤，解之得：-≤x≤，不等式|2x+|≤的解集为[-，]；（11）|ax-1|＜x（a＞0），-x；当a=1时，x>；当a>1时，1时，（，）；（12）1≤|-x|＜，-x≤-1或-x≥1，且-<-x<，解之得：-1-4x+2>0，解之得：x<2-或x>2+，不等式|-3x+4|＞x+2的解集为（-，2-）（2+，+）。
『思考问题7』
（1）【典例7】为绝对值中是一次式（或二次式）的绝对值不等式，解答的基本思路是将绝对值中的一次式（或二次式）视为整体未知数运用基本绝对值不等式的解集转化为一元一次（或一元二次）不等式，再求解；
（2）解答绝对值中含一次式（或二次式）的绝对值不等式的基本方法是：①将绝对值中的一次式（或二次式）视为整体未知数；②运用基本绝对值不等式的解集把原不等式转化为一元一次（或一元二次）不等式；③ 求解一元一次（或一元二次）不等式；④得出不等式的解集。
〔练习7〕解答下列问题：
1、不等式|-2|＜2的解集是（ ）（答案：D）
A （-1，1） B （-2，2） C （-1，0）（0，1） D （-2，0）（0，2）
2、求下列绝对值不等式的解集：
（1）|5x-4|＜6； （2）|x+4|＞9； （3）|x-|＜； （4）3≤|2-x|；
（5）|4x-3|＜21； （6）|3x-2|≥4； （7）|+2|＞；（8）|x+1|≥2；
（9）|+x|≤；（10）|+|≤。（答案：（1）（-，2）；（2）（-，-13）（5，+）；（3）（，1）；（4）[-1,5]；（5）（-，6）；（6）（-，-][2，+）；（7）（-，-）（-，+）；（8）（-，-6][2，+）；（9）[-,]；（10）[,]。）
【典例8】解答下列问题：
若不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①绝对值定义与性质；②绝对值不等式定义与性质；③求解含多个绝对值不等式的基本方法；④参数分类讨论的原则和基本方法。
【解题思路】根据绝对值和绝对值不等式的性质，运用求解含多个绝对值不等式和参数分类讨论的基本方法，结合问题条就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】①当x<3时，不等式|x-4|+|x-3|＜a，-2x+7，x<3，<3，a>1；②当3≤x<4时，不等式|x-4|+|x-3|＜a，4-x+x-31；
③当x≥4时，不等式|x-4|+|x-3|＜a，2x-74，a>1，综上所述，若不等式|x-4|+|x-3|＜a的解集不是空集，则实数a的取值范围是（1，+）。
2、求下列绝对值不等式的解集：
（1）|2x+1|+|x-2|＞4； （2）|x+3|+|x+2|+|x+1|＞3
【解析】
【知识点】①绝对值定义与性质；②绝对值不等式定义与性质；③求解含多个绝对值不等式的基本方法。
【解题思路】根据绝对值和绝对值不等式的性质，运用求解含多个绝对值不等式的基本方法，就可求出各不等式的解集。
【详细解答】（1）①当x<-时，|2x+1|+|x-2|＞4,-3x+1>4，x<-1<-，不等式|2x+1|+|x-2|＞4的解集为（-，-1）；②当-≤x<2时，|2x+1|+|x-2|＞4,x+3>4，x>1，-≤x<2，不等式|2x+1|+|x-2|＞4的解集为（1，2）；③当x≥2时，|2x+1|+|x-2|＞4,3x-1>4，x>，x≥2，不等式|2x+1|+|x-2|＞4的解集为[2，+），综上所述，不等式|2x+1|+|x-2|＞4的解集为（-，-1）（1，+）。（1）①当x<-3时，|x+3|+|x+2|+|x+1|＞3，-3x-6>3，x<-3，不等式|x+3|+|x+2|+|x+1|＞3的解集为（-，-3）；②当-3≤x<-2时，|x+3|+|x+2|+|x+1|＞3,-x>4，x<-4，-3≤x<-2，不等式|2x+1|+|x-2|＞4的解集为；③当-2≤x<-1时，|x+3|+|x+2|+|x+1|＞3,x+4>3，x>-1，-2≤x<-1，不等式|2x+1|+|x-2|＞4的解集为；④当x≥-1时，|x+3|+|x+2|+|x+1|＞3,3x+6>3，x>-1，x≥-1，不等式|2x+1|+|x-2|＞4的解集为（-1，+），综上所述，不等式|x+3|+|x+2|+|x+1|＞3的解集为（-，-3）（-1，+）。
『思考问题8』
(1) 【典例8】是求解含有两个（或两个以上）绝对值的不等式问题，解答的基本思想是先求零点，运用零点将实数分成几段，然后各段分别去绝对值符号求解；
（2）解答含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的基本方法是：① 令各个绝对值为零分别求出零点；②由各零点把实数分成几段；③分段去绝对值符号，得到一元一次（或一元二次）不等式并求解；④ 求出不等式各段解集的并集；⑤得出不等式的解集。
〔练习8〕解答下列问题：
1、若不等式|x-1|+|x-2|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围；（答案：若不等式|x-1|+|x-2|＜a的解集不是空集，求实数a的取值范围是（1，+））
2、求下列绝对值不等式的解集：
（1）|3x+1|+|x-3|＞4； （2）|x+4|+|x+3|+|x+1|＞5。
（答案：（1）（-，-）（0，+）；（2）（-，-）（-1，+）。）
【典例9】解答下列问题：
不等式-x≤1的解集是 ；
【解析】
【知识点】①二次根式定义与性质；②无理不等式定义与性质；③求解无理不等式的基本方法。
【解题思路】根据二次根式和无理不等式的性质，运用求解无理不等式的基本方法，结合问题条就可求出不等式-x≤1的解集。
【详细解答】①当x+1<0，即x<-1时，-x≤1，2+1≥0对x（-，-1）恒成立，不等式的解集为（-，-1）；②当x+1≥0，即x≥-1时，-x≤1，2+1≥0且-2x≤0，解之得：0≤x≤2，综上所述，不等式-x≤1的解集为（-，-1）[0，2]。
不等式2＞2ax+3的解集为（4，c），求a，c的值；
【解析】
【知识点】①二次根式定义与性质；②无理不等式定义与性质；③求解无理不等式的基本方法；④数学换元法及运用。
【解题思路】根据二次根式和无理不等式的性质，运用求解无理不等式和数学换元法的基本方法，结合问题条把原不等式转化为一元二次不等式，利用求解一元二次不等式的基本方法就可求出a，c的值。
【详细解答】设t=，x[0，+），不等式2＞2ax+3，2a-2t+3<0的解集为（4，c），a>0，且8a-4+3=8a-1=0,2ac-2+3=0，a=，c=4或c=36，c>4，
c=36，即若不等式2＞2ax+3的解集为（4，c），则a=，c=36。
3、求下列不等式的解集：
（1）-x＞； （2）＜x；
（3）|-x|＜2； （4）＞x+。
【解析】
【知识点】①二次根式定义与性质；②无理不等式定义与性质；③求解无理不等式的基本方法。
【解题思路】根据二次根式和无理不等式的性质，运用求解无理不等式的基本方法，结合问题条就可求出各不等式的解集。
【详细解答】（1）①当x+<0，即x<-时，-x＞，x+1≥0，x≥-1，不等式的解集为[-1，-）；②当x+≥0，即x≥-时，-x＞，x+1≥0，且16-8x-15<0，解之得：-≤x<，综上所述，不等式-x＞的解集为[-1，）；（2）＜xx≥0，4x-≥0，且2-4x>0，解之得：2≤x≤4，不等式＜x的解集为[2，4]；（3）|-x|＜2，-2<-x<2，x-2<0，或x≥2，-6x+5<0，且+2x+5>0，解之得：≤x<2，或2≤x<5，不等式|-x|＜2的解集为[，5）；
（4）①当x+<0，即x<-时，＞x+，5x+10≥0，x≥-2，不等式的解集为[-2，-）；②当x+≥0，即x≥-时，＞x+，5x+10≥0，且9-14x-39<0，解之得：-≤x<3，综上所述，不等式＞x+的解集为[-2，3）。
『思考问题9』
（1）【典例9】是求解无理不等式的问题，解答无理不等式的基本思路是将无理不等式等价转化为有理不等式求解；
（2）求解无理不等式的基本方法是：①通过换元或平方的方法将无理不等式转化为有理不等式（注意二次根式的性质）；②求解有理不等式；③得出无理不等式的解集。
〔练习9〕求下列不等式的解集：
（1）+x＞； （2）＜3x；
（3）|-x|＜3； （4）＞x+。
（答案：（1）（1-，+）；（2）（，2]；（3）[，4+2）；（4）[-，））
【典例10】解答下列问题：
函数f(x)= 的定义域为 ；
【解析】
【知识点】①二次根式定义与性质；②对数定义与性质；③对数不等式定义与性质；④求解对数不等式的基本方法。
【解题思路】根据二次根式和对数的性质，得到关于x的对数不等式，运用求解对数不等式的基本方法，结合问题条就可求出函数f(x)= 的定义域。
【详细解答】函数f(x)= 有意义，必有1-2x≥0，x≤，且x>0，
0解关于x的不等式＞(a＞0,且a≠1)；
【解析】
【知识点】①指数定义与性质；②指数不等式定义与性质；③求解指数不等式的基本方法。
【解题思路】根据指数和指数不等式的性质，运用求解指数不等式的基本方法，结合问题条就可求出不等式＞(a＞0,且a≠1)的解集。
【详细解答】①当01时，＞，＞，+x-20>0，x<-5，或x>4，不等式＞的解集为（-，-5）（4，+），综上所述，当01时，不等式＞的解集为（-，-5）（4，+）。
3、求下列不等式的解集：
（1）（-x-2)＞(x-1)-1； （2）（-x-2)＞（2x-2）；
（3）＞； （4）＞；
（5）（-x）＜2； （6）（-x）＜x+1。
【解析】
【知识点】①指数定义与性质；②对数定义与性质；③指数不等式定义与性质；④对数不等式定义与性质；⑤求解指数不等式和对数不等式的基本方法。
【解题思路】根据指数，对数和指数不等式，对数不等式的性质，运用求解指数不等式和对数不等式的基本方法，结合问题条就可求出各不等式的解集。
【详细解答】（1）（-x-2)＞(x-1)-1，（-x-2)＞(2x-2)，-3x
<0①，-x-2>0②，2x-2>0③，联立①②③解得：20①，-x-2>0②，2x-2>0③，联立①②③解得：x>3，不等式（-x-2)＞(x-1)-1的解集为（2，+）；（3）＞，-2x>x+2，-3x-2>0，x<或x>，不等式＞的解集为（-，）（，+）；（4

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