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第二十八讲 二元一次不等式组与简单线性规划问题
【考纲解读】
理解二元一次不等式，二元一次不等式组的定义，掌握确定二元一次不等式表示的平面区域和二元一次不等式组表示的可行域的基本方法；
理解约束条件，线性约束条件，目标函数，线性目标函数，可行解，可行域，最优解和线性规划问题的定义，掌握求线性目标函数在线性约束条件下最优解的基本方法；
注意直线定界和特殊点定域的含义，能够熟练解答简单线性规划问题。
【知识精讲】
一、简单线性规划的概念：
1、二元一次不等式定义及其表示的平面区域：
（1）二元一次不等式的定义：不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C≥0 ）或Ax+By+C<0(或Ax+By+C≤0 ），称为二元一次不等式；
（2）二元一次不等式表示的平面区域：不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C≥0 ）或Ax+By+C<0(或Ax+By+C≤0 ）在平面直角坐标系中，表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，称为二元一次不等式表示的平面区域；
（3）确定不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C≥0 ）或Ax+By+C<0(或Ax+By+C≤0 ）表示的平面区域的基本方法：
①直线定界：在平面直角坐标系中画出直线Ax+By+C=0（这里不含等号直线画成虚线，若含等号，则直线画成实线），这个过程称为直线定界；②特殊点定域：在直线的一侧找一个特殊点（如果这一侧包含原点，直接取原点），把这一点的坐标代人二元一次不等式，若不等式满足，则含该点的区域是不等式表示的平面区域，否则不等式表示的区域是另一侧表示的区域，这个过程称为特殊点定域；确定二元一次不等式表示的平面区域的基本方法可以简单的归结为“划线定界，找点定域”。
二元一次不等式组定义及其表示的平面区域：
二元一次不等式组的定义：由两个（或两个以上）二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组；
二元一次不等式组表示的平面区域的基本方法：
≤0（或<0）， ≤0
设不等式组 ≥0（或＞0），则不等式组 ≥0 表示的平面区
≥0（或＞0）， ≥0
①在平面直角坐标系中分别画出不等式组中各个不等式表示的平面区域；
②找出各二元一次不等式平面区域的公共区域，这个公共区域就是二元一次不等式组所表示的平面区域。
3、简单线性规划的定义：
（1）约束条件：由变量x，y组成的二元一次不等式，称为约束条件；
（2）线性约束条件：线性规划问题中关于x，y的二元一次不等式（或方程）组成的不等式组，叫做线性约束条件；
（3）线性目标函数：欲求最大值（或最小值）所涉及变量x，y的一次解析式，叫做线性目标函数；
（4）可行解：满足线性约束条件的解，叫做可行解；
（5）可行域：线性约束条件中不等式组表示的平面区域，叫做可行域；
（6）最优解：使目标函数取得最大值（或最小值）的可行解，叫做最优解；
（7）简单线性规划问题：求目标函数在线性约束条件下的最优解问题，叫做简单线性规划问题。
二、求解简单线性规划问题的基本方法：
（1）简单线性规划问题的实质：简单线性规划问题实际上就是在线性约束条件下，求目标函数的最优解的问题；
（2）解答线性规划问题的基本方法是：①根据线性约束条件确定线性规划问题的可行域；②根据问题要求在可行域中求出最优解；③把最优解代入模板函数的解析式求出结果；
（3）在解答线性规划问题时，确定最优解的基本方法是：①如果可行域是由某一个点散发的区域，则最优解就是这个点的平面直角坐标；②如果可行域是一个封闭的多边形，则最优解一定是这个封闭多边形的某一个顶点的平面直角坐标；
（4）求线性规划问题中整数解的基本方法是：①确定线性规划问题的最优解；②确定与最优解最接近的整数解。
三、简单线性规划的实际应用问题：
（1）线性规划的应用问题主要是社会的热点问题主要包括：①求利润（或收入）的最大值；②求成本（或费用）的最小值；
（2）求解线性规划实际应用问题的基本方法是：①认真读题，理解题意，确定影响问题的未知变量并设出未知变量；②确定影响问题的约束条件，列出二元一次不等式（或不等式组）；③根据条件写出目标函数（关于未知变量的解析式）；④作出约束条件所表示的平面区域；⑤确定最优解，把最优解代入目标函数求出结果。
【探导考点】
考点1二元一次不等式（或不等式组）表示的平面区域：热点①不含参数的平面区域；热点②含参数的平面区域；
考点2在线性约束条件下谋求目标函数的最值问题：热点①在线性约束条件下，求线性目标函数的最值；热点②在线性约束条件下，求非线性目标函数的最值；热点③含求参数的值（或取值范围）；
考点3简单线性规划的实际应用问题：热点①求利润（或收入）的最大值；热点②求成本（或费用）的最小值。
【典例解析】
【典例1】解答下列各题：
1、点（1，2）和点（-1，3）在直线2x+ay-1=0的同一侧，则实数a的取值范围是（ ）
A a＜- B a＞1 C a＜-或a＞1 D -＜a＜1
x-y+6≥0，
2、已知实数x，y满足不等式组 x+y≥0，则表示的平面区域的面积为 ；
x≤3 ，
3、不等式（x-2y+1）（x+y-3）≤0 在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应该是下列图形中的（ ）
y y y y
x-2y+1=0 x-2y+1=0 x-2y+1=0 x-2y+1=0
x+y-3=0 x+y-3=0 x+y-3=0 x+y-3=0
0 A x 0 B x 0 C x 0 D x
4、若不等式组x+2y-2≥0,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）
A -3 x-y+2m≥0 B 1 C D 3
x+y-2≤0，
『思考题1』
（1）【典例1】是二元一次不等式（或二元一次不等式组）表示的平面区域的问题，解答这类问题需要理解二元一次不等式（或二元一次不等式组）表示平面区域的定义，掌握确定二元一次不等式（或二元一次不等式组）表示的平面区域的基本方法；
（2）二元一次不等式（或二元一次不等式组）表示的平面区域问题包括：①不含参数的平面区域（按照二元一次不等式（或二元一次不等式组）表示的平面区域的确定方法求解）；②含参数的平面区域（这类问题一般是已知平面区域满足的条件求参数的值（或取值范围）的形式，解答时可根据条件列出关于参数的方程（或不等式），再求解方程（或不等式））。
〔练习1〕解答下列问题：x≥0
1、二元一次不等式组 3x+y≤4,所表示的平面区域的面积等于（ ）
A x+3y≥4 B C D
2、在平面直角坐标系中，若点（-2，t）在直线x-2y+4=0的上方，则t的取值范围是（ ）
A （-，1）x≥0 B （1，+） C （-1，+） D （0，1）
3、若不等式组 x+3y≥4，所表示的平面区域被直线y=kx+分成面积相等的两部分，则k的值是 ； 3x+y≤4 x≥0 ，y≥0
4、直线2x+y-10=0与不等式组 x-y≥-2,表示的平面区域的公共点有（ ）
A 0个 y≥x 4x+3y≤20 B 1个 C 2个 D 3个
设m＞1，在约束条件y≤mx,下目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为
x+y≤1，
【典例2】解答下列各题： x-y+1≥0
1、设变量x，y满足约束条件 x+y-1≥0,则z=2x-3y的最小值是（ ）
A -7 B -6 x≤3 C -5 D -3
设变量x，y满足3x+y-6≥0,则目标函数z=y-2x的最小值为（ ）
A -7 y-3≤0 B -4 C 1 D 2
x-y-2≤0
3、设变量x，y满足的约束条件是x+y≥0，则目标函数z=x-2Y的最大值为（ ）
A 4 B 3 x- y-2≤0， C 2 D 1
y≤1 ，
4、若x，y满足约束条件 x-y+1≥0,则目标函数z=x+y的最大值为 。
x+2y-2≤0，
x-2y≤0，
5、设变量x、y满足约束条件x+2y-5≤0， 则目标函数Z=2x+3y+1的最大值为（） x-y-2≤0，
A 11 B 10 x≥0 ， C 9 D 8.5
6、设x、y 6、设变量x，y 满足约束条件2x+y≤4，则目标函数Z=3x-y的取值范围是（ ）
4x-y≥-1，
A〔-,6〕 B 〔-,-1〕 x+2y≥2， C 〔-1,6〕 D〔-6，〕
7、设实数x、y满足约束条件x+y≤1 则目标函数Z=3x+y的最小值为（ ）
A 7 B 2 y≥-2 C -6 D - 8
y≤x
『思考题2』
（1）【典例2】是在线性约束条件下求线性目标函数最值的问题，解答这类问题需要掌握求解在线性约束条件下，线性目标函数最值的基本方法；
（2）求解在线性约束条件下，线性目标函数最值的基本方法是：①根据线性约束条件作出可行域；②联立直线方程求出可行域顶点的坐标；③将各顶点坐标代入目标函数求出目标函数值；④比较各顶点目标函数值得到目标函数的最值。
〔练习2〕解答下列问题： x+2y-5≥0
1、设实数x、y是满足不等式组 2x+y-7≥0,若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（ ）
x≥0,y≥0,
A 14 B 16 C 17 D 19
2、若变量x、y满足约束条件 3≤2x+y ≤9,则Z=x+2y的最小值为 .
x≥1， 6≤x-y≤9
3、已知实数x，y满足 x+y≤4,且目标函数z=2x+y的最大值为7，则z的最小值为（ ）
A 2 B 3 x-2y+c≤0 C 4 D 5
4、设变量x，y满足约束条件 x-y-2≤0,则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（）
A 11 B 10 x+2y-5≤0 ， C 9 D 8.5
x≥0，x≥0，
5、若x，y满足约束条件 x+2y ≥3,则z=x-y的最小值是（ ）
A -3 B 0 2x+y≤3 C D 3
【典例3】解答下列各题： 2x-y-2≥0，
1、在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 x+2y-1≥0，所表示的区域上一动点，则直线3x+y-8≤0 ，OM斜率的最小值为（ ）
A 2 B 1 C - D -
x>0 ，
2、设实数x，y满足约束条件 x-y+1≤0,
y≤2 ，
若z=，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
若z=+，求z的最大值与最小值， 并求z的取值范围；
『思考题3』
（1）【典例3】是在线性约束条件下，求非线性目标函数最值的问题，解答这类问题需要掌握求解在线性约束条件下，求非线性目标函数最值的基本方法；
（2）在线性约束条件下，求非线性目标函数最值的问题主要包括：①目标函数为（或）；②目标函数为（或）；③目标函数为；
（3）求解在线性约束条件下，求非线性目标函数最值问题的基本方法是：①根据线性约束条件作出可行域；②联立直线方程求出可行域顶点的坐标；③由非线性目标函数的表示式，确定其几何意义（常见非线性目标函数的几何意义有：①表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；②表示点（x，y）到直线Ax+By+C=0的距离；③表示点（x，y）与点（a，b）的距离；④表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；⑤表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率）；④运用非线性目标函数的几何意义，求出非线性目标函数的最值。
〔练习3〕解答下列问题： x≥0，
设实数x，y满足约束条件 x-y+1≤0,
y≤2
若z= ，求z的取值范围；
若z=+-2x-2y+3，求z的最大值和最小值。
【典例4】解答下列问题 ： y≥1，
已知实数x、y满足约束条件 y≤2x-1,如果目标函数Z=x-y的最小值是-1，则实数m
x+y≤m,于（ ）
A 7 B 5 C 4 D 3
2、已知a＞0，x，y满足约束条件 x+y≤3,若目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a= 。
x≥1，
y≥a(x-3)
3、若变量x、y满足约束条件x-y≥-1,目标函数Z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小
2x-y≤2 ,值，则a的取值范围是（ ）
A （-1，2 B （-4，2） x+y≥1 C （-4，0〕 D 〔-3,4）
4、若实数x、y满足不等式组 x+3y-3≥0,且x+y的最大值是9，则实数m=（ ）（2010
全国高考浙江卷） 2x-y-3≤0
A -2 B -1 x-my+1≥0 C 1 D 2
『思考题4』
（1）【典例4】是含参数的线性规划问题，这类问题包括：①条件不等式中含有参数；②目标函数中含有参数；
（2）求解含有参数线性规划问题的基本方法是：①将参数视为常数，根据线性规划问题求出最优解，代入目标函数确定最值构造含参数的方程（或不等式），再求解方程（或不等式）；②先分离含有参数的式子，再通过观察确定含参数的式子所满足的条件。
〔练习4〕解答下列问题：
1、设m＞1，在约束条件y≥x下，目标函数Z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为
y≤mx （ ）
A（1，1+ ） x+y≤1 B（1+ ，+∞） C（1，3） D（3，+∞）
已知a＞0，x，y满足约束条件 x+y≤3,若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）
x≤1,
x≥1， A B y≥a(x-3) C 1 D 2
【问题5】解答下列问题
1、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对甲项目的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得利润0.4万元，对项目乙投资每1万元可获得利润0.6万元，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润是（ ）
A 36万元 B 31.2万元 C 30.4万元 D 24万元
2、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨，生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是（ ）
A 12 万元 B 20万元 C 25万元 D 27万元
3、某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元，甲、乙两车间每天共完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ）
A甲车间加工原料10箱乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱乙车间加工原料55箱
C甲车间加工原料18箱乙车间加工原料52箱D甲车间加工原料40箱乙车间加工原料30箱
『思考题5』
（1）【典例5】是线性规划的实际应用问题，主要包括两：①给定一定数量的人力，物力资源，求怎样利用这些资源可以使完成的工作量最多，获取的利润最大；②给定一项任务，求怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力最少，物力资源最小；
（2）解答线性规划应用问题的基本方法是：①认真读题，理解题意，确定影响问题的未知变量并设出未知变量；②确定影响问题的约束条件，列出二元一次不等式（或不等式组）；③根据条件写出目标函数（关于未知变量的解析式）；④作出约束条件所表示的平面区域；⑤确定最优解（若问题要求最优解是整数，按线性规划问题求得的最优解不是整数时，需作适当的调整，基本方法是：1》求出可行域中的所有整数点，2》利用点到直线的距离公式求出到目标函数距离最小的整数点为最优解），把最优解代入目标函数求出结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需运往A地至少72吨货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用的两类卡车的车辆数，可得最大利润为（ ）
A 4650元 B 4700元 C 4900元 D 5000元
2、某公司生产甲、乙两种幅袋产品，已知生产甲产品一幅需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品一幅需耗A原料2千克，B原料1千克。每幅甲产品的利润是300元，每幅乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B两种原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）
A 1800元 B 2400元 C 2800元 D 3100元
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题： x+y2，
1、若x，y满足约束条件 x+2y4，则z=2x-y的最大值是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A -2 B 4 y0， C 8 D 12
2、若实数x，y满足约束条件 x+y4，则z=3x+y的最小值为（ ）(2021全国高考乙卷文)
A 18 B 10 x-y2， C 6 D 4
y3，
x+2y1，
3、若实数x，y满足约束条件 2x+y-1，则z=2x-3y的最小值为 （成都市2021 x-y0，高三一诊）
4、若实数x，y满足约束条件 y0，则z=3x+5y的最大值为（ ）（成都市2021高三三诊）
A 10 B 8 x-y+10， C 6 D 5
x+2y-20，
5、若实数x，y满足约束条件 x+y0，则z=3x+2y的最大值为 (2020全国高考
2x-y0，新课标III）
x1，
6、若实数x，y满足约束条件 x-10，则z=x-2y的最小值为（ ）（成都市2020高三零诊）
A 0 B 2 x+2y-20， C 4 D 6
y0，
7、已知实数x，y满足约束条件 x+y-40，则z=x+2y的最大值为 （成都市2020
x-2y+20，高三一诊）
y0，
7、已知EF为圆+ =1的直径，点M（x，y）满足不等式组x-y+10，
2x+y+30，
y1，
则.的取值范围为（ ）(成都市2020高三二诊)
A [，13] B [4，13] C [4，12] D [，12]
8、已知实数x，y满足x+y-5 0，则z=2x+y的最大值为（ ）（成都市2020高三三诊）
A 4 y-20，B 6 C 8 D 10
x-10，
『思考题8』
【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末考试试卷中关于简单线性规划的问题，归结起来主要包括：①在线性约束条件下，求目标函数的最值；②含有参数的简单线性规划问题；③简单线性规划的应用问题等几种类型；
求解简单线性规划问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属的类型；②运用解答该类问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习8〕解答下列问题：
X0，
1、实数x，y满足约束条件x+y-40,则z=2x+y的最大值为（ ）（2019成都市高三零诊）
A -4 B 0 x-y-40， C 4 D 8
2、设实数x，y满足约束条件2x-y+10,则z=3x+y的最小值为（ ）（2019成都市高三一 x 1，诊）
A 1 x-y0 x+y-10 B 2 C 3 D 6
3、已知实数x，y满足x+y-20,则z=2x+y的最大值为（ ）（2019成都市高三三诊）
A 1 y0, B 2 C 3 D 4
4、记不等式组 x+y 6，表示的平面区域为D，命题p：（x，y）D，2x+y9；命题q：（x，y）2x-y0， D，2x+y12，下面四个命题：①pq；②pq；③p q；④p q。这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）（2019全国高考新课标III（文））
A ①③ B ①② C ②③ D ③④
5、若变量x，y满足约束条件 2x+3y-60，则z=3x-y的最大值是 （2019全国高考 x+y-30，新课标II（文））
y-20，
6、（理）若x，y满足|x|1-y，且y-1，则3x+y的最大值为（ ）
A -7 x2， B 1 C 5 D 7
（文）若x，y满足 y-1，则y-x的最小值为 ，最大值为 （2019全国高考 4x-3y+10，北京）
7、若x，y满足约束条件 x- 2y-20,则z=3x+2y的最大值为 （2018全国高考新课标 x-y+10，I卷）
y0， x+2y-50，
8、若实数x，y满足约束条件 x-2y+30,则z=x+y的最大值为 （2018全国高考新课标II卷） x-20 x-50
9、若变量x，y满足约束条件x-2y+40,则z=x+y的最大值为 （2018全国高考新 2x+y+30，课标III卷）
10、设集合A={（x，y）|x-y1,ax+y＞4，x-ay2},则（ ）（2018全国高考北京卷）
A 对任意实数a，（2，1）A B 对任意实数a，（2，1）A
C 当且仅当a＜0时，（2，1）A D 当且仅当a时，（2，1）A
11、若x，y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是 （2018全国高考北京卷）
12、某企业可生产A，B两种产品，投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，
场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米。
若该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米，投资生产A，B两种产品，则两种产
品的产量之和的最大值是（ ）（2018成都市高三三诊）
A 467吨 B 450吨 C 575吨 D 600吨
13、若实数x，y满足线性约束条件 x+y1,则x+2y的最大值为 （2018成都市高三
2x-y4，一诊）
yx,
14、若实数x，y满足约束条件 x-y-10,则z=2x-y的最大值为（ ）（2018成都市高三零 x+y-10, 诊）
A -1 B 1 x0 C 2 D 3
15、（理）已知点P（x，y）满足 x+y4，则+的最大值为（ ）
A yx B 36 C 54 D 72
x 1 x-y0，
（文）已知实数x，y满足不等式组 x+y-20 ，则z=2x-5y的最小值为（ ）（成都2017
y0，—2018高一下期期末质量检测）
A -3 B 0 C -4 D 1
第二十八讲 二元一次不等式组与简单线性规划问题
【考纲解读】
1.理解二元一次不等式，二元一次不等式组的定义，掌握确定二元一次不等式表示的平面区域和二元一次不等式组表示的可行域的基本方法；
2.理解约束条件，线性约束条件，目标函数，线性目标函数，可行解，可行域，最优解和线性规划问题的定义，掌握求线性目标函数在线性约束条件下最优解的基本方法；
3.注意直线定界和特殊点定域的含义，能够熟练解答简单线性规划问题。
【知识精讲】
一、简单线性规划的概念：
1、二元一次不等式定义及其表示的平面区域：
（1）二元一次不等式的定义：不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C≥0 ）或Ax+By+C<0(或Ax+By+C≤0 ），称为二元一次不等式；
（2）二元一次不等式表示的平面区域：不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C≥0 ）或Ax+By+C<0(或Ax+By+C≤0 ）在平面直角坐标系中，表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域，称为二元一次不等式表示的平面区域；
（3）确定不等式Ax+By+C＞0(或Ax+By+C≥0 ）或Ax+By+C<0(或Ax+By+C≤0 ）表示的平面区域的基本方法：
①直线定界：在平面直角坐标系中画出直线Ax+By+C=0（这里不含等号直线画成虚线，若含等号，则直线画成实线），这个过程称为直线定界；②特殊点定域：在直线的一侧找一个特殊点（如果这一侧包含原点，直接取原点），把这一点的坐标代人二元一次不等式，若不等式满足，则含该点的区域是不等式表示的平面区域，否则不等式表示的区域是另一侧表示的区域，这个过程称为特殊点定域；确定二元一次不等式表示的平面区域的基本方法可以简单的归结为“划线定界，找点定域”。
二元一次不等式组定义及其表示的平面区域：
二元一次不等式组的定义：由两个（或两个以上）二元一次不等式组成的不等式组，称为二元一次不等式组；
二元一次不等式组表示的平面区域的基本方法：
≤0（或<0）， ≤0
设不等式组 ≥0（或＞0），则不等式组 ≥0 表示的平面区
≥0（或＞0）， ≥0
①在平面直角坐标系中分别画出不等式组中各个不等式表示的平面区域；
②找出各二元一次不等式平面区域的公共区域，这个公共区域就是二元一次不等式组所表示的平面区域。
3、简单线性规划的定义：
（1）约束条件：由变量x，y组成的二元一次不等式，称为约束条件；
（2）线性约束条件：线性规划问题中关于x，y的二元一次不等式（或方程）组成的不等式组，叫做线性约束条件；
（3）线性目标函数：欲求最大值（或最小值）所涉及变量x，y的一次解析式，叫做线性目标函数；
（4）可行解：满足线性约束条件的解，叫做可行解；
（5）可行域：线性约束条件中不等式组表示的平面区域，叫做可行域；
（6）最优解：使目标函数取得最大值（或最小值）的可行解，叫做最优解；
（7）简单线性规划问题：求目标函数在线性约束条件下的最优解问题，叫做简单线性规划问题。
二、求解简单线性规划问题的基本方法：
（1）简单线性规划问题的实质：简单线性规划问题实际上就是在线性约束条件下，求目标函数的最优解的问题；
（2）解答线性规划问题的基本方法是：①根据线性约束条件确定线性规划问题的可行域；②根据问题要求在可行域中求出最优解；③把最优解代入模板函数的解析式求出结果；
（3）在解答线性规划问题时，确定最优解的基本方法是：①如果可行域是由某一个点散发的区域，则最优解就是这个点的平面直角坐标；②如果可行域是一个封闭的多边形，则最优解一定是这个封闭多边形的某一个顶点的平面直角坐标；
（4）求线性规划问题中整数解的基本方法是：①确定线性规划问题的最优解；②确定与最优解最接近的整数解。
三、简单线性规划的实际应用问题：
（1）线性规划的应用问题主要是社会的热点问题主要包括：①求利润（或收入）的最大值；②求成本（或费用）的最小值；
（2）求解线性规划实际应用问题的基本方法是：①认真读题，理解题意，确定影响问题的未知变量并设出未知变量；②确定影响问题的约束条件，列出二元一次不等式（或不等式组）；③根据条件写出目标函数（关于未知变量的解析式）；④作出约束条件所表示的平面区域；⑤确定最优解，把最优解代入目标函数求出结果。
【探导考点】
考点1二元一次不等式（或不等式组）表示的平面区域：热点①不含参数的平面区域；热点②含参数的平面区域；
考点2在线性约束条件下谋求目标函数的最值问题：热点①在线性约束条件下，求线性目标函数的最值；热点②在线性约束条件下，求非线性目标函数的最值；热点③含求参数的值（或取值范围）；
考点3简单线性规划的实际应用问题：热点①求利润（或收入）的最大值；热点②求成本（或费用）的最小值。
【典例解析】
【典例1】解答下列各题：
1、点（1，2）和点（-1，3）在直线2x+ay-1=0的同一侧，则实数a的取值范围是（ ）
A a＜- B a＞1 C a＜-或a＞1 D -＜a＜1
【解析】
【考点】①直线定义与性质；②确定二元一次不等式表示平面区域的基本方法。
【解题思路】根据直线的性质，运用确定二元一次不等式表示平面区域的基本方法，结合问题条件，求出实数a的取值范围就可得出选项。 y
【详细解答】如图，点（1，2）和点（-1，3）在
直线2x+ay-1=0的同一侧，2+2a-1>0或2+2a-1<0①，
且-2+3a-1＞0或-2+3a-1<0②，联立①②解得：a>1， 0 x
或a<-，C正确，选C。 x-y+6≥0，
2、已知实数x，y满足不等式组 x+y≥0，则表示的平面区域的面积为 ；
【解析】 x≤3 ，
【考点】①确定二元一次不等式表示平面区域的基本方法；②确定二元一次不等式组表示平面区域的基本方法；③三角形面积公式及运用。
【解题思路】根据确定二元一次不等式和二元一次不等式组表示平面区域的基本方法，得到已知不等式组所表示的平面区域，运用三角形面积公式就可求出不等式组表示的平面区域的面积。 y B
【详细解答】如图，作出不等式组表示的平面区域，由 A
x-y+6=0，解得：x=-3，由x-y+6=0，解得：x=3，由
x+y=0， y=3, x=3， y=9， 0 x
x+y=0，解得： x=3，A（-3，3），B（3，9）， C
x=3， y=-3，C（3，-3），|BC|=9-(-3)=12，点A到直线BC的距离为3-（-3）=6，=96=27，即不等式组表示的平面区域的面积为27。
3、不等式（x-2y+1）（x+y-3）≤0 在坐标平面内表示的区域（用阴影部分表示），应该是下列图形中的（ ）
y y y y
x-2y+1=0 x-2y+1=0 x-2y+1=0 x-2y+1=0
x+y-3=0 x+y-3=0 x+y-3=0 x+y-3=0
0 A x 0 B x 0 C x 0 D x
【解析】
【考点】①确定二元一次不等式表示平面区域的基本方法；②确定二元一次不等式组表示平面区域的基本方法。
【解题思路】根据确定二元一次不等式和二元一次不等式组表示平面区域的基本方法，得到不等式（x-2y+1）（x+y-3）≤0 在坐标平面内表示的区域就可得出选项。
【详细解答】不等式（x-2y+1）（x+y-3）≤0，x-2y+1≥0，且x+y-3≤0，或x-2y+1≤0，且x+y-3≥0，C正确，选C。
4、若不等式组x+2y-2≥0,表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为（ ）
A -3 x-y+2m≥0 B 1 C D 3
【解析】 x+y-2≤0，
【考点】①确定二元一次不等式表示平面区域的基本方法；②确定二元一次不等式组表示平面区域的基本方法；③三角形面积公式及运用。
【解题思路】根据确定二元一次不等式和二元一次不等式组表示平面区域的基本方法，得到已知不等式组所表示的平面区域，运用三角形面积公式，结合问题条件得到关于m的方程，求解方程求出m的值就可得出选项。
【详细解答】如图，作出不等式组表示的平面区域，不等式组x+2y-2≥0,表示的平面区域为三角形，由x+2y-2=0，解得：x=2，由 y
x+y-2=0， y=0, C
x+2y-2=0，解得：x=，由 x+y-2=0,解得： B
x-y+2m=0， y=， x-y+2m=0， 0 A x
x=1-m，A（2，0），B（，），C（1-m，1+m），==，
y=1+m，|AB|==，=|AB|=
==，=4，m=1或m=-3，当m=-3时，不等式组表示的平面区域不是三角形，m=-1，B正确，选B。
『思考题1』
（1）【典例1】是二元一次不等式（或二元一次不等式组）表示的平面区域的问题，解答这类问题需要理解二元一次不等式（或二元一次不等式组）表示平面区域的定义，掌握确定二元一次不等式（或二元一次不等式组）表示的平面区域的基本方法；
（2）二元一次不等式（或二元一次不等式组）表示的平面区域问题包括：①不含参数的平面区域（按照二元一次不等式（或二元一次不等式组）表示的平面区域的确定方法求解）；②含参数的平面区域（这类问题一般是已知平面区域满足的条件求参数的值（或取值范围）的形式，解答时可根据条件列出关于参数的方程（或不等式），再求解方程（或不等式））。
〔练习1〕解答下列问题：x≥0
1、二元一次不等式组 3x+y≤4,所表示的平面区域的面积等于（ ）（答案：C）
A x+3y≥4 B C D
2、在平面直角坐标系中，若点（-2，t）在直线x-2y+4=0的上方，则t的取值范围是（ ）
A （-，1）x≥0 B （1，+） C （-1，+） D （0，1）（答案：A）
3、若不等式组 x+3y≥4，所表示的平面区域被直线y=kx+分成面积相等的两部分，则k的值是 ； 3x+y≤4 x≥0 ，y≥0 （答案：k=-）
4、直线2x+y-10=0与不等式组 x-y≥-2,表示的平面区域的公共点有（ ）（答案：B）
A 0个 y≥x 4x+3y≤20 B 1个 C 2个 D 3个
设m＞1，在约束条件y≤mx,下目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为
x+y≤1，（答案：m=3）
【典例2】解答下列各题： x-y+1≥0
1、设变量x，y满足约束条件 x+y-1≥0,则z=2x-3y的最小值是（ ）
A -7 B -6 x≤3 C -5 D -3
【解析】
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法求出z=2x-3y的最小值就可得出选项。 y B
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，
由x-y+1=0，解得：x=0，由 x=3，解得： A
x+y-1=0， y=1， x-y+1=0
x=3，由 x=3，解得：x=3，A（0，2）， 0 x
y=4， x+y-1=0， y=-2，B（3，4），C（3，-2）， C
当目标函数过点A时，z=0-3=-3，当目标函数过点B时，z=6-12=-6，当目标函数过点C时，
z=6+6=12，12>-3>-6，z=2x-3y的最小值为-6， B正确，选B。
设变量x，y满足3x+y-6≥0,则目标函数z=y-2x的最小值为（ ）
A -7 y-3≤0 B -4 C 1 D 2
【解析】 x-y-2≤0
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法求出z=y-2x的最小值就可得出选项。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， B C
由3x+y-6=0，解得：x=2，由 y=3，解得：
x-y-2=0， y=0， 3x+y-6=0
x=1，由 y=3，解得：x=5，A（2，0）， 0 A x
y=3， x-y-2=0， y=3，B（1，3），C（5，3），
当目标函数过点A时，z=0-4=-4，当目标函数过点B时，z=3-2=1，当目标函数过点C时，
z=3-10=-7，1>-4>-7，z=y-2x的最小值为-7， A正确，选A。
3、设变量x，y满足的约束条件是x+y≥0，则目标函数z=x-2Y的最大值为（ ）
A 4 B 3 x- y-2≤0， C 2 D 1
【解析】 y≤1 ，
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法求出z=x-2y 的最大值就可得出选项。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，
由x+y=0，解得：x=1，由 y=1，解得： B C
x-y-2=0， y=-1， x+y=0
x=-1，由 y=1，解得x=3，A（1，-1）， 0 A x
y=1， x-y-2=0， y=1，B（-1，1），C（3，1），
当目标函数过点A时，z=1+2=3，当目标函数过点B时，z=-1-2=-3，当目标函数过点C时，
z=3-2=1，3>-1>-3，z=x-2y的最大值为3，B正确，选B。
4、若x，y满足约束条件 x-y+1≥0,则目标函数z=x+y的最大值为 。
【解析】 x+2y-2≤0，
【考点】①可行域的 x-2y≤0，
定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法求出z=2x+3y+1的最大值就可得出选项。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， A C
由x-y+1=0，解得：x=0 ，由x+2y-2=0， 0 B x
x+2y-2=0， y=1， x-2y=0 ， x=0， B
解得：x=1，A（0，1），B（0，0），C（1，），当目标函数过点A时，z=0+1=1，当
y=，目标函数过点B时，z=0+-0=0，当目标函数过点C时，z=1+=，>
1>0，目标函数z=x+y的最大值为。
5、设变量x、y满足约束条件x+2y-5≤0， 则目标函数Z=2x+3y+1的最大值为（） x-y-2≤0，
A 11 B 10 x≥0 ， C 9 D 8.5
【解析】
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法求出z=2x+3y+1的最大值就可得出选项。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， A C
由x=0，得A（0，），由x-y-2=0 ， 0 x
x+2y-5=0， x=0， B
得B（0，-2），由 x+2y-5=0，得C（3，1），当目标函数过点A时，z=0++1=，当目x-y-2=0，标函数过点B时，z=0+-6+1=-5，当目标函数过点C时，z=6
+3+1=10，10>>-5，z=2x+3y+1的最大值为10， B正确，选B。
6、设x、y 6、设变量x，y 满足约束条件2x+y≤4，则目标函数Z=3x-y的取值范围是（ ）
4x-y≥-1，
A〔-,6〕 B 〔-,-1〕 x+2y≥2， C 〔-1,6〕 D〔-6，〕
【解析】
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法求出z=2x+3y+1的取值范围就可得出选项。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， 联立方程2x+y=4，和4x-y=-1，解得：x=，
y=3，联立方程2x+y=4，和 x+2y=2，解得： y
x=2，y=0，联立方程4x-y=-1，和x+2y=2， A
解得：x=0， y=1，A（，3）， C
B（2，0），C（0，1）， 当目标函数
过点A时，z=-3=-，当目标函数过点 0 B x
B时，z=6-0=6，当目标函数过点C时，z=0-1=-1，6>-1>-，z=3x-y的最大值为6，最小值为-，即目标函数Z=3x-y的取值范围是[-，6]，A正确，选A。
7、设实数x、y满足约束条件x+y≤1 则目标函数Z=3x+y的最小值为（ ）
A 7 B 2 y≥-2 C -6 D - 8
【解析】 y≤x
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法求出z=2x+3y+1的取值范围就可得出选项。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，
由y=x，解得：x=，由 y=x，解得：x=-2， A
X+y=1， y=， y=-2， y=-2， 0 C x
由x+y=1，解得：x=3，A（，），B（-2， B C
y=-2， y=-2，-2），C（3，-2）， 当目标函数过点A时，z=+=2，当目标函
数过点B时，z=-6-2=-8，当目标函数过点C时，z=9-2=7，7>2>-8，z=3x+y的最小值为-8，D正确，选D。
『思考题2』
（1）【典例2】是在线性约束条件下求线性目标函数最值的问题，解答这类问题需要掌握求解在线性约束条件下，线性目标函数最值的基本方法；
（2）求解在线性约束条件下，线性目标函数最值的基本方法是：①根据线性约束条件作出可行域；②联立直线方程求出可行域顶点的坐标；③将各顶点坐标代入目标函数求出目标函数值；④比较各顶点目标函数值得到目标函数的最值。
〔练习2〕解答下列问题： x+2y-5≥0
1、设实数x、y是满足不等式组 2x+y-7≥0,若x、y为整数，则3x+4y的最小值是（ ）
x≥0,y≥0,（答案：B）
A 14 B 16 C 17 D 19
2、若变量x、y满足约束条件 3≤2x+y ≤9,则Z=x+2y的最小值为 （答案：-6）
x≥1， 6≤x-y≤9
3、已知实数x，y满足 x+y≤4,且目标函数z=2x+y的最大值为7，则z的最小值为（ ）
A 2 B 3 x-2y+c≤0 C 4 D 5（答案：A）
4、设变量x，y满足约束条件 x-y-2≤0,则目标函数z=2x+3y+1的最大值为（）（答案：B）
A 11 B 10 x+2y-5≤0 ， C 9 D 8.5
x≥0，x≥0，
5、若x，y满足约束条件 x+2y ≥3,则z=x-y的最小值是（ ）（答案：A）
A -3 B 0 2x+y≤3 C D 3
【典例3】解答下列各题： 2x-y-2≥0，
1、在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组 x+2y-1≥0，所表示的区域上一动点，则直线3x+y-8≤0 ，OM斜率的最小值为（ ）
A 2 B 1 C - D -
【解析】
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求非线性目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求非线性目标函数在约束条件下最优解的基本方法求出直线OM斜率的最小值就可得出选项。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，
由2x-y-2=0，解得：x=1，由 2x-y-2=0，解得： B
x+2y-1=0， y=0， 3x+y-8=0，
x=2，由 x+2y-1=0，解得：x=3，A（1，0），
y=2， 3x+y-8=0， y=-1，B（2， 2）， 0 A x
C（3，-1）， 当直线OM过点A时，斜率为0， C
当直线OM过点B时，斜率为1，当直线OM过
点C时，斜率为 -，1>0> -，直线OM斜率的最小值为 -，C正确，选C。 x>0 ，
2、设实数x，y满足约束条件 x-y+1≤0,
y≤2 ，
若z=，求z的最大值和最小值，并求z的取值范围；
若z=+，求z的最大值与最小值， 并求z的取值范围；
【解析】
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】（1）根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法，就可求出z=的最大值和最小值，从而求出z=的取值范围；（2）根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法，就可求出z=+的最大值和最小值，从而求出z=+的取值范围。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y B C
由x=0，解得：x=0，由 y=2，解得：x=0，
x-y+1=0， y=1， x=0， y=2， A
由y=2，解得：x=1，A（0，1），B（0，2），
x-y+1=0， y=2，-2），C（1，2），（1） 0 x
z==是可行域内的点（x，y）过原点（0，0）的直线的斜率，的最小值是直线OC的斜率2，直线OA的斜率不存在，没有最大值，的取值范围是（0，+）；（2） z=+是可行域内的点（x，y）到原点（0，0）的距离的平方，z=+的最大值是|OC|=1+4=5，最小值>|OA|=0+1=1，z=+的取值范围是（1，5]。
『思考题3』
（1）【典例3】是在线性约束条件下，求非线性目标函数最值的问题，解答这类问题需要掌握求解在线性约束条件下，求非线性目标函数最值的基本方法；
（2）在线性约束条件下，求非线性目标函数最值的问题主要包括：①目标函数为（或）；②目标函数为（或）；③目标函数为；
（3）求解在线性约束条件下，求非线性目标函数最值问题的基本方法是：①根据线性约束条件作出可行域；②联立直线方程求出可行域顶点的坐标；③由非线性目标函数的表示式，确定其几何意义（常见非线性目标函数的几何意义有：①表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；②表示点（x，y）到直线Ax+By+C=0的距离；③表示点（x，y）与点（a，b）的距离；④表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；⑤表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率）；④运用非线性目标函数的几何意义，求出非线性目标函数的最值。
〔练习3〕解答下列问题： x≥0，
设实数x，y满足约束条件 x-y+1≤0,
y≤2
若z= ，求z的取值范围；（答案：z= 的取值范围是（-1，+））
若z=+-2x-2y+3，求z的最大值和最小值。（答案：z=+-2x-2y+3的最大值为3，最小值为2）
【典例4】解答下列问题 ： y≥1，
已知实数x、y满足约束条件 y≤2x-1,如果目标函数Z=x-y的最小值是-1，则实数m
x+y≤m,于（ ）
A 7 B 5 C 4 D 3
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④一元一次方程的定义与解法。
【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法得到关于实数n的方程，求解方程得出实数n的值就可得出结果。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，由 x+y=n y=2x-1
x+y=n，得到: x=， y=2x-1, 得到：x=1， C B y=1
y=2x-1， y=, y=1， y=1， -1 0 1 2 x
x+y=n，得到： x=n-1，A（，），B（1，1）， C（n-1，1），当目标函数z=x y=1， y=1， -y=经过点A（，）时，z=-=，当目标函数z= x-y=经过点B（1，1）时，z=1-1=0，当目标函数z= x-y=经过点,C（n-1，1）时，z=n-1-1=n-2， n-2-=，①若n1，n-2-=0，目标函数z的最小值为=-1，n=5；②若n<1，n-2-=<0，目标函数z的最小值为n-2=-1，n=1，此时无解，综上所述，当目标函数z=x-y的最小值是-1时，实数n=5，B正确，选B
2、已知a＞0，x，y满足约束条件 x+y≤3,若目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a=
x≥1, 。
【解析】 y≥a(x-3)
【知识点】①可行域定义与性质；②简单线性规划定义与性质；③最优解定义与性质；④求解线性约束条件下目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域，简单线性规划和最优解的性质，运用求解线性约束条件下，目标函数最优解的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出实数a的值。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y A x-y=-1
由 x+y=3，解得： x=1，由 x=1, 解得：x=1， 2 2x-y=2
x=1， y=2， y=a(x-3), y=-2a, 1
由x+y=3，解得： x=3，A（1，2），B（1，-2a），
y=a(x-3)， y=0，C（3，0），当目标函数过 0 x
点A（1，2）时，z=2+2=4，当目标函数过点B（1，-2a）
时，z=2-2a，当目标函数过点C（1，0）时，z=6+0=6，目标函数Z=2x+y的最小值为1，
2-2 a=1，a=，B正确，若目标函数z=2x+y的最小值为1，则实数a=。
3、若变量x、y满足约束条件x-y≥-1,目标函数Z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小
2x-y≤2 ,值，则a的取值范围是（ ）
A （-1，2 B （-4，2） x+y≥1 C （-4，0〕 D 〔-3,4）
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④一元一次不等式组的定义与解法。
【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法得到关于实数a的一元一次不等式组，求解这个不等式组，得出实数a的取值范围就可得出结果。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y A x-y=-1
由 x-y=-1，得到 x=3， x-y=-1, 得到x=0， 2 2x-y=2
2x-y=2， y=4， x+y=1, y=1, 1
2x-y=2，得到 x=1，A（3，4），B（0，1）， -1 0 1 2 x
x+y=1， y=0，C（1，0），当目标函数z= -1 x+y=1
ax+2y经过点A（3，4）时，z=3a+8；当目标函数 -2
z=ax+2y经过点B（0，1）时，z=0+2=2；当目标函数z=ax+2y经过点C（1，0）时，z=a+0=a，
目标函数Z=ax+2y仅在点（1,0）处取得最小值， a< 3a+8 -44、若实数x、y满足不等式组 x+3y-3≥0,且x+y的最大值是9，则实数m=（ ）（2010
全国高考浙江卷） 2x-y-3≤0
A -2 B -1 x-my+1≥0 C 1 D 2
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示
的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④分式方程的定义与解法。
【解题思路】运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法得到关于实数n的分式方程，求解分式方程得出实数n的值就可得出结果。
【详细解答】作出约束条件可行域如图所示，联立 2x-y-3=0与x-ny+1=0解得：x= ，
y=，A（，），联立x+3y-3=0与x-ny+1=0解得：x=，y=，
EMBED Equation.DSMT4 B（，），联立2x-y-3=0与
x+3y-3=0解得：x= ， y=， C（， 2x-y-3=0
），当目标函数z=x+y经过点A（， x+3y-3=0 x-ny+1=0
）时，z=+=，当目
标函数z=x+y经过点B（，）时，
z=+= ，当目标函数z=x+y经过点C（，-）时，z=-=9，若=9，n=1；若=9，n=-，C正确，选C。
『思考题4』
（1）【典例4】是含参数的线性规划问题，这类问题包括：①条件不等式中含有参数；②目标函数中含有参数；
（2）求解含有参数线性规划问题的基本方法是：①将参数视为常数，根据线性规划问题求出最优解，代入目标函数确定最值构造含参数的方程（或不等式），再求解方程（或不等式）；②先分离含有参数的式子，再通过观察确定含参数的式子所满足的条件。
〔练习4〕解答下列问题：
1、设m＞1，在约束条件y≥x下，目标函数Z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为
y≤mx （ ）（答案：A）
A（1，1+ ） x+y≤1 B（1+ ，+∞） C（1，3） D（3，+∞）
2、已知a＞0，x，y满足约束条件 x+y≤3,若z=2x+y的最小值为1，则a=（ ）（答案：C） x≥1，
A B y≥a(x-3) C 1 D 2
【问题5】解答下列问题
1、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对甲项目的投资不小于对项目乙投资的倍，且对每个项目的投资不低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得利润0.4万元，对项目乙投资每1万元可获得利润0.6万元，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润是（ ）
A 36万元 B 31.2万元 C 30.4万元 D 24万元
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④求解应用问题的基本方法。
【解题思路】设该公司投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，根据问题条件得到线性约束条件和目标函数，运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。y
【详细解答】设该公司投资甲项目x万元，投资乙项目y万 60 x=5
元，由题意得： x+y≤60，目标函数z=0.4x+0.6y，作出约 50
x≥y，束条件的可行域如图所示，由 40 x=y
x≥5, x+y=60，得 x=24， x+y=60， 30 A
y≥5, x=y， y=36， y=5， 20 x+y=60
得 x=55, x=y，得 x=5， x=5，A（24，36） 10 B C y=5
y=5, x=5， y=7.5, y=5，B（5，5）， 0 10 20 30 40 50 60x
C（55，5），当目标函数z= 0.4x+0.6y经过点A（24，36）时，z=0.4 24+0.636
=9.6+21.6=31.2为最大，该公司正确规划投资后，在这两个项目上共可获得的最大利润是31.2万元，B正确，选B。
2、某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨，生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业可获得的最大利润是（ ）
A 12 万元 B 20万元 C 25万元 D 27万元
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④求解应用问题的基本方法。
【解题思路】设该企业生产甲产品x吨，生产乙产品y吨，根据问题条件得到线性约束条件和目标函数，运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。 y
【详细解答】设该企业生产甲产品x吨，生产乙产品y吨， 20
由题意得： 3x+y≤13，目标函数z=5x+3y，作出约束条件 15
2x+3y≤18，的可行域如图所示，由3x+y=13，10 3x+y=13
x≥0, x=3, 2x+3y=18，5 A
y≥0,得 y=4，A（3，4），当目标函数 0 5 10 15 20 x
z=5x+3y经过点A（3，4）时， z= 53+34=15+12=27为 2x+3y=18
最大，该企业可获得的最大利润是27万元，D正确，选D。
3、某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元，甲、乙两车间每天共完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天获利最大的生产计划为（ ）
A甲车间加工原料10箱乙车间加工原料60箱B甲车间加工原料15箱乙车间加工原料55箱
C甲车间加工原料18箱乙车间加工原料52箱D甲车间加工原料40箱乙车间加工原料30箱
【解析】
【知识点】①二元一次不等式表示的平面区域的定义与确定方法；②二元一次不等式组表示的平面区域的定义与确定方法；③在线性约束条件下，求目标函数最值的基本方法；④求解应用问题的基本方法。
【解题思路】设该加工厂甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，根据问题条件得到线性约束条件和目标函数，运用二元一次不等式组表示的平面区域的确定方法，根据线性约束条件确定确定可行域，利用求目标函数最值的基本方法就可得出结果。y
【详细解答】设该加工厂甲车间加工原料x箱，乙车间 70 x+y=70
加工原料y箱，由题意得：x+y≤70，目标函数z=280x+ 60 A
10x+6y≤480, 200y，作出约 50
x≥0, 束条件的可行 40
y≥0,15 域如图所示， 30
由 x+y=70，得 x=15，A（15，55），当目标 20
10x+6y=480, y=55， 函数经过点A（15，55） 10 10x+6y=480
时，z= 28015+20055=4200+11000=15200为最大， 0 10 20 30 40 50 60 70x
当甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱时，甲，乙两车间每天获利最大，B正确，选B。
『思考题5』
（1）【典例5】是线性规划的实际应用问题，主要包括两：①给定一定数量的人力，物力资源，求怎样利用这些资源可以使完成的工作量最多，获取的利润最大；②给定一项任务，求怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力最少，物力资源最小；
（2）解答线性规划应用问题的基本方法是：①认真读题，理解题意，确定影响问题的未知变量并设出未知变量；②确定影响问题的约束条件，列出二元一次不等式（或不等式组）；③根据条件写出目标函数（关于未知变量的解析式）；④作出约束条件所表示的平面区域；⑤确定最优解（若问题要求最优解是整数，按线性规划问题求得的最优解不是整数时，需作适当的调整，基本方法是：1》求出可行域中的所有整数点，2》利用点到直线的距离公式求出到目标函数距离最小的整数点为最优解），把最优解代入目标函数求出结果。
〔练习7〕解答下列问题：
1、某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需运往A地至少72吨货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元，派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用的两类卡车的车辆数，可得最大利润为（ ）（答案：C）
A 4650元 B 4700元 C 4900元 D 5000元
2、某公司生产甲、乙两种幅袋产品，已知生产甲产品一幅需耗A原料1千克，B原料2千克；生产乙产品一幅需耗A原料2千克，B原料1千克。每幅甲产品的利润是300元，每幅乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B两种原料都不超过12千克，通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是（ ）（答案：C）
A 1800元 B 2400元 C 2800元 D 3100元
【追踪考试】
【典例6】解答下列问题： x+y2，
1、若x，y满足约束条件 x+2y4，则z=2x-y的最大值是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A -2 B 4 y0， C 8 D 12
【解析】
【考点】①确定不等式表示平面区域的基本方法；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解定义与性质；④求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据确定不等式表示平面区域和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件，得到实数x，y满足的约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数最优解的基本方法求出目标函数z=3x+y的最大值就可得出选项。 y
【详细解答】作出实数x，y满足的约束条件的可
行域如图所示，联立x+y=2与x+2y=4解得：x=0， A
y=2，A（0，2），联立x+y=2与y=0解得：x=2，
y=0，B（2，0），联立x+2y=4与y=0解得：x=4， 0 B x C
y=0，C（4，0），当x=0，y=2时，z=2x-y=20-2=0-2=-2；当x=2，y=0时，z=2x-y=22
-0=4-0=4；当x=4，y=0时，z=2x-y=24-0=8-0=8，z=2x-y的最大值为8， C正确，选C。
2、若实数x，y满足约束条件 x+y4，则z=3x+y的最小值为（ ）(2021全国高考乙卷文)
A 18 B 10 x-y2， C 6 D 4
【解析】 y3，
【考点】①确定不等式表示平面区域的基本方法；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解定义与性质；④求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据确定不等式表示平面区域和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条
件，得到实数x，y满足的约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数最优解的基
本方法求出目标函数z=3x+y的最小值就可得出选项。 y
【详细解答】作出实数x，y满足的约束条件的可
行域如图所示，联立x+y=4与x-y=2解得：x=3， B C
y=1，A（3，1），联立x+y=4与y=3解得：x=1， A
y=3，B（1，3），联立x-y=2与y=3解得：x=5， 0 x
y=3，C（5，3），当x=3，y=1时，z=3x+y=33+1=9+1=10；当x=1，y=3时，z=3x+y
=31+3=3+3=6；当x=5，y=3时，z=3x+y=35+3=15+3=18，z=3x+y的最小值为6，
C正确，选C。 x+2y1，
3、若实数x，y满足约束条件 2x+y-1，则z=2x-3y的最小值为 （成都市2021高【解析】 x-y0，三一诊）
【考点】①简单线性规划的定义与选择；②确定二元一次不等式表示的平面区域的基本方法；③确定二元一次不等式组表示的可行域的基本方法；④求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据确定二元一次不等式表示的平面区域和确定二元一次不等式组表示的可行域的基本方法求出约束条件的可行域，运用求目标函数最优解的基本方法就可求出z=2x-3y的最小值。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，由 y
x+2y=1，解得：x=-1，A（-1，1），由x+2y=1，解 A
2x+y=-1， y=1， x-y=0， B
得：x=,B（，），由2x+y=-1，解得：x=-, C 0 x
y=, x-y=0， y=-,C（-，-），当目标函数z=2x-3y经过点A时，z=2(-1)-31=-5, 当目标函数z=2x-3y经过点B时，z=2-3=-,当目标函数z=2x-3y经过点C时，z=2(-)-3(-)=,-5＜-＜, z=2x-3y的最小值为-5。
4、若实数x，y满足约束条件 y0，则z=3x+5y的最大值为（ ）（成都市2021高三三诊）
A 10 B 8 x-y+10， C 6 D 5
【解析】 x+2y-20，
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数在约束条件下最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件确定约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数在约束条件下最优解的基本方法求出z=3x+5y的最大值就可得出选项。 y
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示，
由x-y+1=0，得A（0，1），B（-1，0），C A
x+2y-2=0，（2，0）当x=0，y=1时，z C 0 B x
=3x+5y=30+51=5，当x=2，y=0时，z=3x+5y=32+50=6，，z=3x+5y 的最大值为6，C正确，选C。
5、若实数x，y满足约束条件 x+y0，则z=3x+2y的最大值为 (2020全国高考
【解析】 2x-y0，新课标III）
【考点】①确定不等式表示 x1，
平面区域的基本方法；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据确定不等式表示平面区域和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件，得到实数x，y满足的约束条件的可行域，运用最优解的性质和求目标函数最优解的基本方法就可求出z=3x+2y的最大值。 y
【详细解答】作出实数x，y满足的约束条件的 B
可行域如图所示，联立x+y=0与x=1解得：x=1， 0 1 x
y=-1，A（1，-1），联立2x-y=0与x=1解得： A
x=1，y=2，B（1，2），当x=1，y=-1时，z=3x+2y=31+2（-1）=3-2=1；当x=1，y=2时，z=3x+2y=31+22=3+4=7，z=3x+2y的最大值为7。
6、若实数x，y满足约束条件 x-10，则z=x-2y的最小值为（ ）（成都市2020高三零诊）
A 0 B 2 x+2y-20， C 4 D 6
【解析】 y0，
【考点】①不等式表示的平面区域的定义与求法；②不等式组表示的平面区域（可行域）的定义与求法；③最优解的定义与求法。
【解题思路】运用求不等式表示的平面区域，不等式组表示的平面区域（可行域）的求法，结合问题条件求出约束条件的可行域，利用最优解的求法求出问题的最优解就可得出选项。
【详细解答】作出约束条件的可行域如图所示， y
由 x+2y-2=0，得 x=1， x+2y-2=0，得 x=2， x-1=0
x-1=0， y=， y=0， y=0， A x+2y-2=0
A（1，）， B（1，0），C（2，0），当目标 0 B C
函数经过点A时，z=1-2=1-1=0；当目标函数经过点B时，z=1-20=1-0=1；当目标函数经过点C时，z=2-20=2-0=2，z=x-2y的最小值为0，A正确，选A。
7、已知实数x，y满足约束条件 x+y-40，则z=x+2y的最大值为 （成都市2020
x-2y+20，高三一诊）
【解析】 y0，
【考点】①确定不等式表示的平面区域的基本方法；②确定不等式组表示的平面区域的基本方法；③目标函数最优解的定义与性质；④求在线性约束条件下目标函数最优解的基本方法。
【解题思路】根据平面区域的定义与性质，由线性约束条件确定可行域，运用求最优解的基本方法就可求出Z=x+2y的最大值。 y0， y
【详细解答】 实数x,y满足约束条件 x+y-4 0， A
x+y-4 =0， x-2y+20，
作出可行域如图所示，由x-2y+2=0，得A（2，2）， B 0 C
B（-2，0），C（4，0），当Z=x+2y过点A时，Z=2+22=6；当Z=x+2y过点B时，Z=-2+20=-2；当Z=x+2y过点C时，Z=4+20=4，6>4>-2，Z=x+2y的最大值为6。
7、已知EF为圆+ =1的直径，点M（x，y）满足不等式组x-y+10，
2x+y+30，
y1，
则.的取值范围为（ ）(成都市2020高三二诊)
A [，13] B [4，13] C [4，12] D [，12]
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②向量坐标运算的法则和基本方法；③向量数量积定义与性质；④不等式表示的平面区域的定义与求法；⑤不等式组表示的平面区域（可行域）的定义与求法；⑥最优解的定义与求法。
【解题思路】根据圆和向量数量积的性质，运用向量坐标运算的法则和基本方法得到关于x，y的函数，由求不等式表示的平面区域和不等式组表示的平面区域（可行域）的基本方法，利用求最优解的基本方法求出.的最小值和最大值，从而求出.的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设E（0，-1），F（2，-1），作出 y
实数x，y满足约束条件的可行域如图所示，联 C B
立 x-y+1=0与2x+y+3=0解得：x=-，y=-，
A（-，-），联立x-y+1=0与y=1解得： A E F
x=0，y=1，B（0，1），联立2x+y+3=0与y=1解得：
x=-2，y=1，C（-2，1），=（-x，-1-y），=(2-x，-1-y），.=-2x++2y+1，当x=-，y=-时，.=-2（-）++2（-）+1= ；当x=0，y=1时，.=0-20+1+21+1=4；当x=-2，y=1时，.=4-2（-2）+1+21+1=12，.的最大值为12，当x=-，y=时， .=-2（-）++2+1=
<4，.的最小值为，即.的取值范围是[，12]，D正确，选D。
8、已知实数x，y满足x+y-5 0，则z=2x+y的最大值为（ ）（成都市2020高三三诊）
A 4 y-20，B 6 C 8 D 10
【解析】 x-10，
【考点】①可行域的定义与性质；②确定不等式组可行域的基本方法；③最优解的定义与性质；④求最优解的基本方法。
【解题思路】根据可行域的性质和确定不等式组可行域的基本方法，结合问题条件得到已知不等式组可行域，运用最优解的性质和求最优解的基本方法求出z=2x+y的最大值就可得出选项。
【详细解答】作出不等式组的可行域如图所示， y A（1，4）
由x+y-5 0，得A（1，4），由x+y-5 0，得
x-10， y-20， B（3，2）
B（3，2），①当x=1，y=4时，z=2 1+4=2+4=6，
②当x=3，y=2时，z=2 3+2=6+2=8，z=2x+y的 0 x
最大值为8，C正确，选C。
『思考题8』
【典例8】是近几年高考（或高三诊断考试或高一期末考试试卷中关于简单线性规划的问题，归结起来主要包括：①在线性约束条件下，求目标函数的最值；②含有参数的简单线性规划问题；③简单线性规划的应用问题等几种类型；
求解简单线性规划问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属的类型；②运用解答该类问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习8〕解答下列问题：
X0，
1、实数x，y满足约束条件x+y-40,则z=2x+y的最大值为（ ）（2019成都市高三零诊）
A -4 B 0 x-y-40， C 4 D 8 （答案：D）
2、设实数x，y满足约束条件2x-y+10,则z=3x+y的最小值为（ ）（2019成都市高三一 x 1，诊） （答案：A）
A 1 x-y0 x+y-10 B 2 C 3 D 6
3、已知实数x，y满足x+y-20,则z=2x+y的最大值为（ ）（2019成都市高三三诊）
A 1 y0, B 2 C 3 D 4 （答案：D）
4、记不等式组 x+y 6，表示的平面区域为D，命题p：（x，y）D，2x+y9；命题q：（x，y）2x-y0， D，2x+y12，下面四个命题：①pq；②pq；③p q；④p q。这四个命题中，所有真命题的编号是（ ）（2019全国高考新课标III（文））（答案：A）
A ①③ B ①② C ②③ D ③④
5、若变量x，y满足约束条件 2x+3y-60，则z=3x-y的最大值是 （2019全国高考 x+y-30，新课标II（文））（答案：9）
y-20，
6、（理）若x，y满足|x|1-y，且y-1，则3x+y的最大值为（ ）（答案：C）
A -7 x2， B 1 C 5 D 7
（文）若x，y满足 y-1，则y-x的最小值为 ，最大值为 （2019全国高考 4x-3y+10，北京）（答案：最小值为-3，最大值为1）
7、若x，y满足约束条件 x- 2y-20,则z=3x+2y的最大值为 （2018全国高考新课标 x-y+10，I卷）（答案：6）
y0， x+2y-50，
8、若实数x，y满足约束条件 x-2y+30,则z=x+y的最大值为 （2018全国高考新课标II卷） x-20 x-50（答案：9）
9、若变量x，y满足约束条件x-2y+40,则z=x+y的最大值为 （2018全国高考新 2x+y+30，课标III卷）（答案：3）
10、设集合A={（x，y）|x-y1,ax+y＞4，x-ay2},则（ ）（2018全国高考北京卷）
A 对任意实数a，（2，1）A B 对任意实数a，（2，1）A（答案：D）
C 当且仅当a＜0时，（2，1）A D 当且仅当a时，（2，1）A
11、若x，y满足x+1y2x,则2y-x的最小值是 （2018全国高考北京卷）（答案：3）
12、某企业可生产A，B两种产品，投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，
场地200平方米；投资生产B产品时，每生产100吨需要资金300万元，场地100平方米。
若该企业现可使用资金1400万元，场地900平方米，投资生产A，B两种产品，则两种产
品的产量之和的最大值是（ ）（2018成都市高三三诊）（答案：C）
A 467吨 B 450吨 C 575吨 D 600吨
13、若实数x，y满足线性约束条件 x+y1,则x+2y的最大值为 （2018成都市高三
2x-y4，一诊）（答案：x+2y的最大值为12）
yx,
14、若实数x，y满足约束条件 x-y-10,则z=2x-y的最大值为（ ）（2018成都市高三零 x+y-10, 诊）（答案：C）
A -1 B 1 x0 C 2 D 3
15、（理）已知点P（x，y）满足 x+y4，则+的最大值为（ ）（答案：C）
A yx B 36 C 54 D 72
x 1 x-y0，
（文）已知实数x，y满足不等式组 x+y-20 ，则z=2x-5y的最小值为（ ）（成都2017
y0，—2018高一下期期末质量检测）（答案：A）
A -3 B 0 C -4 D 1
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