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专题9：导数与三角函数交汇问题
导数与三角函数交汇问题是指，应用导数的基础知识与方法，研究问题情境中含有三角函数的函数问题.函数的特征是：全三角函数型、三角函数与多项式函数组合型、三角函数与指数函数组合型、三角函数与对数函数组合型等.
导数与三角函数交汇问题的题型常见的有：函数零点问题、不等式恒成立问题、不等式证明问题、极值点偏移问题等，分析求解时既要充分应用导数的工具性作用，又要充分应用三角函数的性质与三角恒等变换技巧，关健是灵活应用正弦函数和余弦函数的有界性.
题设情境是含三角函数的常系数不等式证明问题和不等恒成立求参变量取值范围问题.第（1）小问应用导数求函数的最值证明不等式；第（2）小问应用“参变分离”法，应用数学建模构造函数，然后应用导数和换元法求新构造函数的极值点，最后应用分类与整合思想探究参数的取值范围。
例1（河北省深州市中学2023届高三上学期月考）已知函数.
（1）若，当时，证明：；
（2）若当时，，求实数的取值范围.
【思路点拨】
第（1）问注意到，因此应用导数推导函数在上单调递增即可；第（2）问题设情境为不等式恒成立问题，注意到的导数为而因此由参变分离技巧将，等价练为，然后构造函数，通过分类辨析求解实数的取值范围.
练1（河北省深州市中学2023届高三上学期第二次月考）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线与x轴平行．
①求实数的值：②证明：函数在内只有唯一极值点；
（2）当时，证明：对于区间内的一切实数，都有．
练2（湖湘名校教育联合体2022-2023学年高三上学期大联考）已知函数，且.
（1）求实数a的值；
（2）求证：存在唯一的极小值点，且；
（3）设，.对，恒成立，求实数b的取值范围.
（参考结论：，）
题设情境是含三角函数的常系数不等式证明问题和已知函数零点个数求参变量取值范围问题.第（1）小问应用放缩法判定导函数取值的正负情形，应用函数的单调性确定函数的最值，从而证明不等式；第（2）小问利用第（1）问的结论找到参数的取值范围，然后通过二次求导及零点定理证明，当参数在该范围内取值时，原函数有且仅有两个零点。
例2（湖南师范大学附属中学2023届高三上学期月考）已知函数，．
（1）当时，求证：；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围．
【思路点拨】
第(1)问注意到联想函数在上单调递增,连续2次求导后,应用当时，，推导2阶导数大于零,从而推导,得函数在上单调递增而证明.第(2)问由第(1)问可推导当时，恒成立,由，可知函数仅有个零点不合题设,从而猜想实数的取值范围应在内,然后应用导数工具分析推导．
练3（江苏省泰州中学2022-2023学年高三上学期月度检测）已知函数
，其中, 为自然对数的底数.
（1）当时，讨论函数的单调性；
（2）当时，求证：对任意的，.
练4（天津外国语大学附属外国语学校2022-2023学年高三上学期月考）已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：当时，
（3）若，，求实数的取值范围.
题设情境是含参变量函数的极值问题和有关函数零点的不等式证明问题.第（1）小问应用导数与函数极值的基本知识，通过分类讨论求函数的极值；第（2）小问由题设条件“当时，”，应用方程思想，通过比值代换技巧，数学建模构造函数，应用导数证明不等式。
例3（四川省南充市白塔中学2022-2023学年高三上学期入学考试）已知函数．
（1）求函数的极值；
（2）若存在，且当时，，当时，求证：．
【思路点拨】
第(1)问应用导数研究函数极值的基础知识与基本方法求函数的极值;第(2)问由题设情境因为“”，所以“”联想极值点偏移和比值代换推理论证，同时注意利用判定取值的正负确定函数的单调性.
练5（江西省抚州市金溪县第一中学2023届高三上学期月考）已知函数，为的导数．
（1）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围；
（2）当时，求证：．
练6（江苏省盐城市第一中学2022-2023学年高三上学期学情调研）已知函数，为的导数.
证明：(1)在区间存在唯一极大值点；
(2)有且仅有2个零点．
1.（天津市耀华中学2021-2022学年高三阶段检测数学试题）已知函数在原点处的切线方程为.
（1）求的值及的单调区间；
（2）记，，证明：在上至少有一个零点.
（参考数据：）.
2.（河北省深州市中学2023届高三期末数学试题）已知函数．
（1）若为的极小值点，求a的取值范围；
（2）若有唯一的极值，证明：，．
3.（河北省武安市第一中学2022届高三调研数学试题）已知函数，.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，，求证：.
4.（重庆市第八中学校2022届高三高考适应性月考数学试题）已知函数，．
（1）的最大值；
（2）证明：；
（3）若恒成立，求实数的取值范围.
5.（河北省衡水中学2023届高三上学期五调数学试题）已知．
（1）若函数在上有1个零点，求实数的取值范围．
（2）若关于的方程有两个不同的实数解，求的取值范围．
6.（湖南省衡阳市第八中学2022-2023学年高三月考数学试题）已知函数．
（1）若，求函数的零点个数；
（2）若函数，是否存在，使得在处取得极小值？说明理由．
7.（湖南长沙市一中学2022-2023学年高三月考数学试题）已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若对任意恒有不等式成立，证明：.
专题9 导数与三角函数交汇问题—答案解析
【专题探究】
例1【解析】（1）由，得，，
.令，.
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
的最小值为，所以，即，
所以在上单调递增，所以，故.
（2）.
令，， .
令，，，，
所以在上单调递增，所以，即.
①当，即时，，在上单调递增，所以满足条件.
②当，即时，，显然不满足条件.
③当，即时，若，，
令，，，，
故存在，使时，，即在上单调递减，
所以，即，，故不满足条件.
综上，的取值范围是.
练1【解析】（1）①由题意得，,
∵,∴即,
②证明：由①可知，，则,
当时，,函数单调递减，
当时，, 函数单调递增，
又,
所以存在唯一的,使得,
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增,
所以函数在内只有唯一极值点，且取得极小值故原命题得证.
（2）要证对于区间内的一切实数，都有，即证,
由（1）可知，在上单调递增，且,
所以因为，所以,
当，即时，由在上单调递增，
则．所以在上单调递减，
所以，即得证；
(ii)当，即时，
由（1）②可知：,所以得证
综上，当时，对于区间内的一切实数，都有．
练2【解析】（1）由题意，函数，可得其定义域为，
因为，且，可得，
令，可得，
因为，且，可得，解得，
当时，，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，所以，符合题意.
所以实数的值为.
（2）由函数，
可得，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，，，
所以，使得，
当时，，即，单调递增；
当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增，
所以存在唯一极小值点.
因为，所以，
又因为，所以，设，可得，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
因为，所以，
综上可得：.
（3）对，恒成立，即恒成立，
即不等式恒成立.
当时，不等式对任意实数b都成立；
当时，，所以，令，
可得，
令，
则，
令，则，
所以在上单调递减，所以，
所以，单调递减，所以，所以，单调递减，
又由当时，，所以，
所以，即实数的取值范围是.
例2【解析】（1）当时，，
则设，
．因为，所以，
因此所以即在上单调递增，
于是，因此函数在上单调递增，所以．
（2）由（1）知，当时，
当且仅当时取等号，此时函数仅有个零点．
当时，因为，所以，
设，．
当时，所以即单调递增．
当时，设，
．
因为，所以
所以即单调递增．又，
因此在上存在唯一的零点，且．
当时，，所以即单调递减；
当时，，所以即单调递增．
又，
因此在上存在唯一的零点，
且．当时，所以单调递减；
当时，所以单调递增．
又所以在上存在唯一零点，
因此在上有两个零点．综上，的取值范围是．
练3【解析】当时，，
则，
，，
故，则在上单调递减；
当时，，
要证明对任意的，．
则只需要证明对任意的，．
设，看作以为变量的一次函数，
要使，则，即，
恒成立，恒成立，
对于，令，则，
设时，，即．
，，在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
则当时，函数取得最大值
，
故式成立，
综上对任意的，．
练4【解析】（1）由题意，令，得，
当时，若，则，所以，
若，则，，所以；
当时，若，则，所以，
若，则，，所以；
综上在上单调递减，在上单调递增.
（2）若时，，设，则，
设，则，当时，，
即为增函数，所以，在时为增函数，
所以，得.
（3）由（2）得当时，，又当时，
则有，设，则，
设，则，当时，，
所以为增函数，
所以，所以为增函数，
所以，所以对任意的恒成立，
又，时，，
所以时，对任意的恒成立；
当时，设，
则，，
所以存在实数，使得任意，均有，所以为减函数，
所以在时，，
此时，，，与题意不符，
所以时不符合题意.
综上，实数的取值范围为[.
例3【解析】（1）由,∴,
当时，，在上为增函数，无极值，
当时,当时，；时，，
在上为减函数，在上为增函数，
∴，有极小值，无极大值，
综上知：当，无极值，当，有极小值，无极大值．
（2）证明：令，∴，
∵,且，∴，
所以当时，在上为增函数，
所以当时，恒有，即成立；
当，在上为增函数，当，在上为增函数，
这时，在上为增函数，
所以不可能存在，满足当时，，所以有．
设，得：，
∴①，
∵, ∴②，
由①②式可得：，即，
又，，∴③，
要证④，所以由③式知，只需证明：，即证，
设，只需证，即证：，
令
由，在上为增函数，
∴，∴成立，所以由③知，成立．
练5【解析】（1）依题意知：，，
，，
有两个极值点，在上有两个变号零点，
令得：①，
关于的一元二次方程有两个不等的正根，记为，
即：解得：， ，
故的取值范围为：.
（2）依题意，要证：，
①当时，，故原不等式成立，
②当时，要证：，
即要证：，
令 则，
，先证：，即要证：，
令 ，则，
当时，，在单调递增，，
即：，当时，，，
，
在单调递减，，
在单调递减，，
即：，故原不等式成立.
练6【解析】（1）设，则，．
当时，单调递减，而，
可得在有唯一零点，设为，故．
则当时，；当时，．
所以在单调递增，在单调递减，故在存在唯一极大值点，
即在存在唯一极大值点．
（2）的定义域为．
（i）当时，由（1）知，在单调递增，而，
所以当时，，故在单调递减，又，
从而是在的唯一零点．
（ii）当时，由（1）知，在单调递增，在单调递减，
而，，
所以存在，使得，
且当时，；当时，．
故在单调递增，在单调递减．
又，，所以当时，．
从而在上没有零点．
（iii）当时，，所以在单调递减．而，，
所以在有唯一零点．
（iv）当时，，所以 <0，从而在没有零点．
综上，有且仅有2个零点．
【专题训练】
1.【解析】（1）,，
∴，.
∵，
∴的单调递增区间：，；
单调递减区间：，.
证明：，，
∴,
记, ,
∴在上单调递增，在上单调递减,
①当，时，，，
∴存在，使，则在上单调递增，在上单调递减，
又，，，则此时在上仅有一个零点；
②当时，，，∴存在，使，
又，存在，使，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∵，，
∴此时在存在一个零点.
又，（若不用极小值点，也可取，使.
由可得
在也存在一个零点，则此时在上有两个零点.
故综上，在上至少有一个零点，得证.
2. 【解析】(1).
①当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以为的极小值点．
②当时，由得或．
（ⅰ）当时，在R上单调递增，无极值点；
（ⅱ）当时，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，所以为的极小值点；
（ⅲ）当时，在上单调递增，在上单调递诚，
在上单调递增，所以为的极大值点，综上，a的取值范围是．
(2)根据（1）可知，为唯一的极值，所以，所以．
所以即证，．设，则，
设，则，
设，则，当时，,,
当时，,，
当时，所以，所以在上单调递增．
，，又，
所以，所以，使．
因此当时，，当时，．
得在上单调递减，在上单调递增，
又，，
因此当时，，当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，得，
所以，从而原命题得证．
3. 【解析】（1）当时，，导数为，
可得切线的斜率为，且，
所以切线的方程为，即为；
（2）证明：由题意可得，
若，则，在上单调递增，
因此不存在，使得，所以；
设，，则，
令，，
所以在 上单调递减，又，所以在上恒成立，
从而在 上单调递减，从而.①
又由，可得，
所以.②
由①②可得.又因为，所以，
因此要证，只需证明，即证，③
设，，则，所以在上为增函数，
又因为，所以，即③式成立.所以.
4. 【解析】（1）∵，，
∴，∴f(x)在[0，π]上单调递减，
∴．
（2）要证，只要证，即证＞f(x)，
令＝，，则，
故在上单调递减；在上单调递增，所以，
又 ，且等号不同时取到，所以
（3），等价于，
令，，则，
令，则，
i.当时，，所以在上递减，所以，
所以，所以h(x)在上递减，所以，不合题意．
ii.当时，，所以在上递增，所以
所以，所以h(x)在上递增，所以，符合题意．
iii.当时，因为，，且在[0，π]上递增，
所以，使得，
所以当时，，此时在上单调递减，所以，
所以，所以h(x)在上递减，所以h(x)＜h（0）＝0，不合题意．
综上可得:.
5.【解析】所以，当时，，所以在单调递增，
又因为，所以在上无零点
当时，使得，所以在单调递减，在单调递增，
又因为，，
所以若，即时，在上无零点，
若，即时，在上有一个零点，
当时，在上单调递减，在上无零点，
综上当时，在上有一个零点
（2）由，即，即，
则有,令,,则，
，所以函数在上递增，
所以，则有，
即,,因为关于的方程有两个不同的实数解，
则方程,有两个不同的实数解，令，则，
当时，，当时,，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
当时，，当时，，所以．
6. 【解析】（1）时，，
当时,；
当时,单调递增,,,
∴存在，使得；当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增，
∵，，，
∴有两个零点．
（2），，
显然是的极小值点的必要条件为，即,
此时，令，
则,
又在上单调递增，且，，
当时,,,,∴，
当时,,,,∴，
故存在唯一的零点，且，
∴在上单调递减，上单调递增，
，，又当时，
∴即在存在唯一的零点，在上的零点为0；
∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
∴当时，是的极小值点．
7. 【解析】（1）由题意，函数，可得的定义域为，
且，令，解得，
令，可得，
所以在上为增函数，且，所以有唯一实根，
即有唯一实根，设为，即，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以.
（2）由（1）知，的定义域为，且，
当时，可得，所以单调递增，值域为，不适合题意；
当时，由（1）可知，设，所以，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，即.由恒成立，所以，
所以，所以.
可知，因此只需证：，
又因为，只需证，即，
当时，结论成立，
当时，设，，
当时，显然单调递增.，故单调递减，
故，即.综上结论成立.
2

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