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专题26：立体几何中的最值问题
立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系,与空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题常常在近几年高考中出现，立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面,此类问题多以规则几何体为载体,涉 及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理，空间角与距离的求解等，求此类问题一般是直接法和函数法。
立体几何中与线段最值有关的问题，一般都是转化为某一变量的函数，若是求两线段和的最值问题，往往转化为平面图形的直线段最短问题来处理.
例1(2023·安徽省十校联考)在侧棱长为，底面边长为的正三棱锥中,分别为的中点,分别为和平面上的动点，则的最小值为
【思路点拨】
想方设法把转化到某一平面的两个线段和，再通过直线段最短即可得出答案.
练1(2022·河北省高考模拟题)如图，正方体棱长为，是上的一个动点，求的最小值.
【思路点拨】
将与矩形展开到一个平面，这样与就可以转化到一条直线段.
.
根据问题分析截面图形的形状与几何体的位置关系，从性质和数量关系着手解决问题。
例2(2020·河北省高考模拟题)已知长方体的高为，两个底面均为边长为的正方形，过作平面分别交棱,于，则四边形面积的最小值为
【思路点拨】
一种方法是由于几何体的对称性,通过极端情况来处理;另一种方法求平行四边形的最小值.
练2(2022·浙江省联考题)如图，是圆的直径，与圆所在的平面垂直且，为圆周上不与点重合的动点，分别为点在线段上的投影,当的面积最大时，求二面角的平面角.
【思路点拨】
由位置关系知道为直角三角形，且，利用三角形面积公式和基本不等式解决问题.
分析几何体的形状，找出底面积与高的关系，建立体积为某一变量的函数，再通过求函数最值的方法进行求解。
例3(2022·新高考1卷9)已知正四棱锥的侧棱长为，其各顶点都在同一个球面上，若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是
A. B. C. D.
【思路点拨】
根据正棱锥和球的性质，建立四棱锥的体积为高的函数，进而可求范围.
练3(2022·全国乙卷理科)已知球的半径为，四棱锥的顶点为，底面的四个顶点均在球的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( )
A. B. C. D.
【思路点拨】
设法把四棱锥的体积转化为底面正方形边长的函数关系，利用最值计算方法求解
1.(2023·江苏省宿迁市期末)已知四棱锥外接球表面积为,体积为平面
，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.(2023·安徽省宿州市模拟)如图，已知三棱柱的底面是等腰直角三角形，底面，，，点在上底面包括边界上运动，则三棱锥的外接球表面积的范围为( )
A. B. C. D.
3.(2023·四川省成都市模拟)某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为的球，则该四棱锥的表面积最小值是( )
A. B. C. D.
4.(2022·云南省联考.多选)如图，在长方体中，，，点满足，点在底面的边界及其内部运动，且满足，则下列结论正确的是( )
A. 点所在区域面积为
B. 线段长度最小值为
C. 有且仅有一个点使得
D. 四面体的体积取值范围为
5.(2023·浙江省温州市模拟·多选)传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现;如图是一个圆柱容球，为圆柱上下底面的圆心，为球心，为底面圆的一条直径,若球的半径,则( )
A. 球与圆柱的表面积之比为
B. 平面截得球的截面面积最小值为
C. 四面体的体积的取值范围为
D. 若为球面和圆柱侧面的交线上一点，则的取值范围为

6.(2023·湖北省武汉市模拟)在长方体中，，，，点是线段上的一个动点，则：
的最小值为 直线与平面所成角的正切值的取值范围为
7.(2023·江西省新余市模拟)在直三棱柱中，，，平面经过点，且满足直线与平面所成的角为，过点作平面的垂线，垂足为，则长度的取值范围为 ．
8.(2023·浙江省台州市模拟)已知正三棱锥的各顶点都在表面积为球面上，正三棱锥体积最大时该
9.(2022·四川省树德中学模拟预测（理）)在三棱锥中，，，，，，过中点作四面体外接球的截面，则过点的最大截面与最小截面的面积和为______．
专题26 立体几何中的最值问题--答案解析
【专题探究】
例1【解析】取中点，连接交于点，证得面，
要使的值最小，即求最小值，
可得平面，可得，
又可证明，再把平面绕旋转，与面共面，
是在旋转之后对应的点，
又可证得,
因为,且，
所以
所以，即所以,
所以，可得，,
故答案为：.
练1【解析】将平面翻折到平面上，如图1所示：
连接，与的交点即为点，此时取最小值为，
在中,,
.
例2【解析】法一：根据题意作图，如图①所示，
过点作交于，设.由题意得.
因为长方体对面平行，
所以截面为平行四边形，则
当取最小值时四边形的面积最小.
易知的最小值为直线与直线间的距离.
易知当为的中点时,取得最小值,,.
故四边形面积的最小值为.
法二(射影面积法)：设平面与底面的交线为. 如图②，
过作交于.连接，则为二面角的平面角，设为.
根据射影面积公式,得,
则当最大时，最小.当最大时，分析易知最长.
又最长为，所以最大值为，因为，所以四边形面积的最小值为.
故答案为：
练2【解析】因为，，
又因为,最大值为，
当且仅当时，取得最大值，此时为等腰直角三角形，
因为平面， 平面PBC，所以，又，
，平面，所以平面，平面AMN，所以，
所以即为二面角的平面角，
由为等腰直角三角形，可得二面角的平面角为，
例3【解析】方法一：设正四棱锥的高为,底面边长为,球心为，
由已知易得球半径为，所以，
因为，
故当且仅当取到 ，
当时,得,则
当时,球心在正四棱锥高线上，此时，
，正四棱锥体积 ，
故该正四棱锥体积的取值范围是
方法二 由方法中知, ，
求导 ，所以在上单调递增,在上单调递减，
所以, ，
故该正四棱锥体积的取值范围是
练3【解析】考虑与四棱锥的底面形状无关，不失一般性，
假设底面是边长为的正方形，底面所在圆面的半径为，则，
所以该四棱锥的高，所以体积，设，
，，当，，单调递增，
当，，单调递减，所以当时，取最大，此时.
【专题训练】
1.【解析】以四边形的外接圆为底，为高，将四棱锥补形为一个已知球的内接圆柱．
设内接圆柱的底面半径为，外接球的半径为，则，
，故，
，
所以，
在中运用余弦定理与基本不等式得：
，当且仅当时取等号，
在中运用余弦定理与基本不等式得：，
上两式相加得：，故有： ，
在中由正弦定理得：，，
因此，．
故选B．
2.【解析】如下图所示：因为为等腰直角三角形，，
所以的外接球的截面圆心为的中点，且，
连接与的中点，则，所以面．
设球心为，由球的截面性质可知，在上，
设，，半径为，
因为，所以，
所以，又，所以解得．
因为，所以，所以当时，外接球表面积最小为，
当时，外接球表面积最大为．
所以三棱锥的外接球表面积的范围为．
故选A．
3.【解析】某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，故该四棱锥为正四棱锥体；
当半径为的球与四棱锥体相内切时，四棱锥的表面积最小；
设正方形的边长为，四棱锥体的高为，四棱锥体的表面积为，
所以利用等体积转换法，，
整理得，；故，
所以四棱锥的体积，则，
设，可得，所以．
当且仅当，即时，四棱锥的表面积的最小值为．
故选C．
4.【解析】选顶，当时，与底面的所成角，
故点所在区域为以为圆心，为半径的圆在正方形内部部分包含边界弧长，
即圆的，面积为，故A正确
选项，当取最小值时，线段长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：
当，，三点共线时，取得最小值，
即，则，故B错误
选项，、分别在、上，且，不妨取点与点重合，此时，
由余弦定理得：，
则，同理可得：，故多于一个点使得，故C错误
如图，当点位于上时，
此时点到平面的距离最大，最大距离，
此时四面体的体积为，
当与点重合时，此时点到平面的距离最小，最小距离为，
因为，所以，所以最小体积为，
故四面体的体积取值范围为，故D正确．
故选AD．
5.【解析】对于选项,球的表面积为,圆柱的表面积为,故比值为,即A错误
对于选项，当到平面的距离最大时，平面截得球的截面面积最小，
注意到平面绕着旋转，因此到平面的距离最大值即为到直线的距离，
作于，在中，，，，，
则，解得，
因此平面截得球的截面圆半径的最小值为，
则此时截面圆的面积为，故B正确
对于选项，过作交于，则，故C正确;
对于选项，依题意，
注意到，因此，因此，
即，故正确.

6.【解析】做出长方体如图所示，，，，点是线段上的一个动点．
由长方体的性质可知，，，．
将与以为公共边展开成一平面四边形，如图：
易证四边形是平行四边形，
所以当三点共线时，即时最小．
根据平行四边形对角线和四条边的性质即：，
代入数据得：，解得．
的最小值等于．
由长方体的性质可知，平面对角面
即对角面平面．
所以由点向直线作垂线，则平面．
连接，则即为直线与平面所成角．
显然为定值．
设斜边上的高为，则，求得，此时最短．
结合，所以，所以．
故答案为：，．
7. 【解析】因为平面，连接，平面，则，故H在以为直径的球面上．
又与平面所成的角为，
所以，过作于点，如图所示，
则易得，，，
所以在如图所示：
点在圆锥的底面圆周上，其轨迹是以为圆心，为半径的圆，
在中，，又易得，
由余弦定理，得，
即．
故答案为：．
8.【解析】因为，所以正三棱锥外接球半径，
设为的中心，则，
当的长小于时，，
当的长大于或等于时，正三棱锥如图所示，设外接球圆心为，
设，
所以，，
又因为，所以，
，
所以，
令，
解得或，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时，正三棱锥的体积最大，此时正三棱锥的高为，
故正三棱锥体积最大时该正三棱锥的高为．
9.【解析】由,,得,
由于,，则,
故 ,由此可将三棱锥中置于长宽高分别为的长方体中，如图示：
则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，外接球半径为 ,
过BC中点D作四面体外接球的截面，当截面过球心O时，截面圆面积最大，
最大值为 ；
当截面与OD垂直时，截面圆面积最小，而 ,
故此时截面圆的半径为 ，
则截面面积最小值为，
故过点的最大截面与最小截面的面积和为，
故答案为：
2

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