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专题25：二面角的常见求法
立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。其求解的策略主要有两类方法：其一是找出二面角的平面角进行求解；其二是间接法：射影法，空间向量法等. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.
由二面角的定义，设法从棱上某一点出发在两个半平面内都找到垂直于棱的射线和，则就是二面角的平面角.
例1(2022·新高考1卷19)如图，直三棱柱的体积为4，的面积为．
设为的中点，，平面平面，求二面角的正弦值．
【思路点拨】
由题意得到,过点A作，则，由二面角的定义得为所求二面角的平面角，再计算二面角的余弦值从而得到所求的值。
练1(2022·浙江省温州市期末)如图，三棱锥中，为等边三角形，且面面，．当与平面所成角为时，求二面角的余弦值．
【思路点拨】
由与平面所成角确定正三角形边长与长的关系，再作二面角的平面角，借助余弦定理计算即可.
垂面法：作一个与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。用垂面法寻找面的垂线，切入点就是寻找面的垂面，然后由面面垂直得到线面垂直，垂面法是我们解决有关求点到平面的距离、直线和平面所成的角与二面角的重要方法之一。
例2(2020·江苏省南京市模拟)如果二面角的平面角是锐角，空间一点到平面、和棱的距离分别为、4和，则二面角的大小为_______________.
【思路点拨】
本题可借助已知条件构造出经过的平面，再证明该平面与二面角的面的交线所成角即为二面角的平面角,分点在二面角的内部和外部，利用二面角的定义求解.
练2(2020·浙江省单元测试改编)设是二面角内一点，到面、的距离分别为8和5，且AB＝7，求这个二面角的大小。
【思路点拨】
经过的截面与棱交于点，由二面角平面角的定义知就是所求的平面角.
在没有给出棱的二面角问题中，可以根据题设条件先分别求出该二面角的一个面的面积及其射影的面积，再借助该面的面积与其射影的面积之间的关系（即面积射影定理），从而求出了所求二面角的余弦，避免了寻找二面角的平面角的麻烦，简化了问题的解答过程从而使问题简捷获解。
例3(2022·湖北省武汉市模拟)棱长为正方体中，分别是棱的中点，求平面与平面所成的二面角的余弦值.
【思路点拨】
利用图形在底面的射影图形的面积之间的关系（即面积射影定理）进行分析求解.
练3(2022·安徽省合肥市模拟)正方体中，为棱的中点，求平面和平面所成夹角的余弦值.
【思路点拨】
此题属无棱二面角问题，图中没有二面角的棱，我们也可以去找到棱去解决，但这里通过射影而直接求角更方便.
在二面角中，若且，则过点作,由三垂线定理可证，即就是二面角的平面角.
例4(2021·新高考1卷20)如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
【思路点拨】
过点找出面的垂线，就可以利用三垂线法找出二面角的平面角.
练4(2013·新课标2理科18)如图,直棱柱中,分别是的中点，
，求二面角的正弦值．
【思路点拨】
可以证明平面，因而过作于,再证明，
那么为二面角的平面角.
当一个几何体不规则时，可以适当补几何体使得新的几何体是特殊几何体时，往往就容易解决问题了
例5(2006·江西省高考题改编)如图,在三棱锥中,侧面是全等的直角三角形,是公共的斜边,且另一个侧面是正三角形.
求二面角的余弦值.
【思路点拨】
分析已知得到是正方体的其中四个顶点，所以以为原点建立空间直角坐标系,通过长度找到A点坐标,求出平面和平面的法向量,求出法向量夹角的余弦值的绝对值,即二面角的大小的余弦值的绝对值,求出其角即可.
练5(2023·安徽淮南市一模)在三棱锥中，底面为等腰直角三角形，
.若，求平面与平面夹角的余弦值.
【思路点拨】
三棱锥中不易找到两两垂直的三直线，我们设法补成特殊几何体，就容易建立空间直角坐标系解决问题了.
当二面角的平面角为钝角，可以求其补角，再利用定义法或三垂线法来找求二面角.
例6(2004·福建省高考真题)在三棱锥中，是边长为的正三角形，平面平面，，为的中点．求二面角的的正切值.
【思路点拨】
取的中点，连接、，分析可知二面角的平面角为，通过解可求得的大小，进而可求出二面角的大小.
练6(2022·河北省模拟)如图，在正三棱柱中，为的中点，若，．
求二面角的余弦值．
【思路点拨】
转化为求其补角，利用三垂线法作出二面角的平面角从而求解．显然二面角的大小与二面角的大小互补．
若求一个二面角不容易使用定义法和三垂线法，又容易建立适当的空间直角坐标系，则写出相应点的空间直角坐标然后求出两个平面的法向量，再利用即可得出结论.
例7(2022·河南校考阶段练习)如图所示，二面角的棱上有A，B两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
根据垂直的条件得，，再由向量的数量积运算可得，根据图示可求得二面角的大小.
例8(2020·全国1卷理科18)如图,为圆锥的顶点,是圆锥底面的圆心,为底面直径,,
是底面的内接正三角形，为上一点，．求二面角的余弦值．
【思路点拨】
二面角的平面角不易找出，又容易找到两两垂直的三直线时，一般建立空间直角坐标系来求解.
练7(2022·新高考2卷20)如图，是三棱锥的高，，，E是的中点，，，．求二面角的正弦值.
【思路点拨】
因为，因而以分别为轴，轴，就可以建立适当的空间直角坐标系了.
1.(2022· 广东省梅州市模拟)已知点、分别在二面角的两个面、上,，，、为垂足，，若与成角，则二面角为( )
A. B. C. D.
2.(2022·贵州省贵阳市联考)二面角的棱上有两个点、，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且垂直于棱，若，，，，则平面与平面的夹角为 ．
3.(2020·浙江省十校联考)已知正四面体的棱长为，点是棱的中点，则二面角的余弦值为 ．
4.(2020·江苏省南京市模拟)在矩形中，已知，，现将沿对角线向上翻折，得到空间四边形，若，则二面角的大小的余弦值为 ．
5.(2023·广东省深圳市联考)如图，三棱锥中，是边长为的等边三角形，
，中，，，点平面，点，分别为线段、的中点，且平面，，
证明：平面；
证明：四边形为矩形；
求平面和平面夹角的余弦值．
6.(2023·湖北高三校联考阶段练习)在三棱柱中，，，，点为棱的中点，.
求平面与平面所成的二面角的正弦值.
7.(2023·湖北省武汉市联考)如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，点为棱的中点，．
证明：平面
在棱上是否存在点，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
8.(2023·天津市期末)如图，在四棱锥中，底面是矩形
已知，，，，．
证明平面；
求异面直线与所成的角的正切值；
求二面角的正切值．
9.(2023·江苏省南京市模拟)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，
平面，平面平面，，，为的中点．
求证：；求二面角的正切值．
10.(2023·吉林省模拟)如图，在直角梯形中，，，，沿对角线将折至的位置，记二面角的平面角为．
当时，求证：平面平面
若为的中点，当时，求二面角的正切值．
专题25 二面角的常见求法--答案解析
【专题探究】
例1【解析】连交于,如图，因为，所以,
又平面平面，平面平面，
且平面，所以平面，
在直三棱柱中，平面，
由平面，平面可得，，
又平面且相交，所以平面，
由已知得，所以，，所以，
在中，过点A作,连接，
因为DA=DB=DC，所以,则,即为所求二面角的平面角，
由等面积法可求得，
在中由余弦定理得，
所以二面角的正弦值为.
练1【解析】取中点，连接，，如图，
因为为等边三角形，所以，
因为面面，面面，，
所以平面，所以是与平面所成角，即，
令，则，
因为，即有，由知，则有，
过作于，在平面内过作交于点，
从而得是二面角的平面角，
中，，，
中，由余弦定理得．
，，
显然是斜边中点，则，
中，由余弦定理得．
二面角的余弦值为．
例2【解析】当点P在二面角的内部，如图所示：
， A，C，B，P四点共面，是二面角的平面角，
因为Р到平面、和棱的距离分别为、4和，
所以，
所以，则；
当点P在二面角的外部，如图所示：
， A，C，B，P四点共面，是二面角的平面角，
因为Р到平面、和棱的距离分别为、4和，
所以，
所以，，
则.
故答案为：或
练2【解析】作于，连结，∵，，∴，
又，，∴平面，∴，∵，∴
又平面,平面与平面重合，且
∴就是所求的二面角,中，，，,
∴＝.
例3【解析】由于正方体的棱长为，因此，
故是边长为的正三角形，则其面积，
又点在平面上射影分别是，
而是直角三角形，其面积，
设平面与平面所成的二面角的平面角为，
则由面积射影定理得：，
故所求二面角的余弦值大小为。
练3【解析】在底面内的射影三角形为,点射影为点射影为,
设正方体棱长为，则又在中，，，
故,∴,∴,
设面和面所成的二面角为，则，
那么所求夹角的余弦值为.
例4【解析】作于,作于,连，
因为平面，所以,，
所以,,,因此平面，即，
因为，,所以平面，即，
则为二面角的平面角,，
因为,为正三角形,所以为直角三角形，
因为,，
从而
平面,所以.
练4【解析】因为直棱柱，所以，
由已知，为的中点，所以，
又，于是平面，
设，则，得，
，，，
故，即，所以平面，
又，过作于,为二面角的平面角，
在中，,，
所以二面角的正弦值．．
例5【解析】由题意知为棱长为1的正方体的两条棱，AD是正方体的对角线，
以为原点, 以方向为轴,过作垂直于平面的线为轴建立如图所示直角坐标系,
∵
则,
容易知道面ACD的法向量为
不妨设为面ABC的法向量,
,,
取, 则，
二面角的余弦值为.
练5【解析】过S作面，垂足为D，连接，∴
∵，平面
∴，同理，
∵底面为等腰直角三角形，，
∴四边形为正方形且边长为2.
以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系，
则
，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面的法向量，则，解得，
取，则，∴，
设平面与平面夹角为,
,故平面与平面夹角的余弦值为.
例6【解析】取的中点，连接、，
平面平面，平面平面，平面，，
平面，平面，.
因为，，，故，且，
因为是边长为的等边三角形，为的中点，则，
、分别为、的中点，则，
所以，，且，
平面，、平面，，，
，、平面，平面，
平面，，所以，二面角的平面角为，
在中，，因此，二面角的正切值为-2.
练6【解析】取中点，过作于，连接，
因为为正三棱柱，
所以，平面平面，
又平面平面，平面，
所以平面，于是在平面内的射影为，
所以，所以为二面角的平面角，
所以，，
因为二面角与二面角互补，
所以二面角的余弦值为．
例7【解析】由题意得：，，
因为，所以，
即，解得：，
又，则，由图示得，该二面角为为锐角，即该二面角为，
故选：C.
例8【解析】过作交于点，因为平面，
以为坐标原点，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，，，
设平面的一个法向量为，
由，得，
令，得，所以，
设平面的一个法向量为
由，得，
令，得，所以
故，
设二面角的大小为，则.
练7【解析】过点作，如图建立平面直角坐标系，因为，，所以，
又，所以，则，，
所以，所以，，，，所以，
则，，，
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以；
设平面的法向量为，则，
令，则，，所以；
所以
设二面角为，由图可知二面角为钝二面角，
所以，所以,
故二面角的正弦值为.
【专题训练】
1.【解析】如图：在内，过作，且，连接、，
由，则四边形为矩形，可得，，
，，平面，
为二面角的平面角，且平面，即平面，
平面，则，
设，则，
又直线与所成角为，，得，
在中，，，
故二面角的大小为．
2.【解析】设二面角的平面角为，，
因为，，所以，
由题意得，
所以
，
所以，所以，所以，即平面与平面的夹角为．
故答案为：．
3.【解析】将正四面体放置于正方体中，取线段的中点，连结、，如图所示．
则正方体的外接球就是四面体的外接球，
因为正四面体的棱长为，所以正方体的棱长为．
因为，点是棱的中点，所以，
因为点是棱的中点，
所以，
又点、分别是棱、的中点，所以，，
所以为二面角的平面角，
在中，，所以．
故答案为：．
4.【解析】如图所示，设中点为，取中点，取中点，
取三等分点，且靠近点，连、、，
在矩形中，，所以，
所以，即，同理，
又由，，所以，
所以，所以，
所以即为二面角的平面角，
设，
在中，可得，
因为，可得，解得，
在中，可得，
在中，
由余弦定理得，
解得．
故答案为：．
5.【解析】证明：为直角三角形，，，，
，．，，
，，
又，，，平面平面．
证明：取的中点，连接、，则，
由可知平面，平面，，
，、平面，平面，
又平面，，D、、、四点共面，
又，，，
四边形为矩形，，
又为线段的中点，，，，
又为线段的中点，，，
四边形为平行四边形，
又，四边形为矩形．
由知、、两两垂直，
所以以为原点，为轴，为轴，为轴，
建立如下图所示的空间直角坐标系，
由题意可得，，，，
平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，，，
由得，
令，则，，故平面的一个法向量为．
则平面与平面的夹角的余弦值为，
平面和平面夹角的余弦值为．
6.【解析】由已知得，，
根据二面角定义可知，即为所求二面角的平面角或其补角，
在正三角形中，，所以，
因为，，所以，
又，且，所以平面，
而平面，所以，
在中，，所以，
于是平面与平面所成的二面角的正弦值为.
7.【解析】证明：在上找中点，连接，，如图：
和分别为和的中点，，且，
又底面是直角梯形，，，
且即四边形为平行四边形，
，
平面，平面，
平面
解：以为原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，，
由为棱上一点，设，
，
设平面的法向量为，
由可得
所以，令，则，则
取平面的法向量为，
则二面角的平面角满足：
，
故存在满足条件的点，此时．
8.【解析】证明：在中，由题可知，，
可得，于是．
在矩形中，．又，平面，平面，
所以平面．
解：在矩形中，，所以或其补角是异面直线与所成的角．
在中，，，，
由余弦定理得；
由知平面，平面，所以，
又，所以，于是是直角三角形，故；
所以异面直线与所成的角的正切值为．
解：如图：过点作于，过点作于，连接，
因为平面，平面，所以．
又，平面，平面，所以平面，
又平面，所以，
又，，平面，平面，所以平面，
又平面，即，从而是二面角的平面角．
由题设可得，，
，
根据和公共角易知∽，则，
于是在中，．所以二面角的正切值为．
9.【解析】证明：过 作于 ，
平面平面，平面平面，
平面，又平面，
，又平面，
且平面，，
又，平面，平面，．
解：过点在平面内作，垂足为点，连接，
由知平面，平面，，
，，所以，平面，
因为平面，所以，，
所以，为二面角的平面角，
平面，平面，，
，，则，
为的中点，所以，，
由，
，因此，二面角的正切值为．
10.【解析】 当时，平面平面．
在直角梯形中，，所以，所以，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面，即证．
取的中点，连接，因为，所以．
因为为的中点，连接，则为的中位线，所以．
因为，所以，
所以为二面角的平面角，即．
因为，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
因为平面平面，所以过作，交于点，则平面．
平面， ，过作与点，连结，．所以．
所以为二面角的平面角．
在中，，，．在中，．
在中，，所以，
故二面角的正切值为．
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